2021～2022 学年第二学期期末学习成果认定
高二数学试卷参考答案
一、选择题（本题共 9 小题，每题 5 分，共 45 分.）
1-5 D A B B C 6-9 A B A B
二、填空题（本题共 6 小题，共 30 分）
10. 90 11. 960 12. 13 13. 240
22
14. ,2 e 15. a
3
∈（ ，3）．
4
三、解答题（本题共 5 小题，共 75 分）
16．（本小题满分 14分）
解：(1)
f (x) 1 x3因为 ax2 bx，所以 f (x) x2 2ax b， …………2分
3
f 1 4 1 2a b 4
由 ,，得 …………4分
f 1 0 1 2a b 0
解得 a 1,b 3 . …………6分
(2)
1
由（1 f x x3）得 x2 3x, x R， …………7分
3
f (x) x2 2x 3 (x 1)(x 3) . …………8分
由 f′ x 0得 x 1或 x 3；由 f′ x 0得 3 x 1. …………10分
由 f x 0得 x=1或 x 3；
∴ f x 的单调递增区间为 ( , 3), (1, )，单调递减区间为 3,1 ……12分
∴ f x 5在 x 3处取得极大值 9，在 x 1处取得极小值 …………14分
3
17．（本小题满分 15分）
解：设等差数列 an 的公差为 d，则由 S4 4S2， a2n 2an 1 n N 得
4a1 6d 8a1 4d ,
…………4分
a1 2n 1 d 2a1 2 n 1 d 1.
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解得 a 1 …………6分1
d 2
因此 a 2n 1 n N …………7分n
1 1 b 3n 1 c 2n 1 3n 1（ ）由（ ）及 n ，知 n …………8分
Tn 1 3
0 3 31 2n 1 3n 1
…………10分
3Tn 1 3
1 3 32 5 33 2n 1 3n
以上两式相减得
2Tn 1 2 31 32 3n 1 2n 1 3n
3 1 3n 1
2Tn 1 2 2n 1 3n1 3 …………13分
2Tn 2 2 n 1 3n
Tn n 1 3n 1 …………15分
18．（本小题满分 15分）
解：(1)
C1 1 2
由题意得， P A 3C4 C3 1 2 ． …………3分C10 3
1
所以事件 A发生的概率为 ．…………4分
3
(2)
随机变量 X的所有可能取值为 0，1，2． …………5分
2
P X 0 C3 C
2 C2 4
3 42 ， …………8分C10 15
， 分
P X 1 C
1C1 C1 1 …………11
3 3 3
C4 7
2 C10 15
C1 1P X 2 3C4 4
C2
． …………13分
10 15
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所以随机变量 X的分布列为
X 0 1 2
4 7 4
P …………14分
15 15 15
EX 0 7 8 1
15 15
…………15分
19．（本小题满分 15分）
解：(1)
证明：由： 2Sn 4an n 6 ①
5
n 1时， 2a1 4a1 1 6得 a1 . …………1分2
n 2时： 2Sn 1 4an 1 n 7 ② …………2分
① ② : 2an 4a
1
n 4an 1 1即 an 2an 1 . …………3分2
a 1 n 2
a
1
n 1 n 2 ， a
1
1 2 0
1
， an 0，…………5分2 2 2 2
1
数列 an 是首项为 2公比为 2的等比数列. …………6分
2
a 1 1n 2
n， an 2
n . …………7分
2 2
(2)
b 2
n 2n 1 1
n 由（1）得 an an 1 2n 1 n 1 1 2n
1 1
2 2n 1 ， …………9分
2 2 2 2
所以
T 1 1
1 1 1 1 2 1
n 1 1 1 1 1 1 1， ……11分 2 22 22 23 2n 2n 1 5 2n 1
2 2 2 2 2 2 2
若
T 2 1 42 1 8 , , 2 n 4n 1 1 121， n 35 2n 1 125 2n 1 125
2 2
…………14分
高二数学参考答案 第 3 页（共 5 页）
n的最小值为 3.
…………15分
20．（本小题满分 16分）
解：解：（1）因为 f（x）＝x﹣lnx﹣2，所以 ， …………1分
∴切线斜率为 f'（1）＝0，
又 f（1）＝﹣1，切点为（1，﹣1）， …………2分
所以切线方程为 y＝﹣1； …………3分
（2）∵ ，x∈（0，+∞），
当 0＜x＜1时，f'（x）＜0，函数 f（x）单调递减；
当 x＞1时，f'（x）＞0，函数 f（x）单调递增， …………4分
所以 f（x ﹣ ﹣ ﹣ ﹣）的极小值为 f（1）＝﹣1＜0，f（ e 2）＝e 2﹣lne 2﹣2＝e 2＞0，…5分
∴f（x）在区间（0，1）上存在一个零点 x1，此时 k＝0； …………6分
又 f（3）＝3﹣ln3﹣2＝1﹣ln3＜0，f（4）＝4﹣ln4﹣2＝2﹣2ln2＝2（1﹣ln2）＞0，…7分
∴f（x）在区间（3，4）上存在一个零点 x2，此时 k＝3． …………8分
综上，k的值为 0或 3； …………9分
（3）函数 ，x∈（0，+∞），
所以 ， …………10分
由 g'（x）＝0得 x2﹣（b+1）x+1＝0，依题意方程 x2﹣（b+1）x+1＝0 有两不相等
的正实根 x1、x2，
∴x1+x2＝b+1，x1x2＝1，∴ ， …………11分
又 ， ， ， 解 得
， …………12分
∴
，
…13分
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构造函数 ， ，
所以 ， …………14分
∴F（x）在 上单调递减； …………15分
所以当 时， ，
所以 ． …………16分
高二数学参考答案 第 5 页（共 5 页）2021～2022 学年第二学期期末学习成果认定
高二数学试卷
一、选择题（本题共 9 小题，每题 5 分，共 45 分）
1．下列求导运算正确的是（ ）
1A． sin x cos x B 1． ln x C． 3x x3x 1 D． x
x 2 x
2．已知正项等比数列 an 首项为 1，且 4a5 ,a3, 2a4成等差数列，则 an 前 6项和为（ ）
63 31
A． B． C．31 D．63
32 32
3．某中学从 4名男生和 2名女生中推荐3人参加社会公益活动，若选出的3人中既有男生
又有女生，则不同的选法共有（ ）
A．10种 B．16种 C． 20种 D．32种
4 '．如图是 y f (x)的导函数 f (x)的图象，则下列说法正确的个数是（ ）
① f (x)在区间 - 2，-1 上是增函数；
② x 1是 f (x)的极小值点；
③在区间 -1，2 上是增函数，在区间 2，4 上是减函数；
④ x 1是 f (x)的极大值点．
A．3个 B． 2个 C．1个 D．0
5．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前 5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）
的数据如表所示：
x（月份） 1 2 3 4 5
y（万盒） 5 5 6 6 8
若 x，y线性相关，经验回归方程为 y 0.6x a ，估计该制药厂 6月份生产甲
胶囊产量为（ ）
A．7.2万盒 B．7.6万盒 C．7.8万盒 D． 8.6万盒
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6．某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为 0.8，浇
水，植物枯萎的概率为 0.15．邻居记得浇水的概率为 0.9．则该人回来植物没有枯萎的
概率为（ ）
A． 0.785 B．0.845 C． 0.765 D． 0.215
7 2022 2．已知（1-3x) a0 a1x a2x a
2022 a1 a2 a 20222022x ，则 3 32 32022
等于（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
8．某校高三年级要从 5名男生和 2名女生中任选 3名代表参加数学竞赛（每人被选中机
会均等），则在男生甲被选中的条件下，男生乙和女生丙至少一个人被选中的概率是
（ ）
3 5 1 3
A． B． C． D．
5 9 2 4
9．已知函数 f (x) aex ln x(a 0)，若 x (0,1), f (x) x2 x ln a恒成立，则 a的取值范
围是（ ）
1 , 1 1 1A．
,
e
B． e
C． ,1 D． ,1 e e
二、填空题（本题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分）
10． 3x 1 5的展开式中 x2的系数为_______．
11 2．我校高二年级1600人参加了期中数学考试，若数学成绩 X ~ N 105, ，统计结果显
示数学考试成绩在80分以上的人数为总人数的80%，则此次期中考试中数学成绩在
80分到130分之间的学生有_______人．
S 2n 1 a
12. 若等差数列 an ， bn 的前 n项和分别为 Sn，Tn， 满足 n ，则 4 =_______.Tn 3n 1 b4
13．将 5名大学生分配到 4个乡镇去当村干部，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有
_________种（用数字作答）.
14 x 2．已知函数 f x 2x 1 e ax 3a在 0, 上为增函数，则 a的取值范围是_______.
- ln(x 1), x 0
15．已知函数 f (x) ，若函数3 2 y f (x) ax恰有三个零点，则实数
x 3x 3x, x 0
a的取值范围是__________.
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三、解答题（本题共 5 小题，共 75 分）
16．（本小题满分 14分）
f (x) 1 3已知函数 x ax2 bx，且 f 1 4, f 1 0．
3
（I）求 a和b的值；
（II）求函数 f x 的极值．
17．（本小题满分 15分）
已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 S4 4S2 , a2n 2an 1 n N .
（I）求数列 an 的通项公式；
（II）若bn 3
n 1
，令 cn anbn，求数列 cn 的前 n项和Tn .
18．（本小题满分 15分）
某课外活动小组共 10位同学，利用假期参加义工活动，其中有 3位同学参加一
次义工活动，有 3人参加两次义工活动，剩下 4位同学参加三次义工活动，现从这
10人中随机选出 2人作为该组代表参加座谈会.
（I）设 A为事件“选出的 2人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A发生的概率；
（II）设 X为选出的 2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X的分布列及
其期望.
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19．（本小题满分 15分）
已知数列 an 的前 n项和为 Sn，若 2Sn 4an n 6 n N .
（I）求证：数列 a
1
n 是等比数列，并求出数列 an 的通项公式；
2
b 2
n 42
（II）令 n ，设数列 bn 的前 n项和为Tn，若Tn ，求 n的最小值.an an 1 125
20．（本小题满分 16分）
设函数 f (x) x ln x 2 .
（I）求曲线 y f (x)在 x 1处的切线方程；
（II）函数 f (x)在区间 (k ,k 1)(k N )上有零点，求 k的值；
1
（III 2）记函数 g(x) x bx 2 f (x)，设 x1, x2 (x1 x2)是函数 g(x)的两个极值2
b 3点，若 ，且 g(x1) - g(x2 2
) k 恒成立，求实数 k的取值范围.
高二数学 第 4 页（共 4 页）
