人教版九年级数学上册24.1圆的有关性质同步练习（含解析）

24.1 圆的有关性质（精选卷）-人教版九年级上册（含答案）
一．选择题
．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（　　）
A．95° B．100° C．105° D．130°
．如图，B、C是圆A上的两点，AB的垂直平分线与圆A交于E、F两点，与线段AC交于点D，若∠DBC＝30°，AB＝2，则弧BC＝（　　）
A．π B．π C．π D．π
．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好经过点O，则∠AOC等于（　　）
A．120° B．125° C．130° D．145°
．如图，半圆的半径为6，将三角板的30°角顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点A，B，则AB的长度为（　　）
A．3 B．12 C．2 D．6
．往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（　　）cm．
A．10 B．14 C．26 D．52
．一装有某种液体的圆柱形容器，半径为6cm，高为18cm．小强不小心碰倒，容器水平静置时其截面如图所示，其中圆心O到液面AB的距离为3cm，若把该容器扶正竖直，则容器中液体的高度为（　　）
A． B． C． D．
．把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝4，则EF＝（　　）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
．如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（　　）
A． B． C． D．
．如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，在点P运动的过程中，OQ的长度为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．不能确定
．如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O点逆时针旋转90°得矩形A′B′C′D′，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
．如图，AB是⊙O的弦，，点P是优弧APB上的动点，∠P＝45°，连接PA，PB，AC是△ABP的中线．
（1）若∠CAB＝∠P，则AC＝　 　；
（2）AC的最大值＝　 　．
．如图，点O是以AC为直径的半圆的圆心，点B在上，∠ACB＝30°，AC＝2．点D是直径AC上一动点（与点A，C不重合），记OD的长为m．连接BD，点A关于BD的对称点为点A′，当点A′落在由直径AC，弦围成的封闭图形内部时（不包含边界），m的取值范围是 　 　．
．如图，弧AB所对的圆心角为∠AOB＝120°，半径OB＝2，C是OA的中点，P是弧AB上一动点，以CP为边作等边△CPQ（O，Q两点位于CP同侧），当P从A向B运动过程中，BQ的最小值为 　 　．
．在矩形ABCD中，P是矩形边上一点，满足∠APB＝30°，
（1）若AB＝1，AD＝，满足条件的P点有 　 　个．
（2）设AD：AB＝x，若满足条件的P点有4个，则x的取值满足 　 　．
．如图，以⊙O的半径为半径，自⊙O上的A点起，在圆上依次画弧截取点B，C，D，E，F．正方形EFGH的中心为O1，连接FA，FO1，则∠AFO1＝　 　．
三．解答题
．如图，AB是⊙O直径，＝，连接CD，过点D作射线CB的垂线，垂足为点G，交AB的延长线于点F．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若CD＝EF＝10，求BG的长．
．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）求证：四边形ADOE是正方形；
（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．
．如图，⊙O的直径CD分别与弦AB，AF交于点E，H，连接CF，AD，AO．已知CF＝CH，FB＝BD．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若AE＝4，OH＝1，求AO的长．
．已知：如图，在△ABC中，以边CA长为半径的⊙C交边AB于点D、边BC于点E，联结DE．如果∠EDB＝45°，BD＝5，BE＝．
求：（1）∠C的度数；
（2）⊙C的半径长及弦AD的长．
．已知：如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足．
（1）若AB＝AC，求证：四边形ADOE为正方形．
（2）若AB＞AC，判断OD与OE的大小关系，并证明你的结论．
参考答案与试题解析
一．选择题
．【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，
∵∠DOE＝130°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
故选：B．
．【解答】解：∵EF垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠DBA，
设∠A＝∠DBA＝x°，则∠ABC＝∠ACB＝x+30°，
在△ABC中，则有x+2（x+30）＝180，
∴x＝40，
∴的长＝＝π，
故选：D．
．【解答】解：O关于直线AC的对称点是Q，连接OQ，交AC于M，
则AC垂直平分OQ，
即AQ＝AO，OM⊥AC，
∵OQ＝OA，
∴OQ＝AQ＝OA，
∴△AQO是等边三角形，
∴∠AOQ＝60°，
∵OQ⊥AC，OA＝OC，
∴∠COQ＝∠AOQ＝60°，
∴∠AOC＝60°+60°＝120°，
故选：A．
．【解答】解：连接OA，OB，
由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，
∵⊙O的半径为6，
∴AB＝OA＝6，
故选：D．
．【解答】解：如图所示：
由题意得，OC⊥AB于D，DC＝16cm，
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm，
在Rt△OBD中，
r2＝242+（r﹣16）2，解得r＝26，
所以2r＝52，
故选：D．
．【解答】解：连接OA，OB，如图，
根据题意得：OA＝6cm，弦心距OC＝3cm，
∴cos∠AOC＝，
∴∠AOC＝60°，则∠AOB＝120°，
∴AC＝3cm，AB＝2AC＝6cm，
∴S阴影＝S扇形OAB﹣S△OAB＝．
设把该容器扶正竖直后容器中液体的高度为h，
依题意得：，
∴，
故选：B．
．【解答】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：
则NF＝EN＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD＝4，ON＝MN﹣OM＝4﹣2.5＝1.5，
在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，
∴NF＝＝2，EF＝2NF＝4，
故选：C．
．【解答】解：如图，连接OA、OC，过点O作OM⊥CD于M，MO的延长线于AB延长线交于N，则四边形BCMN是矩形，
∵OM⊥CD，CD是弦，
∴CM＝DM＝CD＝1＝BN，
∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，
设ON＝x，则OM＝8﹣x，
在Rt△AON、Rt△COM中，由勾股定理得，
OA2＝AN2+ON2，OC2＝OM2+CM2，
∵OA＝OC，
∴AN2+ON2＝OM2+CM2，
即52+x2＝（8﹣x）2+12，
解得x＝，
即ON＝，
∴OA2＝52+（）2＝，
∴S⊙O＝π×OA2＝π，
故选：A．
．【解答】解：连接OP，PQ，则OP＝2，
∵AB⊥CD，PM⊥OA，PN⊥OD，
∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴MN＝OP＝2，
∵∠MON＝90°，Q为MN中点，
∴OQ＝MN＝＝1，
故选：A．
．【解答】解：如图，取A'D'的中点E，作ME⊥A'D'，取B'的中点F，作MF⊥BC'，
以M为圆心，MB长为半径作⊙M，
则⊙M经过点D'、B、A'、C，⊙M为整个图形最小覆盖圆，
∵矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，
∴MF＝，BF＝，
在Rt△BMF中，
BM＝．
故选：C．
二．填空题
．【解答】解：如图1，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠B＝∠B，∠CAB＝∠P，
∴△BAC∽△BPA，
∴＝，
∴BA2＝BC BP，
∵AC是△ABP的中线，
∴BP＝2BC，
∴（2）2＝BC 2BC，
∴BC＝2，
在Rt△ABH中，∠CAB＝∠P＝45°，AB＝2，
∴BH＝AH＝2，
又∵BC＝2，
∴点H和点C重合，
∴AC＝AH＝2．
故答案为：2；
（2）如图2，
∵点P的运动轨迹是圆，
∴点C的运动轨迹是OB为直径的圆，
∴当AC'经过圆心O'时最大．
∵∠P＝45°，
∴∠AOB＝90°，
又∵AB＝2，
∴AO＝BO＝2，OO'＝1，
∴AO'＝，
∵O'C'＝1，
∴AC'＝1+，
∴AC的最大值为1+．
故答案为：1+．
．【解答】解：如图，∵AC是半圆的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝30°，AC＝2，
∴AB＝1，
∵点A关于BD的对称点为点A′，
∴DA＝DA′，
当点D与点O重合时，DA＝DA′＝r，点A′在上，m＝0；
当点D在AO中点时，点A′在直径AC上，m＝，
∴m的取值范围为：0＜m＜．
故答案为：0＜m＜．
．【解答】解：延长BO到T，使得OT＝OC，连接CT，QT，OP．
∵∠AOB＝120°，
∴∠COT＝60°，
∵OT＝OC，
∴△OCT是等边三角形，
∴CO＝CT，∠OCT＝60°，
∵△CQP是等边三角形，
∴CQ＝CP，∠QCP＝∠OCT＝60°，
∴∠OCP＝∠∠TCQ，
∴△OCP≌△TCQ（SAS），
∴TQ＝OP＝2，
∵BT＝OB+OT＝2+1＝3，
∴BQ≥BT﹣TQ＝1，
∴BQ的最小值为1．
故答案为：1．
．【解答】解：（1）如图，
∵AB＝1，AD＝，
∴∠ADB＝∠ACB＝30°，
∴点P的个数有2个．
故答案为：2；
（2）如图，
作等边△ABO，作其外接圆⊙O，交AD于点F，交BC于点H，过点O作OG⊥AB于点G，交⊙O于点E，
设过E点的直线MN与⊙O相切，交AD所在的直线于M，交BC所在直线于N，
则AF＜AD＜AM时，点P的个数有4个，
∵＝，
∴∠AFB＝∠AEB＝30°，
设AB＝1，
在Rt△MOE中，EO＝AB＝1，
∴OG＝OA cos∠AOG
＝OA cos30°
＝1×
＝，
∴AD＝1+
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°﹣∠AFB＝30°，
∴AF＝AB tan30°
＝3×
＝，
∴＜AD＜1+，
∴＜x＜1+
故答案为：＜x＜1+．
．【解答】解：如图，连接OA，OF，OE，
∵FE＝OF＝OE，
∴△OFE是等边三角形，
∴∠OFE＝60°，
∴弧FE的度数＝60°，
由圆心角、弧、弦关系可得，弧FE的度数＝弧ED的度数＝弧DC的度数＝弧CB的度数＝弧BA的度数＝60°，
∴弧AF的度数＝360°﹣60°×5＝60°，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，
∴∠AFE＝∠AFO+∠OFE＝120°，
∵O1是正方形的中心，
∴∠O1FE＝45°，
∴∠AFO1＝∠AFE﹣∠O1FE＝75°，
故答案为：75°．
三．解答题
．【解答】解：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠C+∠CBE＝90°，
又∵BG⊥DF，
∴∠F+∠FBG＝90°，
∵∠CBE＝∠FBG，
∴∠F＝∠C＝∠A，
∴DA＝DF，
∵CD⊥AB，
∴AE＝EF；
（2）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝DE＝＝5，
∵tan∠F＝＝＝tan∠C＝，
∴BE＝＝，
∴BF＝EF﹣BE＝10﹣＝，
在Rt△BFG中，tan∠F＝，
设BG＝x，则FG＝2x，由勾股定理得，
BG2+FG2＝BF2，
即x2+（2x）2＝（）2，
解得x＝（x＞0），
即BG＝．
．【解答】（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AD＝AB，AE＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，
∴四边形ADOE是正方形；
（2）解：连接OA，
∵AC＝2cm，
∴AE＝1cm，
在Rt△AOE中，OA＝＝（cm），
答：⊙O的半径是cm．
．【解答】（1）证明：∵CF＝CH，
∴∠CFH＝∠CHF．
∵∠CFH＝∠CDA，∠CHF＝∠AHD，
∴∠CDA＝∠AHD，
∴AH＝AD．
∵FB＝BD，
∴＝，
∴∠HAE＝∠DAE．
∴AE⊥HD，即AB⊥CD；
（2）解：∵AH＝AD，∠HAE＝∠DAE，
∴HE＝DE．
设OE＝x．
∵OH＝1，
∴HE＝x+1＝DE，
∴OD＝2x+1＝AO．
在Rt△OAE中，OE2+AE2＝AO2，AE＝4，
∴x2+42＝（2x+1）2，
解得x1＝﹣3（舍去），x2＝．
∴AO＝2×+1＝，即AO的长等于．
．【解答】解：（1）如图1，在优弧上取一点F，连接AF，EF，
∵∠EDB＝45°，
∴∠ADE＝180°﹣45°＝135°，
∵∠F+∠ADE＝180°，
∴∠F＝45°，
∴∠C＝2∠F＝90°；
（2）如图2，过点E作EH⊥AB于H，过点C作CG⊥AB于G，
∴AG＝DG，
∵∠BDE＝45°
∴DH＝EH，
设DH＝a，则EH＝a，BH＝5﹣a，
由勾股定理得：EH2+BH2＝BE2，
∴a2+（5﹣a）2＝（）2，
∴a1＝2，a2＝3，
当a＝2时，EH＝2，BH＝3，
∵∠ACG+∠BCG＝∠BCG+∠B，
∴∠B＝∠ACG，
∴tan∠ACG＝tanB，
∴＝，
设AG＝2x，CG＝3x，
∴AC＝CE＝x，
∴tanB＝＝，
∴＝，
∴x＝2，
∴⊙O的半径AC＝x＝2，AD＝4x＝8．
当a＝3时，EH＝3，BH＝2，
∵tan∠ACG＝tanB，
∴＝，
设AG＝3x，CG＝2x，
∴AC＝CE＝x，
∴tanB＝＝，
∴＝，
∴x＝﹣3，
此种情况不符合题意，
综上，⊙O的半径AC＝2，AD＝8．
．【解答】（1）证明：连接OA，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，OD和OE都过圆心O，
∴∠OEA＝∠ODA＝90°，AE＝CE，AD＝BD，
∵AC＝AB，
∴AE＝AD，
∵AB、AC为互相垂直的两条弦，
∴∠EAD＝90°，
即∠OEA＝∠EAD＝∠ODA＝90°，
∴四边形EADO是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）；
（2）解：OD＜OE，
证明：∵AB＞AC，AE＝CE，AD＝BD，
∴AD＞AE，
在Rt△ODA和Rt△OEA中，由勾股定理得：
OE2＝OA2﹣AE2，OD2＝OA2﹣AD2，
∴OD2＜OE2，
即OD＜OE．