22.2二次函数与一元二次方程 同步练习题 2022-2023学年人教版九年级数学上册（含答案）

2022-2023学年人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．抛物线y＝﹣x2+4x﹣7与x轴交点的个数是（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
2．抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴两个交点间的距离是（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
3．关于二次函数y＝﹣（x+2）2﹣1，下列说法错误的是（　　）
A．图象开口向下
B．图象顶点坐标是（﹣2，﹣1）
C．当x＞0时，y随x增大而减小
D．图象与x轴有两个交点
4．如图，抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A（﹣1，0），则另一交点的坐标是（　　）
A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（1，0） D．（2，0）
5．下列关于二次函数y＝（x﹣6）2+2的说法正确的是（　　）
A．当x＜6时，y随着x的增大而增大
B．当x＝6时，y有最小值为2
C．该函数图象与x轴有两个交点
D．该函数图象可由抛物线y＝x2向左平移6个单位，再向上平移2个单位得到
6．对于二次函数y＝（x+2）2﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
B．当x＝﹣2时，y有最大值﹣1
C．图象的顶点坐标为（2，﹣1）
D．图象与x轴有两个交点
7．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是（　　）
A．m≥﹣4 B．m≥0 C．m≥5 D．m≥6
9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.6，x2＝（　　）
A．﹣1.6 B．3.2 C．4.4 D．以上都不对
10．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的最精确的一个近似解是（　　）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
x2﹣x﹣1.1 ﹣0.99 ﹣0.86 ﹣0.71 ﹣0.54 ﹣0.35 ﹣0.14 0.09 0.34 0.61
A．0.09 B．1.1 C．1.6 D．1.7
二．填空题
11．抛物线y＝x2﹣2x+0.5如图所示，利用图象可得方程x2﹣2x+0.5＝0的近似解为　 　（精确到0.1）．
12．用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x﹣9＝0的近似根为　 　．
13．抛物线y＝2x2﹣4x+m的图象的部分如图所示，则关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m＝0的解是 　 　．
14．抛物线y＝x2﹣4x﹣5交x轴于A，B两点，则AB长为 　 　．
15．如果二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴的一个交点是（1，0），则c＝　 　．
16．抛物线与x轴交于点（2，0），（﹣1，0），利用两点式抛物线解析式可设为：　 　．
17．抛物线y＝﹣x2+2x﹣1的图象与x轴交点的个数是 　 　．
18．二次函数y＝x2﹣4x+k的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是 　 　．
19．一条抛物线具有以下三个性质：①开口向下；②与x轴没有交点；③对称轴在y轴右侧．请写出同时满足以上三个性质的一个二次函数表达式为 　 　．
20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P是抛物线与x轴的一个交点，若点P的坐标为（4，0），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 　 　．
三．解答题
21．（1）把二次函数y＝2x2﹣8x+6代成y＝a（x+h）2+k的形式．
（2）写出抛物线的顶点坐标、对称轴和最值，并说明该抛物线是由哪一条形如y＝ax2的抛物线经过怎样的变换得到的？
（3）求该抛物线与坐标轴的交点坐标．
22．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝3，抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B两点，与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，在第一象限内的抛物线上，是否存在一点P，使△PBC的面积最大？最大面积是多少？
23．已知直线y＝x+3分别交x轴和y轴于点A和B，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A和B，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为　 　；
（2）试确定抛物线的解析式；
（3）在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象（请用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗），观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围　 　．
24．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：
（1）点A、B、C的坐标；
（2）△ABC的面积．
25．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；
（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）当x取什么值时，y随x的增大而减小．
参考答案
一．选择题
1．解：∵Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×（﹣1）×（﹣7）＝﹣12＜0，
∴抛物线y＝﹣x2+4x﹣7与x轴交点的个数是0，
故选：D．
2．解：令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴抛物线与x轴两个交点为（﹣3，0）和（1，0），
∴两个交点之间的距离为1﹣（﹣3）＝4，
故选：C．
3．解：因为a＝﹣1＜0，所以图象开口向下，
故A正确；
顶点坐标是（﹣2，﹣1），
故B正确；
∵抛物线对称轴为x＝﹣2．
∴当x＞﹣2时，y随x增大而减小，
∴当x＞0时，y随x增大而减小，
故C正确；
∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣2，﹣1）
∴抛物线与x轴没有交点，
故D错误；
故选：D．
4．解：抛物线对称轴为直线x＝1，点A坐标为（﹣1，0），
由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为（3，0），
故选：A．
5．解：∵二次函数的顶点式为y＝（x﹣6）2+2，
∴该抛物线的顶点为（6，2），对称轴为直线x＝6，开口向上，
∴当x＜6时，y随着x的增大而减小，
∴A选项不合题意，
∴当x＝6时，y取最小值为2，
∴B选项符合题意，
∵该抛物线的顶点在x轴上方，且开口向上，
∴图象与x轴无交点，
∴C选项不合题意，
∵函数图象可由抛物线y＝x2向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到的，
∴D选项不合题意，
故选：B．
6．解：二次函数y＝（x+2）2﹣1的图象的对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1），二次函数的图象开口向下，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
且当x＝﹣2时，y有最大值﹣1．
当y＝0时，y＝（x+2）2﹣1＝0，方程无解，则抛物线与x轴没有交点．
故选：B．
7．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），
∴对称轴为x＝1，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，
∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．
故选：C．
8．解：∵抛物线的顶点坐标为（6，﹣4），
即x＝6时，二次函数有最小值为﹣4，
∴当m≥﹣4时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点，
∴方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是m≥﹣4．
故选：A．
9．解：由抛物线图象可知其对称轴为x＝3，
又抛物线是轴对称图象，
∴抛物线与x轴的两个交点关于x＝3对称，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1，x2，
那么两根满足2×3＝x1+x2，
而x1＝1.6，
∴x2＝4.4．
故选：C．
10．解：∵x＝1.7时，x2﹣x﹣1.1的值0.09最小，
∴一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的最精确的一个近似解是1.7．
故选：D．
二．填空题
11．解：∵抛物线y＝x2﹣2x+0.5与x轴的两个交点分别是（0.3，0）、（1.7，0），
又∵抛物线y＝x2﹣2x+0.5与x轴的两个交点，就是方程x2﹣2x+0.5＝0的两个根，
∴方程x2﹣2x+0.5＝0的两个近似根是1.7或0.3．
12．解：方程x2+2x﹣9＝0根是函数y＝x2+2x﹣9与x轴交点的横坐标．
作出二次函数y＝x2+2x﹣9的图象，如图所示，
由图象可知方程有两个根，一个在﹣5和﹣4之间，另一个在2和3之间．
先求﹣5和﹣4之间的根，
当x＝﹣4.15时，y＝﹣0.0775；当x＝﹣4.2时，y＝0.24；
因此，x＝﹣4.15（或x＝﹣4.2）是方程的一个近似根，
同理，x＝2.15（或x＝2.2）是方程的另一个近似根．
故答案为：x1＝﹣4.15，x2＝2.15
13．解：观察图象可知，抛物线y＝2x2﹣4x+m与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），
∴一元二次方程2x2﹣4x+m＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．
故本题答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
14．解：令y＝0，则x2﹣4x﹣5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴AB的长为5﹣（﹣1）＝5+1＝6，
故答案为：6．
15．解：∵二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴的一个交点是（1，0），
∴1+2+c＝0，
解得：c＝﹣3，
故答案为：﹣3．
16．解：∵抛物线与x轴交于点（2，0），（﹣1，0），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），
故答案为：y＝a（x﹣2）（x+1）．
17．解：∵y＝﹣x2+2x﹣1中Δ＝22﹣4＝0，
∴抛物线与x轴有1个交点，
故答案为：1．
18．解：根据题意得△＝（﹣4）2﹣4×1×k＞0，
解得k＜4．
故答案为：k＜4．
19．解：∵二次函数的图象具有下列特征：①开口方向向下；②与x轴没有交点；③对称轴在y轴右侧，
∴满足以上条件的一个二次函数的解析式（任写一个符合条件的即可）为y＝﹣x2+2x﹣5．
故答案为：y＝﹣x2+2x﹣5（答案不唯一）．
20．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P是抛物线与x轴的一个交点，坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝4，x2＝﹣2．
故答案为：x1＝4，x2＝﹣2．
三．解答题
21．解：（1）利用配方可得：y＝2x2﹣8x+6＝2（x2﹣4x）+6＝2（x2﹣4x+4）+6﹣8＝2（x﹣2）2﹣2，
∴y＝2（x﹣2）2﹣2；
（2）由解析式可知：当x＝2时，y＝﹣2，
∴顶点坐标是（2，﹣2），
对称轴是直线：x＝2，
该抛物线是由形如y＝2x2先向右移动两个单位，再向下平移两个单位得到的；
（3）解：当x＝0时，y＝6，
当y＝0时，2（x﹣2）2﹣2＝0，
∴x﹣2＝±1，
∴x＝3或者x＝1，
∴该抛物线和坐标轴的交点坐标是：（0，6）、（3，0）、（1，0）．
22．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝3，A（﹣2，0），
∴B点坐标为（8，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣8），
把C（0，4）代入得4＝a×2×（﹣8），
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣8），
即y＝﹣x2+x+4；
（2）存在．设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），
设直线BC的解析式为y＝kx+m（k≠0）．
将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+m，
得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图．
∴PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，
∵S△PBC＝S△PCD+S△PBD，
∴△PCD与△PBD可以看作成以PD为底，两高之和为OB的三角形，
∴S△PBC＝PD OB＝×8×（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．
∵﹣1＜0，
∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．
此时P点的坐标为（4，6）．
23．解：（1）∵直线y＝x+3分别交x轴和y轴于点A和B，
∴点A（﹣3，0），点B（0，3），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．
∴点C（﹣1，0），
故答案为（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），点C（﹣1，0），
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为：y＝x2+4x+3；
（3）如图所示：
当﹣3＜x＜0时，二次函数值小于一次函数值，
故答案为：﹣3＜x＜0．
24．解：（1）令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴AB＝4，OC＝3，
∴S△ABC＝AB OC＝×4×3＝6．
25．解：（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；
因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，
所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）函数图象如图：
由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．
（3）由图象可知，对称轴为x＝2，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小．