2022-2023学年华东师大版八年级数学上册12.3乘法公式 知识点分类练习题 （含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年华东师大版八年级数学上册12.3乘法公式 知识点分类练习题 （含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 185.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-28 12:21:36 | ||
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文档简介
2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《12.3乘法公式》知识点分类练习题（附答案）
一．完全平方公式
1．若（x﹣4）2＝x2+kx+16，那么k的值是（ ）
A．8 B．4 C．﹣4 D．﹣8
2．小刚把（2022x+2021）2展开后得到ax2+bx+c，把（2021x+2020）2展开后得到mx2+nx+q，则a﹣m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．4043 D．﹣4043
3．计算：a×10012﹣a×9992＝（ ）
A．5000a B．1999a C．10001a D．10000a
4．已知（2022﹣m）（2020﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2020﹣m）2的值为（ ）
A．4046 B．2023 C．4042 D．4043
5．若n满足关系式（n﹣2020）2+（2021﹣n）2＝3，则代数式（n﹣2020）（2021﹣n）＝（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．1
6．下列四种说法中正确的有（ ）
①关于x、y的方程2x+6y＝199存在整数解．
②若两个不等实数a、b满足2（a4+b4）＝（a2+b2）2，则a、b互为相反数．
③若（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0，则2b＝a+c．
④若x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy，则x＝y＝z．
A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④
7．已知：a﹣b＝1，a2+b2＝25，则（a+b）2的值为 ．
8．若x+y＝3，xy＝﹣5，则（x﹣y）2＝ ．
9．若关于x的多项式x2﹣ax+36＝（x+b）2，则a+b的值是 ．
10．已知（2021﹣a）（a﹣2022）＝﹣5，则（a﹣2021）2+（a﹣2022）2＝ ．
11．小淇将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为 ．
12．已知：x+y＝6，xy＝3．求下列各式的值：
（1）x2+4xy+y2
（2）x4+y4
二．完全平方公式的几何背景
13．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（ ）
A．a2﹣4b2 B．（a﹣2b）2 C．2ab D．ab
14．如图，用一个面积为x的小正方形和四个相同的小长方形拼成一个面积为8x的大正方形图案，则一个小长方形的周长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
15．如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a+b＝5，ab＝6，则阴影部分的面积为（ ）
A．2.5 B．2 C．3.5 D．1
16．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在大正方形中的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a﹣b＝8，ab＝13，求S1+S2的值；
（3）用a、b的代数式表示S3；并当S1+S2＝34时，求出图③中阴影部分的面积S3．
17．学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图（1），是由边长为a，b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大正方形，由图（1）可得等式： ；
（2）知识迁移：
①如图（2）是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），用不同的方法表示这个大正方体的体积，则可得等式： ；
②已知a+b＝7，a2b＝50，ab2＝20，利用①中所得等式，求代数式a3+b3的值．
三．完全平方式
18．若x2+mx+25是完全平方式，则m的值是（ ）
A．±10 B．5 C．﹣10 D．±5
19．已知正整数x满足x2+5x+30是完全平方式，则x的值是 ．
20．四张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝S2，则a：b＝ ．
21．如果多项式x2﹣2（m+1）xy+16y2是个完全平方式，则m＝ ．
22．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b） （c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2） （3，4）＝12+42﹣2×3＝11．
（1）若（2x，kx） （y，﹣y）是一个完全平方式，求常数k的值：
（2）若2x+y＝12，且（3x+y，2x2+3y2） （3，x﹣3y）＝104，求xy的值：
（3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求图中阴影部分的面积．
四．平方差公式
23．已知x、y满足方程组，则x2﹣y2的值为（ ）
A．2 B．8 C．﹣15 D．15
24．2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1的计算结果是（ ）
A．332+1 B．332﹣1 C．331 D．332
25．①（x﹣1） （x+1）＝x2﹣1
②（x﹣1） （x2+x+1）＝x3﹣1
③（x﹣1） （x3+x2+x+1）＝x4﹣1……
A题：猜想（x﹣1） （x49+x48+…+x+1）＝ ．
B题：当（x﹣1） （x5+x4+x3+x2+x+1）＝0，代数式x2023﹣1＝ ．
26．运用乘法公式计算：298×302﹣3002．
27．运用乘法公式计算：397×403+9．
28．如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．
（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积 ；
（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．
29．计算：（1）1992（利用整式乘法公式计算）；
（2）（x+2y﹣3）（x﹣2y﹣3）．
30．阅读材料解决问题．
“作差法”是常见的比较数（式）大小的一种方法，即要比较代数式M，N的大小，只要计算出它们的差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＝0，则M＝N；若M﹣N＜0，则M＜N．
例如：比较2a2，a2﹣1的大小：
∵2a2﹣（a2﹣1）＝a2+1＞0
∴2a2＞a2﹣1
根据材料解决以下问题：
（1）已知n为自然数，P＝（n+1）（n+4），Q＝（n+2）（n+3），比较P，Q大小；
（2）已知A＝202401×202407，B＝202403×202405，比较A，B大小．
五．平方差公式的几何背景
31．如图1，从边长为a的大正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形纸片后，将其沿实线裁成两个相同的直角梯形，然后拼成一个等腰梯形（如图2），则通过计算图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
32．如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为（ ）
A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9 B．（a+3）2＝a2+6a+9
C．a（a+3）＝a2+3a D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
33．如图，将4个长、宽分别为a，b的长方形摆成一个大正方形（不重叠），利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
34．【观察发现】
从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分剪开并拼成一个长方形（如图②）．
【归纳结论】
（1）上述操作，能验证的等式是 ；（直接写结果）
【问题解决】
利用（1）中的结论，计算：
．
35．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．
（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是： ．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．
36．将图1中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形．
（1）比较图2和图1的阴影部分面积，可以推得公式： （用含x，y的式子表达）；
（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）；
②（a+2b﹣3c）2﹣（a﹣2b+3c）2．
参考答案
一．完全平方公式
1．解：（x﹣4）2＝x2+kx+16，
x2﹣8x+16＝x2+kx+16，
﹣8x＝kx，
﹣8＝k，
故选：D．
2．解：∵（2022x+2021）2展开后得到ax2+bx+c，
∴a＝20222，
∵（2021x+2020）2展开后得到mx2+nx+q，
∴m＝20212，
∴a﹣m＝20222﹣20212＝（2022+2021）（2022﹣2021）＝4043，
故选：C．
3．解：原式＝a（10012﹣9992）
＝a（1001+999）（1001﹣999）
＝a×2000×2
＝10000a．
故选：D．
4．解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．
∴（2022﹣m）2+（2020﹣m）2
＝[（2022﹣m）﹣（2020﹣m）]2+2×（2022﹣m）（2020﹣m）
＝4+2×2021
＝4046．
故选：A．
5．解：∵（n﹣2020）2+（2021﹣n）2＝3，
∴（n﹣2020）2+2（n﹣2020）（2021﹣n）+（2021﹣n）2﹣2（n﹣2020）（2021﹣n）＝﹣3，
∴1﹣2（n﹣2020）（2021﹣n）＝3，
∴﹣2（n﹣2020）（2021﹣n）＝2，
∴（n﹣2020）（2021﹣n）＝﹣1，
故选：A．
6．①因为x、y为整数时，2x+6y＝2（x+3y）是偶数，而199是奇数，它们不可能相等；
故①错误．
②由2（a4+b4）＝（a2+b2）2得：
2a4+2b4＝a4+2a2b2+b4，
a4+b4﹣2a2b2＝0，
（a2﹣b2）2＝0，
∴a2﹣b2＝0，
∴a2＝b2，
∵a≠b，
∴a＝﹣b，
即a、b互为相反数；
故②正确．
③若（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0，则2b＝a+c，
（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0，
a2﹣2ac+c2﹣4ab+4ac+4b2﹣4bc＝0，
a2+2ac+c2﹣4b（a+c）+4b2＝0，
（a+c）2﹣4b（a+c）+4b2＝0，
（a+c﹣2b）2＝0，
∴a+c﹣2b＝0，
∴2b＝a+c；
故③正确．
④∵x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy，
∴x2﹣yz﹣y2+xz＝0，
y2﹣xz﹣z2+xy＝0，
∴（x+y+z）（x﹣y）＝0，
（x+y+z）（y﹣z）＝0．
∴x+y+z＝0或x﹣y＝0，y﹣z＝0，
∴x＝y＝z或x+y+z＝0，
故④错误．
综上所述，四种说法中正确的有②③，
故选：B．
7．解：∵a﹣b＝1，a2+b2＝25，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝25﹣2ab＝1．
∴2ab＝24．
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49．
故答案为：49．
8．解：∵x+y＝3，xy＝﹣5，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝x2+y2﹣10＝9．
∴x2+y2＝19．
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝19﹣（﹣10）＝29．
故答案为：29．
9．解：由题意得：x2﹣ax+36＝x2+2bx+b2，
∴，
∴a＝12，b＝﹣6或a＝﹣12，b＝6．
∴a+b＝6或﹣6．
故答案为：6或﹣6
10．解：设m＝a﹣2021，n＝a﹣2022，
则原题变为：﹣mn＝﹣5，即mn＝5，求m2+n2，
∵m2+n2
＝（m﹣n）2+2mn
＝[（a﹣2021）﹣（a﹣2022）]2+2×5，
＝（a﹣2021﹣a+2022）2+10
＝1+10
＝11．
故答案为：11．
11．解：∵（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；
∴c1＝20212，
∵（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，
∴c2＝20202，
∴c1﹣c2＝20212﹣20202＝（2021+2020）（2021﹣2020）＝4041，
故答案为：4041．
12．解：（1）∵x+y＝6，xy＝3，
∴x2+4xy+y2
＝x2+2xy+y2+2xy
＝（x+y）2+2xy
＝36+6
＝42；
（2）∵x+y＝6，xy＝3，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝36﹣6＝30，
∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2
＝900﹣2×9
＝900﹣18
＝882．
二．完全平方公式的几何背景
13．解：由题意可知，小正方形的边长为，大正方形的边长为b+×2＝，
所以阴影部分的面积为（）2﹣（）2×4＝ab，
故选：D．
14．解：设每个小长方形的长为a，宽为b，由题意得，
（a+b）2＝8x，
解得a+b＝2或a+b＝﹣2（不合题意，舍去），
∴一个小长方形的周长为2（a+b）＝2×2＝4，
故选：D．
15．解：S阴影＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2）﹣ab＝（a+b）2﹣ab，
把a+b＝5，ab＝6代入得：
原式＝×25﹣×6＝3.5．
故选：C．
16．解：（1）图①中阴影部分的面积是边长为a、b的正方形的面积差，即S1＝a2﹣b2；
图②中阴影部分是长为b，宽为2b﹣a的长方形，因此面积为：S2＝b（2b﹣a）＝2b2﹣ab；
（2）∵a﹣b＝8，ab＝13，
∴S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab
＝a2+b2﹣ab
＝（a﹣b）2+ab
＝64+13
＝77；
（3）S3＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）
＝（a2+b2﹣ab），
当S1+S2＝34时，即a2+b2﹣ab＝34，
∴S3＝（a2+b2﹣ab）＝17．
17．解：（1）由图（1）可知，大正方形的边长为a+b，因此这个正方形的面积为（a+b）2；
而这个大正方形由四个部分拼成的，这四个部分的面积和为a2+2aab+b2，
因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）①由拼图可知，大立方体的边长为a+b，因此这个大正方体的体积为（a+b）3；
这个大立方体是由6个部分拼成的，这6个部分的体积和为a3+3a2b+3ab2+b3，
因此有（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
②由①得，
a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2
＝343﹣3×50﹣3×20
＝133，
答：代数式a3+b3的值为133．
三．完全平方式
18．解：∵x2+mx+25是完全平方式，且（±5）2＝25，
∴x2+mx+25＝（x±5）2＝x2±2×1×5x+25＝x2±10x+25，
∴m＝±10，
故选：A．
19．解：设x2+5x+30＝n2（n≥0且n为整数），
因为方程有正整数解，所以方程x2+5x+30﹣n2＝0中，
△＝25﹣4（30﹣n2）＝4n2﹣95应是一个完全平方数，设4n2﹣95＝k2（k≥0且k为整数），
∴4n2﹣k2＝95，即（2n+k）（2n﹣k）＝95，
∴，或，
∴n＝6或n＝24，
当n＝6时，x2+5x+30＝62，
∴x1＝﹣6（舍去），x2＝1，
当n＝24时，x2+5x+30＝242，
∴x1＝﹣26（舍去），x2＝21，
∴x的值为1或21．，
故答案为：1或21．
20．解：由题意得：S2＝4[ab+b2]＝＝2ab+2b2．
S1＝（a+b）2﹣S2＝a2+2ab+b2﹣2ab﹣2b2＝a2﹣b2．
∵S1＝S2．
∴a2﹣b2＝2ab+2b2．
∴a2﹣2ab﹣3b2＝0．
∴（a﹣3b）（a+b）＝0．
∵a＞b＞0．
∴a+b＞0．
∴a﹣3b＝0．
∴a＝3b．
∴a：b＝3：1．
故答案为：3：1．
21．解：∵（x±4y）2＝x2±8xy+16y2，
∴﹣2m﹣2＝±8，
∴m＝﹣5或3，
故答案为：﹣5或3．
22．解：（1）（2x）2+y2﹣kx （﹣y）
＝4x2+kxy+y2，
∵4x2+kxy+y2是一个完全平方式，
∴k＝±4；
（2）（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2），
＝9x2+6xy+y2+x2﹣6xy+9y2﹣6x2﹣9y2
＝4x2+y2
＝（2x+y）2﹣4xy
＝104，
∵2x+y＝12，
∴122﹣4xy＝104
∴xy＝10；
（3）S△BDC＝ 2x 8x＝8x2，
S△BGF＝（8x 4y） y
＝4x 2y2，
S△DEF＝ 4y （2x y）
＝4xy 2y2，
S△GEC＝ 4y y＝2y2，
∴S阴＝8x2 （4xy 2y2） （4xy 2y2） 2y2
＝2（4x2 4xy+y2）
＝2[（2x+y）2 8xy]
＝2（144 8×10）
＝128．
四．平方差公式
23．解：，
用①×②得：（x﹣y）（x+y）＝﹣15，
x2﹣y2＝﹣15，
故选C．
24．解：2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1
＝（316﹣1）（316+1）+1
＝332﹣1+1
＝332，
故选：D．
25．解：（1）（x﹣1） （x49+x48+…+x+1）＝x50﹣1，
故答案为x50﹣1；
（2）∵（x﹣1） （x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0，∴x＝1或﹣1，
当x＝﹣1时，x2023﹣1＝（﹣1）2023﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2；当x＝1时，x2023﹣1＝12023﹣1＝1﹣1＝0，
∴x2023﹣1＝﹣2或0，
故答案为﹣2或0．
26．解：298×302﹣3002
＝（300﹣2）×（300+2）﹣3002
＝3002﹣22﹣3002
＝﹣22
＝﹣4．
27．解：397×403+9
＝（400﹣3）×（400+3）+9
＝4002﹣32+9
＝160000﹣9+9＝160000．
28．解：（1）A中能使用的面积＝大正方形的面积﹣不能使用的面积，
即a2﹣M，
故答案为：a2﹣M；
（2）A比B多出的使用面积为：（a2﹣M）﹣（b2﹣M）
＝a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝10×5
＝50，
答：A比B多出的使用面积为50．
29．解：（1）原式＝（200﹣1）2
＝40000﹣400+1
＝39601；
（2）原式＝[（x﹣3）+2y]{（x﹣3）﹣2y]＝（x﹣3）2﹣（2y）2
＝x2﹣6x+9﹣4y2．
30．解：（1）∵P﹣Q＝（n+1）（n+4）﹣（n+2）（n+3）
＝n2+5n+4﹣n2﹣5n﹣6
＝﹣2＜0，
∴P＜Q；
（2）∵A﹣B＝202401×202407﹣202403×202405
＝（202404﹣3）（202404+3）﹣（202404﹣1）（202404+1）
＝2024042﹣9﹣2024042+1
＝﹣8，
∴A＜B．
五．平方差公式的几何背景
31．解：∵图形中阴影部分的面积可表示为a2﹣b2或＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
32．解：图1中，阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2﹣32＝a2﹣9，
图2是长为a+3，宽为a﹣3的长方形，因此面积为（a+3）（a﹣3），
所以有（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，
故选：D．
33．解：总体大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，
中间小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，
4个长方形的面积为4ab，
根据各个部分面积之间的关系可得，
（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故选：B．
34．解：（1）图①阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图②是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝××××××…××××
＝×
＝．
35．解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图2是长为a+b．宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①∵a2﹣b2＝21，即（a+b）（a﹣b）＝21，而a﹣b＝3，
∴a+b＝7；
②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝××××××…××××
＝×
＝．
36．解：（1）由拼图可知，图2是长为x+y，宽为x﹣y的长方形，因此面积为（x+y）（x﹣y），
图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即x2﹣y2，
所以（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，
故答案为：（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2；
（2）①原式＝[2m+（n﹣p）] [2m﹣（n﹣p）]
＝（2m）2﹣（n﹣p）2
＝4m2﹣n2+2np﹣p2；
②原式＝[（a+2b﹣3c）+（a﹣2b+3c）] [（a+2b﹣3c）﹣（a﹣2b+3c）]
＝2a（4b﹣6c）
＝8ab﹣12ac．
一．完全平方公式
1．若（x﹣4）2＝x2+kx+16，那么k的值是（ ）
A．8 B．4 C．﹣4 D．﹣8
2．小刚把（2022x+2021）2展开后得到ax2+bx+c，把（2021x+2020）2展开后得到mx2+nx+q，则a﹣m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．4043 D．﹣4043
3．计算：a×10012﹣a×9992＝（ ）
A．5000a B．1999a C．10001a D．10000a
4．已知（2022﹣m）（2020﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2020﹣m）2的值为（ ）
A．4046 B．2023 C．4042 D．4043
5．若n满足关系式（n﹣2020）2+（2021﹣n）2＝3，则代数式（n﹣2020）（2021﹣n）＝（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．1
6．下列四种说法中正确的有（ ）
①关于x、y的方程2x+6y＝199存在整数解．
②若两个不等实数a、b满足2（a4+b4）＝（a2+b2）2，则a、b互为相反数．
③若（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0，则2b＝a+c．
④若x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy，则x＝y＝z．
A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④
7．已知：a﹣b＝1，a2+b2＝25，则（a+b）2的值为 ．
8．若x+y＝3，xy＝﹣5，则（x﹣y）2＝ ．
9．若关于x的多项式x2﹣ax+36＝（x+b）2，则a+b的值是 ．
10．已知（2021﹣a）（a﹣2022）＝﹣5，则（a﹣2021）2+（a﹣2022）2＝ ．
11．小淇将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为 ．
12．已知：x+y＝6，xy＝3．求下列各式的值：
（1）x2+4xy+y2
（2）x4+y4
二．完全平方公式的几何背景
13．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（ ）
A．a2﹣4b2 B．（a﹣2b）2 C．2ab D．ab
14．如图，用一个面积为x的小正方形和四个相同的小长方形拼成一个面积为8x的大正方形图案，则一个小长方形的周长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
15．如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a+b＝5，ab＝6，则阴影部分的面积为（ ）
A．2.5 B．2 C．3.5 D．1
16．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在大正方形中的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a﹣b＝8，ab＝13，求S1+S2的值；
（3）用a、b的代数式表示S3；并当S1+S2＝34时，求出图③中阴影部分的面积S3．
17．学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图（1），是由边长为a，b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大正方形，由图（1）可得等式： ；
（2）知识迁移：
①如图（2）是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），用不同的方法表示这个大正方体的体积，则可得等式： ；
②已知a+b＝7，a2b＝50，ab2＝20，利用①中所得等式，求代数式a3+b3的值．
三．完全平方式
18．若x2+mx+25是完全平方式，则m的值是（ ）
A．±10 B．5 C．﹣10 D．±5
19．已知正整数x满足x2+5x+30是完全平方式，则x的值是 ．
20．四张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝S2，则a：b＝ ．
21．如果多项式x2﹣2（m+1）xy+16y2是个完全平方式，则m＝ ．
22．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b） （c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2） （3，4）＝12+42﹣2×3＝11．
（1）若（2x，kx） （y，﹣y）是一个完全平方式，求常数k的值：
（2）若2x+y＝12，且（3x+y，2x2+3y2） （3，x﹣3y）＝104，求xy的值：
（3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求图中阴影部分的面积．
四．平方差公式
23．已知x、y满足方程组，则x2﹣y2的值为（ ）
A．2 B．8 C．﹣15 D．15
24．2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1的计算结果是（ ）
A．332+1 B．332﹣1 C．331 D．332
25．①（x﹣1） （x+1）＝x2﹣1
②（x﹣1） （x2+x+1）＝x3﹣1
③（x﹣1） （x3+x2+x+1）＝x4﹣1……
A题：猜想（x﹣1） （x49+x48+…+x+1）＝ ．
B题：当（x﹣1） （x5+x4+x3+x2+x+1）＝0，代数式x2023﹣1＝ ．
26．运用乘法公式计算：298×302﹣3002．
27．运用乘法公式计算：397×403+9．
28．如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．
（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积 ；
（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．
29．计算：（1）1992（利用整式乘法公式计算）；
（2）（x+2y﹣3）（x﹣2y﹣3）．
30．阅读材料解决问题．
“作差法”是常见的比较数（式）大小的一种方法，即要比较代数式M，N的大小，只要计算出它们的差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＝0，则M＝N；若M﹣N＜0，则M＜N．
例如：比较2a2，a2﹣1的大小：
∵2a2﹣（a2﹣1）＝a2+1＞0
∴2a2＞a2﹣1
根据材料解决以下问题：
（1）已知n为自然数，P＝（n+1）（n+4），Q＝（n+2）（n+3），比较P，Q大小；
（2）已知A＝202401×202407，B＝202403×202405，比较A，B大小．
五．平方差公式的几何背景
31．如图1，从边长为a的大正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形纸片后，将其沿实线裁成两个相同的直角梯形，然后拼成一个等腰梯形（如图2），则通过计算图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
32．如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为（ ）
A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9 B．（a+3）2＝a2+6a+9
C．a（a+3）＝a2+3a D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
33．如图，将4个长、宽分别为a，b的长方形摆成一个大正方形（不重叠），利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
34．【观察发现】
从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分剪开并拼成一个长方形（如图②）．
【归纳结论】
（1）上述操作，能验证的等式是 ；（直接写结果）
【问题解决】
利用（1）中的结论，计算：
．
35．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．
（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是： ．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．
36．将图1中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形．
（1）比较图2和图1的阴影部分面积，可以推得公式： （用含x，y的式子表达）；
（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）；
②（a+2b﹣3c）2﹣（a﹣2b+3c）2．
参考答案
一．完全平方公式
1．解：（x﹣4）2＝x2+kx+16，
x2﹣8x+16＝x2+kx+16，
﹣8x＝kx，
﹣8＝k，
故选：D．
2．解：∵（2022x+2021）2展开后得到ax2+bx+c，
∴a＝20222，
∵（2021x+2020）2展开后得到mx2+nx+q，
∴m＝20212，
∴a﹣m＝20222﹣20212＝（2022+2021）（2022﹣2021）＝4043，
故选：C．
3．解：原式＝a（10012﹣9992）
＝a（1001+999）（1001﹣999）
＝a×2000×2
＝10000a．
故选：D．
4．解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．
∴（2022﹣m）2+（2020﹣m）2
＝[（2022﹣m）﹣（2020﹣m）]2+2×（2022﹣m）（2020﹣m）
＝4+2×2021
＝4046．
故选：A．
5．解：∵（n﹣2020）2+（2021﹣n）2＝3，
∴（n﹣2020）2+2（n﹣2020）（2021﹣n）+（2021﹣n）2﹣2（n﹣2020）（2021﹣n）＝﹣3，
∴1﹣2（n﹣2020）（2021﹣n）＝3，
∴﹣2（n﹣2020）（2021﹣n）＝2，
∴（n﹣2020）（2021﹣n）＝﹣1，
故选：A．
6．①因为x、y为整数时，2x+6y＝2（x+3y）是偶数，而199是奇数，它们不可能相等；
故①错误．
②由2（a4+b4）＝（a2+b2）2得：
2a4+2b4＝a4+2a2b2+b4，
a4+b4﹣2a2b2＝0，
（a2﹣b2）2＝0，
∴a2﹣b2＝0，
∴a2＝b2，
∵a≠b，
∴a＝﹣b，
即a、b互为相反数；
故②正确．
③若（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0，则2b＝a+c，
（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0，
a2﹣2ac+c2﹣4ab+4ac+4b2﹣4bc＝0，
a2+2ac+c2﹣4b（a+c）+4b2＝0，
（a+c）2﹣4b（a+c）+4b2＝0，
（a+c﹣2b）2＝0，
∴a+c﹣2b＝0，
∴2b＝a+c；
故③正确．
④∵x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy，
∴x2﹣yz﹣y2+xz＝0，
y2﹣xz﹣z2+xy＝0，
∴（x+y+z）（x﹣y）＝0，
（x+y+z）（y﹣z）＝0．
∴x+y+z＝0或x﹣y＝0，y﹣z＝0，
∴x＝y＝z或x+y+z＝0，
故④错误．
综上所述，四种说法中正确的有②③，
故选：B．
7．解：∵a﹣b＝1，a2+b2＝25，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝25﹣2ab＝1．
∴2ab＝24．
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49．
故答案为：49．
8．解：∵x+y＝3，xy＝﹣5，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝x2+y2﹣10＝9．
∴x2+y2＝19．
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝19﹣（﹣10）＝29．
故答案为：29．
9．解：由题意得：x2﹣ax+36＝x2+2bx+b2，
∴，
∴a＝12，b＝﹣6或a＝﹣12，b＝6．
∴a+b＝6或﹣6．
故答案为：6或﹣6
10．解：设m＝a﹣2021，n＝a﹣2022，
则原题变为：﹣mn＝﹣5，即mn＝5，求m2+n2，
∵m2+n2
＝（m﹣n）2+2mn
＝[（a﹣2021）﹣（a﹣2022）]2+2×5，
＝（a﹣2021﹣a+2022）2+10
＝1+10
＝11．
故答案为：11．
11．解：∵（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；
∴c1＝20212，
∵（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，
∴c2＝20202，
∴c1﹣c2＝20212﹣20202＝（2021+2020）（2021﹣2020）＝4041，
故答案为：4041．
12．解：（1）∵x+y＝6，xy＝3，
∴x2+4xy+y2
＝x2+2xy+y2+2xy
＝（x+y）2+2xy
＝36+6
＝42；
（2）∵x+y＝6，xy＝3，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝36﹣6＝30，
∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2
＝900﹣2×9
＝900﹣18
＝882．
二．完全平方公式的几何背景
13．解：由题意可知，小正方形的边长为，大正方形的边长为b+×2＝，
所以阴影部分的面积为（）2﹣（）2×4＝ab，
故选：D．
14．解：设每个小长方形的长为a，宽为b，由题意得，
（a+b）2＝8x，
解得a+b＝2或a+b＝﹣2（不合题意，舍去），
∴一个小长方形的周长为2（a+b）＝2×2＝4，
故选：D．
15．解：S阴影＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2）﹣ab＝（a+b）2﹣ab，
把a+b＝5，ab＝6代入得：
原式＝×25﹣×6＝3.5．
故选：C．
16．解：（1）图①中阴影部分的面积是边长为a、b的正方形的面积差，即S1＝a2﹣b2；
图②中阴影部分是长为b，宽为2b﹣a的长方形，因此面积为：S2＝b（2b﹣a）＝2b2﹣ab；
（2）∵a﹣b＝8，ab＝13，
∴S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab
＝a2+b2﹣ab
＝（a﹣b）2+ab
＝64+13
＝77；
（3）S3＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）
＝（a2+b2﹣ab），
当S1+S2＝34时，即a2+b2﹣ab＝34，
∴S3＝（a2+b2﹣ab）＝17．
17．解：（1）由图（1）可知，大正方形的边长为a+b，因此这个正方形的面积为（a+b）2；
而这个大正方形由四个部分拼成的，这四个部分的面积和为a2+2aab+b2，
因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）①由拼图可知，大立方体的边长为a+b，因此这个大正方体的体积为（a+b）3；
这个大立方体是由6个部分拼成的，这6个部分的体积和为a3+3a2b+3ab2+b3，
因此有（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
②由①得，
a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2
＝343﹣3×50﹣3×20
＝133，
答：代数式a3+b3的值为133．
三．完全平方式
18．解：∵x2+mx+25是完全平方式，且（±5）2＝25，
∴x2+mx+25＝（x±5）2＝x2±2×1×5x+25＝x2±10x+25，
∴m＝±10，
故选：A．
19．解：设x2+5x+30＝n2（n≥0且n为整数），
因为方程有正整数解，所以方程x2+5x+30﹣n2＝0中，
△＝25﹣4（30﹣n2）＝4n2﹣95应是一个完全平方数，设4n2﹣95＝k2（k≥0且k为整数），
∴4n2﹣k2＝95，即（2n+k）（2n﹣k）＝95，
∴，或，
∴n＝6或n＝24，
当n＝6时，x2+5x+30＝62，
∴x1＝﹣6（舍去），x2＝1，
当n＝24时，x2+5x+30＝242，
∴x1＝﹣26（舍去），x2＝21，
∴x的值为1或21．，
故答案为：1或21．
20．解：由题意得：S2＝4[ab+b2]＝＝2ab+2b2．
S1＝（a+b）2﹣S2＝a2+2ab+b2﹣2ab﹣2b2＝a2﹣b2．
∵S1＝S2．
∴a2﹣b2＝2ab+2b2．
∴a2﹣2ab﹣3b2＝0．
∴（a﹣3b）（a+b）＝0．
∵a＞b＞0．
∴a+b＞0．
∴a﹣3b＝0．
∴a＝3b．
∴a：b＝3：1．
故答案为：3：1．
21．解：∵（x±4y）2＝x2±8xy+16y2，
∴﹣2m﹣2＝±8，
∴m＝﹣5或3，
故答案为：﹣5或3．
22．解：（1）（2x）2+y2﹣kx （﹣y）
＝4x2+kxy+y2，
∵4x2+kxy+y2是一个完全平方式，
∴k＝±4；
（2）（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2），
＝9x2+6xy+y2+x2﹣6xy+9y2﹣6x2﹣9y2
＝4x2+y2
＝（2x+y）2﹣4xy
＝104，
∵2x+y＝12，
∴122﹣4xy＝104
∴xy＝10；
（3）S△BDC＝ 2x 8x＝8x2，
S△BGF＝（8x 4y） y
＝4x 2y2，
S△DEF＝ 4y （2x y）
＝4xy 2y2，
S△GEC＝ 4y y＝2y2，
∴S阴＝8x2 （4xy 2y2） （4xy 2y2） 2y2
＝2（4x2 4xy+y2）
＝2[（2x+y）2 8xy]
＝2（144 8×10）
＝128．
四．平方差公式
23．解：，
用①×②得：（x﹣y）（x+y）＝﹣15，
x2﹣y2＝﹣15，
故选C．
24．解：2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1
＝（316﹣1）（316+1）+1
＝332﹣1+1
＝332，
故选：D．
25．解：（1）（x﹣1） （x49+x48+…+x+1）＝x50﹣1，
故答案为x50﹣1；
（2）∵（x﹣1） （x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0，∴x＝1或﹣1，
当x＝﹣1时，x2023﹣1＝（﹣1）2023﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2；当x＝1时，x2023﹣1＝12023﹣1＝1﹣1＝0，
∴x2023﹣1＝﹣2或0，
故答案为﹣2或0．
26．解：298×302﹣3002
＝（300﹣2）×（300+2）﹣3002
＝3002﹣22﹣3002
＝﹣22
＝﹣4．
27．解：397×403+9
＝（400﹣3）×（400+3）+9
＝4002﹣32+9
＝160000﹣9+9＝160000．
28．解：（1）A中能使用的面积＝大正方形的面积﹣不能使用的面积，
即a2﹣M，
故答案为：a2﹣M；
（2）A比B多出的使用面积为：（a2﹣M）﹣（b2﹣M）
＝a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝10×5
＝50，
答：A比B多出的使用面积为50．
29．解：（1）原式＝（200﹣1）2
＝40000﹣400+1
＝39601；
（2）原式＝[（x﹣3）+2y]{（x﹣3）﹣2y]＝（x﹣3）2﹣（2y）2
＝x2﹣6x+9﹣4y2．
30．解：（1）∵P﹣Q＝（n+1）（n+4）﹣（n+2）（n+3）
＝n2+5n+4﹣n2﹣5n﹣6
＝﹣2＜0，
∴P＜Q；
（2）∵A﹣B＝202401×202407﹣202403×202405
＝（202404﹣3）（202404+3）﹣（202404﹣1）（202404+1）
＝2024042﹣9﹣2024042+1
＝﹣8，
∴A＜B．
五．平方差公式的几何背景
31．解：∵图形中阴影部分的面积可表示为a2﹣b2或＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
32．解：图1中，阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2﹣32＝a2﹣9，
图2是长为a+3，宽为a﹣3的长方形，因此面积为（a+3）（a﹣3），
所以有（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，
故选：D．
33．解：总体大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，
中间小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，
4个长方形的面积为4ab，
根据各个部分面积之间的关系可得，
（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故选：B．
34．解：（1）图①阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图②是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝××××××…××××
＝×
＝．
35．解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图2是长为a+b．宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①∵a2﹣b2＝21，即（a+b）（a﹣b）＝21，而a﹣b＝3，
∴a+b＝7；
②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝××××××…××××
＝×
＝．
36．解：（1）由拼图可知，图2是长为x+y，宽为x﹣y的长方形，因此面积为（x+y）（x﹣y），
图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即x2﹣y2，
所以（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，
故答案为：（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2；
（2）①原式＝[2m+（n﹣p）] [2m﹣（n﹣p）]
＝（2m）2﹣（n﹣p）2
＝4m2﹣n2+2np﹣p2；
②原式＝[（a+2b﹣3c）+（a﹣2b+3c）] [（a+2b﹣3c）﹣（a﹣2b+3c）]
＝2a（4b﹣6c）
＝8ab﹣12ac．