2022-2023学年人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质 精选题 （含答案）

22.1 二次函数的图象和性质（精选题）-人教版九年级上册（含答案）
一．选择题
．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是（　　）
A．s≥3 B．3＜s＜8 C．s≤3 D．s≥9
．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
．已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x1＝0，x2＝1，x3＝3时，它们对应的函数值分别为y1，y2，y3，且y1＝y3＞y2，则（　　）
A．a＞0，3a+b＝0 B．a＜0，3a+b＝0
C．a＞0，3a+2b＝0 D．a＜0，3a+2b＝0
．抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②b＝﹣2；
③使y≤3成立的x的取值范围是x≤﹣2或x≥1；
④一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜4）的两根之和为﹣2．
其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
．二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（　　）
A．abc＞0 B．b2＞4ac
C．当﹣3≤x≤1时，y≥0 D．3a+c＝1
．表一记录了二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）中两个变量x与y的6组对应值，其中﹣5＜x1＜x2＜1＜x3＜3．
表一
x … ﹣5 x1 x2 1 x3 3 …
y … m 0 2 0 n m …
根据表中信息，当时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
．对于题目“一段抛物线y＝﹣x2+3x+c（0≤x≤3）与直线y＝x+2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值”．甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或4，则（　　）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y＝x2+n（n为常数）与扇形OAB的边界总有两个公共点，则n的取值范围是（　　）
A．n＞﹣4 B． C． D．
二．填空题
．已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线y＝（x﹣m）2+h交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为 　 　．
．二次函数y＝x2﹣4x+5的对称轴为x＝　 　．
．已知y关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+（m+1）2（m为常数）的顶点坐标为（h，k）
（1）k关于h的函数解析式为 　 　．
（2）若抛物线不经过第三象限，且在﹣2≤x≤2时，二次函数最小值和最大值和为，则m＝　 　．
．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，3），B（1，0），抛物线的解析式为y＝ax2+bx+3．
（1）若此抛物线经过A，B两点，则a﹣b＝　 　；
（2）若此抛物线经过点A，且与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 　 　．
．点M（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝﹣x2+bx+2的图象上，则m+n的最大值为 　 　．
三．解答题
．如图，抛物线y＝﹣+与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）证明△ABC为直角三角形．
．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣2，0），两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线L1的表达式；
（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．
．已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）过点P（3，0），Q（1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线PQ上且在第一象限内，过A作AB⊥x轴于B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角△ABC．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②点C能否落在抛物线上，若能求点C的坐标，若不能说明理由．
．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．
（1）如图一，点P是第一象限的抛物线上的一点，连接PD交x轴于F，连接EF，AP，若S△ADP＝3S△DEF，求点P的坐标．
（2）如图二，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，若，则w有最大值还是最小值？w的最值是多少？
参考答案与试题解析
一．选择题
．【解答】解：∵x+y2＝3，
∴y2＝3﹣x，
∵3﹣x≥0，
∴x≤3，
∴s＝x2+8y2＝x2+8（3﹣x）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
∴s≥9．
故选：D．
．【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3），
∴当y＝﹣3时，x＝1，
当y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15，
解得x＝4或x＝﹣2，
∵当0≤x≤a时，y的最大值为15，
∴a＝4，
故选：D．
．【解答】解：∵y1＝y3，x1＝0，x3＝3，
∴抛物线抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
∴b＝﹣3a，
∵x1＜x2＜x3，y3＞y2，
∴抛物线开口向上，即a＞0，
∴b＜0，
∴3a+b＝0，
故选：A．
．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+3，
∴抛物线顶点坐标为（1，3），
故选：B．
．【解答】解：由图象经过（﹣3，0），（1，0）可设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
将（0，3）代入y＝a（x+3）（x﹣1）得3＝﹣3a，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴函数最大值为4，b＝﹣2．①②正确．
∵抛物线经过（﹣3，0），（1，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线经过（0，3），
∴抛物线经过（﹣2，3），
∴y≤3时，x≤﹣2或x≥0，③不正确．
当m＜4时，方程ax2+bx+c＝m有2个不相等的实数根，
∵抛物线关于直线x＝﹣1对称，
∴x1+x2＝2×（﹣1）＝﹣2，④正确．
故选：C．
．【解答】解：∵y＝（x+m）2+n，
∴抛物线顶点坐标为（﹣m，n），
∵抛物线顶点在第四象限，
∴m＜0，n＜0，
∴直线y＝mx+n经过第二，三，四象限，
故选：D．
．【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＜0，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0．选项A正确．
∵抛物线与x轴有两个不同交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，选项B正确．
∵抛物线经过（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线经过（﹣3，0），
∴﹣3≤x≤1时，y≥0，选项C正确．
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝3a+c＝0，选项D错误．
故选：D．
．【解答】解：∵抛物线经过（﹣5，m），（3，m），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，y＝ax2+2ax+2，
将（1，0）代入y＝ax2+2ax+2得0＝a+2a+2，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，
∴x＝﹣1时，y＝为函数最大值，
将x＝﹣代入y＝﹣x2﹣x+2得y＝，
将x＝0代入代入y＝﹣x2﹣x+2得y＝2，
∴2＜k＜满足题意．
故选：C．
．【解答】解：∵一段抛物线y＝﹣x2+3x+c（0≤x≤3）与直线y＝x+2有唯一公共点，
∴分两种情况：
如图1，抛物线与直线相切，
联立解析式，
∴x2﹣2x+2﹣c＝0，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（2﹣c）＝0，
解得：c＝1，
如图2，抛物线与直线相交，且在0≤x≤3上只有一个交点，
此时，两个临界点分别为（0，2），（3，5）在抛物线上，
∴2＜c≤5，
∵c为整数，
∴c＝3，4，5，
综上所述，c＝1，3，4，5，
故选：D．
．【解答】解：∵∠AOB＝45°，
∴OA所在直线为y＝x，
令x2+n＝x，整理得x2﹣x+n＝0，
当Δ＝1﹣4n＝0时，抛物线与线段OA只有1个交点，
解得n＝，
当n＜时，抛物线向下移动，
当抛物线经过B（2，0）时，0＝4+n，
解得n＝﹣4，
∴﹣4＜n＜．
故选：C．
二．填空题
．【解答】解：抛物线y＝（x﹣m）2+h的顶点A（m，h），
当x＝0时，y＝m2+h，
∴A（m，h），B（0，m2+h），
当△ABC是直角三角形时，可能∠BAC＝90°或∠ACB＝90°，
当∠BAC＝90°时，
∵B关于x轴的对称点是C，
∴OB＝OC，
∴OA＝OB＝OC，
∴m2+h2＝（m2+h）2①，
∵A在直线y＝x上，
∴h＝m，代入①得：
m2+m2＝，
解得m＝0（舍去）或m＝﹣或m＝，
当m＝﹣时，h＝﹣1，
当m＝时，h＝，
∴A（﹣，﹣1）或（，）．
当∠ACB＝90°时，
yA＝yC，
∴m＝﹣m2﹣，
∴m＝0（舍去）或m＝﹣，
∴h＝﹣×＝﹣，
∴A（﹣，）．
故答案为：（﹣，﹣），（﹣，﹣1）或（，）．
．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+5，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
故答案为：2．
．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+（m+1）2＝（x﹣m）2+2m+1，
∴h＝m，k＝2m+1，
∴k关于h的函数解析式为k＝2h+1，
故答案为：k＝2h+1；
（2）令x＝0，则y＝（m+1）2，
∴抛物线与y轴的交点为（0，（m+1）2）．
∵（m+1）2≥0．
∵抛物线不经过第三象限，抛物线的对称轴为直线x＝m，
∴m＞0．
①当m≥2时，
∵抛物线的开口方向向上，
∴在﹣2≤x≤2时，当x＝﹣2时，函数取最大值为y＝4+4m+（m+1）2＝m2+6m+5，
当x＝2时，函数取最小值为y＝4﹣4m+（m+1）2＝m2﹣2m+5，
∵二次函数最小值和最大值和为，
∴m2+6m+5+m2﹣2m+5＝，
即：2m2+4m﹣＝0，
解得：m＝或（不合题意，舍去），
∴此种情况不存在；
②当0＜m＜2时，
在﹣2≤x≤2时，当x＝﹣2时，函数取最大值为y＝4+4m+（m+1）2＝m2+6m+5，
当x＝m时，函数取最小值为y＝2m+1，
∵二次函数最小值和最大值和为，
∴m2+6m+5+2m+1＝，
解得：m＝或m＝﹣（不合题意，舍去），
∴m＝．
综上，在﹣2≤x≤2时，二次函数最小值和最大值和为，则m＝．
故答案为：．
．【解答】解：（1）将（﹣2，3），（1，0）代入y＝ax2+bx+3得，
解得，
∴a﹣b＝1．
故答案为：1．
（2）将（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+3得3＝4a﹣2b+3，
∴4a﹣2b＝0，
∴b＝2a，
∴y＝ax2+2ax+3，
∵﹣＝﹣1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
将x＝﹣1代入y＝ax2+2ax+3得y＝﹣a+3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣a+3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，
将（﹣2，3），（1，0）代入y＝kx+b得，
解得，
∴y＝﹣x+1，
令ax2+2ax+3＝﹣x+1，整理得ax2+（2a+1）x+2＝0，
∴Δ＝（2a+1）2﹣8a＝（2a﹣1）2，
∴a＝时，抛物线与直线相切，如图，
当a增大时，抛物线顶点向下移动，抛物线开口变小，符合题意，
∴a＞．
当a＜0时，抛物线开口向下，
当抛物线经过点B时，由（1）可得a＝﹣1，如图，
当a减小时，抛物线顶点向上移动，开口变小，符合题意，
∴a≤﹣1，
故答案为：a＞或a≤﹣1．
．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+2的对称轴为y轴，
∴﹣＝0，即b＝0，
∴y＝﹣x2+2，
将（m，n）代入y＝﹣x2+2得n＝﹣m2+2，
∴m+n＝﹣m2﹣m+2＝﹣（m+）2+，
∴m＝﹣时，m+n最大值为．
故答案为：．
三．解答题
．【解答】（1）解：对于抛物线y＝﹣+，当y＝0时，则﹣+＝0，
解得x1＝﹣，x2＝2；
当x＝0时，y＝2，
∴A（﹣，0），B（2，0），C（0，2）．
（2）证明：连接AC，BC，
∵OA＝，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴AC2＝（）2+22＝6，BC2＝（2）2+22＝12，
∴AC2+BC2＝6+12＝18；
∵AB＝2﹣（﹣）＝3，
∴AB2＝（3）2＝18，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B，C的坐标分别为B（0，4），C（4，0），
把点B（0，4）和点C（4，0）代入抛物线y＝ax2+x+c，
得：，
解之，得，
∴抛物线的解析式为．
（2）∵BC为定值，
∴当△BEC的面积最大时，点E到BC的距离最大．
如图，过点E作EG∥y轴，交直线BC于点G．
设点E的坐标为，则点G的坐标为（m，﹣m+4），
∴，
∴，
∴当m＝2时，S△BEC最大，此时点E到BC的距离就最大．此时点E的坐标为（2，4）．
（3）存在．由抛物线可得对称轴是直线x＝1．
∵Q是抛物线对称轴上的动点，∴点Q的横坐标为1．
①当BC为边时，点B到点C的水平距离是4，
∴点Q到点P的水平距离也是4．
∴点P的横坐标是5或﹣3，∴点P的坐标为或；
②当BC为对角线时，点Q到点C的水平距离是3，
∴点B到点P的水平距离也是3，∴点P的坐标为．
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，
点P的坐标是或或．
．【解答】解：（1）设抛物线L1的表达式是，
∵抛物线L1过点A（﹣2，0），
∴，
解得，
∴．
即抛物线L1的表达式是；
（2）令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．
Ⅰ．当AC为正方形的对角线时，如图所示，
∵AE3＝E3C＝CD3＝D3A＝2，
∴点D3的坐标为（0，0），点E3的坐标为（﹣2，﹣2）．
设，则，
解得即抛物线L2的解析式是．
Ⅱ．当AC为边时，分两种情况，
如图，第①种情况，点D1，E1在AC的右上角时．
∵AO＝CO＝E1O＝D1O＝2，∴点D1的坐标为（0，2），点E1的坐标为（2，0）．
设，
则，
解得：，
即抛物线L2的解析式是．
第②种情况，点D2E2在AC的左下角时，过点D2作D2M⊥x轴，
则有△AD2M≌△AD1O，
∴AO＝AM，D1O＝D2M．
过E2作E2N⊥y轴，同理可得，△CE2N≌△CE1O，
∴CO＝CN，E1O＝E2N．
则点D2的坐标为（﹣4，﹣2），点E2的坐标为（﹣2，﹣4），
设，
则，
解得，
即抛物线L2的解析式是．
综上所述：L2的表达式为：，或．
．【解答】解：（1）将P（3，0），Q（1，4）代入y＝ax2+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+；
（2）①∵A与Q重合，
∴A（1，4），
∵AB⊥x轴，
∴AB＝4，
∵△ABC是AB为斜边的等腰直角三角形，
∴C点到AB的距离为2，
∵抛物线的对称轴为y轴，
∴C点到抛物线对称轴的距离为1；
②点C能落在抛物线上，理由如下；
设直线PQ的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣2x+6，
设A（t，﹣2t+6）（0＜t＜3），
∴AB＝﹣2t+6，
∴C点到AB的距离为（﹣2t+6）＝﹣t+3，
∴C（2t﹣3，﹣t+3），
将点C代入y＝﹣x2+，
可得﹣（2t﹣3）2+＝﹣t+3，
解得t＝3（舍）或t＝，
∴C（﹣2，）．
．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点，
∴令x＝0，解得y＝﹣3，则C（0，﹣3），
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
代入A（﹣1，0），D（1，﹣4）得：，
解得，
∴y＝﹣2x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴E（0，﹣2），
∴，
∴AE＝ED，
∴S△FAE＝S△FED，
∵S△ADP＝3S△DEF，
∴S△APF＝S△ADP﹣S△AFD＝3S△DEF﹣S△AFD＝3S△DEF﹣2S△DEF＝S△DEF＝S△AEF，
∵OE⊥AF，AF＝AF，
∴OE＝yp＝2，
依题意，设P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞3），
∴m2﹣2m﹣3＝2，
解得（舍），
∴；
（2）∵点P在第四象限的抛物线上，AP、BE交于点G，设P（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜3），
设直线AP的解析式为y＝cx+d，
代入A（﹣1，0），P（m，m2﹣2m﹣3）得：，
∵0＜m＜3，
∴m+1≠0，
解得：，
∴直线AP的解析式为y＝（m﹣3）x+m﹣3，
设直线BE的解析式为y＝k1x+b1，
代入B（3，0），E（0，﹣2）得：，
解得：，
∴直线BE的解析式为，
联立，解得，
∴，
∵0＜m＜3，
∴m﹣3≠0，
∴＝，
令，
∵﹣3＜0，
∴z存在最大值，则w存在最小值，
当时，z存在最大值，最大值为，则w的最小值为，
∴w有最小值，w的最小值是．