2022-2023学年北师大版九年级数学上册1.2 矩形的性质与判定同步练习（含解析）

北师大版九上 1.2 矩形的性质与判定
一、选择题（共15小题）
1. 如图， 中，，，，则 等于
A. B. C. D.
2. 下列说法正确的是
A. 有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B. 有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
C. 对角线互相平分的四边形是矩形
D. 对角互补的平行四边形是矩形
3. 矩形具有而菱形不具有的性质是
A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等
C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等
4. 如图所示，公路 ， 互相垂直，公路 的中点 与点 被湖隔开，若测得 的长为 ，则 两点间的距离为
A. B. C. D.
5. 在直角三角形中，若有一个锐角为 ，则等于斜边一半的是
A. 斜边上的高 B. 斜边上的中线
C. 直角的平分线 D. 较小角所对的直角边
6. 如图，平行四边形 的对角线 ， 交于点 ，顺次连接平行四边形 各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：① ；② ；③ ；④ ，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 如图，在 中，，，垂足为 ， 是 的中点．若 ，则 的长为
A. B. C. D.
8. 如图，矩形纸片 中，，，折叠纸片使 边全部落在对角线 上，折痕为 ，那么 的长为
A. B. C. D.
9. 如图，在矩形 中，，，过对角线交点 作 交 于点 ，交 于点 ，则 的长是
A. B. C. D.
10. 已知在四边形 中，，对角线 与 相交于点 ，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
11. 平行四边形 中，， 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形 是矩形，那么这个条件是
A. B. C. D.
12. 如图所示，点 是矩形 的对角线 的中点，点 为 的中点．若 ，，则 的周长为
A. B. C. D.
13. 如图，菱形 的一边中点 到对角线交点 的距离为 ，则菱形 的周长为
A. B. C. D.
14. 如图，在平面直角坐标系 中，若菱形 的顶点 ， 的坐标分别为 ，，点 在 轴上，则点 的坐标是
A. B. C. D.
15. 如图 所示，矩形纸片 中，，，现将其沿EF对折，使得点 与点 重合，则 的长为
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题）
16. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作学习小组的 位同学拟定的方法：①测量对角线是否互相平分；②测量两组对边是否分别相等；③测量一组对角是否都为直角；④测量其中三个角是否都为直角．其中正确的是 ．
17. 直角三角形的两直角边长分别为 和 ，则斜边中线的长是 ．
18. 在一个不透明的袋子中只装有 个白球和 个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ．若再放入 个红球，摸到红球的概率变为 ，那么 的值为 ．
19. 如图，已知 ， 与 ， 分别交于 ， 两点，过 ， 两点作两组内错角的平分线，交于点 ，，则四边形 （填“是”或“不是”）矩形．
20. 在 中，，， 边上的高 ，则 的长为 ．
21. 如图，矩形 中，，， 是边 上的动点，， 于点 ，则 的值为： ．
三、解答题（共5小题）
22. 如图，平行四边形 中，以对角线 为斜边作 ，又 ，求证：平行四边形 是矩形．
23. 如图，四边形 是矩形（），点 在 上，且 ，，垂足为 ．请探究 与 有何数量关系，写出你所得到的结论，并给予证明．
24. 已知：如图，在 中，，， 是边 上的中线．求证：．
25. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 ，每个小正方形的顶点叫做格点．以格点为顶点画三角形，使三角形的三边长分别为 ，，．
26. 在矩形 和 中，，．
（1）如图1，当点 在对角线 上，点 在 边上时，连接 ，取 的中点 ，连接 、 ，则 与 的数量关系是 ， ；
（2）如图2，将图1 中的 绕点 旋转，使点 在 的延长线上，（1）中的其他条件不变．
①（1）中 与 的数量关系仍然成立吗 请证明你的结论；
② 求 的度数．
答案
1. A
2. D
3. B
【解析】根据矩形与菱形的性质对各选项解析判断后利用排除法求解：
A.矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；
B.矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；
C.矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；
D.矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．
4. D
5. B
6. C
7. D
【解析】，
，
，
，
，
故选D．
8. C
9. B
【解析】连接 ，如图所示，
因为四边形 是矩形，
所以 ，，，，
因为 ，
所以 ，
设 ，则 ，
在 中，
由勾股定理得，，
解得 ，
即 ．
故选B．
10. B
【解析】A．，，无法得出四边形 是平行四边形，故无法判断四边形 是矩形．故错误；
B．，
，
，
，
得出四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形．故正确；
C．，，
，，
，
，
，
，
，
四边形 是菱形，无法判断四边形 是矩形．故错误；
D．， 无法判断四边形 是矩形，故错误．
11. B
12. C
【解析】 点 是矩形 的对角线 的中点，点 为 的中点，
，，
．
在 中，利用勾股定理求得 ．
在 中，利用勾股定理求得 ，
．
的周长为 ．
13. D
14. B
【解析】 菱形 的顶点 ， 的坐标分别为 ，，
，，
，
，
点 的坐标是 ．
15. B
【解析】设 ，则 .
矩形纸片 中，，，现将其沿 对折，使得点 与点 重合，
．
在 中，
，
.
解得 .
16. ④
17.
【解析】已知直角三角形的两直角边为 ，，
则斜边长为
故斜边的中线长为 ．
18.
【解析】根据题意得
解得 ，，
经检验 ， 是这个方程组的解，
所以 ．
19. 是
20. 或
【解析】分两种情况讨论：
（）如图，
在锐角 中，
，， 边上的高 ，
在 中，，，
由勾股定理得 ，
，
在 中，，，
由勾股定理得 ，
，
的长为 ；
（）如图，
在钝角 中，
，， 边上的高 ，
在 中，，，
由勾股定理得 ，
，
在 中，，，
由勾股定理得 ，
，
的长为 ．
故答案为 或 ．
21.
22. 连接 ，
四边形 是平行四边形，
，，
在 中，
为 中点，
，
在 中，
为 中点，
，
，
又 四边形 是平行四边形，
平行四边形 是矩形．
23. 结论：．
证明： 四边形 是矩形，
，，
．
，
．
，
，
．
24. 提示：先证明 ，推出 ；再证明 ，推出 ，得 ，所以 ．
25. 由于 ，因此可以构造一个两直角边长均为 的直角三角形，这个直角三角形的斜边长就是 ．要构造一条长度为 的线段，可构造一个直角边长分别为 和 的直角三角形，然后通过平移线段得到三角形．如图所示， 即为所求作的三角形．
26. （1） ；．
（2） 仍然成立．
分别延长 、 交于点 ，如图 ．
四边形 是矩形，
．
，
．
点 在 的延长线上，
．
．
是 的中点，
．
在 和 中，
．
．
在 中，．
即 ．
② 分别延长 、 交于点 ，如图 4．
，，
．
点 在直线 上，，
．
在 和 中，
．
．
，
．
．
，
．
．