2022-2023学年人教版八年级数学上册第11章 三角形 解答题训练（含答案）

第11章 三角形 解答题训练
1．如图，点E、F、G分别在线段BC、AB、AC上，且CD⊥AB，EF⊥AB，∠1+∠2＝180°．
（1）试判断DG与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若CD平分∠ACB，∠CGD＝70°，求∠B的度数．
2．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，若∠DAC＝30°，∠BAC＝80°．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求∠AOB的度数．
3．如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．
（1）试说明DE∥AC；
（2）若∠BAC＝100°，∠B＝36°，求∠DEF的度数．
4．阅读并解决下列问题：
（1）如图①，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，则∠BDC＝　 　．
（2）如图②，五边形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC＝72°，求∠EFC的度数．
5．（1）如图1，三角形ABC中，试用平行线的知识证明∠A+∠B+∠C＝180°；
（2）如图2，将线段BC折断成BDC的形状，证明∠D＝∠A+∠B+∠C．
[注意哟：可以直接用（1）中的结论进行证明，也可以用平行线的性质证明]
6．如图，∠1＝∠2，∠DEH+∠EHG＝180°，∠C＝∠A．
（1）试说明：∠AEH＝∠F；
（2）若∠B＝40°，∠F＝25°，则∠DEF＝　 　°．
7．如图，点D是∠ABC的角平分线上的一点，过点D作EF∥BC，DG∥AB．
（1）若AD⊥BD，∠BED＝130°，求∠BAD的度数．
（2）DO是△DEG的角平分线吗？请说明理由．
8．如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线．
（1）若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）若∠DAE＝15°，求∠C﹣∠B的大小．
9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG＝180°．
（1）AD与EF平行吗？请说明理由；
（2）点H在FE的延长线上，若∠EDH＝∠C，∠F＝2∠H﹣40°，求∠BAC的度数．
10．如图，在△ABC中，点D在BC上，∠ADB＝∠BAC，BE平分∠ABC，过点E作EF∥AD，交BC于点F．
（1）求证：∠BAD＝∠C；
（2）若∠C＝20°，∠BAC＝110°，求∠BEF的度数．
11．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，∠CAB与∠BDC的平分线AP、DP相交于点P，求证：∠B+∠C＝2∠P．
12．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠1的度数．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．
14．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）（可直接使用问题（1）中的结论）如图2，BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC；
①若∠A＝36°，∠C＝28°，求∠P的度数；
②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，猜想∠P与∠A、∠C之间数量关系，并给出证明．
（3）在图3中，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ＝∠ABC，∠EDP＝∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请直接写出∠P与∠A、∠C的关系，无需证明．
15．（1）如图1，在△ABC中，已知OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠ECB．
①若∠A＝50°，则∠O＝　 　，∠P＝　 　；
②若∠A＝α，则∠O＝　 　，∠P＝　 　．（用含α的式子表示）
（2）如图2，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，请探究∠P与∠A，∠D的数量关系，并说明理由．
16．如图，已知点A、B分别在∠MON的边ON、OM上（不与点O重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，直线AD，BC相交于点C．
（1）如图1，若∠MON＝90°，试猜想∠ACB＝　 　°；
（2）如图2，在（1）的基础上，若∠MON每秒钟变小10°，经过了t秒（0＜t＜9），
①试用含t的代数式表示∠ACB的度数；
②并求出当t取何值时，∠MON与∠ACB的度数相等；
如图3，在（2）的条件下，若BC平分∠ABO，其它条件不改变，请直接写出∠BCD与∠MON的关系．
17．已知：在△ABC中，∠C＝70°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图①所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝　 　°；
（2）若点P在线段AB上运动，如图②所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 　 　；
（3）若点P在线段AB的延长线上运动（CE＜CD），如图③所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
18．如图1，我们把一副两个三角板如图摆放在一起，其中OA，OD在一条直线上，∠B＝
45°，∠C＝30°，固定三角板ODC，将三角板OAB绕点O按顺时针方向旋转，记旋转角∠AOA'＝α（0＜α＜180°）．
（1）在旋转过程中，当α为 　 　度时，A'B'∥OC，当α为 　 　度时，A'B'⊥CD；
（2）如图2，将图1中的△OAB以点O为旋转中心旋转到△OA'B'的位置，求当α为多少度时，OB'平分∠COD；
拓展应用：
（3）当90°＜α＜120°时，连接A'D，利用图3探究∠B'A'D+∠B'OC+∠A'DC值的大小变化情况，并说明理由．
19．如图，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝40°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线．
（1）若∠BAO＝50°，试求出∠ACB的度数；
（2）点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的度数；
（3）在（2）的条件下，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的4倍，请直接写出∠BAC的度数．
20．如图：两个特殊三角板AOB和三角板COD，∠A＝45°，∠D＝60°，O为直角顶点，两直角顶点重合，A，O，D在同一直线上，OB，OC重合，OM平分∠COD，ON平分∠AOB．
（1）求∠MON的度数；
（2）若三角板AOB与三角板COD位置如图（2）所示，满足∠BOC＝20°，求∠MON的度数；
（3）在图（1）的情形下，三角板AOB固定不动，若三角板COD绕着O点旋转（旋转角度小于45°），∠BOC＝α，直接写出∠MON的度数（用含α的式子表示）．
参考答案与试题解析
1．如图，点E、F、G分别在线段BC、AB、AC上，且CD⊥AB，EF⊥AB，∠1+∠2＝180°．
（1）试判断DG与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若CD平分∠ACB，∠CGD＝70°，求∠B的度数．
【分析】（1）先说明CD与EF的关系，再说明∠1与∠BCD的关系，利用平行线的判定得结论；
（2）利用邻补角求出∠AGD，再利用平行线的性质求出∠BCA，说明∠BCD与∠FEB的关系，再利用角平分线的性质求出∠DCB，最后在直角三角形中求出∠B．
【解答】解：（1）DG与BC平行．
理由：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴EF∥CD．
∴∠2+∠BCD＝180°．
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠BCD．
∴DG∥BC．
（2）∵∠CGD＝70°，
∴∠AGD＝110°．
∵DG∥BC，
∴∠BCA＝∠AGD＝110°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝BCA＝55°．
∵EF∥CD，
∴∠BEF＝∠BCD＝55°．
在Rt△BEF中，
∠B＝90°﹣∠BEF＝35°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质、判定及三角形的内角和定理是解决本题的关键．
2．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，若∠DAC＝30°，∠BAC＝80°．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求∠AOB的度数．
【分析】（1）由直角三角形的性质可求解∠C＝60°，利用三角形的内角和定理可求解∠ABC＝40°，再根据角平分线的定义可求解；
（2）由∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC可求解∠BAD＝50°，由角平分线的定义可求解∠ABO＝∠EBC＝20°，由三角形的内角和定理可求解．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴△ADC是直角三角形，
∵∠DAC＝30°，
∴∠C＝90°﹣∠DAC＝60°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝40°，
∵BE是△ABC的平分线，
∴∠EBC＝∠ABC＝20°；
（2）∵∠BAC＝80°，∠DAC＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝50°，
由（1）可知∠EBC＝20°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABO＝∠EBC＝20°，
在△AOB中，∠AOB＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝110°．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，灵活运用三角形的内角和定理求解角的度数是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．
（1）试说明DE∥AC；
（2）若∠BAC＝100°，∠B＝36°，求∠DEF的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，利用等量代换得到∠CAD＝∠EDA，然后根据平行线的判定方法可判断DE∥AC；
（2）先根据三角形内角和计算出∠C＝44°，再利用平行线的性质得到∠EDF＝∠C＝44°，然后利用互余计算∠DEF的度数．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠EAD＝∠EDA，
∴∠CAD＝∠EDA，
∴DE∥AC；
（2）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠C＝180°﹣100°﹣36°＝44°，
∵DE∥AC，
∴∠EDF＝∠C＝44°，
∵EF⊥BD，
∴∠EFD＝90°，
∴∠DEF＝90°﹣∠EDF＝90°﹣44°＝46°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了平行线的判定与性质．
4．阅读并解决下列问题：
（1）如图①，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，则∠BDC＝　120°　．
（2）如图②，五边形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC＝72°，求∠EFC的度数．
【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理，求出∠ABC、∠ACB的度数和是多少；然后根据∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，求出∠DBC、∠DCB的度数和是多少；最后在△BCD中，根据三角形的内角和定理，求出∠BDC的度数是多少即可．
（2）首先根据AE∥BC，可得∠A+∠B＝180°，再用五边形的内角和减去180°，求出∠AED、∠EDC、∠BCD的度数和；然后根据∠EDC＝70°，求出∠AED、∠EDC的度数和；最后根据EF平分∠AED，CF平分∠BCD，求出∠FED、∠FCD的度数和；再用四边形CDEF的内角和减去∠FED、∠FCD、∠EDC的度数和，求出∠EFC的度数．
【解答】解：（1）∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，
∴∠ABD＝∠DBC，∠DCB＝∠ACD，
∴∠DBC+∠DCB＝120°÷2＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：120°；
（2）∵AE∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵五边形ABCDE的内角和是540°，
∴∠AED+∠EDC+∠BCD＝540°﹣180°＝360°，
∵∠EDC＝72°，
∴∠AED+∠BCD＝360°﹣72°＝288°，
∵EF平分∠AED，CF平分∠BCD，
∴∠FED+∠FCD＝288°÷2＝144°，
∴∠EFC＝360°﹣（∠FED+∠FCD+∠EDC）＝360°﹣（144°+72°）＝144°
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
5．（1）如图1，三角形ABC中，试用平行线的知识证明∠A+∠B+∠C＝180°；
（2）如图2，将线段BC折断成BDC的形状，证明∠D＝∠A+∠B+∠C．
[注意哟：可以直接用（1）中的结论进行证明，也可以用平行线的性质证明]
【分析】（1）延长BC到D，过点C作CE∥BA，根据两直线平行，同位角相等可得∠B＝∠1，两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠2，再根据平角的定义列式整理即可得证．
（2）连接AD并延长，如图1，根据三角形外角性质得∠2＝∠1+∠B，∠4＝∠3+∠C，然后把两式相加即可得到结论；
【解答】（1）证明：如图，延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∵BA∥CE，
∴∠B＝∠1（两直线平行，同位角相等），
∠A＝∠2（两直线平行，内错角相等），
又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代换）．
（2）证明：连接AD并延长，如图1，
∵∠2＝∠1+∠B，∠4＝∠3+∠C，
∴∠2+∠4＝∠1+∠B+∠3+∠C，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
【点评】（1）本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键．
（2）本题考查了三角形外角性质，作辅助线构造三角形的外角是解题的关键．
6．如图，∠1＝∠2，∠DEH+∠EHG＝180°，∠C＝∠A．
（1）试说明：∠AEH＝∠F；
（2）若∠B＝40°，∠F＝25°，则∠DEF＝　85　°．
【分析】（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）由平行线的性质及平角的定义可求解∠2的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
【解答】（1）证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°，
∴ED∥AC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
∠2＝∠DGC（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2，∠C＝∠A，
∴∠A＝∠DGC．
∴AB∥DF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AEH＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
（2）解：∵AB∥DF，
∴∠CDF＝∠B＝40°，
∵∠1+∠2+∠CDF＝180°，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝70°，
∵∠F＝25°，∠F+∠2+∠DEF＝180°，
∴∠DEF＝180°﹣25°﹣70°＝85°．
故答案为：85．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
7．如图，点D是∠ABC的角平分线上的一点，过点D作EF∥BC，DG∥AB．
（1）若AD⊥BD，∠BED＝130°，求∠BAD的度数．
（2）DO是△DEG的角平分线吗？请说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义可得∠EBC＝50°，∠AEF＝50°，根据角平分线的性质和平行线的性质可得∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝25°，再根据三角形内角和定理可求∠BAD的度数；
（2）根据平行四边形的判定定理得到四边形BGDE是平行四边形，求得∠EBD＝∠EDB，推出四边形BGDE是菱形，根据菱形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF＝130°，
∴∠EBC＝50°，∠AEF＝50°，
又∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝25°，
又∵AD⊥BD，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°；
（2）DO是△DEG的角平分线，
理由：∵EF∥BC，DG∥AB，
∴四边形BGDE是平行四边形，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBG，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠GBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴EB＝ED，
∴四边形BGDE是菱形，
∴BD平分∠EDG，
∴DO是△DEG的角平分线．
【点评】本题考查了三角形的中线、角平分线、高线，平行线的性质，角平分线的定义，菱形的判定和性质，证得四边形BGDE是菱形是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线．
（1）若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）若∠DAE＝15°，求∠C﹣∠B的大小．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质先求出∠BAD，再利三角形外角与内角的关系求出∠ADE，最后利用三角形外角与内角的关系求出∠DAE；
（2）在Rt△ABE和Rt△ACE中表示出∠B、∠C，两式相减得结论．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．
∵AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，
∴∠BAD＝∠BAC＝40°，∠AEC＝90°．
∵∠ADE＝∠B+∠BAD＝80°，∠AEC＝∠ADE+∠DAE，
∴∠DAE＝90°﹣80°＝10°．
（2）在Rt△ABE和Rt△ACE中，
∵∠B+∠BAE＝90°，∠C+∠CAE＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAE，∠C＝90°﹣∠CAE．
∴∠C﹣∠B＝90°﹣∠CAE﹣（90°﹣∠BAE）
＝∠BAE﹣∠CAE
＝∠BAD+∠DAE﹣（∠CAD﹣∠DAE）
＝2∠DAE
＝30°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是180°”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”、“直角三角形的两个锐角互余”及角平分线的性质是解决本题的关键．
9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG＝180°．
（1）AD与EF平行吗？请说明理由；
（2）点H在FE的延长线上，若∠EDH＝∠C，∠F＝2∠H﹣40°，求∠BAC的度数．
【分析】（1）由∠BDA+∠CEG＝180°，∠BDA+∠CDA＝180°，得∠CEG＝∠CDA，那么AD∥EF．
（2））由∠EDH＝∠C，得DH∥AC，故∠H＝∠AGF，那么AD∥EF．由AD∥EF，得∠F＝∠BAD，∠AGF＝∠CAD．由AD平分∠BAC，得∠CAD＝∠BAD，故∠F＝∠H，进而求得∠F＝∠H＝40°，从而解决此题．
【解答】解：（1）AD∥EF，理由如下：
∵∠BDA+∠CEG＝180°，∠BDA+∠CDA＝180°，
∴∠CEG＝∠CDA．
∴AD∥EF．
（2）∵∠EDH＝∠C，
∴DH∥AC．
∴∠H＝∠AGF．
∵AD∥EF，
∴∠F＝∠BAD，∠AGF＝∠CAD．
∴∠H＝∠CAD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD．
∴∠F＝∠H．
∵∠F＝2∠H﹣40°，
∴∠F＝∠H＝40°．
∵∠F＝∠BAD＝∠H＝∠CAD，
∴∠BAC＝80°．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质与判定，熟练掌握三角形内角和定理以及平行线的性质与判定是解决本题的关键．
10．如图，在△ABC中，点D在BC上，∠ADB＝∠BAC，BE平分∠ABC，过点E作EF∥AD，交BC于点F．
（1）求证：∠BAD＝∠C；
（2）若∠C＝20°，∠BAC＝110°，求∠BEF的度数．
【分析】（1）利用三角形内角和定理证明即可．
（2）想办法求出∠BHD，再利用平行线的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180°，∠ABC+∠BDA+∠BAD＝180°，∠BDA＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠C．
（2）解：∵∠C＝20°，∠BAC＝110°，
∴∠ABC＝180°﹣20°﹣110°＝50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF＝∠ABC＝25°，
∵∠BDA＝∠BAC＝110°，
∴∠BHD＝180°﹣∠HBD﹣∠BDA＝180°﹣25°﹣110°＝45°，
∵AD∥EF，
∴∠BEF＝∠BHD＝45°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，∠CAB与∠BDC的平分线AP、DP相交于点P，求证：∠B+∠C＝2∠P．
【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和解答即可．
【解答】证明：（1）在△AOC中，∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，
在△BOD中，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）在AP、CD相交线中，有∠CAP+∠C＝∠P+∠CDP，
在AB、DP相交线中，有∠B+∠BDP＝∠P+∠BAP，
∴∠B+∠C+∠CAP+∠BDP＝2∠P+∠CDP+∠BAP，
∵AP、DP分别平分∠CAB、∠BDC，
∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，
∴∠B+∠C＝2∠P．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．
12．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠1的度数．
【分析】（1）欲证明AB∥CD，只要证明∠1＝∠3即可．
（2）根据∠1+∠4＝90°，想办法求出∠4即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵FG∥AE，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∵∠D＝100°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D＝80°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠4＝∠ABD＝40°，
∵FG⊥BC，
∴∠1+∠4＝90°，
∴∠1＝90°﹣40°＝50°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．
【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由邻补角定义得出∠CBD＝130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE＝65°；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根据∠F＝25°，即可得出BE∥DF．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°；
（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．
又∵∠F＝25°，
∴∠F＝∠CEB＝25°，
∴DF∥BE．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
14．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）（可直接使用问题（1）中的结论）如图2，BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC；
①若∠A＝36°，∠C＝28°，求∠P的度数；
②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，猜想∠P与∠A、∠C之间数量关系，并给出证明．
（3）在图3中，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ＝∠ABC，∠EDP＝∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请直接写出∠P与∠A、∠C的关系，无需证明．
【分析】（1）利用两个三角形内角和为180°及对顶角相等即可得出结论；
（2）由（1）中结论可得3组等式，联立即可求解；
（3）由（1）中结论得出关系式，同时除以4构造出，即可求解．
【解答】解：（1）设AD与BC的交点为点O，
则∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）①由（1）得：∠P+∠PBC＝∠CDP+∠C，∠P+∠ADP＝∠A+∠ABP，
两式相加得：2∠P+∠PBC+∠ADP＝∠A+∠C+∠CDP+∠ABP，
∵BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠PBC＝∠ABP，∠ADP＝∠CDP，
∴∠C+∠A＝2∠P，
∴∠P＝（∠A+∠C）＝32°；
②由①可得：∠C+∠A＝2∠P；
（3）由（1）得：∠A+∠ABC＝∠C+∠CDA，
∴∠A+∠ABC＝∠C+∠CDA，
∴+∠CBQ＝∠C+45°﹣∠EDP，
设AD与PQ的交点为点O，则∠CBQ+∠BOD＝∠C+∠ADC，
两式相减可得：∠BOD﹣∠A＝∠C+∠ADC+∠EDP﹣45°，
∴∠BOD﹣∠A＝∠C+180°﹣∠ADP﹣45°，
∴45°﹣∠A＝∠C+180°﹣∠ADP﹣∠BOD，
∵∠P＝180°﹣∠BOD﹣∠ADP，
∴45°﹣∠A＝∠C+∠P，
即∠A+3∠C+4∠P＝180°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，熟练使用三角形内角和为180°进行角度的推导计算时解题关键．
15．（1）如图1，在△ABC中，已知OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠ECB．
①若∠A＝50°，则∠O＝　115°　，∠P＝　65°　；
②若∠A＝α，则∠O＝　90°+α　，∠P＝　90°﹣α　．（用含α的式子表示）
（2）如图2，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，请探究∠P与∠A，∠D的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①根据角平分线的定义和三角形内角和解答即可；
②根据角平分线的定义，平角定义和三角形的内角和定理解答即可；
（2）根据角平分线的定义，平角的定义和四边形的内角和定理解答即可．
【解答】解：（1）①∵OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OBC＝∠ACB，
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°
∴∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB
＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣65°
＝115°；
同理得：∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB
＝180°﹣∠DBC﹣∠ECB
＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）
＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）
＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]
＝180°﹣（360°﹣130°）
＝65°；
故答案为：115°；65°．
②∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α
∴∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB
＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣α）
＝90°+α；
同理得：∠P＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]
＝180°﹣[360°﹣（180°﹣α）]
＝90°﹣α；
故答案为：90°+α；90°﹣α；
（2）∠P＝180°﹣（∠A+∠D）．理由如下：
∵BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，
∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠BCF，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（∠EBC+∠FCB）
＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠DCB）]
＝（∠ABC+∠DCB）
＝（360°﹣∠A﹣∠D）
＝180°﹣（∠A+∠D）．
【点评】本题考查了角平分线的定义和三角形、四边形的内角和定理．正确运用角平分线的定义是解题的关键．
16．如图，已知点A、B分别在∠MON的边ON、OM上（不与点O重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，直线AD，BC相交于点C．
（1）如图1，若∠MON＝90°，试猜想∠ACB＝　45　°；
（2）如图2，在（1）的基础上，若∠MON每秒钟变小10°，经过了t秒（0＜t＜9），
①试用含t的代数式表示∠ACB的度数；
②并求出当t取何值时，∠MON与∠ACB的度数相等；
（3）如图3，在（2）的条件下，若BC平分∠ABO，其它条件不改变，请直接写出∠BCD与∠MON的关系．
【分析】（1）利用角平分线的性质、三角形外角和内角的关系可得到∠CAB+∠ABC与∠O的关系，再利用及三角形的内角和定理得结论；
（2）①先用含t的代数式表示出t秒后∠MON的度数，再根据（1）中∠ACB与∠MON的度数关系得出结论；
②根据t秒后∠MON与∠ACB的度数相等列出关于t的方程，求解即可；
（3）根据外角与内角的关系，先得到∠BAN与∠O+∠ABO、∠DAB与∠C+∠ABC的关系，再通过角平分线的性质得结论．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，
∴∠CAB＝BAN，∠ABC＝∠ABM．
∵∠BAN＝2∠CAB＝∠O+∠OBA，∠ABM＝2∠ABC＝∠O+∠OAB，
∴∠BAN+∠ABM＝2∠CAB+2∠ABC＝∠O+∠OBA∠+∠O+∠OAB．
即2（∠CAB+∠ABC）＝∠O+∠OBA∠+∠O+∠OAB＝180°+∠O＝180°+90°．
∴∠CAB+∠ABC＝90°+∠O＝90°+45°．
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣90°﹣∠0＝90°﹣∠O＝45°．
故答案为：45；
（2）①在（1）的基础上，若∠MON每秒钟变小10°，
经过了t秒后，∠O＝90°﹣10t°．
∴∠ACB＝90°﹣∠O
＝90°﹣（90°﹣10t°）
＝90°﹣45°+5t°
＝（45+5t）°．
即：∠ACB＝（45+5t）°．
②由题意，得 90﹣10t＝45+5t，
解得t＝3，
∴当t＝3时，∠MON 与∠ACB的度数相等；
（3）∵AD平分∠BAN，BC平分∠AOB，
∴∠DAB＝BAN，∠ABC＝∠AOB．
∵∠BAN＝∠O+∠ABO，∠DAB＝∠C+∠ABC，
∴∠C+∠ABC＝（∠O+∠ABO）
＝∠O+∠ABO
＝∠O+∠ABC．
∴∠BCD＝∠MON．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质及三角形的内角和定理的推论，掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”是解决本题的关键．
17．已知：在△ABC中，∠C＝70°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图①所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝　120　°；
（2）若点P在线段AB上运动，如图②所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 　∠1+∠2＝70°+∠α　；
（3）若点P在线段AB的延长线上运动（CE＜CD），如图③所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
【分析】（1）连接PC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，再表示出∠1+∠2即可；
（2）连接PC，方法与（1）相同；
（3）利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和讨论求解即可．
【解答】解：（1）如图①，连接PC，
由三角形的外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C，
∵∠DPE＝∠α＝50°，∠C＝70°，
∴∠1+∠2＝50°+70°＝120°，
故答案为：120．
（2）结论：∠1+∠2＝90°+∠α；理由如下：
连接PC，如图②，
由三角形的外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C，
∵∠C＝70°，∠DPE＝∠α，
∴∠1+∠2＝70°+∠α．
故答案为：∠1+∠2＝70°+∠α；
（3）结论：∠1﹣∠2＝70°+∠α．
理由：如图③中，连接CP．
由三角形的外角性质得：∠2＝∠ECP+∠CPE，∠1＝∠DCP+∠2+∠CPE，
∴∠1﹣∠2＝70°+∠α．
【点评】此题考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，∠α转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题．
18．如图1，我们把一副两个三角板如图摆放在一起，其中OA，OD在一条直线上，∠B＝45°，∠C＝30°，固定三角板ODC，将三角板OAB绕点O按顺时针方向旋转，记旋转角∠AOA'＝α（0＜α＜180°）．
（1）在旋转过程中，当α为 　30　度时，A'B'∥OC，当α为 　90　度时，A'B'⊥CD；
（2）如图2，将图1中的△OAB以点O为旋转中心旋转到△OA'B'的位置，求当α为多少度时，OB'平分∠COD；
拓展应用：
（3）当90°＜α＜120°时，连接A'D，利用图3探究∠B'A'D+∠B'OC+∠A'DC值的大小变化情况，并说明理由．
【分析】（1）根据题意作出草图，根据所给的条件求解即可；
（2）由旋转的性质可得∠AOB＝∠A'OB'＝45°，由角的数量关系可求解；
（3）由α可分别表示∠B'A'D，∠B'OC，∠A'DC再求和即可．
【解答】解：（1）当A'B'∥OC时，
有∠A′OC+∠A′＝180°，
∵∠A′＝90°，
∴∠A′OC＝90°，
∴∠AOA′＝180°﹣90°﹣60°＝30°，即α＝30°；
当A'B'⊥CD时，
则OA′∥CD，
∴∠AOA′＝∠ODC＝90°，即α＝90°；
故答案为：30；90．
（2）∵△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，
∴∠AOB＝∠A'OB'＝45°，
∵∠COD＝60°，OB′平分∠COD，
∴∠DOB'＝30°，
∴∠AOA'＝180°﹣∠DOB′﹣∠A'OB′＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
即当α为105度时，OB'平分∠COD；
（3）不变，理由如下：
∵∠AOA′＝α，
∴∠B′OD＝180°﹣45°﹣α＝135°﹣α，
∴∠B′OC＝60°﹣（135°﹣α）＝α﹣75°，
设∠A′DC＝β，
∴∠A′DO＝90°﹣β，
∴∠B′OD+∠A′DO＝∠B'A'D+∠B′，即135°﹣α+90°﹣β＝∠B'A'D+45°，
解得∠B'A'D＝180°﹣α﹣β，
∴∠B'A'D+∠B'OC+∠A'DC＝180°﹣α﹣β+α﹣75°+β＝105°．
【点评】本题考查旋转的性质，三角形内角和等知识，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
19．如图，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝40°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线．
（1）若∠BAO＝50°，试求出∠ACB的度数；
（2）点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的度数；
（3）在（2）的条件下，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的4倍，请直接写出∠BAC的度数．
【分析】（1）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义计算即可；
（2）由（1）可知∠ACB＝110°；
（3）由（2）可知，∠BAC+∠ABC＝70°，因为△ABC中有一个角是另一个角的4倍，根据三角形的内角和定理，可得结论．
【解答】解：（1）∵BC平分∠ABO，AC平分∠BAO，
∴∠ABC＝∠ABO，∠BAC＝∠BAO，
∵∠POM＝40°，
∴∠ABO+∠BAO＝180°﹣40°＝140°，
∴∠CBA+∠CAB＝（∠ABO+∠BAO）＝×140°＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CBA+∠CAB）＝180°﹣70°＝110°；
（2）∠ACB的大小不变，理由如下：
由（1）知：点A、B在运动的过程中，∠ACB＝110°；
（3）由（2）可知，∠ACB＝110°，∠BAC+∠ABC＝70°，
∵△ABC中有一个角是另一个角的4倍，
∴∠ACB＝4∠BAC或∠ACB＝4∠ABC或∠ABC＝4∠BAC或∠BAC＝4∠ABC，
∴∠BAC＝27.5°或42.5°或14°或56°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，属于中考常考题型．
20．如图：两个特殊三角板AOB和三角板COD，∠A＝45°，∠D＝60°，O为直角顶点，两直角顶点重合，A，O，D在同一直线上，OB，OC重合，OM平分∠COD，ON平分∠AOB．
（1）求∠MON的度数；
（2）若三角板AOB与三角板COD位置如图（2）所示，满足∠BOC＝20°，求∠MON的度数；
（3）在图（1）的情形下，三角板AOB固定不动，若三角板COD绕着O点旋转（旋转角度小于45°），∠BOC＝α，直接写出∠MON的度数（用含α的式子表示）．
【分析】（1）利用角平分线的性质，先求出∠MOC、∠NOB的度数，再求∠MON的度数；
（2）结合题图利用角的和差关系，求出∠MON的度数；
（3）利用分类讨论的思想，当边OC旋转到OB边的左侧、右侧时，计算出∠MON的度数．
【解答】解：（1）∵OM平分∠COD，ON平分∠AOB，
∴，．
∵∠MON＝∠MOC+∠NOB，
∴．
（2）由题意可知∠AOB＝∠COD＝90°，
∵OM平分∠COD，ON平分∠AOB，
∴，．
∵∠MON＝∠MOC+∠NOB﹣∠BOC，∠BOC＝20°，
∴∠MON＝45°+45°﹣20°＝70°．
（3）当边OC旋转到OB边的左侧时，
∠MON＝∠MOC+∠NOB﹣∠BOC
＝∠COD+∠AOB﹣α
＝90°﹣α；
当边OC旋转到OB边的右侧时，
∠MON＝＝∠MOC+∠NOB+∠BOC
＝∠COD+∠AOB+α
＝90°+α．
所以∠MON的度数为：90°﹣α或90°+α．
【点评】本题考查了角的和差关系和角平分线的性质，掌握角的和差关系和分类讨论的思想是解决本题的关键．