2022-2023学年人教版数学九年级上册22.3实际问题与二次函数 课后提升 （含答案）

实际问题与二次函数（图形运动）
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，是等腰直角三角形，，，为上的动点，交折线于点，设，的面积为，则与的函数图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PO，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图像中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，四边形ABCD是正方形，AB＝2，点P为射线BC上一点，连接DP，将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F．设BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为，动点Q的运动路线为．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，中，，，，动点P沿折线运动，到点B停止，动点Q沿运动到点C停止，点P运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为2.5cm/s，设运动时间为，的面积为S，则S与对应关系的的图象大致是（ ）．
A． B．
C． D．
7．如图1，在中，，已知点P在直角边AB上，以的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是的面积与点P的运动时间之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如果△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，他们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合，现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与点F重合时停止移动，在此过程中，设点B移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图像大致为( )
A． B．
C． D．
9．如图，正方形ABCD的边长为8cm，动点E从点C出发沿边CB向终点B以2cm/s的速度运动，同时动点F从点C出发沿边CD向终点D以1cm/s的速度运动．设运动时间为，当时，以CE，CF为边作矩形CFHE，设正方形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为（cm2），则y与x之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．1．如图，四边形是边长为2的正方形，点是射线上的动点（点不与点，点重合），点在线段的延长线上，且,连接,．设，的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图1，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，BC，AB的中点，连结EF，，点H是EF上一动点，设FH的长为x，GH与BH长度的和为y．图2是y关于x的函数图象，点P为图象上的最低点，则函数图象的右端点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，四边形是菱形，边长为4，，垂直于的直线从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线EF与菱形的两边分别交于点E，F（点E在点F的上方），若的面积为y，直线的运动时间为x秒（），则能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，A点坐标为（﹣1，4），B点坐标为（5，4）．已知抛物线y＝x2﹣2x+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是__．
14．如图，点A、B的坐标分别为 和 ，抛物线的顶点在线段上，与轴交于，两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点D的横坐标的最大值为____．
15．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于____________．
16．如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，点M是上一动点，取的中点为N，连接，则的最小值是________．
17．如图，在中，，，为边上的高，动点在上，从点出发，沿方向运动，设，的面积为，矩形的面积为，，则与的关系式是________．
三、解答题
18．如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A(0，8)、B(8，0)和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．
(1)直接写出抛物线的解析式：
(2)求CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，CED的面积最大？最大面积是多少？
19．已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数的图像经过A、B两点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)设动点M的横坐标为m，当动点M在AB下方的抛物线上运动时，求△MAB的面积S关于m的函数表达式．
(3)有一条动直线，直线在AO之间移动（包括A，O两端点），直线交抛物线于点Q，当△QAB的面积是△QAO面积的2倍时，求a的值．
20．如图，，，，．，两点分别从，同时出发，点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒4个单位长度，在上的速度为每秒2个单位长度；点以每秒个单位长度的速度沿线段向终点A运动．过点作于点，以，为邻边作矩形．设运动时间为秒，矩形和重叠部分的图形面积为．
(1)当点和点重合时，______；
(2)求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
(3)在运动过程中，连接，取中点，连接，直接写出的最小值．
21．如图，在正方形ABCD中，，动点P分别从点B点出发，以向点A运动，动点Q从点D出发，以沿着AD延长线运动，当点P运动到A点时，P，Q两点同时停止运动，设动点运动时间为，以AP，AQ为边的矩形APHQ的面积为．
(1)写出S与关于t的函数表达式；
(2)当t时多少时，矩形APHQ的面积最大？最大面积是多少？
参考答案：
1．C
解：∵在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵EF⊥BC，ED⊥AC，
∴四边形EFCD是矩形，
∵E是AB的中点，
∴EF=AC，DE=BC，
∴EF=ED，
∴四边形EFCD是正方形，
设正方形的边长为a，如图1，当移动的距离当移动的距离>a 时，如图2，，
∴S关于t的函数图象大致为C选项，故选：C．
2．B
解：由题意可得，
当时，，
当时，，
当时，函数图象为的右半部分，当时，函数图象为的右半部分，
故选：B．
3．A
解：①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2cm，
∴y＝S△APQ＝AQ AP＝x2；
②当2＜x≤4时，
y＝S△APQ
＝，
＝2×2﹣（4﹣x）2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）
＝﹣x2+2x，
y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图像表示，根据各选项，只有A选项图像符合．
故选：A．
4．D
解：方法一：由题意知，当P点在C点右侧时，BP越大，则则四边形BFEP的面积越大，
故D选项符合题意；
方法二：如下图，当P点在BC之间时，作EH⊥BC于H，
∵∠DPE＝90°，
∴∠DPC+∠EPH＝90°，
∵∠DPC+∠PDC＝90°，
∴∠EPH＝∠PDC，
在△EPH和△PDC中，
，
∴△EPH≌△PDC（AAS），
∵BP＝x，AB＝BC＝2，
∴PC＝EH＝2﹣x，
∴四边形BPEF的面积y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，
同理可得当P点在C点右侧时，EH＝PC＝x﹣2，
∴四边形BPEF的面积y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，
综上所述，当0＜x＜2时，函数图象为开口方向向下的抛物线，当x＞2时，函数图象为开口方向向上的抛物线，
故选：D．
5．B
解：（1）点P在AB上运动时，0＜x≤5，如图，
∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，
作QE⊥AB交AB于点E，
则有AP＝BQ＝x，∠EBQ＝∠DBC＝45°，
∴BP＝5 x，QE＝，
∴△BPQ的面积为：y＝BP QE＝×(5 x)×=（0＜x≤5），
∴此时图象为抛物线开口方向向下；
（2）点P在BC上运动时，5＜x≤5，如图，
∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，
作QE⊥BC交BC于点E，
则有AB＋BP＝BQ＝x，∠DBC＝45°，
∴BP＝x 5，QE＝，
∴△BPQ的面积为：y＝BP QE＝×（x 5）×=（5＜x≤5），
∴此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y随x的增大而增大；
综上，只有选项B的图象符合，
故选：B．
6．B
解：由题意得：AB，
当时，点P在AC上，点Q在AB上，
则AP＝AC－CP＝4－2t，AQ＝AB－BQ＝5－2.5t，
如图，过点Q作QM⊥AC于M，
∴sin∠A＝，即，
∴，
此时，
当时，点P在AB上，点Q在AC上，
则AP＝2t－4，AQ＝2.5t－5，
如图，过点P作PN⊥AC于N，
同理可得：，
此时，
∵二次函数的图象开口向上，对称轴为，
∴当时，函数图象为二次函数的图象的一部分，
当时，点Q与点C重合，点P在AB上，
此时，
∴当时，函数图象为直线的一部分，
故选：B．
7．B
解：设运动时间，，则，，
在中，，，，则，
当时，有最大值为，
解得，即，
根据的面积与点P的运动时间之间的函数关系可知，
抛物线与轴交于和两点，即运动时间是，
，
在中，，，
根据勾股定理可得，
故选：B．
8．A
解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．
∵△ABC和△DEF均为等边三角形，
∴△GEJ为等边三角形．
∴GE＝EJ＝GJ＝x，∠GEJ＝60°，
∴GH＝CGsin60°＝EJ＝x，
∴y＝EJ GH＝x2，
当x＝2时，y＝，且抛物线的开口向上．
如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．
y＝FJ GH＝（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：A．
9．D
解：由题意，CE=2xcm，CF=xcm
∴DF=（8-x）cm．
当0≤x≤2时，
∴
当2＜x≤4时，
则
；
所以符合题意的图象为D，
故选D
10．B
解：当点在之间时，即，
，则，
，
图象是开口向下，对称为：的抛物线，
当点在上方时，即，
，则，
，
图象是开口向上的抛物线，
故选：B．
11．D
解：连接CG交EF于H′，当H运动到H′时y最小，由函数图象知， x=1，即FH=1时y最小，
∵在矩形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，BC，AB的中点，
∴EF∥AB，EF=AB，BF=AE= BC=3，AG=BG，
∴CH′=GH′，
∴BG=2FH′=2，则AB=4，
当H运动到E点时，y最大，此时FH=EF=4，即x=4，
连接BE、GE，
由勾股定理得：BE= ，GE= ，
∴GH+BH=BE+GE=5+ ，即y=5+ ，
∴Q点坐标为（4，5+ ），
故选：D．
12．C
解：如图1，过点B作BH⊥AB点H，
∵四边形ABCD是菱形四边形，边长为4，
∴AB＝AD＝4，
∵ ∠A=60°，
∴∠ABH＝90°－∠A＝30°，
∴AH＝AB＝2，
由勾股定理得
．
∴．
∵ EF⊥AB于点F，
∴∠AFE＝90°，
在Rt△AEF中，∠AEF＝90°－∠A＝30°，AF＝x，
∴AE＝2AF＝2x，
由勾股定理得，
∴，
∴ ，
∴当时，
的面积为y＝AF×EF＝．
∵ ，抛物线y＝对称轴为y轴，
∴抛物线y＝开口向上，
当，y随着x的增大而增大．
∴ 当时，此时点EF运动到BH的位置，
y有最大值，最大值是y=；
当时，如图2，作DG⊥BC于点G，
∵ BCAD，
∴DG＝EF＝BH＝．
的面积为y＝AF×EF＝＝．
∵＝＞0，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴ 当时，此时EF运动到GD的位置，
y有最大值，最大值是y=4，
综上所述，y与x的函数关系式为．
根据y与x的函数关系可判断应该选C，
故选：C．

13．
解：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，c﹣1），对称轴为直线x＝1，
如图，当c﹣1＝4时，c＝5，抛物线顶点落在线段AB上，抛物线与线段AB刚好有一个交点，满足题意，
c减小，图象向下移动，当抛物线经过点B时，抛物线和线段又只有一个交点，如图，

把（5，4）代入y＝x2﹣2x+c得：
4＝25﹣10+c，
解得c＝﹣11，
∴﹣11≤c≤5满足题意．
故答案为：﹣11≤c≤5．
14．8
解：当点C横坐标为 3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，
此时D点横坐标为5，则CD=8，
当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，
故C（0，0），D（8，0），
此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8．
故答案为：8．
15．
解：如图，△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，
∴△BDC≌△AEC，
∴∠B=∠CAE，
∵BC=AC=，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=∠CAE=∠BAC=45°，
∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理AB=，
设BD=AE=x，则AD=（2-x），
∴，
∵，函数开口向下，函数有最大值，
当x=1时，．
故答案为：．
16．
解：以点为原点，建立平面直角坐标系，如下图所示：
在矩形中，，点是的中点，
，
∴，
直线的函数解析式为，
设点的坐标为，
点是上一动点，
，
点是的中点，
，
由两点之间的距离公式得：，
由二次函数的性质得：在内，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，最小值为36，
因此，的最小值为，
故答案为：．
17．
解：在中，，，
∴，
∵为边上的高，
∴AD=BD=DC=
设，
∴PD=，
∵矩形，由于DF在BC上，
∴PE∥DC，
∴∠AEP=∠C=∠DAC=45 ，
∴PE=AP=x，
S1=，
S2=，
∴，
．
故答案为：．
18．(1)y=-x2+3x+8
(2)S=-t2+5t，当t=5时，CED的面积最大，最大面积是
（1）
解：将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=-x2+bx+c得：
，
解得：，
故抛物线的解析式为：y=-x2+3x+8，
（2）
解：根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，
∴OD=8-t，
∴DE=OE+OD=10-t，
∴S= DE OC= （10-t） t=-t2+5t，
即S=-t2+5t=-（t-5）2+，
∴当t=5时，S最大=．
∴CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式S=-t2+5t，当t=5时，CED的面积最大，最大面积是．
19．(1)
(2)
(3)或
(1)
解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
∴点A为（－3，0），点B为（0，6）．将A，B点代入中，得
，解得
故抛物线表达式为．
(2)
如图，过点M作轴交AB于点P，
故P点坐标为（m，），M点坐标为（m，），
∴．
∵△MAB的面积＝△MPA的面积＋△MPB的面积，
∴．
(3)
根据题意可知Q点横坐标为，
由（2）可知，
∵△QAB的面积是△QAO面积的2倍，
∴
解得（舍）或或．
20．(1)
(2)当时，；当时，；当时，
(3)
(1)
解：在中，，，，
，
在上的速度为每秒4个单位长度，点以每秒个单位长度的速度沿线段向终点A运动，设运动时间为秒，则，
在中，，，，则，
当点和点重合时，，即，解得，
故答案为：；
(2)
解：如图①，当时，
在中，，，
∴，，
∴，
∴；
如图②，当时，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
如图③，当时，
在中，，，
∴，
∴
；
(3)
解：如图①，当时，
由（1）（2）知，，，
取中点，连接，
，，
，
开口向上，对称轴为，
当时，有最小值，为；
如图②，当时，
由（1）（2）知，，，
取中点，连接，
，，
，
开口向上，对称轴为，，
当时，有最小值，为；
如图③，当时，
由（1）（2）知，，
取中点，连接，
，
开口向上，对称轴为，，
当时，有最小值，为；
，
最小值为．
21．(1)
(2)当t=2时，矩形APHQ的面积最大，最大面积是72cm2
(1)
解：由题意得cm，cm，
cm，cm，
；
(2)
解：，
∴当t=2时，矩形APHQ的面积最大，最大面积是72cm2．