2022-2023学年人教版八年级数学上册第11章 三角形 章末培优训练卷（含答案）

第11章《三角形》章末培优训练卷
一．选择题
1．如图，大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度α为（　　）
A．30° B．40° C．45° D．60°
2．如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝115°，则∠A＝（　　）
A．50° B．45° C．65° D．70°
3．小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
4．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F、BE平分∠ABC交AC于点E，AF与BE相交于点O，AD是BC边上的高，若∠C＝50°，BE⊥AC，则∠DAF的度数为（　　）
A．10° B．12° C．15° D．20°
5．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　）
A．10° B．15° C．30° D．40°
6．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（　　）个．
A．4 B．5 C．6 D．7
7．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　）
A．60° B．10° C．45° D．10°或60°
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（　　）
A．2° B．4° C．8° D．16°
二．填空题
9．如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若∠M＝119°，则∠A＝　 　°．
10．如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（∠1＝∠2）．如图②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，……．若∠α＝55°，∠γ＝75°，则∠β＝　 　°．
11．如图，在△ABC中，∠C＝47°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2＝　 　．
12．三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的4倍，我们把这个三角形叫做“四倍角三角形”在一个“四倍角三角形”中有一个内角为40°，则另外两个角分别为 　 　．
三．解答题
13．如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E．
（1）若∠C＝60°，∠BAC＝80°，求∠ADB的度数；
（2）若∠BED＝60°，求∠C的度数．
14．如图，AD、BC交于点O，BE、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线．
（1）求证：∠A+∠ABO＝∠C+∠CDO；
（2）若∠A＝40°，∠C＝50°，求∠E的度数．
15．问题探究：
（1）如图1，AB∥CD，求证：∠E＝∠B+∠D．
（2）如图2，AB∥CD，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点G，∠E＝56°，则∠BGD的度数为 　 　．
问题迁移：
（3）如图3，AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠F：∠CED＝1：3，请求出∠F的度数．
16．在△ABC中，
（1）如图1，BP、CP为∠ABC和∠ACB的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（2）如图2，BP、CP为∠ABC和∠ACE的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（3）如图3，BP、CP为∠CBD和∠BCE的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（请选择其中一道小题写出详细过程）
17．已知：在△ABC中，AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，AE、BF交于点G．
（1）如图1：若∠C＝60°，求∠AGB的度数；
（2）如图2：点D是AE延长线上一点，连接BD、CD，∠ADC＝∠ABG+∠BAG，求证：CD∥BF；
（3）如图3：在（2）的条件下，过点G作GK∥AB，交BD于点K，点M在线段DC的延长线上，连接KM，若∠ACB＝∠BDA，∠ABC+∠BAE＝2∠DKM，∠M＝16°，求∠BAC的度数．
18．如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D．
（1）试说明∠BDC＝90°+∠A．
（2）过点D任意作直线MN，分别交射线AB和射线AC于点M和N，
①如图2，当点M、N分别在边AB、AC上时，求∠MDB+∠NDC的度数（用含∠A的代数式表示）；
②当点M、N在射线AB、射线AC上时，∠MDB、∠NDC、∠A三者之间存在怎样的数量关系？说明你的理由．
参考答案
一．选择题
1．【解答】解：∵72÷8＝9，
∴360°÷9＝40°．
∴每次旋转的角度α＝40°．
故选：B．
2．【解答】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，
∴∠EBC＝∠ABC，∠BCF＝∠ACB．
∵∠EBC+∠FCB+∠BDC＝180°，∠BDC＝115°，
∴∠EBC+∠FCB＝65°．
∴∠ABC+∠ACB＝130°．
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠A＝50°．
故选：A．
3．【解答】解：如图，
∵∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠BGF＝∠C+∠AFC＝∠A+∠B＝100°，
∵∠C＝30°，
∴∠AFC＝100°﹣30°＝70°，
∴∠EFD＝∠AFC＝70°，
∵∠E+∠D+∠EFD＝180°，
∴∠D+∠E＝180°﹣70°＝110°，
故选：B．
4．【解答】解：∵BE⊥AC，BE平分∠ABC，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，∠ABE＝∠CBE，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴∠BAC＝∠C＝50°，
∴∠ABC＝190°﹣∠BAC﹣∠C＝80°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠BAC＝25°，
∵BE⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝10°
∴∠DAF＝∠BAF﹣∠DAB＝15°，
故选：C．
5．【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝150°．
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°，
∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．
故选：B．
6．【解答】解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
∴2＜BC＜22﹣BC，
解得2＜BC＜11，
又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
∴AC＝为整数，
∴BC边长为偶数，
∴BC＝4，6，8，10，
即BC的长可能值有4个，
故选：A．
7．【解答】解：分两种情况：
①如图1，当∠ADC＝90°时，
∵∠B＝30°，
∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；
②如图2，当∠ACD＝90°时，
∵∠A＝50°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，
综上，∠BCD的度数为60°或10°，
故选：D．
8．【解答】解：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP1交于P1，
∴∠P1BC＝∠ABC，∠P1CE＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC+∠P1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠P1BC+∠P1＝∠ABC+∠P1，
∴∠P1＝∠A＝128°＝64°，
同理∠P2＝∠P1＝32°，
∴∠P6＝2°，
故选：A．
二．填空题
9．【解答】解：∵∠M＝119°，
∴∠MBC+∠MCB＝180°﹣119°＝61°，
∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠MBC+∠MCB）＝122°，
∴∠A＝180°﹣122°＝58°，
故答案为：58．
10．【解答】解：如图，由题意知：∠α＝∠1＝55°，∠β＝∠2，∠γ＝∠3＝75°，
∵∠1+∠3+∠4＝180°，
∴∠4＝50°，
∵∠2+∠4+∠β＝180°，
∴∠β＝65°，
故答案为：65．
11．【解答】解：如图，
由折叠的性质得：∠D＝∠C＝47°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+94°，
则∠1﹣∠2＝94°．
故答案为：94°．
12．【解答】解：在△ABC中，不妨设∠A＝40°．
①若∠A＝4∠C，则∠C＝10°，∠B＝130°．
②若∠C＝4∠A，则∠A＝160°（不合题意）．
③若∠B＝4∠C，则∠B＝112°，∠C＝28°，
综上所述，另外两个角的度数为130°，10°或112°，28°．
故答案为：130°，10°或112°，28°．
三．解答题
13．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，
∴∠DAC＝∠BAC＝40°，
∵∠ADB是△ADC的外角，∠C＝60°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝100°；
（2）∵∠BED是△ABE的外角，∠BED＝60°，
∴∠BAD+∠ABE＝∠BED＝60°，
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAC＝2∠BAD，∠ABC＝2∠ABE，
∴∠BAC+∠ABC＝2（∠BAD+∠ABE）＝120°，
∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝60°．
14．【解答】（1）证明：∵∠A+∠ABO+∠AOB＝180°，∠C+∠CDO+∠COD＝180°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠ABO＝∠C+∠CDO；
（2）解：∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，
∴设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，
则∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x，
∴∠A+x+∠C+y＝∠E+y+∠E+x，
即2∠E＝∠A+∠C，
∵∠A＝40°，∠C＝50°，
∴2∠E＝∠A+∠C＝90°，
∴∠E＝45°．
15．【解答】（1）证明：如图1，过E点作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED＝∠D．
∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
即∠BED＝∠B+∠D；
（2）解：由（1）可得：∠E＝∠ABE+∠CDE，∠BGD＝∠ABG+∠CDG，
∵∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点G，
∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDE＝2∠CDG，
∴∠ABE+∠CDE＝2（∠ABG+∠CDG），
即∠E＝2∠BGD，
∵∠E＝56°，
∴∠BGD＝28°，
故答案为：28°；
（3）解：由（1）可得：∠F＝∠AEF+∠CDF，
∵EF平分∠AEC，FD平分∠EDC，
∴∠AEC＝2∠AEF，∠EDC＝2∠CDF，
∴∠AEC+∠EDC＝2（∠AEF+∠CDF）＝2∠F，
∵AB∥CD，
∴∠AEC+∠CED+∠EDC＝180°，
即2∠F+∠CED＝180°，
∵∠F：∠CED＝1：3，
∴∠CED＝3∠F，
∴2∠F+3∠F＝180°，
解得∠F＝36°．
16．【解答】解：（1）∵BP、CP为∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠CBP＝，∠BCP＝．
∴∠CBP+∠CBP＝．
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．
∴∠PBC+∠PCB＝．
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣＝90°+．
（2）∵∠P+∠PBC＝∠PCD，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC．
∵BP、CP为∠ABC和∠ACE的角平分线，
∴∠PCD＝，∠PBC＝．
∴∠P＝＝．
（3）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A．
∵BP、CP为∠CBD和∠BCE的角平分线，
∴∠CBP＝，∠BCP＝．
∴＝．
∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣＝90°﹣．
17．【解答】（1）证明：如图1，
∵AE、BF分别平分∠BAC与∠ABC，
∴，，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠C＝180°，∠C＝60°，
∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ABF+∠BAE＝∠ABC+∠BAC＝（∠ABC+∠BAC）＝×120°＝60°，
∴∠AGB＝180°﹣60°＝120°；
（2）证明：如图2，
∵∠BGD是△ABG得一个外角，
∴∠BGD＝∠BAG+∠ABG，
∵∠ADC＝∠BAG+∠ABG，
∴∠BGD＝∠ADC，
∴CD∥BF；
（3）解：如图3，
∵∠BED＝∠AEC，∠ACB＝∠BDA，
∴∠CAE＝∠DBE，
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，
设∠ABF＝∠CBF＝α，∠BAD＝∠CAD＝∠DBC＝β，
∴∠AEC＝2α+β，
∵∠ABC+∠BAE＝2∠DKM，
∴，
∵GK∥AB，
∴∠BGK＝∠ABG＝α，
∴∠GKD＝∠GBK+∠BGK＝2α+β，
∴，
∵GB∥DM，∠M＝16°，
∴∠GBK+∠MDK＝180°，
∵∠GBK+∠GKB+∠BGK+∠MKD+∠KDM+∠M＝360°，∠BKG+∠MKD＝180°﹣∠GKM，
∴180°+180°﹣∠GKM+∠BGK+∠M＝360°，
∴∠GKM＝∠BGK+∠M，
∴，
∴β＝32°，
∴∠BAC＝2×32°＝64°．
18．【解答】（1）证明：∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠BDC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BDC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A；
（2）①由（1）得，∠BDC＝90°+∠A，
∵∠MDB+∠NDC＝180°﹣∠BDC，
∴∠MDB+∠NDC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A．
②（i）如图1，当点M在AB延长线上，点N在边AC上时，
∵∠MDB+∠MDC＝∠BDC，∠MDC+∠NDC＝180°，
∴∠MDB﹣∠NDC＝∠BDC﹣180°，
∵∠BDC＝90°+∠A，
∴∠MDB﹣∠NDC＝90°+∠A﹣180°＝∠A﹣90°，
∴2∠NDC﹣2∠MDB+∠A＝180°；
（ii）如图2，当点M在边AB上，点N在AC延长线上时，
∵∠MDB+∠BDN＝180°，∠BDN+∠NDC＝∠BDC，
∴∠MDB﹣∠NDC＝180°﹣∠BDC，
∵∠BDC＝90°+∠A，
∴∠MDB﹣∠NDC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A，
∴2∠MDB﹣2∠NDC+∠A＝180°；
（iii）当点M和点N分别在边AB和边AC上时，
由①得，∠MDB+∠NDC＝90°﹣∠A，即2∠MDB+2∠NDC+∠A＝180°；
综上所述，2∠NDC﹣2∠MDB+∠A＝180°或2∠MDB﹣2∠NDC+∠A＝180°或2∠MDB+2∠NDC+∠A＝180°．