黑龙江省牡丹江市第二高级中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题（含解析）

牡丹江市第二高级中学2021-2022学年高二下学期期末考试
数 学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．全集，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知x与y之间的一组数据如下，则y与x的线性回归方程表示的直线必过点（ ）
x 0 1 2 3
y 1 2 4 6
A． B． C． D．
4．设函数，则的值是（ ）
A．9 B． C．81 D．
5．若集合，集合，则“”是“”成立的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
7．若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A．0.89 B．0.22 C．0.11 D．0.78
9．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．是奇函数，在上是减函数 B．是偶函数，在上是减函数
C．是奇函数，在上是增函数 D．是偶函数，在上是减函数
10．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．在单调递增 B．在单调递减
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
12．口袋里有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列满足：，如果为数列的前n项和，那么的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知为奇函数，当时，则______．
14．二项式（M为常数）展开式中含项的系数等于10，则常数M＝______．
15．定义在R上的偶函数满足：对任意的，，有，且，则不等式的解集是______．
16．随机变量的分布列如下：
－2 0 2
P a c
其中a，b，c成等比数列，若，则的值为______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）
为了支援上海市应对新冠肺炎，某运输公司现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运输一批紧急医用物资到上海市．
（1）如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？
（2）至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？
18．（12分）
随着经济社会的发展，消费者对食品安全的关注度越来越高，通过随机询问某地区110名居民在购买食品时是否看生产日期与保质期等内容，得到如下的列联表：
60岁以下 60岁以上 总计
看生产日期与保质期 50 30 80
不看生产日期与保质期 10 20 30
总计 60 50 110
（1）从这50名60岁以上居民中按是否看生产日期与保质期采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中看与不看生产日期与保质期的60岁以上居民各有多少名？
（2）根据以上列联表，在犯错误的概率不超过1%的情况下，是否有把握认为“该地区居民的年龄与在购买食品时是否看生产日期与保质期”有关？
附：，其中．
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
19．（12分）
已知函数．
（1）在坐标系中作出函数的图象；
（2）若，求a的取值集合．
20．（12分）
设二次函数满足，且．
（1）求的解析式；
（2）在区间上，的图象恒在直线上方，试确定实数m的取值范围．
21．（12分）
某城市为了加快“两型社会”（资源节约型，环境友好型）的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
（1）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列．
22．（12分）
函数对一切实数x，y均有，且．
（1）求的值；
（2）当，恒成立时，求实数a的取值范围．
牡丹江二中2021－2022学年度第二学期高二学年期末考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1．A ．
2．D 命题“，”的否定，将条件中的改为，结论，改为．
3．B ，．
4．D ，．
5．A 由，得，则，充分性成立；由，得，得，必要性成立．
6．C 构造函数，因为，所以，而其余三个都错．
7．D ，，，∴．
8．C 由题意知正态分布图象关于直线对称，故由，因此，故有．
9．B 依题意，，故是偶函数，在上是减函数．
10．A 当x＝1时，，排除B；当时，，故选A．
11．C 由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又，由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
12．B ，即7次中2次摸到红球，5次摸到白球，其概率为．
13．－12 ．
14．1 ，故M＝1．
15． 由，得，由题意，知函数在上单调递减，的零点为－2和2，易得所求解集为．
16． ，，且，∴，，，∴．
17．解：（1）可分步完成这件事情：第一步，选3名男司机，有种不同的选法；
第二步，选2名女司机，有种不同的选法；
由分步乘法原理，共有种不同的选法．
（2）方法一：可分类完成这件事情：第一类，选2名男司机，3名女司机，有种不同的选法；
第二类，选3名男司机，2名女司机，有种不同的选法；
第三类，选4名男司机，1名女司机，有种不同的选法；
第四类，选5名男司机，有种不同的选法；
由分类加法与分步乘法原理，共有种不同的选法．
方法二：从9人中选5人，一共有种选法；其中1名男司机，4名女司机的情况有种，故至少有两名男司机，共有种选法．
18．解：（1）根据分层抽样可得：样本中看生产日期与保质期的60岁以上居民有名，样本中不看生产日期与保质期的60岁以上居民有（名）．
（2）根据题中的列联表得，
又，
所以在犯错误的概率不超过1%的情况下，有把握认为“该地区居民的年龄与在购买食品时是否看生产日期与保质期”有关．
19．解：（1）函数的图象如下图所示：
（2）当a≤－1时，由，得；
当时，由，得；
当a≥2时，由，得（舍去）；
综上所述，a的取值集合．
20．解：（1）由，可设，
故，
由题意得，解得，故．
（2）由题意得，，即对恒成立．
设，则问题可转化为，
又在上单调递减，故，故．
21．解：（1）由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，．
标记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，租车费相同，即两人都在同一时间段还车．
则．甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为．
（2）X可能取的值有0，2，4，6，8．
；
；
；
；
．
甲、乙两人所付的租车费用之和X的分布列为
X 0 2 4 6 8
P
22．解：（1）由已知等式，
令x＝1，y＝0，得．
又，∴．
（2）由（1）知，则令y＝0，得．
因为，∴，即．
要使时恒成立，显然时不可能，所以当时，单调递增．故，得．
综上可知，实数a的取值范围为．