(共22张PPT)
第 三 章 圆
九年级数学 下 BS
*3 垂径定理
第2课时 垂径定理（2）
·
O
A
B
D
E
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧．
①
②
③
④
⑤
C
⑤平分弦所对的劣弧。
①垂直于弦；
②过圆心；
③平分弦；
④平分弦所对的优弧；
垂径定理
回顾旧知
·
O
B
C
D
E
垂径定理的推论
A
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
①
②
③
④
⑤
注意
⑤平分弦所对的劣弧。
①垂直于弦；
②过圆心；
③平分弦；
④平分弦所对的优弧；
推论
探索新知
（1）
（4）
（5）
（2）
（3）
（1）
（5）
（2）
（3）
（4）
讨论：
（1）
（3）
（2）
（4）
（5）
（1）
（4）
（2）
（3）
（5）
（3）
（5）
（3）
（4）
（1）
（2）
（5）
（2）
（4）
（1）
（3）
（5）
（2）
（5）
（1）
（3）
（4）
（1）
（2）
（4）
（4）
（5）
（1）
（2）
（3）
●O
A
B
C
D
E└
每条推论如何用语言表示？
⑤平分弦所对的劣弧。
①垂直于弦；
②过圆心；
③平分弦；
④平分弦所对的优弧；
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧;
（4） …
（5）…
（6）…
（7）…
（8）…
（9）…
命题
垂径定理的再发现
·
O
A
B
D
E
C
·
O
A
B
D
E
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧．
①
②
③
④
⑤
C
⑤平分弦所对的劣弧。
①垂直于弦；
②过圆心；
③平分弦；
④平分弦所对的优弧；
垂径定理
垂径定理推论1
·
O
B
C
D
E
A
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
⑤平分弦所对的劣弧。
①垂直于弦；
②过圆心；
③平分弦；
④平分弦所对的优弧；
推论1
垂径定理推论2
垂直弦并且平分弦所对优弧的的直线，过圆心、平分弦且平分弦所对的劣弧。
·
O
B
C
D
E
A
⑤平分弦所对的劣弧。
①垂直于弦；
②过圆心；
③平分弦；
④平分弦所对的优弧；
推论2
垂径定理推论3
·
O
B
C
D
E
A
垂直弦并且平分弦所对劣弧的的直线，过圆心、平分弦且平分弦所对的优弧。
⑤平分弦所对的劣弧。
①垂直于弦；
②过圆心；
③平分弦；
④平分弦所对的优弧；
推论3
·
O
B
C
D
E
垂径定理推论4
A
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
①
②
③
④
⑤
注意
⑤平分弦所对的劣弧。
①垂直于弦；
②过圆心；
③平分弦；
④平分弦所对的优弧；
推论4
垂径定理推论5
平分弦所对优弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的劣弧。
·
O
B
C
D
E
A
⑤平分弦所对的劣弧。
①垂直于弦；
②过圆心；
③平分弦；
④平分弦所对的优弧；
推论5
垂径定理推论6
平分弦所对劣弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的优弧。
·
O
B
C
D
E
A
⑤平分弦所对的劣弧。
①垂直于弦；
②过圆心；
③平分弦；
④平分弦所对的优弧；
推论6
垂径定理推论7
平分弦且平分弦所对优弧的直线，过圆心、垂直弦且平分弦所对的另一条劣弧。
·
O
B
C
D
E
A
推论7
⑤平分弦所对的劣弧。
①垂直于弦；
②过圆心；
③平分弦；
④平分弦所对的优弧；
垂径定理推论8
·
O
B
C
D
E
A
平分弦且平分弦所对劣弧的直线，过圆心、垂直弦且平分弦所对的另一条优弧。
⑤平分弦所对的劣弧。
①垂直于弦；
②过圆心；
③平分弦；
④平分弦所对的优弧；
推论8
垂径定理推论9
平分弦所对的两条弧的直线，经过圆心，并且垂直平分弦。
·
O
B
C
D
E
A
⑤平分弦所对的劣弧。
①垂直于弦；
②过圆心；
③平分弦；
④平分弦所对的优弧；
推论9
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直径来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。
归纳总结
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧;
（4） …
（5）…
（6）…
（7）…
（8）…
（9）…
垂径定理的推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧．
1、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
2、垂直弦并且平分弦所对优弧的直线，过圆心、平分弦且平分弦所对的劣弧。
3、垂直弦并且平分弦所对劣弧的直线，过圆心、平分弦且平分弦所对的优弧。
4、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
5、平分弦所对优弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的劣弧。
6、平分弦所对劣弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的优弧。
7、平分弦且平分弦所对优弧的直线，过圆心、垂直弦且平分弦所对的另一条劣弧。
8、平分弦且平分弦所对劣弧的直线，过圆心、垂直弦且平分弦所对的另一条优弧。
9、平分弦所对的两条弧的直线，经过圆心，并且垂直平分弦。
完成本课时的习题。
课后作业(共15张PPT)
第 三 章 圆
九年级数学 下 BS
*3 垂径定理
第1课时 垂径定理（1）
赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB， 垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
O
A
B
C
D
E
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
思考探究
C
A
E
B
O
.
D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，
并且平分这条弦所对的弧。
CD为⊙O的直径
CD⊥AB
条件
结论
⌒
⌒
⌒
⌒
AE=BE
AC=BC
AD=BD
归纳结论
应用垂径定理的书写步骤
定理：垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
E
O
A
B
D
C
E
A
B
C
D
E
O
A
B
D
C
E
O
A
B
C
E
O
C
D
A
B
练习1
O
B
A
E
D
下列图形，符合垂径定理的条件吗？
O
√
√
√
×
×
×
·
A
B
C
D
E
·
Ｏ
Ｏ
A
B
D
C
条件
CD为直径
结论
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
⌒
⌒
CD⊥AB
CD⊥AB
AE=BE
平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（不是直径）
垂径定理的推论1:
CD⊥AB吗？
(E)
E
例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
A
B
.
O
垂径定理的应用
典例精析
8cm
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 。
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
距离为3cm，则弦AB的长是 。
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是 。
A
B
O
E
A
B
O
E
O
A
B
E
运用新知
4.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB的距离为3cm,则⊙O的半径为 .
·
A
B
O
∟
C
5cm
3
4
5.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓形所在圆的半径为 .
13cm
(4)题
(5)题
12
8
1.垂径定理经常和勾股定理结合使用。
2.解决有关弦的问题时，经常
（1）连结半径；
（2）过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
方法归纳
解：如图，设半径为R，
在Ｒt△AOD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
D
37.4
7.2
6.赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥
主桥拱的半径吗？
AB=37.4,
CD=7.2
R
18.7
R-7.2
再逛赵州石拱桥
请围绕以下两个方面小结本节课：
1、从知识上学习了什么？
２、从方法上学习了什么？
圆的轴对称性；垂径定理及其推论
（１）垂径定理和勾股定理结合。
（２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——过圆心作垂直于弦的线段；
——连接半径。
课堂小结
完成本课时的习题。
课后作业
