4.4 势能 学案（含答案）

第四节 势能
教学目标
理解什么是重力势能，清楚重力做功的特点
掌握重力势能变化量与重力势能的区别和联系
清楚重力做功与重力势能变化量的关系
理解什么是弹性势能，清楚弹性势能变化和弹力做功的关系
教学重点
重力做功的特点及重力势能的相对性
重力做功与重力势能、重力势能变化量之间的关系
弹性势能与弹力做功的关系
三．知识点精讲
知识点一：重力做功及其特点
特点：重力做功的大小只与初、末位置的高度差有关，与路径无关。
重力做功：（h：竖直方向位移，θ：重力与竖直位移的夹角。）
过程量
注意：重力做功-5J又叫做克服重力做功5J
知识点二：重力势能
概念：物体由于被举高而具有的能。
公式：（注：h为相对于零势能面的高度，在零势能面以上，h取正值，在零势能面以下，h取负值。注意与重力做功公式中h的区别）
状态量
重力势能的大小与零势能面的选取有关，涉及重力势能的计算要先规定零势能面。
【思考】重力做功、重力势能变化与零势能面的选取有关吗？
重力势能是物体和地球所组成系统共同具有的能量，不是地球上物体单独具有的。
知识点三：弹力做功及特点
特点：弹力做功的大小只跟始末位置有关，与路径无关。
弹力做功：W=，（是弹力与位移方向的夹角）
知识点四：弹性势能
弹性物体由于发生弹性形变而具有的能叫做弹性势能。
公式：（注：k为劲度系数，x为弹簧总形变量）
状态量
弹性势能也为系统所具有
一般选取弹簧原长处为弹性势能的零势能参考点。
知识点四：重力做功与重力势能变化的关系
1.重力做功等于重力势能变化的负值，即，重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增加
2.弹力做功等于弹性势能变化的负值，即，弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加。
知识点五：功和能的关系
做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功，就有多少能量发生转化，反之转化了能量就说明做了多少功，所以，概括来说：功是能量转化的量度
四．典型例题练习
典型例题一：重力势能及重力势能变化量的理解
1．关于重力势能的说法中，错误的是（　　）
A．物体重力势能的大小与零势能面的选择有关
B．重力对物体做正功，物体的重力势能增加
C．物体的重力势能严格说是属于物体和地球这个系统的
D．物体位于零势能面下方其重力势能取负值
2．关于重力做功和重力势能，下列说法正确的是（　　）
A．重力做功与物体运动的路径有关
B．重力对物体做负功时，物体的重力势能一定减小
C．重力势能为负值说明物体在零势能面以下
D．重力势能的变化与零势能面的选取有关
典型例题二：重力做功的求解及特点
1.如图所示，甲、乙、丙三个完全相同的小球，分别从相同的高度，沿不同的轨道运动到同一水平面上，下列说法正确的是（　　）
A．甲球重力做功最多
B．乙球重力做功最多
C．丙球重力做功最多
D．三个小球重力做功相等
2．质量为m的均匀链条长为L，开始放在光滑的水平桌面上时，有的长度悬在桌边缘，如图所示，松手后链条滑离桌面，从开始到链条刚好滑离桌面过程中链条的重力所做的功为（　　）
A． B．
C． D．
3．如图是地图上某小山包的等高线图，a、b、c为山包上的三个点在地图上的位置。
（1）若选择海平面为重力势能参考面，质量为的学生在a、b、c位置时的重力势能是多大？他从a位置上升到c位置，重力做了多少功？
（2）若选择的等高线所在平面为重力势能参考面，则质量为的学生在a、b、c位置时的重力势能是多大？他从a位置上升到c位置，重力做了多少功？
典型例题三：重力做功与重力势能、重力势能变化量的关系
1.2020年11月24日，“长征五号遥五”运载火箭在中国文昌航天发射场点火升空，成功将“嫦娥五号”月球探测器送入地一月转移轨道。“嫦娥五号”探测器在地球表面发射上升的过程中，重力做功和重力势能变化情况为（　　）
A．重力做正功，重力势能减小 B．重力做正功，重力势能增加
C．重力做负功，重力势能减小 D．重力做负功，重力势能增加
2．物体在运动过程中，重力做功100J，则以下说法正确的是（）
A．物体的高度一定升高了 B．物体的高度可能不变
C．物体的重力势能一定减少100J D．物体的重力势能一定增加100J
3．质量的小球，从距桌面高的A点下落到地面的B点，桌面高，，以下判断正确的是（　　）
A．以地面为零势能面，小球在A点的重力势能为1J
B．以桌面为零势能面，小球在B点的重力势能为0.8J
C．整个下落过程中小球重力做功1.8J
D．整个下落过程中小球重力势能变化了1J
4．如图所示，桌子放于水平地面上，桌面高为。一质量为m的小球处于桌面上方高处的a点，重力加速度为g，小球从a点下落到地面上的c点，下列说法正确的是（　　）
A．若以桌面为零势能参考平面，小球在a点的重力势能为mg（h1+h2）
B．若以桌面为零势能参考平面，小球在桌面c处的重力势能为
C．若以地面为零势能参考平面，小球从a点下落至c点的过程中，重力势能减少
D．若以地面为零势能参考平面，小球从a点下落至c点的过程中，重力势能减少
典型例题四：弹性势能
1．如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端与一弹簧连接，弹簧的另一端固定在墙上，在力F的作用下物体处于静止状态。当撤去F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是（弹簧始终在弹性限度内）（　　）
A．弹簧的弹性势能先减小后增大 B．弹簧的弹性势能先增大后减小
C．弹簧的弹性势能逐渐减小 D．弹簧的弹性势能逐渐增大
（多选）2．如图所示，轻质弹簧的劲度系数为k，小球所受重力为G，平衡时小球在A处。今用力F竖直向下压小球，使弹簧缩短x，小球静止在B处，则 （　　）
A．小球在A处时弹簧的弹力为零 B．小球在B处时弹簧的弹力为kx+G
C．小球在A处时弹簧的弹性势能较大 D．小球在B处时弹簧的弹性势能较大
基础知识过关检测
一．单选题
1．关于重力势能，下列说法中正确的是（　　）
A．物体的重力势能的大小只跟它的质量有关
B．物体放在地面时，它的重力势能就为零
C．一个物体的重力势能从-5J变化到-3J，重力势能增加了
D．重力势能的变化量跟重力对物体做的功无关
2．宋代诗人苏轼的名句“会挽雕弓如满月，西北望，射天狼”中蕴含了一些物理知识。如图所示，在人将弓拉开的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．人对弓的拉力做正功，弓的弹性势能变大 B．人对弓的拉力做正功，弓的弹性势能变小
C．人对弓的拉力做负功，弓的弹性势能变大 D．人对弓的拉力做负功，弓的弹性势能变小
3．如图所示，一个足球在地面上由位置1被踢出后经最高点位置2落到地面上的位置3，关于足球重力势能变化的说法正确的是（　　）
A．足球由位置1运动到位置2过程中重力势能增加
B．足球由位置1运动到位置2过程中重力势能减少
C．足球由位置2运动到位置3过程中重力势能增加
D．足球由位置2运动到位置3过程中重力势能不变
4．越野玩具小车行驶在如图所示的路面上，从点经、行驶到点，其中段水平。下列说法正确的是（　　）
A．在段，小车的重力势能减少
B．在段，小车的重力势能不变
C．在段，小车的重力始终做负功
D．在全过程中，小车的重力势能始终都在增加
5．一质量的小球，从离地面高度的A点自由下落到地面上的点，如图所示。小球可看成质点，取。下列说法正确的是（　　）
A．小球在点时的重力势能一定为0
B．小球在A点时的重力势能一定为
C．小球从A点下落到点的过程中，重力做的功一定为
D．小球从A点下落到点的过程中，重力做的功一定为
6．如图所示，一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时未接触水面，空气阻力忽略不计，运动员可视为质点，下列说法正确的是（　　）
A．蹦极绳张紧后的下落过程中，运动员动能一直减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性势能一直变大
C．运动员整个下落过程中，重力势能的减小量大于重力所做的功
D．运动员整个下落过程中，重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关
7．如图所示，静止的小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面上，轨道高度为h，桌面距地面高为H，小球质量为m，则以下说法正确的是（　　）
A．小球沿竖直轨道下滑到桌面上的过程，重力做功最少
B．小球沿曲线轨道下滑到桌面上的过程，重力做功最多
C．小球的重力势能的减少量为mgh
D．以地面为参考面，小球的重力势能的减少量为mg(H+h)
8．如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一轻质弹簧，轻质弹簧的另一端固定在墙上，点为弹簧的原长处，现使物体从点开始运动（始终在弹簧的弹性限度内），第一次从点运动到点，弹力做功；第二次从点运动到点后再运动到点，弹力做功，则这两次弹力做功的关系为（　　）
A． B． C． D．无法判断
9．如图所示，一轻弹簧一端固定于О点，另一端系一重物，将重物从与悬点О在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中（　　）
A．重力做正功，弹簧弹力不做功，弹性势能不变
B．重力做正功，弹簧弹力做正功，弹性势能增加
C．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力不做功
D．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功
10．如图所示，撑杆跳是运动会中非常具有观赏性的比赛项目，用于撑起运动员的杆要求具有很好的弹性。运动员助跑时杆未发生形变，撑杆起跳后杆弯曲程度逐渐变大，到运动员水平越过横杆时，杆竖直且恢复原状。关于撑杆起跳到运动员越过横杆过程，下列说法正确的是（　　）
A．杆的弹性势能先增大后减小 B．杆一直对运动员做负功
C．运动员越过横杆正上方时速度为零 D．以上说法均错误
二．多选题
11．两个质量相等的物体相对同一参考平面，下列说法正确的是（　　）
A．被举得越高的物体，重力势能越大
B．被举得越高的物体，重力势能越小
C．两物体高度相同时，重力势能一定相等
D．两物体高度相同时，重力势能不一定相等
12．某学习小组对重力势能的理解提出了以下几种说法，你认为正确的是
A．重力势能的变化只跟物体所处的始、末位置有关，与物体实际经过的路径无关
B．重力势能的变化只跟重力做功有关，和其他力是否做功及做功多少无关
C．重力势能是矢量，物体位于地球表面以上时重力势能才能为正值
D．重力势能的增量等于重力对物体做的功
三．解答题
13．如图所示，质量为50kg的跳水运动员从10m高跳台上以4m/s的速度斜向上起跳，最终落入水中。若忽略运动员的身高，重力加速度g=10m/s2，求：
（1）以水面为参考平面，运动员在跳台上具有的重力势能；
（2）运动员从起跳到入水的全过程，重力所做的功。
14．图是一个质量为m的物体被斜抛出去后的运动轨迹。
（1）在物体由抛出位置1运动到最高位置2的过程中，重力所做的功是多少？物体克服重力所做的功是多少？物体的重力势能增加了多少？
（2）在物体由位置2运动到跟位置1在同一水平面上的位置3的过程中，重力所做的功是多少？物体的重力势能减少了多少？
（3）在物体由位置1运动到位置3的过程中，重力所做的功是多少？物体的重力势能变化了多少？
基础知识过关检测——【答案解析】
1．C
【解析】
A．物体重力势能的大小与物体的质量和高度都有关，故A错误；
B．物体重力势能的大小与零势能面的选取有关，如果不选地面为零势能面，即使物体在地面上，物体的重力势能也不为零，故B错误；
C．重力势能是标量，其负值表示重力势能低于零势面；一个物体的重力势能从-5J变化到-3J，物体向上运动，重力做负功，重力势能增加，故C正确；
D．重力势能的变化量等于重力对物体做的功，故D错误。
故选C。
2．A
【解析】
由于人的拉力与弓的形变方向相同，故人对弓做正功；在拉开过程中由于弓的形变量增大，故弹性势能增大。
故选A。
3．A
【解析】
足球由位置1运动到位置2过程中，高度增加，则重力势能增加；足球由位置2运动到位置3过程中，高度降低，则重力势能减小。
故选A。
4．B
【解析】
ABD．根据可知，在段，小车的重力势能随高度的升高而增大；在段，小车的重力势能不变；在段，小车的重力势能随高度的降低而减小；故AD错误，B正确；
C．在段，小车的重力势能减小，重力始终做正功，故C错误。
故选B。
5．D
【解析】
AB．由于没有确定零势能面，所以无法确定物体在A、B两点时的重力势能的大小，故AB错误；
CD．小球从A点下落到点的过程中，重力做的功为
故D正确，C错误。
故选D。
6．B
【解析】
蹦极绳张紧后的下落过程中，开始时弹力小于重力，速度逐渐增大，当弹力等于重力时，速度达到最大，之后弹力大于重力，速度逐渐减小，直到为零，所以动能先变大后变小，弹力一直做负功，弹性势能一直增加，整个下落过程中，重力势能的减小量等于重力所做的功，重力势能的改变量只与高度差有关，与重力势能的零势能点选取没有关系。
故选B。
7．C
【解析】
AB．静止的小球沿不同的轨道由同一高度滑到水平桌面上，由于高度差相同，所以重力做的功相同，故AB错误；
CD．重力势能的变化量与零势能面的选取无关，重力做的正功等于重力势能的减小量，重力做功为mgh，则重力势能减小mgh，故C正确，D错误。
故选C。
8．C
【解析】
弹力做功等于弹性势能的变化，由于两次都是从O点出发，最终到达A'点，则两次弹簧的形变量相同，弹性势能相同，即两次弹力做功相同，即。
故选C。
9．C
【解析】
AB．重物由A点摆向最低点B的运动中，重力做正功，弹簧伸长，弹力对重物做负功，弹簧弹性势能增加，AB错误；
C．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做正功，由于细绳不可伸长，细绳上弹力一直与重物速度方向垂直，弹力不做功，C正确；
D．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，由于细绳不可伸长，重物下落的高度变小，重力做功变小，细绳上弹力一直与重物速度方向垂直，弹力不做功，D错误。
故选C。
10．A
【解析】
ABD．运动员撑杆起跳后，杆弯曲程度先逐渐变大再减小，到运动员水平越过横杆时，杆竖直且恢复原状，所以杆的弹性势能先增大后减小，杆对运动员先做负功后做正功，A正确，B、D错误。
C.运动员越过横杆正上方时有水平方向的速度，C错误。
故选A。
11．AC
【解析】
AB．重力势能与高度有关，物体被举得越高，重力势能越大，故A正确，B错误；
CD．重力势能为mgh，质量相等，高度相同时，重力势能一定相等，故C正确，D错误。
故选AC。
12．AB
【解析】
A. 重力势能的变化只跟物体所处的初、末位置有关，与物体实际经过的路径无关，故A正确；
B. 重力做功，物体重力势能变化，重力势能的变化只跟重力做功有关，和其他力做功多少无关，故B正确；
C. 重力势能是标量，只有大小，没有方向，重力势能的正负不表示方向，与零势能面的选取有关，故C错误；
D. 重力势能的变化量等于重力对物体做的功的负值，故D错误．
故选AB.
13．（1）5000J；（2）5000J
【解析】
（1）以水面为参考平面，则水平面处重力势能为0，运动员在跳台上的重力势能为
（2）运动员从起跳到入水的全过程，重力所做的功为
14．(1) -mgh ，mgh ，mgh ；(2) mgh ，mgh ；(3)0，0。
【解析】
(1)在物体由抛出位置1运动到最高位置2的过程中，重力所做的功是
WG=-mgh
克服重力做功
W=-WG=mgh
重力势能增加
△Ep=-WG=mgh
(2)在物体由位置2运动到跟位置1在同一水平面上的位置3的过程中，重力所做的功是
W′G=mgh
物体的重力势能减少
△E′p=-W′G=-mgh
(3)在物体由位置1运动到位置3的过程中，重力做功
W″G=mg（0-0）=0
物体的重力势能变化为0。
能力提升检测练习
一．单选题
1．一个的球从的高处落到一个水平板上又弹回到的高度，则整个过程中重力对球所做的功及球的重力势能的变化是（）（　　）
A．重力做功为 B．重力做了的负功
C．物体的重力势能一定减少 D．物体的重力势能一定增加
2．质量为0.5kg的小球，从桌面以上h1=0.4m的A点落到地面的B点，桌面高h2=0.8m。以桌面为参考平面，g取10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．小球在A点的重力势能为6J
B．小球在B点的重力势能为4J
C．小球从A点下落到B点的过程中重力势能减少了6J
D．小球从A点下落到B点的过程中重力做的功为-6J
3．如图所示，质量为m的小滑块从O点以速度v0沿水平面向左运动，小滑块撞击弹簧后被弹簧弹回并最终静止于O点，则运动过程中弹簧获得的最大弹性势能是(　　)
A． B． C． D．
4．一棵树上有一个质量为0.3kg的熟透了的苹果P，该苹果从树上与A等高处先落到地面C最后滚入沟底D。已知AC、CD的高度差分别为2.2m和3m，以地面C为零势能面，A、B、C、D、E面之间竖直距离如图所示。算出该苹果从A落下到D的过程中重力势能的减少量和在D处的重力势能分别是（g取10m/s2）（　　）
A．15.6J和9J B．9J和-9J C．15.6J和-9J D．15.6J和-15.6J
5．物体做自由落体运动，表示重力势能，h表示下落的距离，以水平地面为零势能面，下列图像中能正确反映和h之间关系的是（　　）
A．B．C．D．
6．如图所示，质量为m的物体由A点竖直向下运动到水平地面上的B点。已知A点距水平桌面的高度为，桌面距水平地面的高度为，重力加速度为g。 下列说法正确的是（　　）
A．物体在A点具有的重力势能不可能为0
B．物体在A点具有的重力势能一定为
C．以桌面为参考平面，物体在A点具有的重力势能为
D．以地面为参考平面，物体在A点具有的重力势能为
7．在光滑的桌面上有一根均匀柔软的质量为m、长为l的绳，其绳长的四分之一悬于桌面下，从绳子开始下滑至绳子刚好全部离开桌面的过程中，绳子的重力做功和重力势能变化如何（桌面离地高度大于l）（　　）
A．， B．，
C．， D．，
8．如图所示，弹簧原长，劲度系数为k。先把弹簧缓慢拉伸时拉力为F1；再把它继续缓慢拉伸，即拉伸的总长时拉力为F2，弹簧形变始终在弹性限度内。以下说法正确的是（　　）
A．第一次拉力做功W1与第二次拉力做功之比为1∶2
B．第一次拉伸后的弹簧的弹性势能与第二次拉伸后弹簧的弹性势能之比为1∶4
C．第一拉伸弹性势能的变化与第二次拉伸弹性势能的变化相等
D．拉伸过程中弹簧的弹力做了正功，所以弹簧的弹性势能增加
二．多选题
9．质量为m的物体，在距地面h高处以的加速度由静止竖直下落到地面的过程中（g为重力加速度），下列说法中正确的是（　　）
A．重力做功为 B．重力做功为
C．物体的重力势能减少了 D．物体的重力势能减少了
10．假设在无风的天气里，下落的毽子受到的空气阻力与其下落的速度大小成正比，一毽子从高处竖直向下落到地面，此过程中毽子的重力势能为（以地面为0势能面），毽子下落全程的图像可能正确的有（图中实线为曲线，虚线为直线段）（　　）
A． B．
C． D．
三．解答题
11．在水平地面上铺n块砖，每块砖的质量均为m，厚度均为h，如图所示。现将砖一块一块地竖直叠放起来，砖的重力势能增加多少？
12．如图，一劲度系数的轻质弹簧两端分别焊接着A、B两物体，，直立于水平地面而静止，现给物体加一个竖直向上的力，使缓慢向上运动，直到B刚要离开地面。设整个过程弹簧都处于弹性限度内，。
（1）B刚要离地时的弹性势能与最初的弹性势能相比，大小关系如何？（不用定量计算）
（2）求整个过程中，物体克服重力做的功？
能力提升检测练习——【答案解析】
1．C
【解析】
重力做的正功
重力做的功等于重力势能的减少量，因此重力势能减少。
故选C。
2．C
【解析】
AB．小球在A点时的重力势能
EpA=mghA=0.5×10×0.4J=2J
小球在B点时的重力势能
EpB=mghB=0.5×10×（-0.8） J=-4J
选项AB错误；
CD．小球从A点下落到B点的过程中减少的重力势能等于这一过程重力做的功，即
ΔEp=WG=mghAB=0.5×10×1.2J=6J
选项C正确，D错误。
故选C。
3．B
【解析】
设动摩擦因数为μ，O点离弹簧右端距离为L，弹簧最大压缩量为，小滑块从O点运动到弹簧压缩量最大时，速度减为0，由动能定理可得
再分析弹簧压缩量最大到小滑块最终静止的过程，由动能定理可得
联立可得
故弹簧获得的最大弹性势能是，选项B正确，ACD错误。
故选B。
4．C
【解析】
以地面C为零势能面，根据重力势能的计算公式得D处的重力势能
Ep=mgh=0.3×10×（-3）J=-9J
从A下落到D的过程中重力势能的减少量
ΔEp=mgΔh=0.3×10×（2.2＋3）J=15.6J
故选C。
5．B
【解析】
设初始位置距地面的高度为H，则
整理得
图像时一次函数。
故选B。
6．D
【解析】
AB．重力势能的大小与选择的参考面有关，如果选择A点处为参考面，则物体在A点具有的重力势能为零，AB错误；
C．以桌面为参考平面，物体在A点具有的重力势能为，C错误；
D．以地面为参考平面，物体在A点具有的重力势能为，D正确。
故选D。
7．A
【解析】
设桌面为零势能面，将链条分成水平部分和竖直部分两段，水平部分的重力势能为零，竖直部分的重心在竖直段的中间，高度为，而竖直部分的重力为，重力势能
绳子刚好全部离开桌面，则高度为，而竖直部分的重力为，重力势能
重力势能的变化量
重力做的功
故A正确，BCD错误。
故选A。
8．B
【解析】
A．第一次拉力做功W1与第二次拉力做功之比为
A错误；
B．根据功能关系，弹开克服拉力做功等于弹簧增加的弹性势能，所以第一次拉伸后的弹簧的弹性势能与第二次拉伸后弹簧的弹性势能之比为1∶4。B正确；
C．根据功能关系，第一拉伸弹性势能的变化为
第二次拉伸弹性势能的变化为
所以两次弹性势能的变化之比为1:3，C错误；
D．拉伸过程中弹簧的弹力做了负功，所以弹簧的弹性势能增加。D错误。
故选B。
9．AD
【解析】
AB．重力做功为
B错误A正确；
CD．物体在下落过程中，重力做正功为mgh，则重力势能减小量为mgh， C错误D正确。
故选AD。
10．AC
【解析】
毽子在某时刻的重力势能
则EP-t图像应该是开口向下，向下弯曲的曲线；因为毽子受空气阻力正比于速度，则
则随速度增加，加速度减小，当加速度减为零时，毽子匀速下落，此时下落的距离随时间均匀减小，则重力势能随时间均匀减小。若毽子在匀速之前没有落地，则图像为A；若毽子在落地之前已经匀速，则图像为C。
故选AC。
11．n（n－1）mgh
【解析】
取n块砖的整体为研究对象，平放时重心的高度
h1＝
选取地面为参考平面，其相应的重力势能为
Ep1＝
n块砖被竖直叠放后的重心高度
h2＝
其相应的重力势能为
Ep2＝nmg·＝
故
ΔEp＝Ep2－Ep1＝－＝n（n－1）mgh
12．（1）初状态的弹性势能大于末状态的弹性势能；（2）
【解析】
（1）初始状态弹簧弹力等于的重力，末状态弹簧弹力等于B的重力，由，所以弹簧初始状态的形变量大于末状态的形变量，弹性势能与形变量有关，故初状态的弹性势能大于末状态的弹性势能；
（2）设弹簧在初状态的压缩量为，末状态的伸长量为，根据胡克定律有
代入数据得
且
代入数据得
的位移为
物体克服重力做功