2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册3.3幂函数课件（23张PPT）

幂函数
知识目标
1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.
2.通过具体实例,结合????=????,????=????????,????=????????,
????=?????????,????=????????????的图象理解它们的变化规律,了解幂函数.
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核心素养目标
以五个常见幂函数为载体,归纳幂函数的图象与性质,发展数学抽象、逻辑推理的核心素养.
重 点：
五个幂函数的图像与性质
难 点：
画出????=????3和????=????12的图像，通过五个幂函数图像概括出它们的共性
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前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图像的观察（数形结合），研究了函数的一些性质。
本节我们利用这些知识研究一些新的函数.
首先让我们回顾前面都学习了函数的哪些性质
问题1：
请同学回顾前面我们都学习了函数的哪些性质？
函数的性质
单调性
定义
图像特征
最大（小）值
定义
几何意义
奇偶性
定义
图像特征
问题2
观察下列5个实例，概括出它们的解析式有什么异同点？
（1）如果张红以1元/????????的价格购买了某种蔬菜????????????，那么她需要支付????=????元，这里????是????的函数;
（2）如果正方形的边长为????,那么正方形的面积????=????????,这里????是????的函数;
（3）如果立方体的棱长为????，那么立方体的体积????=????????,这里????是????的函数;
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（4）如果一个正方形场地的面积为????，那么这个正方形场地的边长????=????（????也可以表示为????????????) ,这里????是????的函数;
（5）如果某人?????????内骑车行进了????????????，那么他骑车的平均速度????=????????????????/????,即????=?????????,这里????是????的函数.
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追问2-1.上述五个例子中的函数
????=?????，????=????????,????=????????.,
?????????????????????=????即????=????????????, ????=????????,即????=?????????
在结构形式上都有什么共同特征？
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追问2-2.每个函数中的自变量都处在函数表达式中的什么位置？指数中含有变量吗？
小结汇总讨论成果
这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数.
追问2-3.如果将上述五个函数中的自变量统一用????表示，因变量用y表示,请你将它们分别表示出来.
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????=?????, ????=????????,????????=????????.??????????=????????????, ????=?????????
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追问2-4. 上述五个函数能否统一表示为????=????????(????为常数）.
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一般地，函数????=????????叫做幂函数，其中????是自变量，????是常数.
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1.下列函数是幂函数的是(????)
A. ????=2???? B. ????=????2?1 C. ????=????3 D.????=2????
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2.若函数????=????????+????2?5????+6是幂函数,且是奇函数,则????=(????)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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解：根据形如????=?????????(????为常数)的函数为幂函数，故选C
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解：因为函数是幂函数，则????2?5????+6=0，可得????=2或????=3．
又因为函数是奇函数，
当????=2时，????2为偶函数(舍)；
当????=3时，????3为奇函数，符合题意．
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3.若幂函数f(x)的图象经过点（3,33),则其定义域为 ( )
A. {????|????∈????且????>0} B. {????|????∈????且????<0}
C. {????|????∈????且????≠0} D. ????
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解：∵????(????)为幂函数，∴设????(????)=????????
又????(????)的图像经过点(3,33)，
∴33=3????，解得：????=?12，∴????(????)=?????12=1????，
∴????(????)的定义域为{????|????∈????且????>0}．
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问题3：现在我们掌握了幂函数的解析式，接着我们继续探究幂函数的性质，我们可以用什么方法呢？
追问3-1. 前面我们用了什么方法探究“一元二次不等式的解法、函数单调性及奇偶性”呢 ？
请你在同一坐标系中画出上述五个函数图像.
问题4：我们如何画出函数????=????3和????=????12的图像呢？
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追问4-1.可以用描点法画函数????=????3和????=????12的图像吗？
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追问4-1.可以用描点法画函数y=x3和y=x12的图像吗？
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追问4-2. 函数y=x3和y=x12的定义域是什么？
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追问4-3. 函数y=x3和y=x12的奇偶性是什么？
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追问4-４. 函数y=x3和y=x12的单调性是什么？
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讨论成果汇总:
y=x3定义域为R,是奇函数且在R上严格单调递增
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讨论成果汇总:
y=x3定义域为R,是奇函数且在R上严格单调递增
????=????12定义域为（0，＋∞），是非奇非偶函数且在（0，＋∞）上严格单调递增
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追问4-５.你能根据y=x3和y=x12的性质画出它们的图像吗？
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经过上述的讨论，最终得到五个函数在同一坐标系中的图像，如图所示.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
????=????3
????=????????
????=????
????=????????????
????=?????????
定义域
值 域
奇偶性
单调性
问题五：观察五个函数图像，它们有哪些共同性质？
有哪些不同性质？并将它们填入下表.
(1)定点：所有的幂函数在（????,+∞）都有定义,并且图象都过点（????,????）
(2)单调性：当?????＞????时,在区间[????,+∞)上是增函数
当????＜????时,幂函数在区间(????,+∞)上是减函数.
(3）奇偶性：
当α为奇数时,幂函数为奇函数
当α为偶数时,幂函数为偶函数
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(4)幂函数????=????????的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在直线x=1的右侧,按“逆时针”方向,图象所对应的幂指数依次增大(如图).
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如图，①②③④对应四个幂函数的图象，其中②对应的幂函数是．( )
????=????3 B. ????=????2
C. ????=???? D. ????=????
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解：根据幂函数的图象以及性质以及选项得：
①是????=????，②是????=????，③是????=????2，④是????=????3．
故选：????．
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2.下列关于幂函数的图象和性质的描述中正确的有 ( )
幂函数的图象都过点(1,1)
B. 幂函数的图象都不经过第四象限
C. 幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种
D. 幂函数必定是增函数或减函数中的一种
解：由幂函数的图象可知????，B正确；
对于????、存在幂函数????=????是非奇非偶函数，故C错误；
对于????、存在幂函数????=????0不具有单调性，故D错误，
故选AB．
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3.已知????????=????12, 若0 A. ????(????)C. ????(????)
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解：因为0又函数????(????)=????12在(0,+∞)上单调递增.
所以????(????)?
4.证明幂函数????(????)=????是增函数.
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证明：函数的定义域是[????,+∞).
?????????,????????∈[????,+∞),且???????? ?????????????????????????=?????????????????
=(?????????????????)(????????+????????)????????+????????
=?????????????????????????+????????
∵?????????????????????,
∴????(????????)?
(1)幂函数的概念；
(2)5个常见幂函数的图象及其性质；
(3)幂函数的性质；
(4)幂函数比较大小的方法.