湖北省武汉市光谷实验中学2022-2023学年八年级上学期开门考试数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市江夏区光谷实验中学八年级（上）开门考数学试卷（附答案与解析）
一、单选题（每小题4分，共24分）
1．（4分）如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△AOB≌△A'OB'的理由是（　　）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
2．（4分）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（　　）
A．PQ＞6 B．PQ≥6 C．PQ＜6 D．PQ≤6
3．（4分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：7
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝9°，∠B＝81°
4．（4分）已知点P（m﹣1，n+2）与点Q（2m﹣4，2）关于x轴对称，则（m+n）2021的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021
5．（4分）已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（　　）
A．2b﹣2c B．﹣2b C．2a+2b D．2a
6．（4分）如图，在△AOB中，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边向右侧作等边△ACD，连接BD，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．∠OBD＝120° B．OA∥BD C．CB+BD＝AB D．AB平分∠CAD
二、填空题（每小题4分，共16分）
7．（4分）一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是　 　边形．
8．（4分）等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长为　 　．
9．（4分）如图，D、E是等边△ABC的BC边和AC边上的点，BD＝CE，AD与EE相交于P点，则∠APE的度数是 　 　．
10．（4分）在直角△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，BC＝5，在△ABC的内部找一点P，使得P到△ABC的三边的距离相等，则这个距离是 　 　．
三、解答题
11．（10分）化简：
（1）2a（a﹣b）﹣（a﹣b）2；
（2）（a+b）（a﹣b）+（4ab3﹣8a2b2）÷4ab．
12．（12分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝8，DE＝6，求BE的长．
13．（12分）如图，是一个8×10正方形格纸，△ABC中A点坐标为（﹣2，1），B点的坐标为（﹣1，2）．
（1）请在图中建立平面直角坐标系，指出△ABC和△A′B′C′关于哪条直线对称？（直接写答案）
（2）作出△ABC关于x轴对称图形△A1B1C1；请直接写出A′、B′、C′三点坐标．
（3）在x轴上求作一点M，使△AB′M的周长最小，请直接写出M点的坐标．
14．（12分）在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：∠BFC＝90°+∠A；
（2）已知∠A＝60°，
①如图1，若BD＝4，BC＝6.5，求CE的长；
②如图2，若BF＝AC，求∠AEB的大小．
15．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，过点B（3，3）向坐标轴作垂线，垂足分别是点A和点C，点D是线段OC上一点，点A绕点D顺时针旋转90°得到点E．
（1）若点D的坐标为（t，0），求点E的坐标（用含t的式子表示）；
（2）如图2，连接AE，EC，AE交BC于点F，连接DF，试探究∠DEC与∠AFD的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若点M是x轴负半轴上一点，连接AM，点N是AM上一点，且DM＝DN＝AB，ND交AO于点G，求△OGD的周长．
2022-2023学年湖北省武汉市江夏区光谷实验中学八年级（上）开门考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题4分，共24分）
1．（4分）如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△AOB≌△A'OB'的理由是（　　）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
【分析】因为是用两钢条中点连在一起做成一个测量工件，可求出两边分别对应相等，再加上对顶角相等，可判断出两个三角形全等，且用的是SAS．
【解答】解：∵两钢条中点连在一起做成一个测量工件，
∴OA′＝OA，OB′＝OB，
∵∠BOA＝B′OA′，
∴△AOB≌△B′OA′．
所以AB的长等于内槽宽A'B'，
用的是SAS的判定定理．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等是关键．
2．（4分）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（　　）
A．PQ＞6 B．PQ≥6 C．PQ＜6 D．PQ≤6
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为6，再根据垂线段最短解答．
【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，
∴点P到OB的距离为6，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥6．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
3．（4分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：7
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝9°，∠B＝81°
【分析】依据三角形内角和定理，求得三角形的最大角是否大于90°，进而得出结论．
【解答】解：A．∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠B+∠C＝90°，∴该三角形是直角三角形；
B．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：7，∴∠C＝180°×＝90°，∴该三角形是直角三角形；
C．∵∠A＝2∠B＝3∠C，∴∠A＝180°×＞90°，∴该三角形是钝角三角形；
D．∵∠A＝9°，∠B＝81°，∴∠C＝90°，∴该三角形是直角三角形；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键是灵活利用三角形内角和定理进行计算．
4．（4分）已知点P（m﹣1，n+2）与点Q（2m﹣4，2）关于x轴对称，则（m+n）2021的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数列出关于m、n的方程，解出m、n的值，再代入即可．
【解答】解：∵P（m﹣1，n+2）与点Q（2m﹣4，2）关于x轴对称，
∴，
解得m＝3，n＝﹣4，
∴（m+n）2021＝（3﹣4）2021＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查的是关于x、y轴对称点的坐标特点，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．（4分）已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（　　）
A．2b﹣2c B．﹣2b C．2a+2b D．2a
【分析】先根据三角形三边关系判断出a+b﹣c与b﹣a﹣c的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴a+b＞c，b﹣a＜c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2（b﹣c）；
故选：A．
【点评】此题考查了三角形三边关系，用到的知识点是三角形的三边关系、绝对值、整式的加减，关键是根据三角形的三边关系判断出a+b﹣c与，b﹣a﹣c的符号．
6．（4分）如图，在△AOB中，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边向右侧作等边△ACD，连接BD，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．∠OBD＝120° B．OA∥BD C．CB+BD＝AB D．AB平分∠CAD
【分析】由“SAS”可证△AOC≌△ABD，可得OC＝BD，∠AOB＝∠ABD＝60°，可得∠OBD＝120°，∠ABD＝∠OAB，可证OA∥BD，由OB＝OC+BC可得出AB＝CB+BD，即可求解．
【解答】解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝OB，∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°＝∠OAB，
∴∠OAC＝∠BAD，且OA＝AB，AD＝AC，
∴△AOC≌△ABD（SAS），
∴OC＝BD，∠AOB＝∠ABD＝60°，
∴∠OBD＝120°，∠ABD＝∠OAB，
∴OA∥BD，
故选项A，B，都不符合题意，
∵OC＝BD，
∴OB＝BC+OC＝BC+DB，
∵OB＝AB，
∴CB+BD＝AB，
故C选项不符合题意，
∵若AB平分∠CAD，
∴∠OAC＝∠CAB＝∠BAD＝30°，
∴C为AB的中点，
∵点C是OB上的动点，
∴AB平分∠CAD与题意不相符．
故选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明△AOC≌△ABD是本题的关键．
二、填空题（每小题4分，共16分）
7．（4分）一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是　九　边形．
【分析】这个多边形的内角和是1260°．n边形的内角和是（n﹣2） 180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2） 180＝1260，
解得n＝9．
【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
8．（4分）等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长为　27　．
【分析】题中没有指明哪个是底哪个腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，能组成三角形，
所以，周长＝11+11+5＝27；
②11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5，
∵5+5＝10＜11，
∴不能组成三角形，
综上所述，三角形的周长为27．
故答案为：27．
【点评】本题考查了等腰三角形两腰长相等的性质，要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
9．（4分）如图，D、E是等边△ABC的BC边和AC边上的点，BD＝CE，AD与EE相交于P点，则∠APE的度数是 　60°　．
【分析】根据条件先可以得出△ABD≌△BCE，由全等三角形的性质就可以得出∠BAD＝∠DBP．由∠APE＝∠ABP+∠BAP，就可以得出∠APE＝60°．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°．
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠DBE．
∵∠APE＝∠ABP+∠BAP，
∴∠APE＝∠ABP+∠DBE．
∴∠APE＝∠ABD．
∴∠APE＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用．
10．（4分）在直角△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，BC＝5，在△ABC的内部找一点P，使得P到△ABC的三边的距离相等，则这个距离是 　2　．
【分析】设P到△ACB的三边的距离为x，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：设P到△ACB的三边的距离为x，
由三角形的面积公式得，×5×12＝×5×x+×12×x+×13×x，
解得，x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
三、解答题
11．（10分）化简：
（1）2a（a﹣b）﹣（a﹣b）2；
（2）（a+b）（a﹣b）+（4ab3﹣8a2b2）÷4ab．
【分析】（1）根据单项式乘多项式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
（2）根据平方差公式、多项式除以单项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）2a（a﹣b）﹣（a﹣b）2
＝2a2﹣2ab﹣a2+2ab﹣b2
＝a2﹣b2；
（2）（a+b）（a﹣b）+（4ab3﹣8a2b2）÷4ab
＝a2﹣b2+b2﹣2ab
＝a2﹣2ab．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式和平方差公式的应用．
12．（12分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝8，DE＝6，求BE的长．
【分析】根据同角的余角相等可得∠ACD＝∠CBE，根据“AAS”可证△ACD≌△CBE，可得CE＝AD＝8，即可求BE的长；
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠D＝∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CE＝AD＝8，BE＝CD，
∵EC＝CD+DE，
∴BE＝CE﹣DE＝8﹣6＝2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
13．（12分）如图，是一个8×10正方形格纸，△ABC中A点坐标为（﹣2，1），B点的坐标为（﹣1，2）．
（1）请在图中建立平面直角坐标系，指出△ABC和△A′B′C′关于哪条直线对称？（直接写答案）
（2）作出△ABC关于x轴对称图形△A1B1C1；请直接写出A′、B′、C′三点坐标．
（3）在x轴上求作一点M，使△AB′M的周长最小，请直接写出M点的坐标．
【分析】（1）根据A，B两点坐标，确定平面直角坐标系即可；
（2）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（3）作点B′关于x轴的对称点B″，连接AB″交x轴于点M，连接MB′，点M即为所求．
【解答】解：（1）如图，平面直角坐标系如图所示：△ABC与△A′B′C′关于y轴对称；
（2）如图，△A1B1C1即为所求，A′（2，1）、B′（1，2）、C′（3，3）；
（3）如图，点M即为所求．M（﹣1，0）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决最短问题，属于中考常考题型．
14．（12分）在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：∠BFC＝90°+∠A；
（2）已知∠A＝60°，
①如图1，若BD＝4，BC＝6.5，求CE的长；
②如图2，若BF＝AC，求∠AEB的大小．
【分析】（1）由角平分线的性质可得∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠ACD＝∠BCD＝∠ACB，由三角形内角和定理可得结论；
（2）①在BC上截取BH＝BD，连接FH，由“SAS”可证△BFD≌△BFH，可得∠DFB＝∠BFH＝60°，由“ASA”可证△CFE≌△CFH，可得CE＝CH，即可求解；
②延长CD，使NF＝BF，连接BN，可证△BFN是等边三角形，可得BF＝BN＝NF，∠N＝∠NBF＝60°，由“AAS”可证△BND≌△ACD，可得BD＝CD，可得∠DBC＝∠DCB，由角的数量关系可求解．
【解答】（1）证明：∵BE，CD为△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠ACD＝∠BCD＝∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠FBC+∠FCB＝（180°﹣∠A），
∴∠BFC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+；
（2）解：①如图1，在BC上截取BH＝BD，连接FH，
当∠A＝60°时，
∴∠BFC＝90°+30°＝120°，
∴∠DFB＝∠CFE＝60°，
在△BFD和△BFH中，
，
∴△BFD≌△BFH（SAS），
∴∠DFB＝∠BFH＝60°，
∴∠CFE＝∠CFH＝60°，
在△CFE和△CFH中，
，
∴△CFE≌△CFH（ASA），
∴CE＝CH，
∴BC＝BH+CH＝BD+CE，
∴CE＝BC﹣BD＝6.5﹣4＝2.5；
②如图2，延长CD，使NF＝BF，连接BN，
∵NF＝BF，∠BFD＝60°，
∴△BFN是等边三角形，
∴BF＝BN＝NF，∠N＝∠NBF＝60°，
∵BF＝AC，∠A＝∠N＝60°，
∴BN＝AC，
在△BND和△ACD中，
，
∴△BND≌△ACD（AAS），
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴∠DCB＝2∠CBF，
∵∠DFB＝∠DCB+∠FBC＝60°，
∴∠FBC＝20°，∠DCB＝40°＝∠ACD，
∴∠AEB＝∠FBC+∠ACD+∠DCB＝100°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，过点B（3，3）向坐标轴作垂线，垂足分别是点A和点C，点D是线段OC上一点，点A绕点D顺时针旋转90°得到点E．
（1）若点D的坐标为（t，0），求点E的坐标（用含t的式子表示）；
（2）如图2，连接AE，EC，AE交BC于点F，连接DF，试探究∠DEC与∠AFD的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若点M是x轴负半轴上一点，连接AM，点N是AM上一点，且DM＝DN＝AB，ND交AO于点G，求△OGD的周长．
【分析】（1）过点E作EH⊥x轴于点H，利用AAS证明△DHE≌△AOD，得DH＝OA，EH＝OD，从而得出答案；
（2）过点E作EH⊥x轴于点H，将△AOD绕点A逆时针旋转90°得到△ABP，利用SAS可证明△FAP≌△FAD，得∠AFD＝∠AFP，再证△ECH是等腰直角三角形，得∠ECH＝45°，从而解决问题；
（3）连接BD，BG，过点B作BQ⊥DG于点Q，利用SAS证明△BDC≌△AMO，得∠BDC＝∠DMN，再证△BDC≌△BDQ（AAS），Rt△BAG≌Rt△BQG（HL），得AG＝QG，将△OGD的周长转化为OA+OC．
【解答】解：（1）如图，过点E作EH⊥x轴于点H，
则∠DHE＝∠AOD＝90°，
∴∠OAD+∠ODA＝90°，
∵点A绕点D顺时针旋转90°得到点E，
∴∠ADE＝90°，AD＝DE，
∴∠EDH+∠ODA＝90°，
∴∠OAD＝∠EDH，
∴△DHE≌△AOD（AAS），
∴DH＝OA，EH＝OD，
∵D（t，0），
∴OD＝t，
∴EH＝t，
∵BA⊥OA，BC⊥OC，BA＝BC，∠AOC＝90°，
∴四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC＝AB＝BC＝3，
∴OH＝OD+DH＝OD+OA＝t+3，
∴E（t+3，t）；
（2）∠DEC+∠AFD＝90°，理由如下：
由（1）得：四边形OABC是正方形，
如图，过点E作EH⊥x轴于点H，将△AOD绕点A逆时针旋转90°得到△ABP，
则∠BAP＝∠OAD，AD＝AP，
由（1）得∠ADE＝90°，AD＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠DEA＝45°，
∴∠FAP＝∠BAF+∠BAP
＝∠BAF+∠OAD
＝∠OAB﹣∠DAE
＝45°，
∴∠FAP＝∠DAE，
∴△FAP≌△FAD（SAS），
∴∠AFD＝∠AFP，
由（1）得EH＝OD，DH＝OA＝OC，
∴DH﹣CD＝OC﹣CD，
∴CH＝OD，
∴CH＝EH，
∴△ECH是等腰直角三角形，
∴∠ECH＝45°，
∴∠BCE＝∠BCH﹣∠ECH＝45°，
∵∠BCE+∠CEF+∠CFE＝180°，
∴∠BCE+∠DEC+∠AED+∠CFE＝180°，
∴45°+∠DEC+45°+∠CFE＝180°，
∴∠DEC+∠CFE＝90°，
∵∠CFE＝∠AFP＝∠AFD，
∴∠DEC+∠AFD＝90°；
（3）如图，连接BD，BG，过点B作BQ⊥DG于点Q，
由（1）得四边形OABC是正方形，
OA＝AB＝BC＝OC＝3，
∵DM＝DN＝AB，
∴∠DMN＝∠DNM，DM＝OC，
∴DM﹣OD＝OC﹣OD，
∴OM＝CD，
∴△BDC≌△AMO（SAS），
∴∠BDC＝∠DMN，
∵∠BDC+∠BDN＝∠CDN＝∠DMN+∠DNM，
∴∠BDN＝∠DNM＝∠DMN＝∠BDC，
∴△BDC≌△BDQ（AAS），
∴CD＝DQ，BC＝BQ，
∴AB＝BQ，
在Rt△BAG和Rt△BQG中，
，
∴Rt△BAG≌Rt△BQG（HL），
∴AG＝QG，
∴C△OGD＝OG+DG+OD
＝OG+GQ+DQ+OD
＝OG+AG+CD+OD
＝OA+OC
＝3+3
＝6．
∴△OGD的周长为：6．
【点评】本题主要考查了正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，综合性强，难度较大．