2022-2023学年人教版九年级数学上册第一学段(21.1—22.3)培优测试题(附答案)
一.选择题(共6小题,满分18分)
1.把方程x2+4x﹣5=0化成(x+m)2=n的形式,则m、n的值分别是( )
A.2,9 B.﹣2,9 C.2,1 D.﹣2,1
2.等腰三角形两边长为方程x2﹣7x+10=0的两根,则它的周长为( )
A.12 B.12或9 C.9 D.7
3.将抛物线y=(x+2)2﹣5向右平移2个单位,再向上平移5个单位,平移后所得抛物线解析式为( )
A.y=(x+4)2 B.y=x2 C.y=x2﹣10 D.y=(x+4)2﹣10
4.设A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=(x﹣1)2﹣k上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为( )
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2
5.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(﹣1,0),(3,0),则这条抛物线的对称轴是直线( )
A.x=1 B.x=﹣1 C.x=0 D.x=2
6.物理课上我们学习了竖直上抛运动,若从地面竖直向上抛一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示,下列结论:
①小球在空中经过的路程是40m
②小球抛出3s后,速度越来越快
③小球抛出3s时速度为0
④小球的高度h=30m时,t=1.5s
其中正确的是( )
A.①②③ B.①② C.②③④ D.②③
二.填空题(共6小题,满分18分)
7.方程x2﹣4x﹣3=0的解为 .
8.已知a2+a﹣1=0,b2+b﹣1=0,且a≠b,则ab+a+b= .
9.已知一菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣10x+21=0的两根,则菱形的面积是 .
10.已知函数y=x2﹣2021x+2022与x轴的交点为(m,0),(n,0),则(m2﹣2021m+2022)(n2﹣2021n+2022)= .
11.已知二次函数y=x2+x+m的图象过点(1,4),则m的值为 .
12.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出下列说法:
①abc<0;②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1、x2=3;③当x>1时,y随x值的增大而减小;④当y>0时,﹣1<x<3.其中正确的说法是 .
A.①;B.①②;C.①②③;D.①②③④
三.解答题(共10小题,满分84分)
13.解下列方程:
(1)x2﹣2x=3; (2)2(x+4)=x2﹣16;
(3)3(2x+1)=x(2x+5).
14.如图,△ABC中,已知∠A=90°.
(1)作图:在线段AB上求作一点D,使DB=DC(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,当2∠B=∠ACB时,求证:2AD=BD.
【温馨提示】本题几何证明题,需要写理由.
15.如图,抛物线与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B(0,3),点P是线段AB上方的抛物线上的动点,过点P作PQ∥y轴交AB于点Q.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当线段PQ的长取得最大值时,连接OQ,BP.请判断四边形OBPQ的形状并说明理由.
16.若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实根.
(1)求k的取值范围;
(2)当k取得最大整数值时,求此时方程的根.
17.已知m为实数,关于x的方程为mx2+(m﹣2)x﹣1=0.
(1)求证:不论m为何实数,方程总有实数根.
(2)若方程有两实根x1,x2,当x1x2﹣2x1﹣2x2=3时,求m的值.
18.先阅读下面的内容,再解答问题.
【阅读】例题:求多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值.
解:m2+2mn+2n2﹣6n+13=(m2+2mn+n2)+(n2﹣6n+9)+4=(m+n)2+(n﹣3)2+4,
∵(m+n)2≥0,(n﹣3)2≥0,
∴(m+n)2+(n﹣3)2+4≥4
∴多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值是4.
【解答问题】
(1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是 ;
(2)已知a、b、c是△ABC的三边,且满足a2+b2=10a+8b﹣41,求第三边c的取值范围;
(3)求多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7的最大值.
19.等腰三角形的三边长分别为a、b、c,若a=6,b与c是方程x2﹣(3m+1)x+2m2+2m=0的两根,求此三角形的周长.
20.海鲜门市的某种海鲜食材,成本为10元/千克,每天的进货量p(千克)与销售价格x(元/千克)满足函数关系式p=+10,从市场反馈的信息发现,该海鲜食材每天的市场需求量q(千克)与销售价格x(元/千克)满足一次函数关系,部分数据如表:
销售价格x(元/千克) 10 12 … 30
市场需求量q(千克) 30 28 … 10
(已知按物价部门规定销售价格x不低于10元/千克且不高于30元/千克)
(1)请写出q与x的函数关系式: ;
(2)当每天的进货量小于或等于市场需求量时,这种海鲜食材能全部售出,而当每天的进货量大于市场需求量时,只能售出符合市场需求量的海鲜食材,剩余的海鲜食材由于保质期短而只能废弃.
①求出每天获得的利润y(元)与销售价格x的函数关系式;
②为了避免浪费,每天要确保这种海鲜食材能全部售出,求销售价格为多少元时,每天获得的利润最大?最大利润是多少?
21.定义:对于已知的两个函数,任取自变量x的一个值,当x≥0时,它们对应的函数值互为相反数:当x<0时,它们对应的函数值相等,我们称这两个函数互为相关函数,例如:正比例函数y=x,它的相关函数为y=
.
(1)已知点A(﹣1,3)在一次函数y=ax﹣2的相关函数的图象上,求a的值;
(2)已知二次函数y=﹣2x2+8x﹣3.
①当点B(m,﹣4)在这个函数的相关函数的图象上时,求m的值;
②当﹣2≤x≤3时,求函数y=﹣2x2+8x﹣3的相关函数的最大值和最小值.
22.在平面直角坐标系中,抛物线C外:y=﹣x2﹣x+1,抛物线C内:y=ax2+bx的对称轴为直线x=﹣,且C内的图象经过点A(﹣3,﹣2),动直线x=t与抛物线C内交于点M,与抛物线C外交于点N.
(1)求抛物线C内的表达式.
(2)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,求t的值.
(3)在(2)的条件下,设抛物线C外与y轴交于点B,连接AM交y轴于点P,连接PN.若平面内有一点G,且PG=1,是否存在这样的点G,使得∠GNP=∠ONB?若存在,直接写出点G的坐标,若不存在,说明理由.
参考答案
一.选择题(共6小题,满分18分)
1.解:方程移项得:x2+4x=5,
配方得:x2+4x+4=9,即(x+2)2=9,
可得m=2,n=9,
故选:A.
2.解:方程分解因式得:(x﹣2)(x﹣5)=0,
解得:x=2或x=5,
当2为腰时,三边长分别为:2,2,5,不能构成三角形,舍去;
当2为底时,三边长为5,5,2,周长为5+5+2=12.
故选:A.
3.解:将抛物线y=(x+2)2﹣5向右平移2个单位,再向上平移5个单位,平移后所得抛物线解析式为y=(x+2﹣2)2﹣5+5,即y=x2,
故选:B.
4.解:∵抛物线y=(x﹣1)2﹣k,
∴抛物线开口向上,对称轴为x=1,当x=1是函数由最小值.
∵B(1,y2),
∴y2最小.
∵抛物线是轴对称图形,对称轴为直线x=1,
∴x=2与x=0时的函数值相同,
∵抛物线当x<1时,y随x的增大而减小,﹣2<0,
∴y1>y3.
∴y1>y3>y2.
故选:B.
5.解:∵抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0),
∴两交点关于抛物线的对称轴对称,
则此抛物线的对称轴是直线x==1.
故选:A.
6.解:①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m;故①错误;
②小球抛出3秒后,速度越来越快;故②正确;
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0;故③正确;
④设函数解析式为:h=a(t﹣3)2+40,
把O(0,0)代入得0=a(0﹣3)2+40,解得,
∴函数解析式为,
把h=30代入解析式得,,
解得:t=4.5或t=1.5,
∴小球的高度h=30m时,t=1.5s或4.5s,故④错误;
故选D.
二.填空题(共6小题,满分18分)
7.解:x==2
所以x1=2+,x2=2﹣.
8.解:∵a2+a﹣1=0,b2+b﹣1=0,且a≠b,
∴a、b可看作方程x2+x﹣1=0的两实数根,
∴a+b=﹣1,ab=﹣1,
∴ab+a+b=﹣1﹣1=﹣2.
故答案为:﹣2.
9.解:方程x2﹣10x+21=0,
分解因式得:(x﹣3)(x﹣7)=0,
所以x﹣3=0或x﹣7=0,
解得:x=3或x=7,
则菱形的面积为×3×7=10.5.
故答案为:10.5.
10.解:∵函数y=x2﹣2021x+2022与x轴的交点为(m,0),(n,0),
∴x=m时y=m2﹣2021m+2022=0,x=n时y=n2﹣2021n+2022=0,
∴(m2﹣2021m+2022)(n2﹣2021n+2022)=0.
11.解:把(1,4)代入y=x2+x+m得1+1+m=4,
解得m=2.
故答案为2.
12.解:∵抛物线的开口方向向下,
∴a<0,
∵对称轴在y轴的右边,
∴b>0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方,
∴c>0,
∴abc<0,故①正确;
根据图象知道抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x=﹣1或x=3,
∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1、x2=3,故②正确;
根据图象知道当x>1时,y随x值的增大而减小,故③正确;
根据图象知道当y>0时,﹣1<x<3,故④正确.
故答案为:D.
三.解答题(共10小题,满分84分)
13.解:(1)配方,得(x﹣1)2=4,
直接开平方,得x﹣1=±2,
解得x1=3,x2=﹣1.
(2)方程右边因式分解,得2(x+4)=(x+4)(x﹣4),
∴2(x+4)﹣(x+4)(x﹣4)=0,
∴(x+4)(2﹣x+4)=0,
即(x+4)(6﹣x)=0,
∴x+4=0,6﹣x=0,
解得x1=﹣4,x2=6.
(3)整理,得2x2﹣x﹣3=0,
∴(2x﹣3)(x+1)=0,
即2x﹣3=0,x+1=0,
解得x1=,x2=﹣1.
14.(1)解:如图,点D即为所求;
根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等,
所以DB=DC;
(2)证明:由(1)可知:DB=DC,
∴∠B=∠BCD,
∵2∠B=∠ACB,∠B+∠ACB=90°,
∴∠ACB=2∠BCD=∠BCD+∠ACD,
∴∠B=∠BCD=∠ACD=30°,
∴CD=2AD,
∴2AD=BD.
15.解:(1)根据题意,得,
解得
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3.
(2)四边形OBPQ是平行四边形.
理由如下:设点P的横坐标为m,线段AB的解析式为y=kx+t,
根据题意,得,
解得,
∴线段AB的解析式为y=﹣x+3,
∴PQ=﹣m2+m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣2)2+3.
∴线段PQ长的最大值为3,
∵OB=3,
∴OB=PQ,
∵OB∥PQ,
∴四边形OBPQ为平行四边形.
16.解:(1)根据题意得k≠0且Δ=42﹣4 k 3≥0,
解得k≤且k≠0;
(2)k的最大整数值为1,此时方程化为x2+4x+3=0,
(x+3)(x+1)=0,
∴方程的根为x1=﹣3,x2=﹣1.
17.(1)证明:当m=0时,已经方程为﹣2x﹣1=0,有实数根;
当m≠0时,已经方程是一元二次方程,Δ=(m﹣2)2﹣4m×(﹣1)=m2+4>0,该方程有两个不等实根;
综上,不论m为何实数,方程总有实数根;
(2)由根与系数的关系可得,
,,
∵x1x2﹣2x1﹣2x2=3,
∴x1x2﹣2(x1+x2)=3,
∴,
解得m=﹣5,
经检验,m=﹣5是原分式方程的解,
即m的值是﹣5.
18.解:(1)例题解答过程中因式分解运用的公式是完全平方公式,
故答案为:完全平方公式;
(2)a2+b2=10a+8b﹣41,
a2﹣10a+25+b2﹣8b+16=0,
(a﹣5)2+(b﹣4)2=0.
∵(a﹣5)2≥0,(b﹣4)2≥0,
∴a﹣5=0,b﹣4=0,
∴a=5,b=4,
∴5﹣4<c<5+4,即1<c<9;
(3)原式=﹣2x2+4xy﹣2y2﹣y2﹣6y﹣9+16
=﹣2(x﹣y)2﹣(y+3)2+16,
∵﹣2(x﹣y)2≤0,﹣(y+3)2≤0,
∴多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7的最大值是16.
19.解:①若a=6是三角形的腰,则b与c中至少有一边长为6.
将x=6代入原方程得:62﹣(3m+1)×6+2m2+2m=0,
解得:m1=3,m2=5.
当m=3时,原方程可化为x2﹣10x+24=0,
解得:x1=4,x2=6,
∴此时三角形三边长分别为4,6,6,
∴三角形的周长为4+6+6=16;
当m=5时,原方程可化为x2﹣16x+60=0,
解得:x1=6,x2=10,
此时三角形三边长分别为6,6,10,
∴三角形的周长为6+6+10=22.
②若a=6是三角形的底边,则b、c为腰且b=c,即方程有两个相等的实数根,
∴Δ=[﹣(3m+1)]2﹣4×1×(2m2+2m)=0,
解得:m1=m2=1,
∴原方程可化为x2﹣4x+4=0,
解得:x1=x2=2,
∵2+2=4<6,
∴不能构成三角形,舍去.
综上所述,此三角形的周长为16或22.
20.解:(1)设q=kx+b(k≠0),根据表中数据可得:
,
解得:,
∴q=﹣x+40(10≤x≤30).
故答案为:q=﹣x+40(10≤x≤30).
(2)①当p≤q时,+10≤﹣x+40,
解得x≤20,
∵10≤x≤30,
∴10≤x≤20,
当10≤x≤20时,
y=(x﹣10) p
=(x﹣10)(+10)
=x2+5x﹣100;
当p>q时,+10>﹣x+40,
解得:x>20,
∵10≤x≤30,
∴20<x≤30,
当20<x≤30时,
y=x(﹣x+40)﹣10(+10)
=﹣x2+35x﹣100;
综上所述,y=;
②要确保这种海鲜食材能全部售出,必须使p≤q,
∴y=x2+5x﹣100
=(x+5)2﹣,
∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=﹣5,
∴当x>﹣5时,y随x的增大而增大,
∵10≤x≤20,
∴当x=20时,y有最大值,
此时y=(20+5)2﹣=200,
∴当销售价格为20元时,每天获得的利润最大,最大利润为200元.
21.解:(1)根据题意,
一次函数y=ax﹣2的相关函数为y=,
∴把点A(﹣1,3)代入y=ax﹣2,则a×(﹣1)﹣2=3,
∴a=﹣5;
(2)根据题意,二次函数y=﹣2x2+8x﹣3的相关函数为y=,
①当m<0时,将B(m,﹣4)代入y=﹣2x2+8x﹣3得﹣2m2+8m﹣3=﹣4,
解得:m=(舍去)或m=,
当m≥0时,将B(m,﹣4)代入y=2x2﹣8x+3得2m2﹣8m+3=﹣4,
解得:m=或m=,
综上所述:m=或m=或m=;
②当﹣2≤x<0时,函数y=﹣2x2+8x﹣3的相关函数是y=﹣2x2+8x﹣3,抛物线的对称轴为直线x=2,此时y随x的增大而增大,
∴当x=﹣2时,有最小值,最小值为y=﹣2×(﹣2)2+8×(﹣2)﹣3=﹣27,
∴此时y的最小值为﹣27,
当0≤x≤3时,函数y=﹣2x2+8x﹣3的相关函数是y=2x2﹣8x+3,抛物线y=2x2﹣8x+3的对称轴为x=2,
当x=2时有最小值,最小值为﹣5,
当x=0时,有最大值,最大值为y=3,
综上所述,当﹣2≤x≤3时,函数y=﹣2x2+8x﹣3的相关函数的最大值为3,最小值为﹣27.
22.解:(1)∵y=ax2+bx的对称轴为直线x=﹣,且C内的图象经过点A(﹣3,﹣2),
∴,
解得:,
∴抛物线C内的表达式为y=﹣x2﹣x;
(2)∵动直线x=t与抛物线C内交于点M,与抛物线C外交于点N.
∴M(t,﹣t2﹣t),N(t,﹣t2﹣t+1),
∵△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形,A(﹣3,﹣2),
∴∠ANM=90°或∠AMN=90°,
当∠ANM=90°时,﹣t2﹣t+1=﹣2,
解得:t1=﹣9,t2=2,
当t=﹣9时,AN=﹣3﹣(﹣9)=6,MN=﹣2﹣[﹣×(﹣9)2﹣×(﹣9)]=49,
∵AN≠MN,
∴t=﹣9不符合题意,舍去;
当t=2时,AN=2﹣(﹣3)=5,MN=﹣2﹣(﹣×22﹣×2)=5
∵AN=MN,
∴△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形;
当∠AMN=90°时,﹣t2﹣t=﹣2,
解得:t1=﹣3,t2=,
当t=﹣3时,AM=0,不符合题意,舍去,
当t=时,AM=﹣(﹣3)=,MN=,
∵AM≠MN,
∴t=不符合题意,舍去;
综上所述,△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,t=2.
(3)存在点G使得∠GNP=∠ONB
如图,连接BN,ON,作∠GNP=∠ONB,使NG交y轴于G,且G在P上方,设AN交y轴于R,则R(0,﹣2),
由(2)知,t=2,
∴N(2,﹣2),M(2,﹣7),
设直线AM解析式为y=kx+c,将A(﹣3,﹣2),M(2,﹣7)代入,
得,
∴,
∴直线AM解析式为y=﹣x﹣5,
令x=0,得y=﹣5,
∴P(0,﹣5),
在y=﹣x2﹣x+1中,令x=0,得y=1,
∴B(0,1),
在Rt△BNR中,BN===,
在Rt△PNR中,PN===,
∴BN=PN,
∴∠NBO=∠NPR,
∵∠GNP=∠ONB,
∴△GNP≌△ONB(ASA),
∴PG=OB=1,
∴G(0,﹣4).
根据①可得G(0,﹣4)符合要求,作点G关于直线PN的对称点G′,
设直线PN解析式为y=mx+n,
∵P(0,﹣5),N(2,﹣2),
∴,解得:,
∴直线PN解析式为y=x﹣5,
∵GG′⊥PN,
∴直线GG′解析式为y=﹣x﹣4,
设G′(t,﹣t﹣4),
∵点G,G′关于直线PN的对称,
∴PG′=PG,
∴t2+[﹣t﹣4﹣(﹣5)]2=12,
解得t1=0(舍去),t2=,
当t=时,﹣t﹣4=﹣×﹣4=﹣,
∴G′(,﹣),
设直线NG的解析式为y=k1x+b1,将N(2,﹣2),G(0,﹣4)代入,
得,解得,
∴直线NG的解析式为y=x﹣4,
设直线NG上存在另一点G1(t,t﹣4),满足PG1=1,
则(t﹣0)2+(t﹣4+5)2=12,
解得t=0(舍去)或t=﹣1,
∴G1(﹣1,﹣5),
设直线NG′的解析式为y=k2x+b2,将N(2,﹣2),G′(,﹣)代入,
得,解得,
∴直线NG′的解析式为y=x﹣,
设直线NG上存在另一点G2(t,t﹣),满足PG2=1,
则(t﹣0)2+(t﹣+5)2=12,
解得:t=或t=(舍去),
∴G(,﹣),
综上所述,点G坐标为(0,﹣4)或(,﹣)或(﹣1,﹣5)或(,﹣).