2022-2023学年北师大版九年级数学上册4.4 探究三角形相似的条件同步练习（含解析）

北师大版九上 4.4 探究三角形相似的条件
一、选择题（共13小题）
1. 可以判定 的条件是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 如图，每个小正方形边长均为 ，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中 相似的是
A. B.
C. D.
3. 如图，已知 是 中的边 上的一点，， 的平分线交边 于 ，交 于 ，那么下列结论中错误的是
A. B.
C. D.
4. 已知 为线段 的黄金分割点，且 ，则
A. B.
C. D.
5. 如图所示，每个小正方形的边长均为 ，则下列A，B，C，D四个图中的三角形（阴影部分）与 相似的是
A. B.
C. D.
6. 如图及各个选项中的图均是由边长为 的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中与 相似的是
A. B.
C. D.
7. 如图，点 是线段 的中点，，下列结论中，说法错误的是
A. 与 相似 B. 与 相似
C. D.
8. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割比（黄金分割比 ）．著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是黄金分割比．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 ，头顶至脖子下端的长度为 ，则其身高可能是
A. B. C. D.
9. 下列命题中，说法正确的是
A. 所有菱形都相似
B. 两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似
C. 三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍
D. 斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似
10. 如图，，，，，，，，， 都是方格纸的格点，为使 ，则点 应是 ，，， 点中的
A. B. C. D.
11. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段 为边作正方形 ，取 的中点 ，连接 ，延长 至 ，使得 ，以 为边作正方形 ，则点 即是线段 的黄金分割点．若记正方形 的面积为 ，矩形 的面积为 ，则 与 的大小关系是
A. B. C. D. 不能确定的
12. 如图，四个三角形的顶点都在方格的格点上，下列两个三角形中相似的是
A. ①④ B. ①③ C. ②③ D. ②④
13. 如图， 是 斜边 上异于 ， 的一点，过 点作直线截 ，使截得的三角形与 相似，满足这样条件的直线共有
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
二、填空题（共7小题）
14. 若点 是线段 的黄金分割点（）且 ，则 ．（精确到 ）．
15. 在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在 的网格中， 是一个格点三角形，如果 也是该网格中的一个格点三角形，它与 相似且面积最大，那么 与 相似比的值是 ．
16. 如图，在 和 相似的理由是 ．
17. 已知舞台 长 ，如果报幕员从点 出发走到舞台的黄金分割点 处，且 ，那么报幕员应走 ．（，结果精确到 ）
18. 已知正方形 的边长为 ， 是 边的中点．
（）如图①，连接 ，则 的长为 ．
（）如图②，点 是正方形内一动点，，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得 ，则线段 长的最小值为 ．
19. 如图，己知点 是第一象限内横坐标为 的一个定点， 轴于点 ，交直线 于点 ．若点 是线段 上的一个动点，，且 ，则点 在线段 上运动时， 点不变， 点随之运动．求当点 从点 运动到点 时，点 运动的路径长是 ．
20. 如图，已知一张三角形纸片 ，，，，点 在 边上．如果过点 剪下一个与 相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设 ，那么 的取值范围是 ．
三、解答题（共7小题）
21. 已知：在四边形 中，，，， 分别是 ，， 的中点．求证： 是等腰三角形．
22. 如图，在 中，，，，点 从 出发，沿 方向以 的速度移动，点 从 出发，沿 方向以 的速度移动，若 ， 分别同时从 ， 出发，试探究经过多少秒后，以点 ，， 为顶点的三角形与 相似
23. 如图，乐器上的一根弦 ，两个端点 ， 固定在乐器板面上，支撑点 是靠近点 的黄金分割点，支撑点 是靠近点 的黄金分割点，试确定支撑点 到端点 的距离以及支撑点 到端点 的距离．
24. 已知：如图，在 和 ，，．
求证：．
25. 如图， 平分 ，作 交 于点 ，点 在 的延长线上， 的延长线交 于点 ．
（1）求证：．
（2）若 ，求 的值．
26. 如图，点 在 的边 上，，， 交 于点 ．求证 ．
27. 如图，在平行四边形 中，点 在 上， 与 相交于点 ，若 ，，，求 的长．
答案
1. B
2. B
3. A
4. C
5. B
【解析】已知给出的三角形的各边 ，， 分别为 ，，，只有选项B的各边为 ，， 与它的各边对应成比例．
6. A
【解析】根据题意，得 ，，，
．
A．三边之比为 ，故选项A符合题意；
B．三边之比为 ，故选项B不符合题意；
C．三边之比为 ，故选项C不符合题意；
D．三边之比为 ，故选项D不符合题意．
7. D
【解析】，，
，
又 ，
，
故A选项正确；
，
，
为 的中点，
，
，
又 ，
，
故B，C选项正确；
，
，
若 ，则 ，
，
根据现有条件无法判断 ，故 ，
故D选项不正确．
故选：D．
8. B
【解析】（）以腿长 视为从肚脐至足底的高度，求出身高下限：；
（）以头顶到脖子下端长度 视为头顶至咽喉长度求出身高上限：
①咽喉至肚脐：；
②肚脐至足底：，
身高上限为：，
身高范围为：．
9. D
10. B
11. C
【解析】 点 是线段 的黄金分割点，
，
，
，
．
12. B
【解析】三角形①的边长分别为 ，，；
三角形②的边长分别为 ，，；
三角形③的边长分别为 ，，；
三角形④的边长分别为 ，，．
三边成比例的是①和③．
故选B．
13. C
14.
15.
16. ，，，，，，
17.
18. ，
【解析】（） 四边形 是正方形，边长为 ，
，，
点 是 的中点，
，
在 中，．
（）以 为边向右作正方形 ，取 的中点 ，
连接 ，，，，
四边形 和四边形 都是正方形，
，，
点 是 的中点，
，
，
在 和 中，
，
，，
，
，
，
线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
，，
，
，
，
在 和 中，
，
，
点 在以点 为圆心， 为半径的圆上移动，
，
当且仅当 ，， 三点共线时线段 取得最小值，
，
在 中，，
的最小值为 ．
19.
20.
【解析】如图所示：①过点 作 交 于点 ，作 交 于点 ，
，，
此时，点 在线段 上，且不能与点 、点 重合，
，即 ；
②过点 作 ，交 于点 ，
则 ，
此时，点 在线段 上，且不能与点 重合，
，即 ；
③过点 作 ，交 于点 ，
，
，
当点 与点 重合时， 取得最小值，
，
，
，
，
，
点 不能与点 重合，
，即 ；
综上可得 的取值范围为：．
21. 由三角形中位线定理知 ，，所以 ．
22. 设经过 秒后，两三角形相似，
①当 时，，
，，
②当 时，，
，，
经过 秒或 秒，以 ，， 为顶点的三角形与 相似．
23. 是 的黄金分割，
，
．
．
，
同理 ．
24. 设 ，则 ，．
，
．
．
25. （1） 平分 ，
，
又 ，
，
，
．
（2） ，
，
，
又由（）知 ，
，
由相似三角形的性质得，
．
26. 因为 ，
所以 ，即 ．
因为 ．
所以 ．
因此 ，
所以 ．
27. 四边形 为平行四边形，
，
，
，
，
，
，，，
．