2022-2023学年人教版九年级数学上册第21章一元二次方程　常考热点综合练习题（含答案）

2022-2023学年人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》
常考热点综合练习题（附答案）
一．选择题
1．我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！某贫困村从2018年开始大力发展乡村民宿旅游产业，据统计，该村2018年乡村民宿旅游收入约为2000万元，2020年该村乡村民宿旅游收入达到3380万元，则该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为（　　）
A．20% B．25% C．30% D．35%
2．若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（　　）
A．4或5 B．3 C． D．3或
4．已知实数α，β满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，且的值为（　　）
A． B． C． D．
5．若x1，x2是x2+bx﹣3b＝0的两个根，且x12+x22＝7，则b的值是（　　）
A．﹣7 B．1 C．1或7 D．7或﹣1
6．关于方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
7．如图宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，则设道路的宽为xm，根据题意，列方程（　　）
A．32×20﹣20x﹣30x＝540 B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540 D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540
8．定义新运算：对于任意实数a、b，都有a*b＝．例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个根，则x1*x2的值为（　　）
A．10或﹣10 B．10 C．﹣10 D．3或﹣3
9．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底，全市5G用户数累计达到8.72万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（　　）
A．20% B．30% C．40% D．50%
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（　　）
A．3s B．3s或5s C．4s D．5s
二．填空题
11．已知关于x的一元二次方程的根为±3，那么关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解y＝　 　．
12．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元．则二月份、三月份营业额的平均增长率为 　 　．
13．若一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　．
14．关于x的一元二次方程x2﹣kx+4＝0的两个实数根分别是x1、x2，且满足x12+x22﹣2x1﹣2x2﹣7＝0，则k的值为 　 　．
15．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　 　（填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
16．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：
①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为　 　．
三．解答题
17．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．
（1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？
18．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少？
19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
20．如图是宽为20米，长为32米的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，且互相垂直），把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的总面积为570平方米，问：道路宽为多少米？
21．某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．
（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？
22．某电器商社从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B 型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．
（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，电器商社决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天电器商社销售B型空气净化器的利润为3200元，请问电器商社应将B型空气净化器的售价定为多少元？
23．阅读理解：
材料1：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令ax2+bx+c＝y（a≠0），然后移项可得：ax2+bx+（c﹣y）＝0，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子：
例：求x2+2x+5的取值范围；
解：令x2+2x+5＝y
∴x2+2x+（5﹣y）＝0
∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0
∴y≥4∴x2+2x+5≥4．
材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下：
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有两个不相等的实数根x1、x2（x1＞x2）
则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＞0）的解集为：x≥x1或x≤x2
则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0（a＞0）的解集为：x2≤x≤x1
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）若关于x的二次三项式x2+ax+3（a为常数）的最小值为﹣6，则a＝　 　；
（2）求出代数式的取值范围；
（3）若关于x的代数式（其中m、n为常数且m≠0）的最小值为﹣4，最大值为7，请求出满足条件的m、n的值．
参考答案
一．选择题
1．解：设该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为x，
依题意得：2000（1+x）2＝3380，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
故选：C．
2．解：将x＝n代入方程，得n2+2n﹣1＝0．
所以2n﹣1＝﹣n2．
根据根与系数的关系，得m+n＝﹣2，
所以＝＝﹣（m+n）＝﹣（﹣2）＝2．
故选：C．
3．解：解方程x2﹣9x+20＝0得：x＝4或5，
分为两种情况：
①当直角边为4和5时，第三边（斜边）的长为＝；
②当4为直角边，5为斜边时，第三边（为直角边）的长为＝3，
所以第三边长为3或，
故选：D．
4．解：∵实数α，β满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，
∴2（）2+5×﹣2＝0，
∴α、是方程2x2+5x﹣2＝0的两实根，
∴α+＝﹣，α ＝﹣1，
∴
＝﹣×+1+α ﹣α
＝﹣（α+）+α +1
＝﹣×（﹣）+（﹣1）+1
＝．
故选：A．
5．解：∵x1、x2是关于x的方程x2+bx﹣3b＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3b．
又∵x12+x22＝7，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝b2+6b＝7，
解得b＝﹣7或1，
当b＝﹣7时，Δ＝49﹣84＜0，方程无实数根，应舍去，取b＝1．
故选：B．
6．解：∵方程2x2﹣3x+1＝0中的a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．解：设道路的宽为x，根据题意得（32﹣x）（20﹣x）＝540．
故选：C．
8．解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个根，
∴（x﹣2）（x+3）＝0，
解得：x＝2或﹣3，
①当x1＝2，x2＝﹣3时，x1*x2＝22﹣2×（﹣3）＝10；
②当x1＝﹣3，x2＝2时，x1*x2＝﹣3×2﹣22＝﹣10．
故选：A．
9．解：设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底有5G用户（1+x）万户，2021年底有5G用户2（1+x）2万户，
依题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72，
解得：x1＝0.4，x2＝﹣3.4，（不合题意舍去），
∴x＝0.4＝40%，
故选：C．
10．解：设动点P，Q运动t秒后，能使四边形APQC的面积为9cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝（24﹣9），
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使四边形APQC的面积为9cm2．
故选：A．
二．填空题
11．解：∵关于x的一元二次方程的两个根为1和3，
∴关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b可得y2+1＝x2＝9，
解得y＝﹣2和2．
故答案为：﹣2和2．
12．解：设这两个月的营业额增长的百分率是x．
200×（1+x）2＝288，
解得：x1＝﹣2.2（不合题意舍去），x2＝0.2，
答：每月的平均增长率为20%．
故答案是：20%．
13．解：∵一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（k+2）＝8﹣4k＞0，
解得：k＜2，
故答案为：k＜2．
14．解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2＝k，x1x2＝4，
∵x12+x22﹣2x1﹣2x2﹣7＝0，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）﹣7＝0，
∴k2﹣2×4﹣2k﹣7＝0，
整理得：k2﹣2k﹣15＝0，
解得：k＝5或k＝﹣3，
当k＝﹣3时，Δ＝32﹣4×1×4＝9﹣16＝﹣7＜0，则原方程无实数解，
故k＝5．
故答案为：5．
15．解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1＝﹣，x2＝﹣q，
∴x2＝﹣q＝﹣＝2x1，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝，x2＝，
若x1＝2x2，则，＝×2，
即，﹣×2＝0，
∴＝0，
∴＝0，
∴3＝﹣b
∴9（b2﹣4ac）＝b2，
∴2b2＝9ac．
若2x1＝x2时，则，×2＝，
即，则，×2﹣＝0，
∴＝0，
∴﹣b+3＝0，
∴b＝3，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac．
故④正确，
故答案为：②③④
16．解：∵x2﹣2x﹣a＝0，
∴Δ＝4+4a，
∴①当a＞﹣1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，
②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，
③方程的根为x＝＝1±，
∵a＞﹣1，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，
④当a＞3时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，
故答案为3．
三．解答题
17．解：（1）设与墙垂直的一面为x米，另一面则为（26﹣2x+2）米
根据题意得：x（28﹣2x）＝80
整理得：x2﹣14x+40＝0
解得x＝4或x＝10，
当x＝4时，28﹣2x＝20＞12（舍去）
当x＝10时，28﹣2x＝8＜12
∴长为10米，宽为8米．
（2）设宽为a米，根据题意得：（8﹣2a）（10﹣a）＝54，
a2﹣14a+13＝0，
解得：a＝13＞10（舍去），a＝1，
答：小路的宽为1米．
18．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4×（﹣）＝（m﹣1）2＝0，
∴m＝1，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，
解得：x1＝x2＝，
∴菱形ABCD的边长是．
（2）把x＝2代入原方程，得：4﹣2m+﹣＝0，
解得：m＝．
将m＝代入原方程，得：x2﹣x+1＝0，
∴方程的另一根AD＝1÷2＝，
∴ ABCD的周长是2×（2+）＝5．
19．解：△ABC是直角三角形，
理由是：∵关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
即（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
20．解：设道路为x米宽，
由题意得：20×32﹣20x×2﹣32x+2x2＝570，
整理得：x2﹣36x+35＝0，
解得：x＝1，x＝35，
经检验是原方程的解，但是x＝35＞20，因此不合题意舍去．
答：道路为1m宽．
21．解：（1）（45﹣30）×[80﹣（45﹣40）×2]＝1050（元）．
答：每天的销售利润为1050元．
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，
依题意，得：（x﹣30）[80﹣2（x﹣40）]＝1200，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（不合题意，舍去）．
答：每件工艺品售价应为50元．
22．解：（1）设每台B型空气净化器的进价为x元，则每台A型净化器的进价为（x+300）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝1200，
经检验，x＝1200是原方程的根，
∴x+300＝1500．
答：每台B型空气净化器的进价为1200元，每台A型空气净化器的进价为1500元．
（2）设B型空气净化器的售价为x元，
根据题意得：（x﹣1200）（4+）＝3200，
整理得：（x﹣1600）2＝0，
解得：x1＝x2＝1600．
答：电器商社应将B型空气净化器的售价定为1600元．
23．解：（1）设y＝x2+ax+3，变形为x2+ax+3﹣y＝0，
∵△≥0，
∴a2﹣4（3﹣y）≥0可得y，
而由已知y≥﹣6，故3﹣＝﹣6，
∴a＝6或a＝﹣6．
（2）设y＝，变形为3x2+（6+3y）x﹣2﹣y＝0，
∵△≥0，
∴（6+3y）2﹣4×3×（﹣2﹣y）≥0，化简得3y2+16y+20≥0，
先求出3y2+16y+20＝0的二根y1＝﹣2，y2＝﹣，
∴根据材料二得y或y≥﹣2．
（3）设y＝，变形得yx2﹣（y+5m）x+2y+n＝0，
∵△≥0，
∴（y+5m）2﹣4y（2y+n）≥0，
整理得7y2﹣（10m﹣4n）y﹣25m2≤0，
由已知可得﹣4≤y≤7，
根据材料二知7y2﹣（10m﹣4n）y﹣25m2＝0的二根是y1＝﹣4，y2＝7，
代入整理得，
解得或．