2022-2023学年北师大版九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明 解答专项练习题（含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》
解答专项练习题（附答案）
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，F为BC边上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝10cm，BE＝18cm，求DE的长．
2．如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，BE，AD相交于点F．
（1）求证△ABD≌△BCE；
（2）求证AE2＝EF EB．
3．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，且∠A＝∠D，AB∥DE，BE＝CF，AC与DE交于点G．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）连结AD，若AD＝2，CG＝2AG，求BF的长．
4．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线BD上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△CBG；
（2）已知正方形ABCD的面积为8，G是对角线DB上靠近B的一个三等分点，求：GB GF的值．
5．如图，在矩形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，AF＝CE．
（1）试判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
（2）若BE⊥AC，BF＝10，BE＝6，求线段CF的长．
6．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AD＝2，AB＝6．求AC的长．
7．如图，菱形ABCD中，AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．
（1）求证：AF＝CE；
（2）延长CF，DA交于点G，若∠B＝30°，求AG：AD的值．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△ACB∽△DEB．
（2）若，BC＝9，求BE的长．
9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．
（1）求证：△ABC∽△BDC．
（2）若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．
10．如图，在 ABCD中，BD＝AD，延长CB到点E，使BE＝BD，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）连接DE交AB于点F，若DC＝6，DC：DE＝3：4，求AD的长．
11．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连结DE．
（1）求证：△ABE≌△DFA；
（2）若AD＝10，AB＝6，求DE的长．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点P是对角线BD上一点，连接AP，AE⊥AP，且，连接BE．
（1）当DP＝2时，求BE的长．
（2）四边形AEBP可能为矩形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，求出此时四边形AEBP的面积．
13．如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AD＝1.5，AB＝4，求AC的长．
14．如图，在 ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE与BF相交于点O，AE＝AD，AE平分BF，AF平分∠DAE．
（1）求证：OA＝OE+BE；
（2）求证：BE2＝2OE AE．
15．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，AC与DE交于点F．
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）若AC，AB＝2，求的值．
16．如图，矩形ABCD中，点E是AB的中点，过点E作CE的垂线，交CD的延长线于点G，交AD于点F，且F是AD中点．
（1）求证：△EBC∽△CEG；
（2）求证：BD2＝GD GC．
17．如图1，在△ABC中，BM是中线，AH是高，HD⊥BM于D，BH＝CM．
（1）求证：D为BM的中点；
（2）如图2，连接AD并延长交BC于E，若AB＝BM，EA＝EC．
①求证：△BDE∽△ABE；
②求的值．
18．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）求证：△APE∽△FPA；
（3）若PE＝4，PF＝12，求PC的长．
19．如图，在△ABC中，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．
（1）求证：△ECD∽△EDB；
（2）求△DCE与△ACB的周长比．
20．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，且∠CAB＝∠CBD，已知AB＝4，AC＝6，BC＝5，BD＝5.5．
（1）求DE的长；
（2）求的值．
参考答案
1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，
又∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，
由（1）得△ADE∽△DBE，
∴，
∵DC＝10cm，BE＝18cm，
∴AB＝DC＝10cm，AE＝AB+BE＝28cm，
即 ，
∴DE＝6（cm）．
2．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
（2）∵∠ABC＝∠BAC，
∴∠ABE+∠CBE＝∠BAF+∠EAF，
∵△ABD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠BAF，
∴∠ABE＝∠EAF，
∵∠AEF＝∠BEA，
∴△ABE∽△FAE，
∴，
∴AE2＝EF EB．
3．（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）解：如图：
∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，
∵AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AD＝BE＝2，∠B＝∠ADE，
∵BE＝CF，
∴AD＝BE＝CF＝2，
∵∠B＝∠DEC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵∠AGD＝∠EGC，
∴△AGD∽△CGE，
∴，
∴EC＝2AD＝4，
∴BF＝BE+EC+CF＝8，
∴BF的长为8．
4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，点G是对角线BD上一点，
∴BC＝BA，∠CBG＝ABG，
∵BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）；
（2）解：∵正方形ABCD的面积为8，
∴AB2＝8，
∴AB＝2或﹣2（舍去），
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，
∵G是对角线DB上靠近B的一个三等分点，
∴，
∵BC∥AD，
∴△BGC∽△DGF，
∴，
∴DF＝2BC＝2×24，GBGD，GF＝2CG，
∴GBBD，GFCF，
∵BD4，
CF2，
∴GBBD4，GFCF，
∴GB GF．
5．解：（1）四边形BEDF为平行四边形．
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB．
在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（SAS），
∴DF＝BE，∠EFD＝∠BEC．
∴DF∥BE．
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）∵BE⊥AC，BF＝10，BE＝6，
∴EF，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
设AE＝CF＝x，则AC＝2x+8，CE＝x+8，
∴BC2＝BE2+CE2＝62+（x+8）2＝x2+16x+100，
AB2＝BE2+AE2＝36+x2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴x2+36+x2+16x+100＝（2x+8）2，
解得x＝﹣24（舍）或x＝24，
∴CF＝24．
6．（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：由（1）得：△ABC∽△ACD，
∴，
∴AC2＝AD AB，
∴AC2＝2×6＝12，
∴AC＝2或AC＝﹣2（舍去），
∴AC的长为2．
7．（1）证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，
∵AE⊥BC于E，CF⊥AB于F，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE＝BF，
∴AB﹣BF＝CB﹣BE，
∵AF＝CE．
（2）解：如图，延长CF，DA交于点G，设AE＝m，
由（1）得△ABE≌△CBF，
∴CF＝AE＝m，
∵∠AEB＝∠CFB＝90°，∠B＝30°，
∴CB＝AB＝2AE＝2m，
∴BFm，
∴AF＝AB﹣BF＝2mm，
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△BFC，
∴，
∵BC＝AD，
∴；
∴AG：AD的值为．
8．（1）证明：∵CD＝CA，
∴∠A＝∠ADC，
∵∠ADC＝∠EDB，
∴∠A＝∠EDB，
∵BE⊥CD，
∴∠ACB＝∠E＝90°，
∴△ACB∽△DEB；
（2）解：∵，
∴设CD＝3x，CE＝5x，
∴DE＝2x，
∴CD＝CA＝3x，
由（1）知△ACB∽△DEB，
∴，
∴，
∴BE＝6．
9．（1）证明：如图，∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠A＝∠CBD，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC．
（2）解：如图，∵∠C＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠A+∠ABD+∠CBD＝3∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
∵BC＝2，
∴AB＝4．
10．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BD＝AD，BE＝BD，
∴AD＝BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD＝AD，
∴四边形AEBD是菱形；
（2）解：如图所示，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，
∴∠EFB＝90°，
∵四边形ABCD是平行是四边形，
∴AB∥DC，AD＝BC，
∴∠EDC＝∠EFB＝90°，
∵DC＝6，DC：DE＝3：4，
∴DE8，
∴CE10，
∵BE＝AD，AD＝BC，
∴AD＝BE＝BC．
11．（1）证明：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴DA＝BC，
∵AE＝BC，
∴AE＝DA，
∵DF⊥AE于点F，
∴∠B＝∠AFD＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
在△ABE和△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA（AAS）．
（2）解：如图，∵△ABE≌△DFA，
∴DF＝AB＝6，
∵∠AFD＝90°，AE＝AD＝10，
∴AF8，
∴EF＝AE﹣AF＝10﹣8＝2，
∵∠DFE＝90°，
∴DE2，
∴DE的长是2．
12．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，
∴∠DAB＝90°，，
∴，
∵AP⊥AE，
∴∠PAE＝90°，
∴∠DAP+∠PAB＝∠PAB+∠BAE，
∴∠DAP＝∠BAE，
∴△ADP∽△ABE，
∴，
∴BE＝2DP＝4；
（2）四边形AEBP可能为矩形，理由如下：
由（1）得△ADP∽△ABE，
∴∠ABE＝∠ADB，
∴∠PBE＝∠PBA+∠ABE＝∠PBA+∠ADB＝90°，
当∠APB＝90°时，
∵∠APB＝∠PAB＝∠PBE＝90°，
∴四边形AEBP为矩形，
由勾股定理得BD4，
∵S△ABDAB×ADBD×AP，
∴AP，
∴AE＝2AP，
∴S四边形AEBP＝AE AP．
13．（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）∵△ABC∽△ACD，
∴，
∴AC2＝AB AD，
∴AC2＝4×1.5＝6，
∴AC＝±（舍去负值），
∴AC的长为．
14．证明：（1）如图，过点F作FP∥BC，FP与AE交于点P，连接EF，PB，
∴∠FPO＝∠BEO，
∵AE平分BF，
∴FO＝BO，
在△POF和△EOB中，
，
∴△POF≌△EOB（AAS），
∴OP＝OE，PF＝EB，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴PF∥BC∥AD，
∴∠PFA＝∠DAF，
∵AF平分∠DAE，
∴∠PFA＝∠DAF＝∠PAF，
∴PA＝PF＝BE，
∴OA＝OP+PA＝OE+BE；
（2）如图，∵AF平分∠DAE，
∴∠AFD＝∠AFE，
在△AEF和△ADF中，
，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴∠AEF＝∠D，
又在 ABCD中，∠ABE＝∠D，
又由（1）知四边形BEFP是平行四边形，
∴∠BPE＝∠AEF，
∴∠BPE＝∠ABE，
又∠BEP＝∠AEB，
∴△BEP∽△AEB，
∴，
∴BE2＝PE AE，
又PE＝2OE，
∴BE2＝2OE AE．
15．（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2＝AB AD；
（2）解：∵AC2＝AB AD，AC，AB＝2，
∴AD，
∵∠ACB＝90°，E为AB的中点，
∴EA＝EC＝EBAB2＝1，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAE，
∴∠DAC＝∠ECA，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴△AFD∽△CFE，
∴．
16．证明：（1）∵CE⊥EG，
∴∠GEC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EBC＝90°，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠ECG，
∵∠GEC＝∠EBC＝90°，
∴△EBC∽△CEG；
（2）∵E、F分别是AB、AD中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EFBD，
∵AB∥CG，
∴∠AEF＝∠G，
∵∠AFE＝∠DFG，AF＝DF，
∴△AFE≌△DFG（AAS），
∴GF＝EFGE，
∴GE＝BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴∠GDF＝∠GEC，
∵∠G＝∠G，
∴△GFD∽△GCE，
∴，
∴GD GC＝GF GE，
∴GD GCGE GE，
∴GE2＝GD GC，
∴BD2＝GD GC．
17．（1）证明：如图1，连接MH，
∵BM是中线，AH是高，
∴MH是Rt△AHC斜边上的中线，
∴MHAC＝MC，
∵BH＝CM，
∴BH＝MH，
∵HD⊥BM，
∴D为BM的中点；
（2）①证明：如图2，连接MH，
∵AB＝BM，
∴∠BAM＝∠BMA，
∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠BAM＝∠BAE+∠EAC，∠BMA＝∠MBC+∠C，
∴∠BAE+∠EAC＝∠MBC+∠C，
∴∠BAE＝∠MBC，
∵∠BED＝∠AEB，
∴△BDE∽△ABE；
②解：∵BA＝BM，D是BM的中点，
∴，
∵△BDE∽△ABE，
∴，
∵AE＝EC，
∴．
18．（1）证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝AB＝CB，
在△ADB和△CDB中，
，
∴△ADB≌△CDB（SSS），
∴∠PDA＝∠PDC，
在△APD和△CPD中，
，
∴△APD≌△CPD（SAS）．
（2）证明：如图，∵CD∥AB，
∴∠F＝∠PCD，
∵∠PAE＝∠PCD，
∴∠PAE＝∠F，
∵∠PAE＝∠FPA，
∴△APE∽△FPA．
（3）解：如图，∵△APE∽△FPA，
∴，
∵PE＝4，PF＝12，
∴PA2＝PE PF＝4×12＝48，
∴PA4，
∴PC＝PA＝4．
∴PC的长为4．
19．（1）证明：如图，∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠A，
∵∠CBD＝∠A，
∴∠EDC＝∠CBD，
即∠EDC＝∠EBD，
∵∠E＝∠E，
∴△ECD∽△EDB；
（2）解：∵DE∥AB，
∴△DCE∽△ACB，
∵AC＝3CD，
∴△DCE的周长：△ACB的周长＝CD：AC＝1：3，
∴△DCE与△ACB的周长比为．
20．解：（1）∵∠CAB＝∠CBD，∠ACB＝∠BCE，
∴△ABC∽△BEC，
∴，
∵AB＝4，AC＝6，BC＝5，BD＝5.5，
∴，
解得：DE；
（2）∵△ABC∽△BEC，
∴，
∵AC＝6，BC＝5，
∴（）2．