2022-2023学年人教版数学九年级上册 第二十一章 一元二次方程 单元综合练习题 （含答案）

2022-2023学年人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》单元综合练习题（附答案）
一．选择题
1．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（　　）
A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2
2．若方程x2﹣8x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝6的形式，那么x2+8x+m＝5可以配成（　　）
A．（x﹣n+5）2＝1 B．（x+n）2＝1
C．（x﹣n+5）2＝11 D．（x+n）2＝11
3．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（　　）
A．方程x2﹣3x+2＝0是2倍根方程
B．若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0是2倍根方程，则m+n＝0
C．若m+n＝0且m≠0，则关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0是2倍根方程
D．若2m+n＝0且m≠0，则关于x的方程x2+（m﹣n）x﹣mn＝0 是2倍根方程
4．对于已知a2+2a+b2﹣4b+5＝0，则b2a＝（　　）
A．2 B． C．﹣ D．
5．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（　　）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71
A．1.5＜x＜1.6 B．1.6＜x＜1.7 C．1.7＜x＜1.8 D．1.8＜x＜1.9
6．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（　　）
A． B．4 C．2 D．5
7．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．12 C．11或12 D．15
8．若实数x满足方程（x2+2x） （x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（　　）
A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4
9．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③
10．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（　　）
A．﹣4 B．8 C．6 D．0
11．把一块长与宽之比为2：1的铁皮的四角各剪去一个边长为10厘米的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子，如果这个盒子的容积是1500立方厘米，设铁皮的宽为x厘米，则正确的方程是（　　）
A．（2x﹣20）（x﹣20）＝1500 B．10（2x﹣10）（x﹣10）＝1500
C．10（2x﹣20）（x﹣20）＝1500 D．10（x﹣10）（x﹣20）＝1500
12．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD、BC的中点G、H，再折出线段AN，然后通过沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，得到点D的新位置P，并连接NP、NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根，则这条线段是（　　）
A．线段BH B．线段DN C．线段CN D．线段NH
二．填空题
13．若关于x的方程（m﹣1）+4x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为 　 　．
14．若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为 　 　．
15．若关于x的方程（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2＝0是一元二次方程，则a的值为　 　．
16．一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝x+1化为一般形式是　 　．
17．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0的一根为﹣1，则m的值是　 　．
18．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝　 　．
三．解答题
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
20．已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0
（1）x＝1是方程的一个根，求方程的另一个根；
（2）若x1，x2是方程的两个不同的实数根，且x1和x2满足x12+x22+2x1x2﹣x12x22＝0，求m的值．
21．已知x1，x2是关于的x方程x2﹣x+a＝0的两个实数根，且＝3，求a的值．
22．是否存在实数m，使关于x的方程2x2+mx+5＝0的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由．
23．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
24．某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．
（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？
（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动．为提高大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“垃圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少a%．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，求a的值．
25．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0
解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
∴x2﹣4＞0可化为
（x+2）（x﹣2）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
解不等式组①，得x＞2，
解不等式组②，得x＜﹣2，
∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，
即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．
（1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为　 　；
（2）分式不等式的解集为　 　；
（3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0．
参考答案
一．选择题
1．解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，
∴a2﹣a﹣2＝0，
（a+1）（a﹣2）＝0，
解得a1＝﹣1（舍去），a2＝2，
把a＝2代入（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0得3x2+2x﹣4+2+2＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣．
故选：A．
2．解：∵x2﹣8x+m＝0，
∴x2﹣8x＝﹣m，
∴x2﹣8x+16＝﹣m+16，
∴（x﹣4）2＝﹣m+16，
依题意有n＝4，﹣m+16＝6，
∴n＝4，m＝10，
∴x2+8x+m＝5是x2+8x+5＝0，
∴x2+8x+16＝﹣5+16，
∴（x+4）2＝11，
即（x+n）2＝11．
故选：D．
3．解：A、解方程x2﹣3x+2＝0得x1＝1，x2＝2，所以A选项的说法正确，不符合题意；
B、解方程得x1＝2，x2＝﹣，当﹣＝2×2，则4m+n＝0；当﹣＝×2，则m+n＝0，所以B选项的说法错误，符合题意；
C、解方程得x1＝2，x2＝﹣，而m+n＝0，则x2＝1，所以C选项的说法正确，不符合题意；
D、解方程得x1＝﹣m，x2＝n，而2m+n＝0，即n＝﹣2m，所以x2＝2x1，所以D选项的说法正确，不符合题意．
故选：B．
4．解：∵a2+2a+b2﹣4b+5＝0，
∴a2+2a+1+b2﹣4b+4＝0．
∴（a+1）2+（b﹣2）2＝0．
∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴b2a＝2﹣2＝．
故选：D．
5．解：x2﹣x＝1.1，
x2﹣x﹣1.1＝0，
Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1.1）＝5.4，
x＝，
x1＝，x2＝，
∵2.2＜＜2.4，
∴3.2＜1+＜3.4，
∴1.6＜＜1.7，
即一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是1.6＜x＜1.7．
故选：B．
6．解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2，
即AC＝4，BD＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，
由勾股定理得：AD＝＝，
故选：A．
7．解：x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0，x﹣3＝0，
x1＝2，x2＝3，
根据三角形的三边关系定理，第三边是2或3都行，
①当第三边是2时，三角形的周长为2+4+5＝11；
②当第三边是3时，三角形的周长为3+4+5＝12；
故选：C．
8．解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，
解得：y＝4或﹣2，
当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，
当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程无解，舍去，
所以x2+2x＝4．
故选：B．
9．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，
故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，
故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：x0＝，
∴2ax0+b＝±，
∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，
故④正确．
故正确的有①②④，
故选：B．
10．解：由题意有x12+x1﹣3＝0，x22+x2﹣3＝0，
即x12＝3﹣x1，x22＝3﹣x2，
所以x13﹣4x22+19
＝x1（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+19
＝3x1﹣x12+4x2+7
＝3x1﹣（3﹣x1）+4x2+7
＝4（x1+x2）+4，
又根据根与系数的关系知道x1+x2＝﹣1，
所以原式＝4×（﹣1）+4＝0．
故选：D．
11．解：设铁皮的宽为x厘米，
那么铁皮的长为2x厘米，
依题意得10（2x﹣20）（x﹣20）＝1500．
故选：C．
12．解：设DN＝m，则NC＝1﹣m．
由题意可知：△ADN≌△APN，H是BC的中点，
∴DN＝NP＝m，CH＝0.5．
∵S正方形＝S△ABH+S△ADN+S△CHN+SANH，
∴1×1＝×1×+×1×m+××（1﹣m）+××m，
∴m＝．
∵x2+x﹣1＝0的解为：x＝﹣±，
∴取正值为x＝．
∴这条线段是线段DN．
故选：B．
二．填空题
13．解：由题意得，，
由①得，m＝±1，
由②得，m≠1，
所以，m的值为﹣1．
故答案为：﹣1．
14．解：∵若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，
∴满足条件的方程可以为：x2﹣2＝0（答案不唯一），
故答案为：x2﹣2＝0（答案不唯一）．
15．解：由题意得：|a|﹣1＝2，且a+3≠0，
解得：a＝3，
故答案为：3．
16．解：x2+3x﹣2x﹣6＝x+1，
x2+3x﹣2x﹣6﹣x﹣1＝0，
x2﹣7＝0．
故答案为：x2﹣7＝0；
17．解：把x＝﹣1代入方程，得
（﹣1）2+2×（﹣1）+m＝0，
解得m＝1．
故答案是：1．
18．解：∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，
当（x﹣1）2＝1时，解得x＝2或0，
x＝0时，不符合题意，
∴x＝2．
当x2＝1时，解得x＝1或﹣1，
x＝1不符合题意，
∴x＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
三．解答题
19．（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1 （﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得：，
∵αβ＝﹣3m2，
∴﹣3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．
20．解：（1）设方程的另一个根是x1，那么x1+1＝﹣2，
∴x1＝﹣3；
（2）∵x1、x2是方程的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝，
又∵x12+x22+2x1x2﹣x12x22＝0，
∴（x1+x2）2﹣（x1x2）2＝0，
即4﹣＝0，得m＝±4，
又∵Δ＝42﹣8m＞0，得m＜2，
∴取m＝﹣4．
21．解：∵x1，x2是方程的两根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝a．
∴+＝＝，
∴＝3，
化简，得3a2+2a﹣1＝0，
解得a1＝﹣1，a2＝．
因为方程由两个实数根，故Δ＝1﹣4a≥0，即a≤，
∴a＝﹣1．
22．解：设原方程的两根为x1、x2，
则有：，
∴．
又∵，
∴m2﹣20＝29，解得m＝±7，
∴Δ＝m2﹣4×2×5＝m2﹣40＝（±7）2﹣40＝9＞0
∴存在实数±7，使关于原方程的两实根的平方的倒数和等于．
23．解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128（1+x）+128（1+x）2＝608
化简得：4x2+12x﹣7＝0
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜500
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
24．（1）解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，由题意得：
2（50×2x+80x）＝90000，
解得 x＝250
答：该小区共有250套80平方米的住宅．
（2）设该小区有m套80平方米住宅，则50平方米住宅有2m套，由题意得：
参与活动一：
50平方米住宅每户所交物管费为100元，有2m×40%＝0.8m户参与活动一，
80平方米住宅每户所交物管费为160元，有m×20%＝0.2m户参与活动一；
参与活动二：
50平方米住宅每户所交物管费为100（1﹣%）元，有0.8m（1+2a%）户参与活动二；
80平方米住宅每户所交物管费为160（1﹣%）元，有0.2m（1+6a%）户参与活动二．
由题意得100（1﹣%） 0.8m（1+2a%）+160（1﹣%） 0.2m（1+6a%）＝[0.8m（1+2a%）×100+0.2m（1+6a%）×160]（1﹣a%）
令t＝a%，化简得t（2t﹣1）＝0
∴t1＝0（舍），t2＝，
∴a＝50．
答：a的值为50．
25．解：（1）∵x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）
∴x2﹣16＞0可化为
（x+4）（x﹣4）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
解不等式组①，得x＞4，
解不等式组②，得x＜﹣4，
∴（x+4）（x﹣4）＞0的解集为x＞4或x＜﹣4，
即一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为x＞4或x＜﹣4．
（2）∵
∴或
解得：x＞3或x＜1
（3）∵2x2﹣3x＝x（2x﹣3）
∴2x2﹣3x＜0可化为
x（2x﹣3）＜0
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得
或
解不等式组①，得0＜x＜，
解不等式组②，无解，
∴不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜．