安徽省安庆市宿松县中2022-2023学年高二上学期9月开学考试数学试题（含解析）

宿松县中2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色.黑水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数（是虚数单位的共轭复数是，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知是平面内的两条不同的直线，则“直线且”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若，则（ ）
A. B. C. D.
5.某快递公司为降低新冠肺炎疫情带来的经济影响，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本.已知购买台机器人的总成本为（单位：万元）.若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人（ ）
A.100台 B.200台 C.300台 D.400台
6.已知向量是非零向量，是单位向量，的大角为，且，则（ ）
A. B. C.1 D.2
7.已知实数满足，且，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
8.设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则该直三棱柱的体积是（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题中正确的是（ ）
A.幂函数在内是减函数
B.函数在区间内是减函数
C.如果函数在上是增函数，那么它在上是减函数
D.若定义在上的函数的图象关于直线对称，且在直线的右侧单减，则函数在直线的左侧单增
10.对于函数有如下四个判断，其中判断正确的是（ ）
A.的定义域是
B.的最小值是2
C.是的最小正周期
D.的图象关于直线对称
11.已知分别是空间四边形各边的中点.当四边形满足下列什么条件时，四边形为矩形（ ）
A.
B.
C.是正三棱锥
D.，且
12.如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立.此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（ ）
A.若是的重心，则有
B.若，则是的内心
C.若，则
D.若是的外心，且，则
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.抛掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为和，则是虚数单位）为实数的概率是__________.
14.我们知道，在中，，若为内切圆的圆心，则由得到，内切圆的半径.将此结论类比到空间，得到：在三棱锥中，，，则三棱锥内切球的半径__________.
15.已知是周期为2的奇函数，且当时，，则的值是__________.
16.在梯形中，，则的值是__________.
四 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知关于的不等式.
（1）当时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集为，求的取值范围.
18.（12分）
已知函数图象的一部分如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）令，其中，求函数的值域.
19.（12分）
如图，电路中4个方框处均为保险匣，方框内数字为通电后在一天内保险丝不被烧断的概率，假定通电后保险丝是否烧断是互相独立的.
（1）求通电后电路在一天内恰有一个被烧断的概率；
（2）求通电后电路在一天内不断路的概率.
20.（12分）
在中，角的对边分别为.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求外接圆的半径.
21.（12分）
如图，在四棱锥中，，且是棱上一点，且满足.
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积是的面积是，求点到平面的距离.
22.（12分）
已知函数，其中.若存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根.
（1）求的整数值；
（2）设函数取的最大整数值.若在上单调递增，求实数的取值范围.
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D B B C A B A ABD AD ACD ABD
1.【解析】因为，所以，故选C.
2.【解析】，因此.故选D.
3.【解析】由“直线且”不能推出“”，但由“”能推出“直线且”，
所以“直线且”是“的必要不充分条件.故选B.
4.【解析】因为，
所以.故选B.
5.【解析】每台机器人的平均成本为，当且仅当，即时取等号.因此应买300台机器人，可使每台机器人的平均成本最低.故选C.
6.【解析】因为，所以，即.故选A.
7.【解析】因为，所以.因为，所以.选B.
8.【解析】设.因为，所以.于是是外接圆的半径），.又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，所以球的半径为.所以球的表面积为，解得.因此该直三棱柱的体积是故选A.
9.【解析】，其图象关于中心对称，所以在区间内是减函数.函数是奇函数，所以它在上应是增函数.故选ABD
10.【解析】由得，.因为或，所以的最小值不是2.因为，所以不是的最小正周期.因为，所以的图象关于直线对称.故选AD.
11.【解析】由于平行四边形中，，因此只要，就可以得到，即是矩形.当为正三棱锥时，显然有成立.当，且时，取的中点，易得，则面，因此.故选.
12.【解析】对A，是的重心，则.代入奔驰定理就得到
.对B，由得，，即.与已知条件比较知，，则是的内心
对，即.与奔驰定理比较就得到，.
对D，是的外心，且，则.
所以，代入奔驰定理即可得到.故选ABD.
13.【答案】【解析】，由其为实数，得.
即求两颗骰子点数相同的概率.基本事件总数是，点数相同有6种，
于是为实数的概率是.
14.【答案】【解析】由（为内切球的球心）即可推出.
15.【答案】【解析】因为是周期为2的奇函数，
所以，
因此.即是周期为2的奇函数.
于是.
16.【答案】【解析】设，则.
在中，.在中，.
两式相除得，，
即.
17.【解析】（1）当，不等式就是，
解得，.
故的解集是.
（2）若，则就是，恒成立，.
若，由不等式的解集为得，且，解得
故的取值范围是.
18.【解析】（1）显然.将点代入中，
得.因为，所以.
又因为是图象的第三个零点，所以.
故.
（2）
.
因为，所以.
于是的最大值是，最小值是.
故函数的值域是.
19.【解析】以分别记为各处保险丝不被烧断的事件，
则它们的对立事件为，依题意各事件是相互独立的.
（1）通电后电路在一天内恰有一个被烧断包括两种情况：被烧断但不被烧断，
即事件发生；不被烧断但被烧断，即事件发生.
由题意事件与互斥.
故所求概率为
.
（2）左电路系统不断路的概率为
故一天内电路不断路的概率为.
20.【解析】（1）由得，.
于是就变为.
因为，所以，
即，化简得.
因为，所以.
（2）设外接圆的半径是.
因为，
所以，解得.
故外接圆的半径是1.
21.【解析】（1）如图，在棱上取一点，使，连接.
，
且.
又，且.
四边形是平行四边形，.
又平面平面，
平面.
（2）设点到平面的距离为.
因为，所以，即，
解得.
22.【解析】（1）当时，，是增函数.
当时，，也是增函数.
画图可知，当“点在点上方”时，存在实数，
使直线与曲线有两个交点，即存在实数，使得关于的方程有两个
不同的实数根.
所以，解得故的整数值是1或2.
（2）
在上，单调递增，等价于，即.
在上，单调递增，等价于，即.
综上知，实数的取值范围是.