2023届高三上学期第一次模拟数学试题（含解析）

2023届高三上学期第一次模拟数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知函数，则（ ）
A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增
C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减
4．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．设，是两个不共线向量，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的最小正周期为π，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是（ ）
A． B． C． D．
8．当强度为x的声音对应等级为f(x)分贝时，有(其中A0为常数)，装修电钻的声音约为120分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝，则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ）
A．2 B． C．102 D．106
9．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知直线与曲线相切于两点，函数 ，则函数（ ）
A．有极小值，没有极大值 B．有极大值，没有极小值
C．至少有两个极小值和一个极大值 D．至少有一个极小值和两个极大值
二、填空题
11．函数的定义域是___________.
12．若则的最小值是________．
13．的展开式中的常数项为______.
14．函数的导函数为，且，则______.
15．设是定义在上的偶函数，且在上是减函数．若，则实数的取值范围是__________．
16．若存在实常数k和b，使得函数和对其定义域上的任意实数x都满足和恒成立，则称直线为和的“隔离直线”，已知函数，有下列命题：
①与存在“隔离直线”；
②和之间不存在“隔离直线”；
③和之间存在“隔离直线”，且b的最小值为；
④和之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是(，0].
其中真命题为___________（请填所有正确命题的序号）
三、解答题
17．设函数，其中.
(1)若，且，求；
(2)设的三边满足，且边所对的角为，试求的值域.
18．某工厂引进新的设备M，为对其进行评估，从设备M生产的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计
件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100
经计算，样本均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.将直径小于等于或大于等于的零件认为是次品.
(1)若从样本中随机抽取一件，该零件为次品的概率为，求的估计值；
(2)记为从流水线上随机抽取的3个零件中次品数，求的分布列（用表示），，.
19．在中，，，．
(1)求；
(2)求的面积．
20．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值.
21．已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据补集的定义，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】因为集合，
所以或.
故选：C.
2．C
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“，”的否定是“，”.
故选：C.
3．B
【分析】根据奇函数的定义及指数函数的单调性判断可得；
【详解】解：定义域为，且，
所以为奇函数，
又与在定义域上单调递增，所以在上单调递增；
故选：B
4．A
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出结论.
【详解】，即.
故选：A.
5．B
【分析】根平面向量的数量积的运算公式和夹角公式，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】若，
可得，
因为，是两个不共线向量，所以，所以，
所以，所以，
又由，是两个不共线向量，可得，
即与的夹角为钝角，所以必要性成立；
由向量与的夹角为钝角，不妨设，
可得，此时，
所以与不垂直，即充分性不成立，
所以“与的夹角为钝角”是“”的必要不充分条件.
故选: B.
6．B
【解析】有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n＝34＝81，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m36，则可得他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率．
【详解】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，
有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n＝34＝81，
他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m36，
则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p．
故选：B．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合中的分组分配等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．D
【分析】先根据函数的最小正周期为，求出的值，再由平移后得到为偶函数，可得，进而可得结果.
【详解】由函数的最小正周期为，
可得，，
将的图象向左平移个单位长度，
得的图象，
平移后图象关于轴对称，
，，
,，
故选:D.
8．D
【分析】先设出装修电钻的声音强度和普通室内谈话的声音强度，由题意，算出，即可计算出和的比值.
【详解】解：根据题意，，
装修电钻的声音约为120分贝，此时对应的声音强度为x1，则有，变形可得，①
普通室内谈话的声音约为60分贝，此时对应的声音强度为x2，则有，变形可得，②
①÷②，变形可得：，
故选：D.
【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型，根据对应的模型计算.
9．B
【分析】由函数为的偶函数，得出该函数在上为减函数，结合性质得出，比较、、的大小关系，结合函数的单调性可得出、、的大小关系．
【详解】由函数为的偶函数，且在上是增函数，则该函数在上为减函数，且有，
则，，，
，且，
，由于函数在上为减函数，
所以，，因此，，
故选：B．
10．C
【分析】根据导数的几何意义，讨论直线与曲线在切点两侧的导数与的大小关系，从而得出的单调区间，结合极值的定义，即可得出结论．
【详解】
如图，由图像可知，直线与曲线切于a，b，
将直线向下平移到与曲线相切，设切点为c，
当时，单调递增，所以有且．
对于=，
有，所以在时单调递减；
当时，单调递减，所以有且．
有，所以在时单调递增；
所以是的极小值点．
同样的方法可以得到是的极小值点，是的极大值点．
故选C．
【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义，函数导数与单调性，与函数极值之间的关系，属于中档题．
11．且
【分析】根据具体函数的定义域求解方法即可得出结果.
【详解】根据题意可得如下不等式组，
解得且.
答案为：且.
12．6
【分析】根据基本不等式可求得结果.
【详解】因为，则，
所以，当且仅当时，的最小值是6.
故答案为：6.
13．
【分析】由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为，令，代入即可得解.
【详解】由题意的展开式的通项为，
令即，则，
所以的展开式中的常数项为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
14．
【分析】首先求出的导数，然后令解方程即可.
【详解】，
令，则，
解得：
故答案为：.
15．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．
【详解】解：∵是定义在上的偶函数，且在上是减函数，
∴不等式，等价为，
即，
解得，
故答案为：．
16．①③
【分析】①取直线，讨论与的符号；②与有公共点，求出在处的切线，再证明此切线与图像关系；③④令隔离直线为，利用二次不等式恒成立计算判断.
【详解】①取直线，当时，即成立，
当时，令，，则在递减，在上递增，
，，即成立，直线是与的“隔离直线”，正确；
②因，即和的图像有公共点，
若和有隔离直线，则该直线必过点，
设过的直线为，即，
由，，即恒成立，
则，解得，即直线为，
令，则，
当时，递减；当时，递增，
所以，即，，
和之间存在唯一的“隔离直线”，错误.
③④令和的“隔离直线”为，
由有，则，有，
由有，当时，不等式成立，
当时的对称轴，而时，
则，即，显然满足此不等式，
有，而，解得，同理得：，
所以b的最小值为，k的范围是[，0]，③正确，④错误；
故答案为：①③
【点睛】思路点睛：利用函数不等式恒成立问题，探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算化简函数.由，且可求解x的值.
(2)利用余弦定理求得的取值范围，进而利用正弦型函数性质求得值域.
(1)
若，则，即
∵,
∴.
从而,解得
(2)
在中，，
，当且仅当等式成立，
则，，则，
又∵，，
∴当时，，当时，，
∴的值域为.
18．(1)
(2)分布列见解析；．
【分析】（1）根据样本均值和标准差计算出次品直径所在的范围，由表格找出次品数，利用古典概型的概率公式即可计算概率.（2）从流水线上抽取，则次品数服从二项分布，依据二项分布计算期望值和方差即可.
（1）
解：由条件可知：，，所以样本中次品共6件，则从样本中随机抽取一件，该零件为次品的概率为.
（2）
从流水线上抽取次品，则每件产品为次品的概率为.
则，的可能取值为，
，
，
，
0 1 2 3
所以，.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理及三角形内角和，结合两角和的正弦公式即可求解；
（2）利用平方关系即两角和的正弦公式可求得的值，利用正弦定理可得的值，利用三角形面积公式即可求解.
(1)
解：由正弦定理可得：,
又，所以，
整理得：，
因为，所以，而B为三角形内角，故.
(2)
解：因为，所以或，
又，，所以
当时，，不符合题意，
故，，
由正弦定理得，即，解得，
故的面积为：.
20．(1)
(2)答案详见解析
【分析】（1）结合切点和斜率求得切线方程.
（2）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间和极值.
（1）
当时，，，
，
所以在处的切线方程为.
（2）
，
当时，，在上递减，没有极值.
当时，的定义域为，
令解得.
当时，在区间递减；
在区间递增；
的极小值为，无极大值.
当时，在区间递增；
在区间递减；
的极大值为，无极小值.
21．（1）有极小值，无极大值；（2）
【分析】（1）求出函数的导数，判断出函数的单调性，即可求出极值；
（2）由题可得在上恒成立，易得时满足，当时，在上恒成立，构造函数，求出导数，判断的单调性，得出，即可求出的取值范围．
【详解】（1）当时，，
所以，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值.
（2）因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
当时恒成立，此时，
当时在上恒成，
令，则，
由（1）知时，即，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
所以，
综上可知，实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围，
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
答案第1页，共2页
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