2022-2023学年北师大版九年级数学上册第4章图形的相似 单元综合测试题 (含解析)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》单元综合测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．已知2a＝3b，则下列比例式错误的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝4，则DF的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，在△ABC中，点D在BC上，BD：DC＝1：2，点E在AB上，AE：EB＝3：2，AD，CE相交于F，则AF：FD＝（　　）
A．3：1 B．3：2 C．4：3 D．9：4
4．下列说法中，正确的是（　　）
A．两个矩形必相似
B．两个含45°角的等腰三角形必相似
C．两个菱形必相似
D．两个含30°角的直角三角形必相似
5．如图，下列不能判定△ABD与△ACB相似的是（　　）
A． B． C．∠ABD＝∠ACB D．∠ADB＝∠ABC
6．如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（　　）
A．（8，6） B．（9，6） C． D．（10，6）
8．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正确的是（　　）
A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②
二．填空题（共7小题，满分28分）
9．若两个相似三角形对应角平分线的比是2：3，它们的周长之和为15cm，则较小的三角形的周长为　 　．
10．如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是 　 　．
11．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压　 　cm．
12．如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点M，则FN：ND＝　 　．
13．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A，D，F和点B，C，E．如果，BE＝20，那么线段BC的长是 　 　．
14．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①△AEF∽△CBF；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有 　 　．
15．如图，在边长为1的正方形网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，以原点O为位似中心，画△A1B1C1使它与△ABC的相似比为2：1，则点B1的坐标为 　 　．
三．解答题（共7小题，满分60分）
16．如图，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5cm，AB＝4cm，如果△ABC与△ADB相似，求AD的长．
17．如图，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果EF：CD＝2：5，DE＝6，AE＝4，求证：AB∥CD．
18．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE AB，连接DE．
（1）求证：△ABD∽△ADE；
（2）若CD＝3，CE＝2，求AE的长．
19．已知：如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE，如果点D在BC上，且∠EDC＝∠BAD，点O为AC与DE的交点．
求证：（1）△ABC∽△ADE；
（2）DA OE＝OA CE．
20．在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝5，BC＝6，点在直线BC上，且CE＝BC，点F在射线CE上，连接AF，DE，直线AF与直线DE交于点M．
（1）如图，若点F在线段CE的延长线上，求证：△ACF∽△MDA；
（2）如果EM＝1，直接写出EF的长．
21．如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点E在边BC上，点G在边AB的延长线上，联结AE，并延长AE交CG于点K．
（1）求证：△ABE∽△CKE；
（2）如果CG与EF交于点H，求证：BE2＝FH AB．
22．为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度EF．在第一次测量中，小颖来回走动，走到点D时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点H，其中DH＝1m．随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小颖从点D沿着直线FD后退5m到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2m．
如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小颖的身高为1.5m（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的厚度忽略不计．根据以上信息，求广告牌的高度EF．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：A．因为＝，所以2a＝3b，故A不符合题意；
B．因为＝，所以2a＝3b，故B不符合题意；
C．因为＝，所以2a＝3b，故C不符合题意；
D．因为＝，所以2b＝3a，故D符合题意；
故选：D．
2．解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵＝，BD＝4，
∴＝，
∴DF＝8．
故选：D．
3．解：过点D作DH∥CE交AB于H，
则＝＝，
∵＝，
∴＝，
∵DH∥CE，
∴＝＝，
∴AF：FD＝9：4，
故选：D．
4．解：A、两个矩形对应边不一定成比例，故此选项错误；
B、两个含45°角的等腰三角形，45°不一定是对应角，故不一定相似，故此选项错误；
C、两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故此选项错误；
D、两个含30°角的直角三角形必相似，故此选项正确．
故选：D．
5．解：由图可得：∠A＝∠A，
∴当或∠ABD＝∠ACB或∠ADB＝∠ABC时，△ACD与△ABC相似，
∵A选项中角A不是成比例的两边的夹角，
∴＝不能判定△ABD与△ACB相似．
故选：A．
6．解：∵CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线，
∴D是AB的中点，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴＝＝，
故选：D．
7．解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝＝，
∵BC＝2，
∴EF＝BE＝6，
∵BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝，
解得：OB＝3，
∴EO＝9，
∴F点坐标为：（9，6），
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，AD∥BC，AD＝BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴＝，
∵点E是OA的中点，
∴AE＝CE，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝BC，
∴AF＝AD，
∴＝，故①正确；
∵S△AEF＝3，
∴＝（）2＝，
∴S△BCE＝27；故②正确；
∵＝＝，
∴＝，
∴S△ABE＝9，故③错误；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，
故选：D．
二．填空题（共7小题，满分28分）
9．解：∵两个相似三角形的对应角平分线的比为2：3，
∴它们的周长比为2：3，
∵它们的周长之和为15cm，
∴较小的三角形周长为15×＝6（cm）．
故答案为：6cm．
10．解：∵△ADE∽△ACB，
∴，
∵AB＝10，AC＝8，AD＝4，
∴，
解得：AE＝5，
故答案为：5．
11．解：如图；AM、BN都与水平线的垂直，M，N是垂足，则AM∥BN；
∵AM∥BN，
∴△ACM∽△BCN；
∴＝，
∵AC与BC之比为4：1，
∴＝＝4，即AM＝4BN，
∴当BN≥10cm时，AM≥40cm，
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压40cm．
故答案为：40．
12．解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴＝，
∵AF：BF＝1：2，
∴＝，
∴＝，
即FE＝BC，
∵BC：CD＝2：1，
∴CD＝BC，
∵FE∥BD，
∴＝＝＝．
即FN：ND＝2：3．
故答案为：2：3．
13．解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴，
∴BC＝8，
故答案为：8．
14．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE＝AD＝BC，
∴，
∴CF＝2AF，故①，②正确；
过D作DM∥BE交AC于N，交BC于M，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝BC，
∴BM＝CM，CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DN垂直平分CF，
∴DF＝DC，
故③正确；
∵△AEF∽△CBF，
∴，
∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，
∴S△AEF＝S矩形ABCD，
又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，
∴S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确；
故答案为①②③④．
15．解：如图，△A1B1C1或△A2B2C2即为所求．
B1的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．
故答案为：（2，4）或（﹣2，﹣4）．
三．解答题（共7小题，满分60分）
16．解：∵∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5cm，AB＝4cm，
∴BC＝＝3cm，
若△ABC∽△ADB，则，
即，
解得：AD＝；
若△ABC∽△BDA，则，
即，
解得：AD＝；
AD的长为：cm或cm．
17．证明：∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴＝，
∵EF：CD＝2：5，
∴＝，
∴＝，
∵DE＝6，AE＝4，
∴＝＝，
∴＝，
又∵∠AEB＝∠DEC，
∴△AEB∽△DEC，
∴∠A＝∠CDE，
∴AB∥CD．
18．（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD．
∵AD2＝AE AB，
∴＝，
∴△ABD∽△ADE；
（2）解：∵△ABD∽△ADE，
∴∠ADB＝∠AED．
∵∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，∠ADB+∠ADE+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠DAE，即∠CDE＝∠CAD．
又∵∠DCE＝∠ACD，
△DCE∽△ACD，
∴，
∴，
∴AC＝，
∴AE＝AC﹣CE＝﹣2＝．
19．证明：（1）∵BA＝BC，DA＝DE，
∴，
∵∠EDC＝∠BAD，∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，
∴∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE＝∠CDE，
∵∠COD＝∠EOA，
∴△COD∽△EOA，
∴
又∵∠AOD＝∠EOC，
∴△AOD∽△EOC，
∴，
即DA OE＝OA CE．
20．解：（1）如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵CE＝BC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC∥DE，
∴△MEF∽△ACF，
∵AD∥EF，
∴△MEF∽△MDA，
∴△ACF∽△MDA；
（2）分两种情况：
①点F在线段CE的延长线上，
∵△MEF∽△ACF，
∴＝，
∵AB＝AC＝5，CE＝BC＝6，EM＝1，
∴＝，
∴EF＝．
②点F在线段CE上，
∵AC∥DM，
∴△ACF∽△MEF，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝CE＝1．
综上所述，EF的长为1或．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝90°，
∵四边形BEFG是正方形，
∴FG＝BG＝BE，∠CBG＝90°，
∴∠ABE＝∠CBG＝90°，
在△ABE和△CBG中，
，
∴△ABE≌△CBG（SAS），
∴∠BAE＝∠ECK，
又∵∠AEB＝∠CEK，
∴△ABE∽△CKE；
（2）由题意，得∠CEF＝∠F＝∠ABE＝90°，
∴FG∥BC，
∴∠ECK＝∠FGH，
∵∠BAE＝∠ECK，
∴∠BAE＝∠FGH，
∴△ABE∽△GFH，
∴，
∵FG＝BE，
∴，
∴BE2＝FH AB．
22．解：设广告牌的高度EF为xm，
依题意知：DB＝5m，BG＝2m，DH＝1m，AB＝CD＝1.5m．
∴GD＝DB﹣BG＝3m，
∵CD⊥BF，EF⊥BF，
∴CD∥EF．
∴△EFH∽△CDH．
∴＝，即＝．
∴＝．
∴DF＝x﹣1．
由平面镜反射规律可得：∠EGF＝∠AGB．
∵AB⊥BF，
∴∠ABG＝90°＝∠EFG．
∴△EFG∽△ABG．
∴＝，即＝．
∴＝．
∴x＝3．
故广告牌的高度EF为3m．