人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程基础卷（含解析）

21.2 解一元二次方程（基础卷）-人教版九年级上册
一．选择题
1．一元二次方程2x2﹣5x+1＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
2．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
3．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，则n的值为（　　）
A．6 B．6或7 C．7或8 D．7
4．下列配方中，变形正确的是（　　）
A．x2+2x＝（x+1）2 B．x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2+1
C．2x2+4x+3＝2（x+1）2+1 D．﹣x2+2x＝﹣（x+1）2﹣1
5．已知A＝x2+6x+n2，B＝2x2+4x+2n2+3，下列结论正确的个数为（　　）
①若A＝x2+6x+n2是完全平方式，则n＝±3；
②B﹣A的最小值是2；
③若n是A+B＝0的一个根，则4n2+＝；
④若（2022﹣A）（A﹣2019）＝2，则（2022﹣A）2+（A﹣2019）2＝4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣4n2+17的值为（　　）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
7．满足（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6的所有实数对（x，y），使取最小值，此最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．对于已知a2+2a+b2﹣4b+5＝0，则b2a＝（　　）
A．2 B． C．﹣ D．
9．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，且x1+x2＝5，x1 x2＝6，则该一元二次方程是（　　）
A．x2+5x+6＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2﹣6x+5＝0 D．x2﹣6x﹣5＝0
10．已知多项式A＝x2+4x+n2，多项式B＝2x2+6x+3n2+3．
①若多项式x2+4x+n2是完全平方式，则n＝2或﹣2；
②B﹣A≥2；
③若A+B＝2，A B＝﹣6，则A﹣B＝±8；
④若（2022﹣A）（A﹣2018）＝﹣10，则（2022﹣A）2+（A﹣2018）2＝36；
⑤代数式5A2+9B2﹣12A B﹣6A+2031的最小值为2022．
以上结论正确的为（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①④⑤
二．填空题
．对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 　 　．
．已知m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，则式子的值是 　 　．
．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是 　 　．
．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 　 　（填序号）．
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程．
．已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣x22+4x2的值为 　 　．
三．解答题
．解方程：
（1）2x2﹣4x﹣1＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
．已知a、b、c是△ABC的三边长，关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a﹣c＝0有两个相等的实数根．
（1）请判断△ABC的形状；
（2）当a＝5，b＝3时，求一元二次方程的解．
．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根是3和6，则方程x2﹣9x+18＝0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣6x+k＝0是“倍根方程”，则k＝　 　；
（2）若一元二次方程nx2﹣（2n+m）x+2m＝0（n≠0）是“倍根方程”，求的值；
．在理解例题的基础上，完成下列两个问题：
例题：若m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m和n的值；
解：由题意得：（m2+2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，
∴（m+n）2+（n﹣2）2＝0
∴，解得．请解决以下问题：
（1）若x2+4xy+5y2﹣4y+4＝0，求yx的值；
（2）若a，b，c是△ABC的边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52，c是△ABC的最长边，且c为偶数，则c可能是哪几个数？
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝25﹣8＝17＞0，
∴一元二次方程2x2﹣5x+1＝0有两个不相等的实数根，
故选：C．
2．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴，
解得：m≥且m≠1．
故选：D．
3．【解答】解：∵三角形是等腰三角形，
∴①a＝2，或b＝2；②a＝b两种情况，
①当a＝2，或b＝2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，
∴x＝2，
把x＝2代入x2﹣6x+n+2＝0得，22﹣6×2+n+2＝0，
解得：n＝6，
当n＝6，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故n＝6不合题意，
②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（n+2）＝0
解得：n＝7．
故选：D．
4．【解答】解：x2+2x
＝x2+2x+1﹣1
＝（x+1）2﹣1，
A错误．
x2﹣4x﹣3
＝x2﹣4x+4﹣4﹣3
＝（x2﹣4x+4）+（﹣4﹣3）
＝（x﹣2）2﹣7．
B错误．
2x2+4x+3
＝2（x2+2x）+3
＝2（x2+2x+1﹣1）+3
＝2（x2+2x+1）﹣2×1+3
＝2（x+1）2﹣2+3
＝2（x+1）2+1．
C正确．
﹣x2+2x
＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）
＝﹣（x2﹣2x+1）+1
＝﹣（x+1）2+1
D错误．
故选：C．
5．【解答】解：①∵A＝x2+6x+n2是完全平方式，
∴n＝±3，故结论正确；
②∵B﹣A
＝2x2+4x+2n2+3﹣（x2+6x+n2）
＝x2﹣2x+n2+3
＝（x﹣1）2+n2+2，
而（x﹣1）2+n2≥0，
∴B﹣A≥2，
∴B﹣A的最小值是2，故结论正确；
③∵A+B＝x2+6x+n2+2x2+4x+2n2+3＝3x2+10x+3n2+3，
把x＝n代入3x2+10x+3n2+3＝0，
得3n2+10n+3n2+3＝0，即6n2+10n+3＝0，
解得n＝，
当n＝时，2n+＝+＝﹣，
∴4n2+＝（2n+）2﹣4＝﹣4＝；
当n＝时，2n+＝+＝﹣，
∴4n2+＝（2n+）2﹣4＝﹣4＝；
故结论错误；
④∵（2022﹣A+A﹣2019）2
＝（2022﹣2019）2
＝（2022﹣A）2+（A﹣2019）2+2（2022﹣A）（A﹣2019）
＝（2022﹣A）2+（A﹣2019）2+2×2
＝9，
∴（2022﹣A）2+（A﹣2018）2＝5；故结论错误；
故选B．
6．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，
∴m2＝3﹣m，n2＝3﹣n，
∴m3＝3m﹣m2＝3m﹣3+m＝4m﹣3，4n2＝12﹣4n，
∴m3﹣4n2+17
＝4m﹣3﹣12+4n+17
＝4（m+n）+2
＝4×（﹣1）+2
＝﹣4+2
＝﹣2，
故选：A．
7．【解答】解：令＝t，则（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6可变形为：
（x﹣3）2+（tx﹣3）2＝6，
整理得：（t2+1）x2﹣6（t+1）x+12＝0，
则Δ＝[﹣6（t+1）]2﹣4×（t2+1）×12＝36（t+1）2﹣48（t2+1）≥0，t2﹣6t+1≤0，
由t2﹣6t+1＝[t﹣（3﹣2）][t﹣（3+2）]知t2﹣6t+1≤0的解集为3﹣2≤t≤3+2，
故取最小值，此最小值为3﹣2；
故选：A．
8．【解答】解：∵a2+2a+b2﹣4b+5＝0，
∴a2+2a+1+b2﹣4b+4＝0．
∴（a+1）2+（b﹣2）2＝0．
∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴b2a＝2﹣2＝．
故选：D．
9．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，x1+x2＝5，x1 x2＝6，
∴该一元二次方程是x2﹣5x+6＝0，
故选：B．
10．【解答】解：①∵多项式x2+4x+n2是完全平方式，
∴n＝±2，故结论正确；
②∵B﹣A＝2x2+6x+3n2+3﹣（x2+4x+n2）＝x2+2x+2n2+3＝（x+1）2+2n2+2，
而（x+1）2+2n2≥0，
∴B﹣A≥2，故结论正确；
③∵A+B＝2，A B＝﹣6，
∴（A﹣B）2＝（A+B）2﹣4AB＝﹣4×（﹣6）＝64，
∴A﹣B＝±8，
根据②A﹣B＝﹣8故结论错误；
④∵（2022﹣A+A﹣2018）2＝（2022﹣2018）2＝（2022﹣A）2+（A﹣2018）2+2（2022﹣A）（A﹣2018）＝（2022﹣A）2+（A﹣2018）2+2×（﹣10）＝16，
∴（2022﹣A）2+（A﹣2018）2＝36；故结论正确；
⑤5A2+9B2﹣12A B﹣6A+2031＝4A2+9B2﹣12A B+A2﹣6A+9+2022＝（2A﹣3B）2+（A﹣3）2+2022，
∵（2A﹣3B）2≥0，（A﹣3）2≥0，
当A＝3，B＝2时有最小值为2022，
但是根据②B﹣A≥2，
∴结论错误．
故选B．
二．填空题
．【解答】解：分两种情况：
当x≥﹣2时，
∵x （﹣2）＝10，
∴x2+x﹣2＝10，
x2+x﹣12＝0，
（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
x1＝﹣4（舍去），x2＝3，
当x＜﹣2时，
∵x （﹣2）＝10，
∴（﹣2）2+x﹣2＝10，
x＝8（舍去），
综上所述：x＝3，
故答案为：3．
．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，
∴m2＝3m+2，n2﹣2＝3n，m+n＝3，
∴m3﹣10m+n＝m（3m+2）﹣10m+n＝3m2﹣8m+n＝3（3m+2）﹣8m+n＝m+n+6＝3+6＝9，
n﹣＝＝＝3，
原式＝9×3＝27．
故答案为：27．
．【解答】解：根据题意得Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，
解得a1＝﹣10（负值舍去），a2＝2，
在等腰△ABC中，
①4为底时，则b＝a＝2，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形；
②4为腰时，b＝4，
∵2+4＞4，
∴能组成三角形，
∴△ABC的周长＝4+4+2＝10．
综上可知，△ABC的周长是10．
故答案为：10．
．【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得x1＝2，x2＝﹣1，得x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，
∴px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1＝﹣，x2＝﹣q，
∴x2＝﹣q＝﹣＝2x1，
因此是倍根方程，
故③正确．
故答案为：②③．
．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，
∴x12＝2x1+2，x22＝2x2+2，x1+x2＝2．
∴x12﹣x22+4x2
＝（2x1+2）﹣（2x2+2）+4x2
＝2（x1+x2）
＝2×2
＝4．
故答案是：4．
三．解答题
．【解答】解：（1）2x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣2x﹣＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x，
3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+2＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣．
．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系，得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，
由x1+x2+3x1x2＝1，得2m+1+3（m﹣2）＝1，
解得m＝．
．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
即（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵a＝5，b＝3，
∴c＝＝4，
∴方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0可整理为9x2+6x+1＝0，
解得：x1＝x2＝﹣．
．【解答】解：（1）设一元二次方程x2﹣6x+k＝0两根为α和2α，
则，
解得，
故答案为：8；
（2）由一元二次方程nx2﹣（2n+m）x+2m＝0得（nx﹣m）（x﹣2）＝0，
∴x＝或x＝2，
∵一元二次方程nx2﹣（2n+m）x+2m＝0（n≠0）是“倍根方程”，
∴＝4或＝1，
当＝4时，m＝4n，
∴＝＝，
当＝1时，m＝n，
∴＝＝2，
综上所述，的值为或2．
．【解答】解：（1）∵x2+4xy+5y2﹣4y+4＝0，
∴x2+4xy+4y2+y2﹣4y+4＝0，
∴（x+2y）2+（y﹣2）2＝0，
∴x+2y＝0，y﹣2＝0，
解得x＝﹣4，y＝2，
∴yx＝2﹣4＝；
（2）已知等式整理得：（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，
解得：a＝6，b＝4，
由△ABC中最长的边是c，
∴6≤c＜10，
∵c为偶数，
∴c可能是6或8．