湖北省新高考协作体2022-2023学年高三上学期数学起点考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·湖北开学考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】，解得或，
所以.
所以，AB选项错误.
反之不成立，C选项正确，D选项错误.
故答案为：C
【分析】解一元二次不等式求得集合B，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.
2．（2022高三上·湖北开学考）已知点是角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】依题意点P的坐标为 ， ， ；
故答案为：D.
【分析】先求出点P到原点的距离，再根据正弦函数的定义求解.
3．（2022高二下·莲湖期末）火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同的火车，则不同的停放方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同的火车，它是排列问题，
所以不同的停放方法有种.
故答案为：B
【分析】利用排列数即可求出答案.
4．（2022高三上·湖北开学考）（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】
.
故答案为：B
【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确选项.
5．（2022高三上·湖北开学考）要得到的图象，只需要将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】
又
所以将的图像向左平移个单位长度，可得的图像
故答案为：A
【分析】，然后由正弦函数的图象平移可得答案.
6．（2022高三上·湖北开学考）定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】因为当时，，所以，
又因为函数满足，所以函数的部分图像如下，
由图可知，若对，都有，则.A，C，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解.
7．（2022高三上·湖北开学考）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A．23 条 B．24 条 C．25条 D．26 条
【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】先假设是实线，
则从到，向上3次，向右4次，最短路径有条，
其中经过的，即先从到，然后到，最后到的最短路径有条，
所以，当不通时，最短路径有条.
故答案为：D
【分析】先假设是实线，计算出所有的最短路径的条数，然后减去经过的最短路径的条数，从而求得正确答案.
8．（2022高三上·湖北开学考）当时，恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】因为当时，恒成立，
可得在上恒成立，
不妨设，可得，
令，可得，所以在上单调递增，
因为，所以在上仅有一个实数根，设为，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
因为，所以，且，
将代入可得，
因为在上单调递增，所以，
所以，因为为整数，所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意转化为在上恒成立，设，可得，令，可得，所以在上单调递增，在上仅有一个实数根，设为，求得，，所以，将代入可得，即可求解.
二、多选题
9．（2022高三上·湖北开学考）下列说法正确的有（ ）
A．已知集合，，全集，若，则实数的集合为
B．命题，成立的充要条件是
C．设，则“”的充要条件是“都不为”
D．已知，，，则的最小值为
【答案】C,D
【知识点】集合间关系的判断；基本不等式
【解析】【解答】对于A，集合；
当时，，，满足，但，A不符合题意；
对于B，若，，则，
当时，，；
由，，
是，成立的充分不必要条件，B不符合题意；
对于C，由题意知：，且，
“”的充要条件是“都不为”，C符合题意；
对于D，（当且仅当，即，时取等号），
的最小值为，D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】解方程求得集合A，当时，可知，由此可得，知A错误；利用一元二次不等式能成立的求法可求得范围，由其与的推出关系可知B错误；根据，且，可知C正确；由，利用基本不等式可求得最小值，知D正确.
10．（2022高三上·湖北开学考）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．当函数的图象关于点成中心对称时，
C．当时，在上单调递减
D．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为（，2，…，2022），则的值为0
【答案】A,C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：对A：要使函数有意义，则，即，
∴的定义域为，所以A符合题意；
对B：∵，
∴的图象关于点成中心对称，
∴当函数的图象关于点成中心对称时，，所以B不正确；
对C：由B知，当时，，
∴在单调递减，所以C符合题意；
对D：∵，，
∴的图象关于对称，又函数的图象关于对称，
∴与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，
，所以D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】对A：由即可判断；对B：由，可得的图象关于点成中心对称，从而即可判断；对C：，且，即可判断；对D：和的图象关于对称，与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，从而即可求解判断.
11．（2022高二下·中山期末）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】，因为，所以，因此，，又，所以。
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式、条件概型求概率公式，进而找出结论正确的选项。
12．（2022高三上·湖北开学考）已知方程，其中.下列条件中使得该三次方程有且仅有一个实根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】对于A. 方程为： ， 令 ，
， 所以在R上单调递增， 且， ，
所以函数仅有一个零点， 所以方程仅有一个实根， 所以A符合题意.
对于B. 方程为：， 可得 ， 即 ， 即 ， 即
，
可得方程有两个根1，-2， 不符合题意， 所以B不正确；
对于C. 方程为： ， 令 ， 则
；当时， ，单调递增；
所以函数只有一个零点，即方程仅有一个实根， 所以C符合题意；
对于D. 方程为： ， 令，
，时，时，故 为极大值，，
时， 为极小值， 且 ， 当 时，，
所以函数仅有一个零点， 即方程仅有一个实根， 所以D符合题意；
故答案为： ACD.
【分析】分别对所给的值逐个分析；B 选项中添项去项，分组分解因式，可得有两根，不符合题意；A， C， D中构造函数，求出函数的单调性和极值，分析函数的零点问题，由极值的正负判断函数的零点个数，进而判断出正确的命题.
三、填空题
13．（2022高三上·湖北开学考）如果函数是奇函数，则的值为 .
【答案】π
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】函数是奇函数，
，即，
或恒成立，
解得：，
又，.
故答案为：π.
【分析】根据奇函数的定义，将代入，求出的表达式，再根据确定的取值.
14．（2022·徐州模拟）抽样表明，某地区新生儿体重 近似服从正态分布 .假设随机抽取 个新生儿体检，记 表示抽取的 个新生儿体重在 以外的个数.若 的数学期望 ，则 的最大值是 .（ ）
【答案】16
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】根据正太分布的 原则可知： ，得： ，
因为 为正整数，故 的最大值为16.
故答案为：16
【分析】根据正态分布的 原则进行计算可得 的最大值。
15．（2022高三上·湖北开学考）函数的极大值为，极小值为，则 .
【答案】6
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】由题意，，故关于对称.
故取得极大与极小值的点关于对称，所以.
故答案为：6
【分析】求解可得关于对称，再根据取得极大与极小值的点关于对称中心对称求解即可.
16．（2022高三上·湖北开学考）已知、为实数，，若对恒成立，则的最小值为 .
【答案】-1
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，所以，
若，则恒成立，所以在上单调递增，且当时，不符合题意，
所以，令，解得，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，则，
则，
令，，
则，所以当时，当时，
即在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，即的最小值为-1.
故答案为：-1
【分析】求出函数的导函数，判断可得，即可求得函数的单调区间，从而求出函数的最小值，依题意可得，即可得到，从而得到，再令，，利用导数说明函数的单调性，从而求出函数的最小值，即可求出的取值范围.
四、解答题
17．（2020高二下·永安期中）已知 的展开式中 的系数是-35，
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：令 时， ，①
令 时， .
∴
（2）解：令 时， .②
①-②得
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】(1)由特殊值法结合二项展开式的通项公式代入数值计算出结果即可。
(2)由特殊值法结合二项展开式的通项公式代入数值计算出结果即可。
18．（2022高三上·湖北开学考）已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若，求出的单调递减区间.
【答案】（1）解：
.
的最小正周期为 .
（2）解：令 ，则 ，
又函数 在 上单调递减，即 时，的单调递减，
当 时，的单调减区间为.
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】(1)利用二倍角和辅助角公式化简， 再利用周期公式求函数的最小正周期；
(2)根据 ，令 ，则 ，从而得出的单调递减区间.
19．（2022高三上·湖北开学考）袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回的摸球，每次摸1 个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：
（1）的值；
（2）随机变量的概率分布列和数学期望.
【答案】（1）解：由已知可得从袋中不放回的摸球两次的所有取法有种，事件表示第一次取红球第二次取黄球或第一次取黄球第二次取红球，故事件包含种取法，
所以
（2）解：随机变量可取的值为
得随机变量的概率分布列为：
2 3 4
P
随机变量的数学期望为：
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)先求从袋中不放回摸球两次的所有取法，再求出事件所包含的取法数，利用古典概型概率公式求；
(2)由条件确定随机变量的所有取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求其期望.
20．（2022高三上·湖北开学考）已知函数为偶函数.
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式；
（3）设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数的定义或为，
函数为偶函数.
，即 ，
，
（2）解：，
当时，，单调递增，
在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
，
，
解得或，
所以所求不等式的解集为
（3）解：函数与图象有2个公共点，
，
即，，
设，则，即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
，
解得，即的取值范围为.
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；
（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；
（3）由函数与图象有2个公共点， 可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.
21．（2022高三上·湖北开学考）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
参考公式： (其中为样本容量)
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.
【答案】（1）解：由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）.
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：
单位：只
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体 50 110 160
没有抗体 20 20 40
合计 70 130 200
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得.
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）解：（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.
记事件A，B，C发生的概率分别为，，，
则，，.
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.
（ii）由题意，知随机变量，（）.
因为最大，
所以，
解得，因为是整数，所以或，所以接受接种试验的人数为99或100.
①当接种人数为99时，；
②当接种人数为100时，.
【知识点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，然后进行数据比对，最终得到答案；
（2）（i）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；
（ii）根据最大，结合二项定理概率求法列出不等式组解出X，最后求出期望.
22．（2022高三上·湖北开学考）已知函数.
（1）求证： 当时，；
（2）已知函数有3个不同的零点，
（i）求证： ；
（ii）求证： 是自然对数的底数).
【答案】（1）证明：①当 ，即证 ，
令 ，
令 ，则当时，所以在上单调递减，
则有当时，所以在上单调递减，
所以当，
成立
②当 时，，即证 ，
令
设，则，所以在上单调递增，所以
所以，
在上单调递减，，即 ，
综合①②当 时，
（2）证明：，
当 在 上单调递增，在 单调递减，
当 在上单调递增，
又函数有 3 个不同的零点 ，
所以，，
（i）令 ，
在上单调递增，又
，
又 在上单调递减，
，即
（ii)在处的切线方程与交点的横坐标，
过点 和的直线方程 与交点的横坐标
，
由 （1）取 ，
则与在轴右侧交点横坐标为 ，
，
综上：
【知识点】不等式的证明；函数的零点
【解析】【分析】(1)在条件下利用导数求的最大值，在时利用导数求的最小值，由此完成证明；
(2) （i）利用证明极值点偏移的方法证明，再结合基本不等式证明；
（ii）根据(1)证明，结合切线方程证明.
1 / 1湖北省新高考协作体2022-2023学年高三上学期数学起点考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·湖北开学考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高三上·湖北开学考）已知点是角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二下·莲湖期末）火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同的火车，则不同的停放方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．（2022高三上·湖北开学考）（ ）
A． B． C． D．1
5．（2022高三上·湖北开学考）要得到的图象，只需要将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．（2022高三上·湖北开学考）定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高三上·湖北开学考）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A．23 条 B．24 条 C．25条 D．26 条
8．（2022高三上·湖北开学考）当时，恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
二、多选题
9．（2022高三上·湖北开学考）下列说法正确的有（ ）
A．已知集合，，全集，若，则实数的集合为
B．命题，成立的充要条件是
C．设，则“”的充要条件是“都不为”
D．已知，，，则的最小值为
10．（2022高三上·湖北开学考）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．当函数的图象关于点成中心对称时，
C．当时，在上单调递减
D．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为（，2，…，2022），则的值为0
11．（2022高二下·中山期末）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022高三上·湖北开学考）已知方程，其中.下列条件中使得该三次方程有且仅有一个实根的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2022高三上·湖北开学考）如果函数是奇函数，则的值为 .
14．（2022·徐州模拟）抽样表明，某地区新生儿体重 近似服从正态分布 .假设随机抽取 个新生儿体检，记 表示抽取的 个新生儿体重在 以外的个数.若 的数学期望 ，则 的最大值是 .（ ）
15．（2022高三上·湖北开学考）函数的极大值为，极小值为，则 .
16．（2022高三上·湖北开学考）已知、为实数，，若对恒成立，则的最小值为 .
四、解答题
17．（2020高二下·永安期中）已知 的展开式中 的系数是-35，
（1）求 的值；
（2）求 的值.
18．（2022高三上·湖北开学考）已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若，求出的单调递减区间.
19．（2022高三上·湖北开学考）袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回的摸球，每次摸1 个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：
（1）的值；
（2）随机变量的概率分布列和数学期望.
20．（2022高三上·湖北开学考）已知函数为偶函数.
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式；
（3）设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围.
21．（2022高三上·湖北开学考）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
参考公式： (其中为样本容量)
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.
22．（2022高三上·湖北开学考）已知函数.
（1）求证： 当时，；
（2）已知函数有3个不同的零点，
（i）求证： ；
（ii）求证： 是自然对数的底数).
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】，解得或，
所以.
所以，AB选项错误.
反之不成立，C选项正确，D选项错误.
故答案为：C
【分析】解一元二次不等式求得集合B，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.
2．【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】依题意点P的坐标为 ， ， ；
故答案为：D.
【分析】先求出点P到原点的距离，再根据正弦函数的定义求解.
3．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同的火车，它是排列问题，
所以不同的停放方法有种.
故答案为：B
【分析】利用排列数即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】
.
故答案为：B
【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确选项.
5．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】
又
所以将的图像向左平移个单位长度，可得的图像
故答案为：A
【分析】，然后由正弦函数的图象平移可得答案.
6．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】因为当时，，所以，
又因为函数满足，所以函数的部分图像如下，
由图可知，若对，都有，则.A，C，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解.
7．【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】先假设是实线，
则从到，向上3次，向右4次，最短路径有条，
其中经过的，即先从到，然后到，最后到的最短路径有条，
所以，当不通时，最短路径有条.
故答案为：D
【分析】先假设是实线，计算出所有的最短路径的条数，然后减去经过的最短路径的条数，从而求得正确答案.
8．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】因为当时，恒成立，
可得在上恒成立，
不妨设，可得，
令，可得，所以在上单调递增，
因为，所以在上仅有一个实数根，设为，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
因为，所以，且，
将代入可得，
因为在上单调递增，所以，
所以，因为为整数，所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意转化为在上恒成立，设，可得，令，可得，所以在上单调递增，在上仅有一个实数根，设为，求得，，所以，将代入可得，即可求解.
9．【答案】C,D
【知识点】集合间关系的判断；基本不等式
【解析】【解答】对于A，集合；
当时，，，满足，但，A不符合题意；
对于B，若，，则，
当时，，；
由，，
是，成立的充分不必要条件，B不符合题意；
对于C，由题意知：，且，
“”的充要条件是“都不为”，C符合题意；
对于D，（当且仅当，即，时取等号），
的最小值为，D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】解方程求得集合A，当时，可知，由此可得，知A错误；利用一元二次不等式能成立的求法可求得范围，由其与的推出关系可知B错误；根据，且，可知C正确；由，利用基本不等式可求得最小值，知D正确.
10．【答案】A,C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：对A：要使函数有意义，则，即，
∴的定义域为，所以A符合题意；
对B：∵，
∴的图象关于点成中心对称，
∴当函数的图象关于点成中心对称时，，所以B不正确；
对C：由B知，当时，，
∴在单调递减，所以C符合题意；
对D：∵，，
∴的图象关于对称，又函数的图象关于对称，
∴与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，
，所以D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】对A：由即可判断；对B：由，可得的图象关于点成中心对称，从而即可判断；对C：，且，即可判断；对D：和的图象关于对称，与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，从而即可求解判断.
11．【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】，因为，所以，因此，，又，所以。
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式、条件概型求概率公式，进而找出结论正确的选项。
12．【答案】A,C,D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】对于A. 方程为： ， 令 ，
， 所以在R上单调递增， 且， ，
所以函数仅有一个零点， 所以方程仅有一个实根， 所以A符合题意.
对于B. 方程为：， 可得 ， 即 ， 即 ， 即
，
可得方程有两个根1，-2， 不符合题意， 所以B不正确；
对于C. 方程为： ， 令 ， 则
；当时， ，单调递增；
所以函数只有一个零点，即方程仅有一个实根， 所以C符合题意；
对于D. 方程为： ， 令，
，时，时，故 为极大值，，
时， 为极小值， 且 ， 当 时，，
所以函数仅有一个零点， 即方程仅有一个实根， 所以D符合题意；
故答案为： ACD.
【分析】分别对所给的值逐个分析；B 选项中添项去项，分组分解因式，可得有两根，不符合题意；A， C， D中构造函数，求出函数的单调性和极值，分析函数的零点问题，由极值的正负判断函数的零点个数，进而判断出正确的命题.
13．【答案】π
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】函数是奇函数，
，即，
或恒成立，
解得：，
又，.
故答案为：π.
【分析】根据奇函数的定义，将代入，求出的表达式，再根据确定的取值.
14．【答案】16
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】根据正太分布的 原则可知： ，得： ，
因为 为正整数，故 的最大值为16.
故答案为：16
【分析】根据正态分布的 原则进行计算可得 的最大值。
15．【答案】6
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】由题意，，故关于对称.
故取得极大与极小值的点关于对称，所以.
故答案为：6
【分析】求解可得关于对称，再根据取得极大与极小值的点关于对称中心对称求解即可.
16．【答案】-1
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，所以，
若，则恒成立，所以在上单调递增，且当时，不符合题意，
所以，令，解得，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，则，
则，
令，，
则，所以当时，当时，
即在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，即的最小值为-1.
故答案为：-1
【分析】求出函数的导函数，判断可得，即可求得函数的单调区间，从而求出函数的最小值，依题意可得，即可得到，从而得到，再令，，利用导数说明函数的单调性，从而求出函数的最小值，即可求出的取值范围.
17．【答案】（1）解：令 时， ，①
令 时， .
∴
（2）解：令 时， .②
①-②得
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】(1)由特殊值法结合二项展开式的通项公式代入数值计算出结果即可。
(2)由特殊值法结合二项展开式的通项公式代入数值计算出结果即可。
18．【答案】（1）解：
.
的最小正周期为 .
（2）解：令 ，则 ，
又函数 在 上单调递减，即 时，的单调递减，
当 时，的单调减区间为.
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】(1)利用二倍角和辅助角公式化简， 再利用周期公式求函数的最小正周期；
(2)根据 ，令 ，则 ，从而得出的单调递减区间.
19．【答案】（1）解：由已知可得从袋中不放回的摸球两次的所有取法有种，事件表示第一次取红球第二次取黄球或第一次取黄球第二次取红球，故事件包含种取法，
所以
（2）解：随机变量可取的值为
得随机变量的概率分布列为：
2 3 4
P
随机变量的数学期望为：
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)先求从袋中不放回摸球两次的所有取法，再求出事件所包含的取法数，利用古典概型概率公式求；
(2)由条件确定随机变量的所有取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求其期望.
20．【答案】（1）解：函数的定义或为，
函数为偶函数.
，即 ，
，
（2）解：，
当时，，单调递增，
在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
，
，
解得或，
所以所求不等式的解集为
（3）解：函数与图象有2个公共点，
，
即，，
设，则，即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
，
解得，即的取值范围为.
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；
（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；
（3）由函数与图象有2个公共点， 可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.
21．【答案】（1）解：由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）.
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：
单位：只
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体 50 110 160
没有抗体 20 20 40
合计 70 130 200
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得.
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）解：（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.
记事件A，B，C发生的概率分别为，，，
则，，.
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.
（ii）由题意，知随机变量，（）.
因为最大，
所以，
解得，因为是整数，所以或，所以接受接种试验的人数为99或100.
①当接种人数为99时，；
②当接种人数为100时，.
【知识点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，然后进行数据比对，最终得到答案；
（2）（i）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；
（ii）根据最大，结合二项定理概率求法列出不等式组解出X，最后求出期望.
22．【答案】（1）证明：①当 ，即证 ，
令 ，
令 ，则当时，所以在上单调递减，
则有当时，所以在上单调递减，
所以当，
成立
②当 时，，即证 ，
令
设，则，所以在上单调递增，所以
所以，
在上单调递减，，即 ，
综合①②当 时，
（2）证明：，
当 在 上单调递增，在 单调递减，
当 在上单调递增，
又函数有 3 个不同的零点 ，
所以，，
（i）令 ，
在上单调递增，又
，
又 在上单调递减，
，即
（ii)在处的切线方程与交点的横坐标，
过点 和的直线方程 与交点的横坐标
，
由 （1）取 ，
则与在轴右侧交点横坐标为 ，
，
综上：
【知识点】不等式的证明；函数的零点
【解析】【分析】(1)在条件下利用导数求的最大值，在时利用导数求的最小值，由此完成证明；
(2) （i）利用证明极值点偏移的方法证明，再结合基本不等式证明；
（ii）根据(1)证明，结合切线方程证明.
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