【新课标】2.3公式法解一元二次方程 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
2.3公式法解一元二次方程
北师大版九年级上册
教学目标
1.会利用配方法推导一元二次方程的求根式；
2.能用公式法解简单的数字系数的一元二次方程；
3.能理解根的判别式，并会判定方程根的情况。
温故知新
用配方法解方程： 2x2 +7x +6 = 0.
解：方程两边同时除以2,得 x2 + x + 3 = 0 .
移项，得 x2 + x = -3 ,
配方，得 x2 + x +( )2= ( )2 -3
变形, 得 （x + ）2 =
开平方, 得 x + = ± .
解得 x1 = - , x2= -2 .
新知讲解
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0
能否也用配方法得出它的解呢？
ax2+bx+c=0 (a≠0).
方程两边都除以a ,
解：移项，得
配方，得
即
满足什么条件方程才有解？
新知讲解
即
∴
∵a ≠0,4a2>0，
当b2-4ac ≥0时，
,
新知讲解
∵a ≠0,4a2>0，
当b2-4ac ＜0时，
而x取任何实数都不能使上式成立.
因此，方程无实数根.
新知讲解
一元二次方程的求根公式
利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
新知讲解
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子.
注意：用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0);
2.b2-4ac≥0.
新知讲解
例1： 解方程：
(1)x2－7x－18＝0； (2)4x2＋1＝4x.
解：(1)这里a＝1，b＝－7，c＝－18.
∵b2－4ac＝(－7)2－4×1×(－18)＝121>0，
∴x＝
即x1＝9，x2＝－2.
新知讲解
(2)将原方程化为一般形式，得4x2－4x＋1＝0.
这里a＝4，b＝－4，c＝1.
∵b2－4ac＝(－4)2－4×4×1＝0，
∴x＝
即　x1＝x2＝
归纳总结
公式法解一元二次方程的步骤：
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
议一议
(1)用公式法解方程: x2-2x+3=0.
解： ∵ a=1， b= -2， c= 3.
∴ b2 - 4ac=(-2)2 - 4×1×3=-8<0
∴方程无实数根
(2)对于一元二次方程，当 -4ac<0时，它的根的情况是怎样的？
当 -4ac<0时，一元二次方程没有实数根
新知讲解
对于一元二次方程ax2 + bx +c = 0(a≠0),如何来判断根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.
归纳总结
两个不相等实数根
两个相等实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“”表示，即= b2-4ac.
> 0
= 0
< 0
≥ 0
新知讲解
问题：在一块长16m、宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.
16m
12m
想一想，你会怎么设计这片荒地？
看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？
新知讲解
解：设小路的宽为 xm, 根据题意得：
即 x2 - 14x + 24 = 0.
解方程得 x1 = 2 , x2 = 12.
将x =12 代入方程中不符合题意舍去.
答：小路的宽为2m.
小明设计：如右图所示.其中花园四周小路的宽度都相等.
通过解方程, 得到小路的宽为2m或12m.
16m
12m
问题：他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？
x
x
课堂练习
解：设扇形半径为 xm, 根据题意得：
即πx2 = 96.
解方程得 x1 = , x2 =-(舍去),
答：扇形半径约为5.5m.
小亮设计：如右图所示.其中花园每个角上的扇形都相同.
问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？
16m
12m
你还有其他设计方案吗？
新知讲解
如右图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.
16m
12m
xm
xm
解：设小路的宽为 xm, 根据题意得：
即x2 - 28x + 96 = 0.
解方程得 x1 = 4 , x2 = 24,
将x =24 代入方程中不符合题意舍去
答：小路的宽为4m.
课堂练习
1.方程3x2－x＝4化为一般形式后的a，b，c的值分别为(　　)
A．3、1、4 B．3、－1、－4
C．3、－4、－1 D．－1、3、－4
2.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k的取值范围是（ ）
A.k>-1 B. k>-1 且k≠ 0
C. k<1 D. k<1 且k≠0
B
B
课堂练习
3.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______ ．
4.已知方程如果设那么原方程可以变形为关于y的整式方程是 ．
m＜1且m≠0．
课堂练习
5.解一元二次方程：
(1)
(2)3x(x-1)=2(x-1)
解：(1)
x-1=±5
,
解：(2) 方程
∴a=3，b=-5，c=2
∴x=
,
课堂练习
6.不解方程，判别关于x的方程
的根的情况.
解：
=8
∵
∴4
∴
所以方程有两个实数根．
课堂练习
7.如图，圆柱的高为 15 cm，全面积(也称表面积) 为 200 π cm2，那么圆柱底面半径为多少？
解: 设圆柱底面半径为 r cm．
2πr2＋15×2πr ＝ 200π
解得 r1＝-20(舍去)，r2＝5．
所以，圆柱底面半径为 5 cm．
r
课堂总结
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（ Δ值）；
四判（方程根的情况）；
五代（求根公式计算）.
根的判别式b2-4ac
务必将方程化为一般形式
板书设计
一、公式法定义
二、一元二次方程的求根公式
三、根的判别式
四、常见几何图形面积的等量关系.
课题：2.3 用公式法解一元二次方程
作业布置
教材第43页习题2.5 第1、2、4题
教材第44页习题2.6 第1题
谢谢
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