2.3 生活中的圆周运动 学案（含答案）

第三节 生活中的圆周运动
教学目标
进一步理解圆周运动，并掌握圆周运动问题的解题思路
掌握生活中与圆周运动的实力分析
教学重点
生活中的圆周运动的实力分析
三．知识点精讲
知识点一：汽车转弯
1.在水平路面情况下，汽车转弯所需的向心力是由车轮与地面之间的静摩擦力提供的。即：
2.当汽车刚好不滑动时，，这时可计算出汽车转弯的临界速度，如果汽车速度大于这个临界速度，则会出现侧滑，容易造成事故。
知识点二：火车转弯问题
1.火车车轮结构——火车的车轮内侧有轮缘，可以防止火车脱轨。
2.分析火车转弯向心力的来源——让外轨高于内轨，转弯时所需的向心力由重力和支持力的合力提供：
（注意：合力是水平方向）
解得火车转弯速度
3.速度与压力的关系
分析：汽车转弯时若太快，容易向外侧滑动。同理，火车转弯时若太快，也容易向外侧侧翻，所以会挤压外轨，反之挤压内轨。即
v＞v0时，火车挤压外轨。
v＜v0时，火车挤压内轨。
4.飞机转弯、赛车转弯、飞鸟转弯的原理与火车转弯一样：
知识点三：汽车过桥问题
类型 汽车过凸形桥 汽车过凹形桥
受力分析 G=mg G=mg
力学方程 mg-FN=（基本公式） FN-mg=（基本公式）
讨论 汽车处于失重状态。（具有向下的加速度） 当v增大时，则FN将减小。 当v增大到时，FN=0，汽车将做平抛运动。 汽车处于超重状态。（具有向上的加速度） 当v增大时，则FN将增大， 若速度过大，则容易发生爆胎事故
说明 注意，上述分析过程所求的FN是汽车所受到的支持力，若题目问汽车对地面的压力，则还需根据牛顿第三定律，F压=FN。否则会扣分。
知识点四：圆锥摆、漏斗摆
类型 圆锥摆 漏斗摆
受力分析 物体沿光滑漏斗某平面上做匀速圆周运动，物体只受两个力：支持力、重力
合力提供向心力
知识点五：重要模型分析
模型 示意图 模型分析
绳模型 无支撑情况 【说明】 小球在圆环轨道内运动时，分析方法与绳模型相同 在最高点： 合力提供向心力：，F方向竖直向下 v越大，F越大；反之，v越小，F越小。当F=0时，v最小，且v=，这个速度叫做临界速度。 当弹力为零时（临界情况）： v=时（球恰好能过最高点），绳子对物体的弹力为零 ②v＜时，物体将做向心运动而不能到达最高点。
杆模型 有支撑情况 【说明】 当小球在光滑圆形轨道内运动时，分析方法与杆模型相同 在最高点： 速度可以为零。 若速度不为零，则： v=时，杆对物体没有力的作用， v＜时，杆对物体有向上的支持力， v＞时，杆对物体有向下的拉力， 方法：在处理杆模型最高点问题时，如果判断不准弹力方向，可先假设一个弹力的方向，按照假设的力进行受力分析，列方程，求解，如果结果是正数，说明实际方向与假设方向相同；如果结果是负数，说明实际方向与假设方向相反。
知识点六：水平面内的圆周运动的临界问题
类型 光滑水平面·绳 光滑水平面·弹簧 粗糙水平面 粗糙水平面·绳 洗衣机脱水桶
示意图
说明 绳的拉力提供向心力，临界情况是绳子恰好拉断时 弹簧弹力提供向心力，需注意运动半径是变化的 静摩擦力提供向心力，临界情况是当静摩擦力达到最大静摩擦力时 当转动较慢时，静摩擦力提供向心力，当转速达到某一临界值后，由静摩擦力和拉力共同提供向心力 支持力提供向心力，静摩擦力等于重力，临界条件是：重力等于最大静摩擦力
四．典型例题练习
典型例题一：汽车转弯模型
1.如图所示，一辆汽车在水平路面上行驶，正在通过环形路段。汽车的运动轨迹可以认为是某个圆的一段圆弧。若汽车以恒定的速率通过该环形路段，下列说法正确的是（　　）
A．汽车所受合外力为零
B．汽车所受合外力沿汽车运动方向
C．汽车所受合外力背离环形路段的圆心
D．汽车所受合外力指向环形路段的圆心
如图是汕尾市城区某环岛交通设施，路面水平，通过路口的车辆都按照逆时针方向行进。假2.设某时甲、乙两车匀速通过环形路段，甲行驶在内侧，乙行驶在外侧，它们转弯时线速度大小相等，设甲所在车道的轨道半径为，乙所在车道的轨道半径为。假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.8倍，g取，则关于此过程中两汽车的运动，下列说法正确的是（　　）
A．乙车的最大速度可以达到 B．当乙车的速度大于时，可能会撞上甲车
C．两车的角速度大小相等 D．向心加速度大小：
3．在室内自行车比赛中，运动员以速度在倾角为的赛道上做匀速圆周运动。已知运动员的质量为，做圆周运动的半径为，重力加速度为，则下列说法正确的是（ ）
A．运动员做圆周运动的角速度为
B．运动员做匀速圆周运动的向心力大小是
C．运动员做匀速圆周运动的向心力大小一定是
D．将运动员和自行车看做一个整体，则整体受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
典型例题二：火车过弯轨道模型
1.如图所示，修筑铁路时在转弯处外轨略高于内轨，高度差要根据弯道的半径和规定的行驶速度确定，这样可以使火车在转弯处减轻轮缘对内外轨的挤压。下列说法正确的是（　　）
A．外轨对轮缘的弹力是火车转弯所需向心力的主要来源
B．转弯时规定速度的大小随火车总质量的改变而改变
C．若火车转弯时的速度低于规定速度，轮缘不会挤压内外轨
D．若火车转弯时的速度超过规定速度，外轨对轮缘会有挤压作用
2．铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若火车质量为m，重力、支持力的合力提供的向心力大小为mgtanθ，则（　　）
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．火车转弯的速度大于 D．火车转弯的速度等于
3.近年来我国高速铁路发展迅速，现已知某新型国产机车总质量为m，如图已知两轨间宽度为L，内外轨高度差为h，重力加速度为g，弯道半径为R。
（1）该弯道处设计成内外轨存在高度差的原因是________。
（2）该弯道处最为适宜的通过速度是______。
典型例题三：汽车过拱形桥模型
1.如图所示，当汽车以一定的速度过拱形桥和凹形路面时，下列说法正确的是（　　）
A．图甲中汽车对桥面的压力大于车的重力
B．图乙中汽车对路面的压力小于车的重力
C．图甲中汽车的速度越大、汽车对桥面的压力越大
D．图乙中汽车的速度越大，汽车对路面的压力越大
2．有一辆质量为800kg的小汽车驶上圆弧半径为50m的拱桥．取重力加速度大小g=10m/s ．
(1)若汽车到达桥顶时速度为5m/s，求汽车对桥的压力大小．
(2)若汽车经过桥顶时恰好对桥顶没有压力而腾空，求汽车的速度大小．
(3)汽车对地面的压力过小是不安全的，对于同样的车速，请分析说明拱桥圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全．
3．公路在通过小型水库泄洪闸的下游时常常要修建凹形路面，也叫“过水路面”。如图所示，一辆汽车经过凹形路面时的运动可近似看作半径为R的圆周运动，汽车到达路面最低处时的速度大小为v。已知汽车质量为m，重力加速度为g。
（1）求这辆汽车经过凹形路面最低处时，路面对汽车的支持力大小F；
（2）小明认为，汽车通过凹形路面最低处时的速度越大，其对路面的压力越大。你认为小明的说法是否正确？请说明理由。
典型例题四：竖直面内的圆周运动模型
（多选）1.一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．若小球过最高点的速度时，杆对球的作用力竖直向下
D．若小球过最高点的速度时，速度v越小，杆对球的作用力越大
（多选）2．如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球（直径略小于管内径）一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v，已知重力加速度为g ， 则下列叙述中正确的是（　　）
A．v的极小值为0
B．v由零逐渐增大的过程中，轨道对球的弹力先减小再增大
C．当v由值逐渐增大的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐增大
D．当v由值逐渐减小的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐减小
3.杂技表演中有一个“水流星”的节目：在一只水杯中装上水，然后让水杯在竖直平面内做圆周运动，水不会洒出来。如图所示为水流星运动的示意图，一细绳与水杯相连，杯中装有水，水杯与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m=0.5 kg，水的重心到转轴的距离L=40 cm。（g=10 m/s2）
（1）若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；
（2）若在最高点水桶的速率v=4 m/s，求桶底对水的压力大小
典型例题五：圆锥摆和漏斗模型
1.如图所示，质量相同的质点A、B被用轻质细线悬挂在同一点O，在同一水平面上做匀速圆周运动，则（　　）
A．A的线速度一定比B的线速度大 B．A的角速度一定比B的角速度大
C．A的加速度一定比B的加速度小 D．A所受细线的拉力一定比B所受的细线的拉力小
（多选）2.长度L＝0.5m的细线，拴一质量m＝2kg的小球（不计大小），另一端固定于O点。让小球在水平面内做匀速圆周运动，这种运动通常称为圆锥摆运动。如图所示，摆线与竖直方向的夹角α＝37°，重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．细线的拉力大小为25N B．小球运动的角速度为5rad/s
C．小球运动的线速度大小为1.2m/s D．小球所受到的向心力大小为15N
典型例题六：水平内的临界问题
1.一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m（M>m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的倍，两物体用一根长为L（LA．随着角速度的增大的过程中，物块m受到的摩擦力先增加再逐渐减少
B．随着角速度的增大的过程中，物块M始终受到摩擦力
C．则圆盘旋转的角速度最大不得超过
D．则圆盘旋转的角速度最大不得超过
（多选）2.如图所示，质量均为m的A、B两物块用长为3r的细线相连后，放置在水平台面上，A、B到转轴的距离分别为2r和r，A、B均可看成质点。现使A、B在水平台面上随转台一起做匀速圆周运动，物块和水平面间的动摩擦因数为μ，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．时，细线的拉力为零
B．当，B受到的摩擦力为零
C．A、B物块相对转台静止时，细线的最大拉力为2μmg
D．当，A、B物块开始相对转台滑动
基础知识过关检测
一．单选题
1．如图所示，质量为的小球在竖直平面内的固定光滑圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为，当小球以的速度经过最高点时，对轨道的压力大小是（重力加速度为）（　　）
A．10 B．8
C．4 D．2
2．不可伸长的轻绳一端系有一小球，另一端固定在光滑的转轴O上，现给球一初速度，使球和轻绳一起绕轴在竖直面内转动，不计空气阻力。关于球过最高点时轻绳对小球的作用力，说法正确的是（　　）
A．可能是拉力，也可能是推力
B．一定是拉力
C．一定等于0
D．可能是拉力，也可能等于0
3．如图所示，汽车以大小相等的速率通过凹凸不平的路面时，下列说法正确的是（　　）
A．汽车通过B点时容易爆胎
B．汽车经过A、B两点均处于超重状态
C．汽车通过B点对路面压力值小于汽车的重力
D．汽车经过A、B两点时对路面压力值均等于车的重力
4．如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　）
球A的线速度必定大于球B的线速度
B．球A的角速度必定等于球B的角速度
C．球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D．球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
5．一质量为的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为，当汽车经过半径为的弯道时，下列判断正确的是（　　）
A．汽车转弯时不受摩擦力的作用
B．汽车转弯的速度为时所需的向心力为
C．汽车转弯的速度为时汽车不会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度可以超过
二．多选题
6．如图所示，质量分别为2m和m的可视为质点的小物块A和B放在粗糙的水平转台上，其离转轴的距离均为r，小物块与圆盘间的动摩擦因数均为μ，忽略空气阻力的影响，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当转台开始旋转时，下列说法正确的是（　　）
A．若转速缓慢增加，小物块B最先相对转台滑动
B．在小物块均未相对转台滑动前，A和B的向心力大小相等
C．在小物块均未相对转台滑动前，A和B的向心加速度大小相等
D．A、B两个小物块即将相对转台滑动的最大角速度ω均等于
7．如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做半径为R的圆周运动，下列说法正确的是（　　）
A．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力一定大于自身重力
B．小球通过管道最高点时，速度应不小于
C．小球以大于的速度通过最高点时，小球对管道的压力一定竖直向上
D．小球通过管道最高点时，对管道一定有压力
8．有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　）
A．如图a，汽车通过拱形桥最高点时对桥的压力大于自身重力
B．如图b所示是一圆锥摆模型，增大θ，但保持圆锥摆的高度不变，则小球的角速度变大
C．如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A位置小球所受筒壁的支持力与在B位置时所受支持力大小相等
D．如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，外轨和轮缘间会有挤压作用
9．如图所示，汽车过拱形桥时的运动可以看做匀速圆周运动，质量为1吨的汽车以20m/s的速度过桥，桥面的圆弧半径为100m，g取10m/s2。当汽车经过桥顶时（　　）
A．汽车的向心加速度是4m/s2
B．汽车受到的合力是4×103N
C．汽车受到的支持力是6×103N，方向竖直向上
D．汽车对桥的压力是6×103N，方向竖直向下
10．修筑铁路时，弯道处的外轨高于内轨，如图所示。当火车以规定速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此速度大小为，重力加速度为，两轨所在面的倾角为，则（　　）
A．该弯道的半径
B．该弯道的半径
C．火车行驶速度小于时，内轨将受到轮缘的挤压
D．火车行驶速度大于时，内轨将受到轮缘的挤压
11．如图甲所示，一长为l的轻绳，一端固定在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知、可视为质点的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的拉力F大小与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是（ ）
A．图像函数表达式为F = + mg
B．重力加速度g =
C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
D．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变
三．解答题
12．长为L=2m的细线，拴一质量为m=0.2kg的小球，一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动（这种运动通常称为圆锥摆运动）。如图所示，当摆线与竖直方向的夹角为α=37°时，不计空气阻力，（取sin37°=0.60，cos37°=0.80，g取10m/s2）求：
（1）细线的拉力F的大小；
（2）小球运动的线速度大小；
（3）小球运动的角速度及周期。
13．如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的轻绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间的最大静磨擦力是其正压力的μ倍。求：
（1）当时，绳上的拉力多大？
（2）当时，绳上的拉力多大？
基础知识过关检测——【答案解析】
1．B
【解析】
当小球以速度v经内轨道最高点时不脱离轨道，小球仅受重力，重力充当向心力，有
当小球以速度3v经内轨道最高点时，小球受重力和向下的支持力，合外力充当向心力，有
解得
由牛顿第三定律得到，小球对轨道的压力8mg
故选B。
2．D
【解析】
球过最高点时轻绳对小球的作用力可能是拉力，不可能是推力；当满足
即
时，绳子的拉力为零；当时，绳子的拉力不为零。
故选D。
3．C
【解析】
汽车经过B点时有向下的加速度，处于失重状态，根据牛顿第二定律，得
所以小于汽车的重力，结合牛顿第三定律，可知汽车经过B点时对路面压力值小于汽车的重力；汽车经过A点时有向上的加速度，处于超重状态，根据牛顿第二定律，得
所以大于汽车的重力，结合牛顿第三定律，可知汽车经过A点时对路面压力值大于汽车的重力，所以在A处比较容易爆胎，故选C。
4．A
【解析】
ABC．对小球受力分析，可得
由牛顿第二定律可得
解得
由几何关系可知
易知
故A正确；BC错误；
D．筒壁对小球的支持力与小球自身重力的关系为
解得
易知，筒壁对两小球的支持力相同，根据牛顿第三定律可得两小球对筒壁的压力也相同。故D错误。
故选A。
5．B
【解析】
A. 汽车转弯时摩擦力提供做圆周运动的向心力，A错误；
B. 汽车转弯的速度为时所需的向心力为
B正确；
C. 汽车转弯的速度为时所需的向心力为
则汽车会发生侧滑，C错误；
D. 汽车能安全转弯的向心加速度最大值满足
可得
am=7m/s2
则汽车能安全转弯的向心加速度不可以超过，D错误。
故选B。
6．CD
【解析】
AD．对物块受力分析可知，两物块均由静摩擦力提供向心力，由
可知，当f达最大静摩擦力时，最大
可知其与物体的质量无关，只与物块的转动半径和动摩擦因数有关，故当达一定大小时，两物块一起相对转台滑动，A错误，D正确；
B．根据向心力公式可知
两物块的质量不等，则向心力不等，B错误；
C．根据
可得
可知向心加速度与质量无关，C正确。
故选CD。
7．AC
【解析】
A．在最低点
可知最低点管道对小球的支持力大于小球重力，根据牛顿第三定律，小球对管道的压力等于管道对小球的支持力，故小球对管道的压力一定大于自身重力，A正确；
BCD．小球通过管道最高点时只要速度大于等于零均可，在最高点，当只由重力提供向心力时，可知速度为，此时轨道对小球无作用力，当时，轨道对小球的作用力竖直向下，外轨对小球有作用力，当时，轨道对小球的作用力竖直向上，内轨对小球有作用力，故BD错误，C正确。
故选AC。
8．CD
【解析】
A．题图a中，汽车通过拱形桥最高点时，重力和支持力的合力提供向心力，即
可见，由牛顿第三定律知此时汽车对桥的压力小于自身重力，故A错误；
B．题图b中，设小球的角速度为ω，圆锥摆高度为h，则根据牛顿第二定律有
mg tan θ=mω2h tan θ
所以当增大θ且h不变时，ω不变，故B错误；
C．题图c中，A、B与圆锥顶点连线和竖直方向的夹角大小相同，支持力的竖直分力平衡重力
所以在A位置小球所受筒壁的支持力与在B位置时所受支持力大小相等，故C正确；
D．题图d中，火车转弯超过规定速度行驶时，重力和轨道支持力的合力不足以提供火车所需向心力，所以外轨和轮缘之间会存在挤压作用，故D正确。
故选CD。
9．ABCD
【解析】
AB．过桥顶时，由匀速圆周运动的知识可得
，
故AB正确；
CD．过桥顶时，对汽车根据牛顿第二定律得
解得
即汽车受到的支持力是，方向竖直向上；
根据牛顿第三定律可知，汽车对桥的压力
故CD正确；
故选ABCD。
10．AC
【解析】
AB．当火车以规定速度v转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，恰好由重力及支持力的合力F作为向心力，由牛顿第二定律可得
解得该弯道的半径为
A正确，B错误；
C．火车行驶速度小于时，F大于所需向心力，有做近心运动的趋势，内轨将受到轮缘的挤压，火车行驶速度大于时，F小于所需向心力，有做离心运动的趋势，外轨将受到轮缘的挤压，C正确，D错误。
故选AC。
11．BD
【解析】
A．小球通过最高点时有F + mg = m，故图像函数表达式为F = v2 - mg，A错误；
B．当F = 0时，v2 = b，解得重力加速度g = ，B正确；
C．图线的斜率k = ，绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更小，选项C错误；
D．由于b = gl，绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变，选项D正确。
故选BD。
12．（1）2.5N；（2）3m/s；（3）；2.5s
【解析】
（1）对小球受力分析如图所示
小球受重力mg和绳子的拉力F，因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指向圆心O'，且沿水平方向，由平行四边形定则得小球受到的合力大小为
细线对小球的拉力大小为
（2）由牛顿第二定律得
由几何关系得
联立可求得小球做匀速圆周运动的线速度的大小为
（3）根据
可求得
小球运动的周期
13．（1）FT1 = 0；（2）
【解析】
（1）设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为ω0，则
μmg = mrω02
解得
因为
所以物体所需向心力小于物体与盘间的最大摩擦力，则物与盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即
FT1 = 0
（2）因为
所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力FT2，由牛顿第二定律得
解得
能力提升检测练习
一．单选题
1．老鹰在空中盘旋时，必须倾斜翅膀，靠空气对翅膀的作用力和老鹰的重力的合力来提供向心力，如图所示，已知空气对老鹰翅膀的作用力垂直于老鹰的翅膀。假设老鹰以角速度ω、线速度v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，翅膀与水平方向的夹角为θ，为保证老鹰仅依靠重力和空气对翅膀的作用力的合力提供向心力，下列说法正确的是（　　）
A．若飞行速率v增大，θ增大，则角速度ω可能不变
B．若R不变、θ减小，则角速度ω必须要变大
C．若角速度ω不变，θ增大，则半径R减小
D．若θ不变、飞行速率v增大，则半径R必须要变小
2．如图所示，山崖边的公路常被称为最险公路，一辆汽车欲安全通过此弯道公路（公路水平），下列说法不正确的是（　　）
A．若汽车以恒定的角速度转弯，选择内圈较为安全
B．若汽车以恒定的线速度大小转弯，选择外圈较为安全
C．汽车在转弯时受到重力、支持力和摩擦力作用
D．汽车在转弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力作用
3．如图所示，细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个钉子P，小球从左侧一定高度摆下。下列说法中正确的是（　　）
A．在摆动过程中，小球所受重力和绳子拉力的合力始终等于向心力
B．小球经过最低点时，加速度不变
C．小球经过最低点时，速度不变
D．钉子位置离O点越近，绳就越容易断
4．如图所示，小球沿半径为R的光滑竖直固定圆环从底端向上运动，若小球恰能到达最高点，已知重力加速度为g，则小球在最高点的速度大小为（　　）
A． B． C． D．0
5．如图甲所示，透明弹跳球是儿童喜欢的玩具：如图乙所示，用手拉着不可伸长绳子的一端使弹跳球在水平面内做匀速圆周运动，且拉绳的手保持静止，弹跳球两次做圆周运动的平面分别为平面a和平面b。绳子质量和空气阻力不计，弹跳球可视为质点，下列说法不正确的是（　　）
A．弹跳球在平面a上运动的角速度较大
B．弹跳球在平面a上运动的线速度较大
C．弹跳球在平面a上运动的周期较大
D．弹跳球在平面a上运动时绳子的拉力较大
6．如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g，则下列说法不正确的是（　　）
A．小球在圆周最高点时所受向心力可能等于重力
B．小球在圆周的最高点时绳子的拉力可能为零
C．若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点速率是0
D．若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点速率是
二．多选题
7．长为L的轻杆一端固定一个小球，另一端固定在光滑水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在过最高点的速度v，下列叙述中正确的是：（　　）
A．v的极小值为
B．v逐渐增大过程，杆对小球的弹力也逐渐增大
C．当v由值逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大
D．当v由值逐渐减小时，杆对小球的弹力也逐渐增大
8．如图所示，用长为细线悬挂一个质量为的小球，使小球在水平面内做圆锥摆运动，细线与竖直方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度为，则（　　）
A．细线的拉力大小为 B．小球运动的加速度大小为
C．小球运动的角速度大小为 D．小球运动的线速度大小为
9．如图所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为和，有、两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　）
A．、球受到的支持力之比为 B．、球的向心力之比为
C．、球运动的角速度之比为 D．、球运动的线速度之比为
三．解答题
10．如图所示，质量为m=0.2kg的小球固定在长为L=0.9m的轻杆一端，杆可绕另一端点O在竖直平面内转动，取。求：
（1）小球在最高点对杆作用力为零时的速度大小；
（2）小球在最高点速度时，对杆的作用力大小与方向。
11．杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动。如图所示，杯内水的质量m＝0.5kg，绳长l＝60cm，g取9.8m/s2，求：
（1）在最高点水不流出的最小速率；
（2）水在最高点速率v′＝3m/s时，水对杯底的压力大小。
12．有一辆质量为600kg的小汽车驶上圆弧半径为50m的拱桥。（g=10m/s2）问：
（1）汽车到达桥顶时速度为6m/s，汽车对桥的压力是多大？
（2）汽车以多大速度经过桥顶时便恰好对桥没有压力而腾空？
（3）汽车对地面的压力过小是不安全的。因此从这个角度讲，汽车过桥时的速度不能过大。对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？请列式说明。
能力提升检测练习——【答案解析】
1．A
【解析】
对翅膀受力分析如图所示，为保证老鹰只依靠重力和空气对翅膀的作用力的合力提供向心力做圆周运动，可知
B．当R不变、减小时，必须要变小，B错误；
C．不变，增大，则半径R必须变大，C错误；
D．不变、飞行速率v增大，则半径R必须要变大，D错误；
A．飞行速率v增大，增大时，R可以变大、变小或者不变，均可让
成立，根据
可知，可能变大，也可能变小，也可能不变，故A正确。
故选A。
2．D
【解析】
CD．汽车在转弯时受到重力、支持力和摩擦力作用，其中摩擦力提供向心力。故C正确，与题意不符；D错误，与题意相符；
AB．汽车转弯时，径向的静摩擦力提供向心力有一个最大静摩擦力的限制，所需向心力越小，则汽车越安全。根据公式
易知，汽车以恒定的角速度转弯，选择内圈时，轨道半径较小，所需向心力较小，较为安全；汽车以恒定的线速度大小转弯，选择外圈时，轨道半径较大，所需向心力较小，较为安全。故AB正确，与题意不符。
故选D。
3．C
【解析】
C. 小球经过最低点时，合力与速度垂直，速度不变，C正确；
A. 在摆动过程中，小球所受重力和绳子拉力沿着半径方向分力的合力始终等于向心力，A错误；
B. 根据
小球经过最低点时，速度不变，圆周运动的轨道半径突然减小，加速度增大，B错误；
D. 根据牛顿第二定律
解得
小球经过最低点时，速度不变，钉子位置离O点越近，圆周运动的轨道半径越大，绳的拉力越小，绳就越不容易断，D错误。
故选C。
4．B
【解析】
小球恰能到达最高点，重力提供向心力，即
解得
故选B。
5．C
【解析】
D．设弹跳球的质量为m，绳子的长度为L，绳子与竖直方向的夹角为，对小球受力分析，由
可知弹跳球在平面a上运动时绳子的拉力较大，故D正确，与题意不符；
ABC．由牛顿第二定律得
其中
解得
所以弹跳球在平面a上运动的角速度较大、线速度较大、周期较小，故C错误与题意相符；AB正确，与题意不符。
本题选不正确的，故选C。
6．C
【解析】
AB．小球在圆周最高点时可能恰好由重力提供向心力，此时绳子的拉力为零，AB正确；
CD．若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，恰好由重力提供向心力，由牛顿第二定律得
得
C错误，D正确。
本题选不正确的，故选C。
7．CD
【解析】
A．v的极小值为0，A错误；
BCD．当物体的速度小于，杆对小球的力竖直向上，此时由
速度越小杆对球的力越大，当速度大于，杆对小球的力竖直向下，此时
可知速度越大杆对球的力越大，故B错误CD正确。
故选CD。
8．ACD
【解析】
对小球受力分析，如图
A．细线的拉力大小为
解得
故A正确；
B．小球运动的加速度，由牛顿第二定律可得
解得
故B错误；
C．由合力提供向心力，可得
解得
故C正确；
D．由线速度与角速度关系式，可得
故D正确。
故选ACD。
9．BD
【解析】
A．对小球A、B受力分析，受到重力和支持力，在竖直方向合力为零，则有
则有
解得
故A错误；
B．受到重力和支持力，合力提供向心力，则有
解得
故B正确；
C．小球运动轨道高度相同，则半径
根据
可得
解得
故C错误；
D．根据
可得
根据
可得
故D正确。
故选BD。
10．（1）；（2）1.5N，方向竖直向下
【解析】
（1）球在最高点对杆作用力为零时，其重力提供球绕O作圆周运动所需向心力，故有
代入数据解得
（2）当球在最高点速度为时，设杆对球的作用力为F，取竖直向下为正方向，则有
代入数据得
由牛顿第三定律得
球对杆的作用力为
方向竖直向下。
11．（1）1.71m/s；（2）10.1N
【解析】
（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即
则所求最小速率
(2)当水在最高点的速率大于v0时，重力不足以提供向心力，此时杯底对水有一竖直向下的压力，设为FN，由牛顿第二定律有
即
由牛顿第三定律知，水对杯底的压力
12．（1）5568N；（2）m/s；（3）见解析
【解析】
（1）当汽车到达桥顶时的速度为v1=6m/s时，设桥对汽车的支持力大小为FN，则根据牛顿第二定律可得
解得
根据牛顿第三定律可知汽车对桥的压力大小为
（2）设汽车以速度v2经过桥顶时恰好对桥没有压力而腾空，根据牛顿第二定律可得
解得
（3）根据（1）中分析可知汽车对桥面的压力大小为
对于同样的车速，拱桥圆弧的半径越大，F压越大，所以半径大些比较安全。