2022-2023学年华东师大版数学八年级上册第13章　全等三角形　素养综合检测试卷（含答案）

2022-2023学年度华东师大版八年级数学上册
素养综合检测
第13章　全等三角形
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列语句中,不是命题的是(　　)
A.若两角之和为90°,则这两个角互补
B.同角的余角相等
C.作线段的垂直平分线
D.相等的角是对顶角
2.(教材P106变式题)如图,AC与BD相交于点O,∠D=∠C,添加下列哪个条件后,仍无法证明△ADO≌△BCO (　　)
A.AD=BC　　　　　B.AC=BD C.OD=OC　　　　　D.∠ABD=∠BAC
3.(2022辽宁鞍山铁东期中)如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB垂直平分线上一点,∠ADC=80°,则∠C的度数是(　　)
A.60°　　　　　B.50°　　　　　C.40°　　　　　D.30°
4.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于点D,如果AC=3 cm,那么AE+DE等于(　　)
A.2 cm　　　　　B.3 cm　　　　　C.4 cm　　　　　D.5 cm
5.(2022海南海口期末)如图,在△ABC中,AB=BC,若以点A为圆心,AC长为半径画弧,交腰BC于点D,连结AD,则选项中的结论一定正确的是(　　)
A.∠B=∠CAD　　　　　B.BD=DC
C.AD=BD　 　　 　 　D.∠BAD=∠CAD
6.如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,若∠BEC=90°,则∠ACE的度数为(　　)
A.60°　　　　　B.10°
C.30°　　　　　D.15°
7.在以下三个图形中,根据尺规作图的痕迹,不能判断射线AD平分∠BAC的是(　　)
　　　　
图1　　　　　　图2　　　　　　图3
A.图2　　　　 　B.图3
C.图1与图3　　　　　D.图2与图3
8.(教材P99变式题)如图,E是∠AOB平分线上的一点,EC⊥OA于点C,ED⊥OB于点D,连结CD,若∠ECD=25°,则∠AOB=(　　)
A.50°　　　　　B.45°
C.40°　　　　　D.25°
9.(2022四川南充期末)如图,点B,C,E在同一直线上,且AC=CE,∠B=∠D=90°,AC⊥CD,下列结论不一定成立的是(　　)
A.∠A=∠2　　　　　B.∠A+∠E=90°
C.BC=DE　　　　　D.∠BCD=∠ACE
10.(2022福建福州一中期中)如图,△ABC中∠ABC的平分线与△ABC的外角∠EAC的平分线交于点P,PM⊥BE,PN⊥BF,连结PC,则下列结论中正确的个数为(　　)
①CP平分∠ACF;②∠ABC+2∠APC=180°;③∠ACB=2∠APB;④S△APC=S△APM+S△CPN.
A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.命题“如果ab=0,那么a=0”的逆命题是　　　　　　　　　　　　.
12.等腰三角形的周长为18,其中一条边的长为8,则底边长是　　　　.
13.如图,已知AB⊥BD,ED∥AB,AB=ED,要使△ABC≌△EDC,可补充的一个条件是　　　　.(答案不唯一,写出一个即可)
14.(2022浙江杭州余杭期中)如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB的中点,DE⊥AB,已知△BCE的周长为10,且AB-BC=2,则AB的长为　　　　.
15.(2022山东潍坊昌乐期中)如图,△ABC中,∠B=32°,∠BCA=78°,请依据尺规作图的作图痕迹,计算∠α=　　　　.
16.(2022福建福州延安中学期中)如图,△ABC中,AB=AC=10 cm,BC=8 cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.当点Q的运动速度为　　　cm/s时,能够使△BPD与△CQP全等.
17.(2022北京海淀外国语实验学校期中)如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形,∠1+∠2+∠3=　　　　.
18.如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,AD和BE相交于点F.若B,C,D三点在同一直线上,则AD和BE的大小关系是　　　　,它们所成的锐角∠AFB=　　　　.
三、解答题(共46分)
19.(6分)如图,已知OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.求证:OP是线段AB的垂直平分线.
20.(教材P64变式题)(6分)如图,有一池塘,要测池塘两端A、B间的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连结AC并延长到D,使CD=CA,连结BC并延长到E,使CE=CB.连结DE,那么DE的长就是A、B间的距离.你知道其中的道理吗
请根据题意将“已知”和“求证”部分补充完整,然后进行证明.
(1)已知:AD与BE相交于点C,　　　　;
(2)求证:　　　　;
(3)证明.
21.(2022独家原创)(6分)在等腰Rt△ABC中,AC=BC,如图,D为△ABC内一点,且∠BCD=∠CAD,CD=4,求△BCD的面积.
22.(8分)三角形中,顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.如图,在△ABC中,AB=AC,且∠A=36°,则△ABC为黄金三角形.
(1)尺规作图:在AC上求作一点D,使得AD=BD;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)连结BD,请问△BDC是不是黄金三角形 如果是,请给出证明,如果不是,请说明理由.
23.(2022甘肃定西临洮期中)(10分)如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点E在BD上,连结AE,CE,DF⊥AE,DG⊥CE,垂足分别是F,G.
(1)求证:△ABE≌△CBE;
(2)求证:DF=DG.
24.(10分)(1)如图1,△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形,BC、DE分别是底边,求证:BD=CE;
(2)如图2,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连结BE,
填空:∠AEB的度数为　　　　,线段BE与AD之间的数量关系是　　　　　　;
(3)如图3,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连结BE.求出∠AEB的度数,并判断线段CM、AE、BE之间的数量关系.
　　　　
图1　　　　　　　图2　　　　　　 　图3
答案全解全析
1.C　“作线段的垂直平分线”只是描述,没有作出判断,故不是命题,故选C.
2.B　添加AD=BC,根据A.A.S.可证明△ADO≌△BCO;添加AC=BD,不能证明△ADO≌△BCO;添加OD=OC,根据A.S.A.可证明△ADO≌△BCO;添加∠ABD=∠BAC,得OA=OB,根据A.A.S.可证明△ADO≌△BCO.故选B.
3.C　∵D是AB垂直平分线上一点,
∴AD=BD,∴∠B=∠BAD,∵∠ADC=80°=∠B+∠BAD,∴∠B=∠BAD=40°,
∵AB=AC,∴∠C=∠B=40°.故选C.
4.B　∵在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于点D,
∴EC=DE,∴AE+DE=AE+EC=AC=3 cm.故选B.
5.A　∵AB=BC,∴∠BAC=∠C,
∵以点A为圆心,AC长为半径画弧,交腰BC于点D,
∴AD=AC,∴∠C=∠ADC,∴∠ADC=∠C=∠BAC,
∴∠B=180°-2∠C=∠CAD,
故选A.
6.D　∵在等边三角形ABC中,AD⊥BC,
∴BD=CD,∴AD垂直平分BC,
∵点E在AD上,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB,
∵∠BEC=90°,∴∠EBC=∠ECB=45°,
∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°,故选D.
7.A　在题图1中,根据作图痕迹可得AD平分∠BAC;在题图2中,根据作图痕迹得D点为BC的中点,则AD为中线;在题图3中,根据作图痕迹得AE=AF,AM=AN,
又∵∠BAC为公共角,∴△AEN≌△AFM,
∴∠AND=∠AMD.
∵FN=AN-AF,EM=AM-AE,∴FN=EM,
又∵∠FDN=∠EDM,∴△DFN≌△DEM,∴DN=DM,
∴在△ADN和△ADM中,
∴△ADN≌△ADM,∴∠NAD=∠MAD,则可判断AD平分∠BAC.故选A.
8.A　∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴ED=EC,∴∠EDC=∠ECD=25°,
∵∠ODE=∠OCE=90°,
∴∠ODC=∠OCD=65°,
∴∠AOB=180°-∠ODC-∠OCD=50°,故选A.
9.D　∵AC⊥CD,∴∠ACD=90°,∴∠1+∠2=90°,
∵∠B=90°,∴∠1+∠A=90°,∴∠2=∠A,故A中结论正确.
在△ABC和△CDE中,
∴△ABC≌△CDE(A.A.S.),
∴BC=DE,∠1=∠E,故C中结论正确.
∴∠A+∠E=90°,故B中结论正确.
∵不确定∠1与∠2相等,∠BCD=∠1+∠ACD,∠ACE=∠2+∠ACD,∴D中结论不一定成立.
故A,B,C选项不符合题意,
故选D.
10.D　①作PD⊥AC于D.
∵BP平分∠ABC,AP平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC,∴PM=PN,PM=PD,∴PN=PD,
∴点P在∠ACF 的平分线上,故①正确.
②∵PM⊥AB,PN⊥BC,∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°,∴∠ABC+∠MPN=180°.
在Rt△PAM和Rt△PAD中,
∴Rt△PAM≌Rt△PAD(H.L.),∴∠APM=∠APD,
同理,Rt△PCD≌Rt△PCN(H.L.),∴∠CPD=∠CPN,∴∠MPN=2∠APC,
∴∠ABC+2∠APC=180°,故②正确.
③∵AP平分∠CAE,BP平分∠ABC,
∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM,∠PAM=∠ABC+∠APB,∴∠ACB=2∠APB,故③正确;
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD,Rt△PCD≌Rt△PCN,
∴S△APD=S△APM,S△CPD=S△CPN,∴S△APM+S△CPN=S△APC,故④正确,
综上,正确的结论有4个,故选D.
11.如果a=0,那么ab=0
解析　将原命题的条件、结论交换位置即可.
12.2或8
解析　当腰长为8时,底边长为18-8×2=2,此时2+8>8,能构成三角形;当底边长为8时,腰长为(18-8)÷2=5,此时5+5>8,能构成三角形.故底边长是2或8.
13.∠A=∠E(答案不唯一)
解析　∵AB⊥BD,ED∥AB,
∴∠B=∠D=90°,
又∵AB=ED,
∴当添加∠A=∠E时,△ABC≌△EDC(A.S.A.)(答案不唯一).
14.6
解析　∵D是AB的中点,且DE⊥AB,∴AE=BE,∵△BCE的周长为10,∴BC+CE+BE=10,
∴BC+(CE+AE)=10,即BC+AC=10,∵AB-BC=2,AB=AC,
∴AC=6,BC=4,∴AB=AC=6.
15.81°
解析　∵∠B=32°,∠BCA=78°,∴∠BAC=70°,
由作图痕迹可知,AD是∠BAC的平分线,EF是线段BC的垂直平分线,
∴∠CAD=∠BAC=35°,∠BCF=∠B=32°,
∵∠ACF=∠ACB-∠BCF=46°,
∴∠α=∠CAD+∠ACF=81°.
16.3或
解析　设点Q的运动速度为x cm/s,运动的时间为t s,
则BP=3t cm,CQ=xt cm,PC=(8-3t)cm,
∵点D为AB的中点,∴BD=5 cm,
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴当BD=CP,BP=CQ时,△BDP≌△CPQ,
即8-3t=5,3t=xt,解得t=1,x=3;
当BD=CQ,BP=CP时,△BDP≌△CQP,
即xt=5,3t=8-3t,解得t=,x=,
综上所述,点Q的运动速度为3 cm/s或 cm/s.
17.135°
解析　如图,根据题意得DE=BC,EC=AB,GF=GC,∠DEC=∠ABC=∠FGC=90°,∴△CGF为等腰直角三角形,∴∠2=45°,在△ABC和△CED中,∴△ABC≌△CED(S.A.S.),
∴∠1=∠DCE,
∵∠DCE+∠3=90°,∴∠1+∠3=90°,
∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°.
18.AD=BE;60°
解析　∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠CAB=∠CBA=∠ECD=60°,
∴∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠ECD,即∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE,∴AD=BE,∠CAD=∠CBE,
∵∠FAB=∠CAD+∠CAB=∠CBE+∠CAB,
∴∠FAB+∠FBA=∠CBE+∠CAB+∠FBA=∠CAB+∠CBA=120°,
∴在△AFB中,∠AFB=180°-(∠FAB+∠FBA)=60°.
故填AD=BE;60°.
19.证明　∵OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,∴PA=PB,在Rt△APO和Rt△BPO中,
∴Rt△APO≌Rt△BPO(H.L.),
∴OA=OB,∴OP垂直平分AB.
20.解析　(1)CD=CA,CE=CB.
(2)DE=AB.
(3)证明:在△ABC与△DEC中,
∴△ABC≌△DEC(S.A.S.),∴DE=AB.
21.解析　如图,过点B作BH⊥CD,交CD的延长线于H,
∵在等腰Rt△ABC中,AC=BC,∴∠ACB=90°,
∵∠BCD=∠CAD,
∴∠CAD+∠ACD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°,
∴∠ADC=90°,∴∠ADC=∠H=90°,
在△ACD和△CBH中,
∴△ACD≌△CBH(A.A.S.),
∴BH=CD=4,
∴S△BCD=CD·BH=×4×4=8.
22.解析　(1)如图所示,点D即为所求.
(2)△BDC是黄金三角形.
证明:∵AD=BD,∴∠ABD=∠A=36°,
∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=×(180°-36°)=72°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°,
又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,
∴△BDC是黄金三角形.
23.证明　(1)∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABE=∠CBE,
在△ABE和△CBE中,
∴△ABE≌△CBE(S.A.S.).
(2)∵△ABE≌△CBE,
∴∠AEB=∠CEB,∴∠AED=∠CED,
∵DF⊥AE,DG⊥CE,∴DF=DG.
24.解析　(1)证明:∵∠BAC=∠DAE=40°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.
∵△ABC与△ADE分别是以BC、DE为底边的等腰三角形,∴AB=AC,AD=AE.
∵在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(S.A.S.),∴BD=CE.
(2)本小题应依次填60°;BE=AD.理由如下:
∵△ACB和△DCE均为等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE.
∵在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(S.A.S.),
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等边三角形,
∴∠CDE=∠CED=60°,
∵点A,D,E在同一直线上,
∴∠ADC=180°-∠CDE=180°-60°=120°,
∴∠BEC=∠ADC=120°,
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.
综上所述,∠AEB的度数为60°;线段BE与AD之间的数量关系是BE=AD.
(3)∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形且∠ACB=∠DCE=90°,
∴AC=BC,CD=CE,∠CDE=∠CED=45°.
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE.
∵在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(S.A.S.),
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC,
∵∠CDE=45°,点A,D,E在同一直线上,
∴∠ADC=180°-∠CDE=180°-45°=135°,
∴∠BEC=∠ADC=135°.
∵∠BEC=135°,∠CED=45°,
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°.
∵CM为△DCE中DE边上的高,即CM⊥DE,
∴在等腰直角三角形DCE中,DM=EM.
∵CM⊥DE,∠CDE=45°,
∴△CMD是等腰直角三角形,
∴CM=DM.
∴CM=DM=EM.
∴DE=DM+EM=2CM,
又∵AD=BE,∴AE=AD+DE=BE+2CM.
综上,∠AEB的度数为90°;线段CM,AE,BE之间的数量关系是AE=BE+2CM.