2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册 5.1.2 弧度制课件（19张PPT）

(共19张PPT)
我们知道度量长度可以用千米、米、分米、厘米等不同的单位制，度量质量可以用榜、千克等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便。
角度是否也能用不同的单位制呢？
5．1　任意角和弧度制
5．1.2　弧度制
高一数学第一册第五章：三角函数
1.理解弧度制的概念；
2.熟练弧度制与角度制的转换
3.掌握弧长公式与扇形的面积公式。
一、学习目标（1分钟）
XUE XI MU BIAO
1、在平面几何中研究角的度量时，1°的
角是如何定义的？
周角的 叫做1度角,记为1°
2、角度制下弧长公式与扇形面积公式是
什么？
二、问题导学(5分钟)
A
B
O
P
弧度制 ：
单位符号 ：rad
读作弧度
定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的
圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，
这样的圆心角等于1rad。
o
A
B
rad
1
O
l =r
r
o
A
C
rad
2
O
r
r
l
2
=
三、点拨精讲(25分钟)
角有正、负、零角之分，它的弧度数呢？
类比角度制，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．
新知探究
新知探究
请你说说弧度制与角度制有哪些不同？
第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角”；
第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制；
第四，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值，等等．
第三，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1°的角是周
角的 ；
新知探究
新知探究
相对于角度制，弧度制有那些优点？
1、弧度制的引入使得角的集合与实数R之间建立起了一一对应的关系。虽然用角度制也可以建立对应关系，但由于进位制不同会导致计算不便。而有了弧度制后，每一个角都对应唯一一个实数，即弧度数就是这个实数的角，每一个实数对应唯一一个角的大小
2、在角度制下，三角函数的图象会出现问题。例如点P(x,sinx)的横坐标x是60进制，纵坐标sinx是10进制，在角度制下正弦函数y=sinx的图象中横坐标和纵坐标比例不一致，如图1所示。而在弧度制下，正弦函数y=sinx图象中点P(x,sinx)的横、纵坐标一致，如图2所示。
简化弧长，面积公式
新知探究
既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么，它们之间如何换算？你认为在换算的过程中最为关键的是什么？
新知探究
角度





弧度






写出一些特殊角的弧度数
注意：今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad
（1） ； （2） ； （3） ．
其中R是圆的半径， α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
证明：（1）由公式 可得 ．
下面证明（2）（3）．
新知探究
例1　利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
新知探究
其中R是圆的半径， α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
证明：圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是 ，
将n°转换为弧度，
得 ，
于是 ．
将l＝αR代入上式，即得 ．
新知探究
（1） ； （2） ； （3） ．
例1　利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
新知探究
弧长公式与扇形面积公式
【1】若用R表示圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角， 是扇形弧长，S是扇形面积.
则有：


显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式简单了.在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利.

你能画一个知识结构图来反映本节课的研究内容与路径吗？
归纳小结
背景
引入弧度制的必要性
定义的合理性
弧度制
定义
表示
关系
应用
四、课堂小结(2分钟)
五.当堂检测
五.当堂检测
2．已知α＝－3 rad，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析　∵α＝－3 rad≈－3×57.30°＝－171.9°，∴角α的终边在第三象限．故选C.
五.当堂检测