【核心素养目标】2.3公式法解一元二次方程 教学设计

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2.3公式法解一元二次方程教学设计
课题 2.3公式法解一元二次方程 单元 2 学科 数学 年级 九
教材分析 《用公式法解一元二次方程》是北师大版九年级上册第二章内容，是在学生已经学习直接开平方法、因式分解法和配方法解一元二次方程后的进一步学习。对于系数不特殊的一元二次方程用前面的几种方法解起来不方便。而用求根公式解较复杂的一元二次方程显得就很方便了。因此，公式法是所有一元二次方程通用的解法，它为进一步学习一元二次方程的简单应用起到铺垫作用，同时也为后边学习二次函数奠定了基础。
核心素养 一元二次方程是方程模型中的一个重要的组成部分,是课程标准中第三学段数与代数中的重要内容，让学生经历探索求根公式的过程，进一步发展学生演绎推理能力；进一步认识特殊与一般的关系，体会类比、分类与转化的思想，发展学生主动探究、合作交流的能力.
学习 目标 1、理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2、会用公式法解一元二次方程； 3、经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力
重点 用公式法解一元二次方程.
难点 一元二次方程的求根公式的推导过程比较复杂，涉及多方面的知识和能力.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师课件出示问题 用配方法解方程： 2x2 +7x +6 = 0. 思考回答 通过复习回顾所学知识，为本节课的学习做准备.
讲授新课 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0 能否也用配方法得出它的解呢？ ax2+bx+c=0 (a≠0). 解：移项，得 方程两边都除以a , 配方，得 即 满足什么条件方程才有解？ 因为a≠0，所以4a2>0 当b2-4ac≥0时，是一个非负数，此时两边开平方，得 即， 这就是说，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当-4ac≥0，方程的两个根为 这个公式叫做一元二次方程的求根公式. 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子 注意：用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0. 例1： 解方程： (1)x2－7x－18＝0； (2)4x2＋1＝4x. 公式法解一元二次方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出; 若b2-4ac<0，则方程没有实数根. 议一议 (1)用公式法解方程: x2-2x+3=0. (2)对于一元二次方程，当 -4ac<0时，它的根的情况是怎样的？ 对于一元二次方程ax2 + bx +c = 0(a≠0),如何来判断根的情况？ 对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0时,方程无实数根. 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“”表示，即= b2-4ac. 问题：在一块长16m、宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半. 想一想，你会怎么设计这片荒地？ 小明设计：如右图所示.其中花园四周小路的宽度都相等.通过解方程, 得到小路的宽为2m或12m. 解：设小路的宽为 xm, 根据题意得： 即 x2 - 14x + 24 = 0. 解方程得 x1 = 2 , x2 = 12. 将x =12 代入方程中不符合题意舍去. 答：小路的宽为2m. 小亮设计：如右图所示.其中花园每个角上的扇形都相同. 解：设扇形半径为 xm, 根据题意得： 即πx2 = 96. 解方程得 x1 = , x2 =-(舍去), 答：扇形半径约为5.5m. 你还有其他设计方案吗？ 如右图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽度都相等. 学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结,得出求根公式. 学生利用公式法解方程 学生根据上面的例题，小组讨论用公式法解一元二次方程的一般步骤。 通过分析发现一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和b2-4ac的关系。 思考并尝试设计 独立解答，交流讨论 由学生亲身经历公式的推导过程,只有学生经历了这一过程,他们才能发现问题、汲取教训、总结经验,形成自己的认识,在集体交流的时候,才能有感而发。 发挥学生的主体作用,引导学生探究利用公式法解一元二次方程的一般方法,进一步理解求根公式。并引导学生总结步骤。在学生归纳的基础上,老师完善过程。 学生独立利用公式法解上述方程,然后观察方程的解的情况,观察解题过程,总结一元二次方程根的规律和b2-4ac的关系,经过讨论得出结论。 引导学生试着将已学的配方法和公式法求解一些一元二次方程，把这些技能寓于实际问题的解决过程中，让学生深刻体会学有所用. 给出了三种设计方案，让学生学会利用已学的基本技能验证方案的合理性.
课堂练习 1.方程3x2－x＝4化为一般形式后的a，b，c的值分别为(　　) A．3、1、4 B．3、－1、－4 C．3、－4、－1 D．－1、3、－4 2.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k的取值范围是 （ ） A.k>-1 B. k>-1 且k≠ 0 C. k<1 D. k<1 且k≠0 3.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______ ． 4.已知方程如果设那么原方程可以变形为关于y的整式方程是 ． 5.解一元二次方程： (1) (2)3x(x-1)=2(x-1) 6.不解方程，判别关于x的方程的根的情况. 7.如图，圆柱的高为 15 cm，全面积(也称表面积) 为 200 π cm2，那么圆柱底面半径为多少 由学生自己独立思考完成，并找出做的好的同学谈谈自己的思路和见解。 这个环节是巩固本课知识点，通过设置一组由浅入深的练习，来检测学生的掌握情况，在这部分的设计中，主要是发挥学生作为教学主体的主动性，让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦。
课堂小结 谈一谈这节课有什么收获？
板书 课题：2.3 公式法解二元一次方程 一、公式法定义 二、一元二次方程的求根公式 三、根的判别式
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