2022-2023学年鲁教版数学九年级上册第一章 反比例函数 题型分类综合练习题 （含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年鲁教版数学九年级上册第一章 反比例函数 题型分类综合练习题 （含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 659.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-28 12:11:13 | ||
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文档简介
2022-2023学年鲁教版九年级数学上册《第1章反比例函数》题型分类综合练习题（附答案）
一．反比例函数的图象
1．已知y＝（m+1）xm+2是反比例函数，则函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限
C．第一、三象限 D．第三、四象限
2．函数y＝﹣的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
3．如果矩形面积为6cm2，那么它的长ycm与宽xcm之间函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B．C．D．
二．反比例函数的性质
4．下列函数y＝﹣8x，y＝5x﹣1，y＝，y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0）中，y随x的增大而减小的（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（ ）
A．其图像经过点（﹣1，﹣3） B．其图像分别位于第一、第三象限
C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＞1时，0＜y＜3
6．如图，点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的值为（ ）
﹣1 B．﹣2
C．﹣3 D．﹣4
三．反比例函数系数k的几何意义
7．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD＝AD，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，若S△OAB＝1，则k的值为 ．
8．如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C，D在x轴上，则S四边形ABCD为（ ）
A．2﹣a B．﹣a C．﹣2a D．2+a
9．如图，在平面直角坐标系中， ABCD的三个顶点坐标分别为A（1，0），B（4，2），C（2，3），第四个顶点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
10．如图，在函数y＝（x＞0）的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y＝﹣（x＜0）的图象于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
11．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y＝的图象上，顶点A在反比例函数y＝的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
12．如图，矩形OABC与反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
13．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的任意一点，过点A作AB垂直x轴交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，连接AO、BO，若△ABO的面积为1.5，则k的值为 ．
14．如图，反比例函数y＝的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，△OCE的面积为6，则k＝ ．
15．如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 ．
16．如图，点A、B在反比例函数的图象上，AC⊥y轴，垂足为D，BC⊥AC．若四边形AOBC的面积为6，，则k的值为 ．
四．反比例函数图象上点的坐标特征
17．在反比例函数（k为常数）上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
18．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＞y2
19．如图，等边△ABC的顶点A，B分别在函数y＝﹣图象的两个分支上，且AB经过原点O．当点A在函数y＝﹣的图象上移动时，顶点C始终在函数y＝的图象上移动，则k的值为（ ）
A．6 B．9 C．2 D．3
20．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）则k的值为（ ）
A．32 B．24 C．20 D．12
21．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
22．正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 ．
五．待定系数法求反比例函数解析式
23．如图，Rt△AOB中，∠OAB＝90°，∠OBA＝30°，顶点A在反比例函数y＝图象上，若Rt△AOB的面积恰好被y轴平分，则经过点B的反比例函数的解析式为 ．
六．反比例函数与一次函数的交点问题
24．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
25．如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2
26．如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，则不等式ax＞的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
27．如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
28．如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（ ）
A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22
29．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（﹣1，m）．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
30．如图一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，5）和点B（n，2）．
（1）求m，n的值；
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积．
31．如图，一次函数y1＝x+b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A（2，3）和B两点，点B的横坐标是﹣3．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1≤y2时，x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
32．如图，已知点A（4，m）、B（n，﹣4）是一次函数y＝x+n的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）求点O到直线AB的距离；
（4）请直接写出关于x的不等式x+n＞的解集： ．
33．如图，平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b（k、b为常数，k≠0）分别与x，y轴相交于点A，B，与双曲线y2＝（m为常数，m≠0）分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E．已知OA＝8，OE＝OB＝4．
（1）求直线y1和双曲线y2的解析式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使S△ABP＝S△CEO？若存在，请求出P的坐标：若不存在，请说明理由．
34．已知函数y1＝ax+1﹣k，y2＝，其中a，k都为常数，且ak≠0．y2的图象经过点（1，2）．
（1）若y1的图象也经过点（1，2）．
①求这两个函数的解析式．
②当y1＞y2时，求x的取值范围．
（2）直线x＝m分别交函数y1和y2的图象于点A（xA，yA），B（xB，yB），且点B到x轴的距离为2，若yA﹣yB＝2，求a的值．
35．如图，一次函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C（6，），且横坐标为1的点P也在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，另有一直线l经过点P，C．
（1）k1＝ ，k2＝ ．
（2）求直线l的函数表达式；
（3）设直线l与y轴交于点A，将直线OC沿射线CP方向平移至点A处停止，请求出直线OC在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围．
36．如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于点A（﹣4，﹣1）和点B（a，3）．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△OAB的面积；
（3）P是直线AB下方反比例函数图象上一点，且△PAB的面积与△OAB的面积相等，求点P的坐标．
七．反比例函数与一次函数的交点问题
37．如图，已知反比例函数为常数）的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于A（1，3），B（m，1）两点．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）已知点P（n，0），过点P作平行于y轴的直线，交一次函数图象于点M，且点M在第一象限内，交反比例函数图象于点N．若点P到点M的距离小于线段PN的长度，结合函数图象直接写出n的取值范围．
八．反比例函数综合题
38．如图1，一次函数y1＝x+2与反比例函数交于A，B两点，点A的横坐标为﹣3．
（1）求出反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（3）如图2，在第二象限中存在一点P，使得四边形PAOB是菱形，求菱形PAOB的面积．
39．如图，反比例函数y1＝（k≠0）的图象与正比例函数y2＝﹣x的图象相交于A（a，3）B两点．
（1）求k的值及B点的坐标；
（2）直接写出不等式x的解集；
（3）已知AD∥x轴，以AB、AD为边作菱形ABCD，求菱形ABCD的面积．
40．已知：如图1，点A（4，n）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点．
（1）求n的值和直线OA的解析式；
（2）如图2，将反比例函数y＝（x＞0）的图象绕原点O逆时针旋转45°后，与y轴交于点M，求线段OM的长度；
（3）如图3，将直线OA绕原点O逆时针旋转45°，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，求点B的坐标．
参考答案
一．反比例函数的图象
1．解：依题意有m+2＝﹣1，
解得m＝﹣3，
因而函数是y＝，
故函数经过第二、四象限．
故选：B．
2．解：因为k＝﹣2，y＝﹣＜0，所以它的两个分支分别位于第三、四象限．
故选：D．
3．解：由矩形的面积公式可得xy＝6，
∴y＝（x＞0，y＞0）．图象在第一象限．
故选：C．
二．反比例函数的性质
4．解：∵y＝﹣8x中，k＝﹣8＜0，
∴y随x增大而减小；
∵y＝5x﹣1中，k＝5＞0，
∴y随x增大而增大；
∵y＝中，k＝6＞0，
∴在一、三象限内，y随x增大而减小．
∵y＝（x＞0），
∴当x＞0，y随x增大而减小，
∵y＝﹣（x＜0）中，k＝﹣1＜0，
∴当x＜0，y随x增大而增大；
故选：C．
5．解：将（﹣1，﹣3）代入解析式，得﹣3＝﹣3，故A正确，不符合题意；
由于k＝3＞0，则函数图象过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B正确，不符合题意、C错误，符合题意；
∵x＝1时，y＝3，且当x＞0时y随x的增大而减小
∴当x＞1时，0＜y＜3，故D正确，不符合题意，
故选：C．
6．解：∵点E为OC的中点，
∴△AEO的面积＝△AEC的面积＝，
∵点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点，
∴S△ABO＝S△CDO，
∴S四边形CDBE＝S△AEO＝，
∵EB∥CD，
∴△OEB∽△OCD，
∴＝（）2，
∴S△OCD＝1，
则xy＝﹣1，
∴k＝xy＝﹣2．
故选：B．
三．反比例函数系数k的几何意义
7．解：设A（a，b），如图，作A 过x轴的垂线与x 轴交于C，
则：AC＝b，OC＝a，AC∥OB，
∴∠ACD＝∠BOD＝90°，∠ADC＝∠BDO，
∵BD＝AD，
∴△ADC≌△BDO（AAS），
∴S△ADC＝S△BDO，
∴S△OAC＝S△AOD+S△ADC＝S△AOD+S△BDO＝S△AOB＝1，
∴×OC×AC＝ab＝1，
∴ab＝2，
∵A（a，b） 在y＝上，
∴k＝ab＝2．
故答案为：2．
8．解：连接OA、OB，AB交y轴于E，如图，
∵AB∥x轴，
∴AB⊥y轴，
∴S△OEA＝＝1，S△OBE＝|a|＝﹣a，
∴S△OAB＝1﹣a，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S四边形ABCD＝2S△OAB＝2﹣a．
故选：A．
9．解：过点D作DE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于F，作BH∥x轴，交CF于H，
∵A（1，0），B（4，2），C（2，3），
∴BH＝4﹣2＝2，CH＝3﹣2＝1，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD，BC∥AD，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵BH∥x轴，
∴∠ABH＝∠BAF，
∵∠DAE+∠BAF+∠DAB＝180°＝∠CBH+∠ABH+∠DAB，
∴∠DAE＝∠CBH，
在△ADE和△BCH中，
，
∴△ADE≌△BCH（AAS），
∴AE＝BH＝2，DE＝CH＝1，
∴OE＝1，
∴点D坐标为（﹣1，1），
∵点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣1×1＝﹣1，
故选：A．
10．解：∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOC＝×2＝1，
又∵点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴S△BOC＝×8＝4，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC
＝1+4
＝5，
故选：B．
11．解：设B（a，），
∵四边形OBAD是平行四边形，
∴AB∥DO，
∴A（，），
∴AB＝a﹣，
∵平行四边形OBAD的面积是5，
∴（a﹣）＝5，
解得k＝﹣2，
故选：D．
12．解：∵点M、N均在反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象上，
∴S△OAM＝S△OCN＝k1，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象上，
∴S矩形OABC＝k2，
∴S矩形OMBN＝S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△OCN＝3，
∴k2﹣k1＝3，
∴k1﹣k2＝﹣3，
故选：B．
13．解：设AB与x轴交于点C，
点B在反比例函数y＝的图象上，
∴S△BOC＝|k|＝，
又∵S△AOB＝1.5，
∴S△AOC＝1.5﹣＝1＝|k|，
又∵k＜0，
∴k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
14．解：如图，过点E作EH⊥BC于H，
设点A（a，），C（c，0），
∵点E是矩形ABCD的对角线的交点，
∴E（，），
∵点E在反比例函数y＝的图象上，
∴＝k，
∴c＝3a，
∵△OCE的面积为6，
∴OC EH＝c ＝×3a ＝6，
∴k＝8，
故答案为：8．
15．解：因为D为AC的中点，△AOD的面积为3，
所以△AOC的面积为6，
所以k＝12＝2m．
解得：m＝6．
故答案为：6．
16．解：设点，
∵AC⊥y轴，
∴AD＝a，，
∵，
∴AC＝2a，
∴CD＝3a，
∵BC⊥AC．AC⊥y轴，
∴BC∥y轴，
∴点B，
∴，
∵S梯形OBCD＝S△AOD+S四边形AOBC，
∴，
解得：k＝3．
故答案为：3．
四．反比例函数图象上点的坐标特征
17．解：∵k2≥0，
∴k2+3＞0．
∴反比例函数（k为常数）的函数图象在第一、第三象限；在第一象限内，y随着x的增大而减小；在第三象限内，y随着x的增大而减小．
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y1＜0，y2＞y3＞0，即y1＜y3＜y2．
故选：C．
18．解：∵反比例函数y＝中的6＞0，
∴该双曲线位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，
∴点A位于第三象限，点B位于第一象限，
∴y1＜y2．
故选：C．
19．解：∵函数y＝﹣图象关于原点对称，
∴OA＝OB，
连接OC，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AO⊥OC，
∴∠AOC＝90°，∠AOC＝30°，
∴∠AOE+∠COF＝90°，
设OA＝x，则AC＝2x，OC＝x，
∵AE⊥x轴，CF⊥x轴，
∴∠AEO＝∠OFC＝∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠COF＝∠OAE，
∴△AOE∽△OCF，
∴＝（）2＝，
∵顶点A在函数y＝﹣图象的两个分支上，
∴S△AOE＝，
∴S△OCF＝，
∵顶点C始终在函数y＝的图象上，
∴k＝9，
故选：B．
20．解：延长AD交x轴于C，如图所示：
则AE⊥OC，
∵D的坐标为（4，3），
∴OC＝4，CD＝3，
∴OD＝＝5，
∵四边形OBAD是菱形，
∴AD＝OB＝OD＝5，
∴AE＝5+3＝8，
∴点A的坐标为（4，8），
把A（4，8）代入函数y＝（x＞0）得：k＝4×8＝32；
故选：A．
21．解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，
，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故选：C．
22．解：作CE⊥OB于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠OBA+∠CBE＝90°，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵∠AOB＝∠CEB，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴OA＝BE，OB＝CE，
∵点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．
∴OA＝2，OB＝4，
∴BE＝2，CE＝4，
∴C（4，6），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，
∴k＝4×6＝24，
故答案为：24．
五．待定系数法求反比例函数解析式
23．解：分别过A、B作AE⊥x轴于E，BD⊥y轴交AE于F．
∵顶点A在反比例函数y＝图象上，
∴S△AOE＝2．
∵∠OAB＝90°，
∠OAE＝90°﹣∠BAF＝∠ABF，∠OEA＝∠BFA＝90°，
∴△OAE∽△ABF，
∴OA：AB＝OE：AF＝AE：BF，
在Rt△AOB中，∠AOAB＝90°，∠OBA＝30°，
∴OA：AB＝1：，
∴＝（）2＝3，
∵S△AOE＝4＝2，
∴S△ABF＝6，
∴S△BCD＝S△ABF＝，
∵Rt△AOB的面积恰好被y轴平分，
∴AC＝BC，
作AM∥OE交y轴于M，易证得△CDB≌△CMA，
∴S△CAM＝
∴S△AOC＝2+＝，
∴S△BOC＝S△AOC＝，
∴S△BOD＝+＝5，
∴k＝2S△BOD＝10，
∴过点B的反比例函数的解析式为y＝
故答案为：y＝．
六．反比例函数与一次函数的交点问题
24．解：根据题意设A（t，），
∵正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，
∴B（﹣t，﹣），
∵BC∥x轴，AC∥y轴，
∴C（t，﹣），
∴S△ABC＝BC AC＝×[t﹣（﹣t）]×[﹣（﹣）]＝12；
故选：C．
25．解：观察函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在反比例函数y2＝的图象的下方，
∴不等式k1x+b＜的解集为：﹣1＜x＜0或x＞2，
故选：A．
26．解：∵正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，
∴B（2，﹣m），
∴不等式ax＞的解集为x＜﹣2或0＜x＜2，
故选：D．
27．解：设点B的坐标为（m，），
∵S△BCD＝5，且a＞1，
∴×m×＝5，
解得：a＝11，
故选：D．
28．解：∵直线l∥y轴，
∴∠OMP＝∠OMQ＝90°，
∴S△OMP＝×8＝4，S△OMQ＝﹣k．
又S△POQ＝15，
∴4﹣k＝15，
即k＝11，
∴k＝﹣22．
故选：D．
29．解：（1）把A（2，1）代入y＝的得：k＝2×1＝2，
∴反比例函数的解析式是y＝，
∵B（﹣1，m）代入反比例函数y＝得：m＝﹣2，
∴B的坐标是（﹣1，﹣2），
把A、B的坐标代入一次函数y＝ax+b得，
解得：a＝1，b＝﹣1，
∴一次函数的解析式是y＝x﹣1；
（2）把y＝0代入一次函数的解析式是y＝x﹣1得：x﹣1＝0，
解得x＝1，
∴C（1，0），
∴S△AOB＝SAOC+S△BOC＝+＝．
30．解：（1）把A（2，5）代入中，得到m＝10，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把B（n，2）代入y＝中，得到n＝5．
（2）∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（2，5）和点B（5，2）．
∴，解得，
∴一次函数为y＝﹣x+7，
令y＝0，则﹣x+7＝0，解得x＝7，
∴C（7，0），
∴S△OAB＝S△OAC﹣S△BOC＝﹣＝．
31．解：（1）∵一次函数y1＝x+b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A（2，3），
∴3＝2+b，3＝，
∴b＝1，k＝6，
∴一次函数和反比例函数的解析式分别是y1＝x+1、y2＝；
（2）把x＝﹣3代入y＝x+1得，y＝﹣2，
∴B（﹣3，﹣2），
观察图象，y1≤y2时，x的取值范围是x≤﹣3或0＜x≤2；
（3）把x＝0代入y1＝x+1得，y＝1，
∴C（0，1），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×（2+3）＝．
32．解：（1）∵B（n，﹣4）是一次函数y＝x+n的图象上的点，
∴﹣4＝n+n，
∴n＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣4），一次函数为：y＝x﹣2，
∵反比例函数y＝的图象过点B，
∴k＝﹣2×（﹣4）＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝，
（2）设C是直线AB与x轴的交点，
∴当y＝0时，x＝﹣2．
∴点C（﹣2，0），
∴OC＝2．
∴S△AOB＝S△ACO+S△BCO＝＝6；
（3）∵点A（4，m）在直线y＝x﹣2上，
∴m＝4﹣2＝2，
∴A（4，2），
∴AB＝＝6，
设点O到直线AB的距离为h，
∴AB h＝6，
∴h＝＝，
∴点O到直线AB的距离为；
（4）不等式x+n＞的解集为：﹣2＜x＜0或x＞4．
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞4．
33．解：（1）在Rt△AOB中，OA＝8，OE＝OB＝4．
∴点A，B的坐标分别为（﹣8，0），（0，4），
将点A，B的坐标代入直线的表达式，得，
解得，
∴直线AB的表达式为y1＝x+4，
当x＝4时，y1＝x+4＝6，
∴点C的坐标为（4，6），
将点C的坐标代入y2＝得：6＝，
解得m＝24，
∴反比例函数的表达式y2＝；
（2）存在，
设点P的坐标为（0，t）
则S△CEO＝CE OE＝6×4＝12，
而S△ABP＝BP OA＝×|4﹣t|×8＝4×|4﹣t|＝12，
解得t＝1或﹣7，
∴点P的坐标为（0，1）或（0，﹣7）．
34．解：（1）∵y2的图象经过点（1，2），
∴把点坐标代入y2解析式得2＝，k＝2，
∵y1的图象也经过点（1，2），
∴把点坐标和k＝2代入y1解析式得2＝a+1﹣2，a＝3，
①两个函数的解析式分别为：
y1＝3x﹣1；y2＝；
②y1＞y2，
y1＝3x﹣1；y2＝；联立方程组，
，
解得和，
由此可知函数y1、y2 有两个交点，分别是（1，2）（﹣，﹣3）
两函数图象如下图
由函数图象可知，在第一象限y1＞y2 时，x＞1；在第三象限y1＞y2 时，﹣＜x＜0；
（2）∵直线x＝m分别交函数y1和y2的图象于点A（xA，yA），B（xB，yB），且点B到x轴的距离为2，
∴B（1，2）或（﹣1，﹣2），
∵yA﹣yB＝2，
∴yA＝4或0，
∴A（1，4）或（﹣1，0），
把（1，4）代入y1＝ax+1﹣k得，4＝a+1﹣k，解得a＝5；
把（﹣1，0）代入y1＝ax+1﹣k得，0＝﹣a+1﹣k，解得a＝﹣1；
故a的值为5或﹣1．
35．解：（1）将代入y＝k1x与，得，，
解得，k2＝3．
故答案为：，3；
（2）由（1）可得反比例函数的表达式为，
将x＝1代入，得y＝3，
∴P（1，3），
设直线l的函数表达式为y＝mx+n，
将P（1，3），代入得，
解得，
∴直线l的函数表达式为．
（3）在中，令x＝0，得，
∴A（0，）
∴直线OC沿射线CP方向平移，平移后的直线过点A时，直线的函数表达式为．
在中，令y＝0，得x＝﹣42，
∴直线OC在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围是﹣42≤x≤0．
36．解：（1）将点A（﹣4，﹣1）代入y＝（k2≠0）得，k2＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
将点B（a，3）代入y＝得，a＝，
∴B（，4），
将点A、B的坐标代入y＝k1x+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）设直线AB交y轴于点C
令x＝0，解得y＝2，
∴OC＝2，
∴△OAB的面积＝△OCA的面积+△OCB的面积，
＝OC |xA|+OC |yB|
＝
＝；
（3）由题意，OP∥AB，
∴直线OP的函数关系式为y＝x
由题意，列方程组，
解得或，
∴点P的坐标为（，）或（﹣，﹣）．
七．反比例函数与一次函数的交点问题
37．解：（1）把A（1，3）代入y＝得，3＝，
∴k＝3，
∴反比例函数为y＝，
把B（m，1）代入y＝得，1＝，
解得m＝3，
∴B（3，1），
把A（1，3），B（3，1）代入y＝ax+b得，
解得：，
∴一次函数为y＝﹣x+4；
（2）∵0＜x＜1或x＞3时，反比例函数为常数）的图象在一次函数y＝ax+b的图象的上方，
∴若点P到点M的距离小于线段PN的长度，n的取值范围是0＜n＜1或n＞3．
八．反比例函数综合题
38．解：（1）∵点A在一次函数y1＝x+2①的图象上，且点A的横坐标为﹣3，
∴A（﹣3，﹣1），
∵点A在反比例函数y2＝的图象上，
∴k＝﹣3×（﹣1）＝3，
∴反比例函数的表达式为y2＝②，
联立①②解得，或，
∴B（1，3）；
（2）由（1）知，A（﹣3，﹣1），B（1，3），
由图象知，当y1＜y2时，x的取值范围为x＜﹣3或0＜x＜1；
（3）如图，连接OP，交AB于H，
∵四边形PAOB是菱形，
∴OP⊥AB，AH＝BH，
由（1）知，A（﹣3，﹣1），B（1，3），
∴AB＝＝4，点H（﹣1，1），
∴OH＝，
∴S菱形PAOB＝2S△AOB＝2×AB OH＝AB OH＝4×＝8．
39．解：（1）将A（a，3）代入y2＝﹣x得，
﹣＝3，
∴a＝﹣2，
∴A（﹣2，3），
将A（﹣2，3）代入y1＝得，
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∵点A与B关于原点对称，
∴B（2，﹣3）；
（2）由图象知，当x＜﹣2或0＜x＜2时，x；
（3）作AH⊥BC于H，
∵A（﹣2，3），B（2，﹣3），
∴AH＝6，BH＝4，
由勾股定理得，AB＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝2，
∴菱形ABCD的面积为2×6＝12．
40．解：（1）∵点A（4，n）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，
∴4n＝8，
解得n＝2，
∴点A（4，2），
设直线OA的解析式：y＝kx（k≠0），
将点A（4，2）代入解析式，
得4k＝2，
解得k＝，
∴直线OA的解析式：y＝x；
（2）设反比例函数y＝（x＞0）的图象上点M′绕原点O逆时针旋转45°后到点M，
过点M′作M′H⊥x轴于点H，如图所示：
则∠M′HO＝90°，
∵∠MOM′＝45°，
∴∠M′OH＝45°，
∴∠OM′H＝45°，
∴OH＝M′H，
设OH＝M′H＝t，
∴点M′（t，t），
∵点M′在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴t2＝8，
解得t＝或﹣（舍），
∴OH＝M′H＝，
根据勾股定理，得OM′＝4，
∴OM＝4；
（3）过点A作AC⊥OA，交OB于点C，过点A作AG⊥x轴于点G，过点C作CK⊥AG，交GA的延长线于点K，如图所示：
则∠OGA＝90°，∠K＝90°，∠OAC＝90°，
∴∠OAG+∠AOG＝90°，∠CAK+∠OAG＝90°，
∴∠AOG＝∠CAK，
∵∠AOB＝45°，
∴∠OCA＝45°，
∴AC＝AO，
∴△OGA≌△AKC（AAS），
∴OG＝AK，AG＝CK，
∵A（4，2），
∴AK＝OG＝4，CK＝AG＝2，
∴点C坐标为（2，6），
设直线OB的解析式：y＝mx（k≠0），
将点C坐标代入解析式，
得2m＝6，
解得m＝3，
∴直线OB的解析式：y＝3x，
联立，
解得或（舍去），
∴点B坐标为（，）．
一．反比例函数的图象
1．已知y＝（m+1）xm+2是反比例函数，则函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限
C．第一、三象限 D．第三、四象限
2．函数y＝﹣的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
3．如果矩形面积为6cm2，那么它的长ycm与宽xcm之间函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B．C．D．
二．反比例函数的性质
4．下列函数y＝﹣8x，y＝5x﹣1，y＝，y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0）中，y随x的增大而减小的（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（ ）
A．其图像经过点（﹣1，﹣3） B．其图像分别位于第一、第三象限
C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＞1时，0＜y＜3
6．如图，点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的值为（ ）
﹣1 B．﹣2
C．﹣3 D．﹣4
三．反比例函数系数k的几何意义
7．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD＝AD，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，若S△OAB＝1，则k的值为 ．
8．如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C，D在x轴上，则S四边形ABCD为（ ）
A．2﹣a B．﹣a C．﹣2a D．2+a
9．如图，在平面直角坐标系中， ABCD的三个顶点坐标分别为A（1，0），B（4，2），C（2，3），第四个顶点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
10．如图，在函数y＝（x＞0）的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y＝﹣（x＜0）的图象于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
11．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y＝的图象上，顶点A在反比例函数y＝的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
12．如图，矩形OABC与反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
13．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的任意一点，过点A作AB垂直x轴交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，连接AO、BO，若△ABO的面积为1.5，则k的值为 ．
14．如图，反比例函数y＝的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，△OCE的面积为6，则k＝ ．
15．如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 ．
16．如图，点A、B在反比例函数的图象上，AC⊥y轴，垂足为D，BC⊥AC．若四边形AOBC的面积为6，，则k的值为 ．
四．反比例函数图象上点的坐标特征
17．在反比例函数（k为常数）上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
18．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＞y2
19．如图，等边△ABC的顶点A，B分别在函数y＝﹣图象的两个分支上，且AB经过原点O．当点A在函数y＝﹣的图象上移动时，顶点C始终在函数y＝的图象上移动，则k的值为（ ）
A．6 B．9 C．2 D．3
20．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）则k的值为（ ）
A．32 B．24 C．20 D．12
21．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
22．正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 ．
五．待定系数法求反比例函数解析式
23．如图，Rt△AOB中，∠OAB＝90°，∠OBA＝30°，顶点A在反比例函数y＝图象上，若Rt△AOB的面积恰好被y轴平分，则经过点B的反比例函数的解析式为 ．
六．反比例函数与一次函数的交点问题
24．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
25．如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2
26．如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，则不等式ax＞的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
27．如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
28．如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（ ）
A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22
29．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（﹣1，m）．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
30．如图一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，5）和点B（n，2）．
（1）求m，n的值；
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积．
31．如图，一次函数y1＝x+b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A（2，3）和B两点，点B的横坐标是﹣3．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1≤y2时，x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
32．如图，已知点A（4，m）、B（n，﹣4）是一次函数y＝x+n的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）求点O到直线AB的距离；
（4）请直接写出关于x的不等式x+n＞的解集： ．
33．如图，平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b（k、b为常数，k≠0）分别与x，y轴相交于点A，B，与双曲线y2＝（m为常数，m≠0）分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E．已知OA＝8，OE＝OB＝4．
（1）求直线y1和双曲线y2的解析式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使S△ABP＝S△CEO？若存在，请求出P的坐标：若不存在，请说明理由．
34．已知函数y1＝ax+1﹣k，y2＝，其中a，k都为常数，且ak≠0．y2的图象经过点（1，2）．
（1）若y1的图象也经过点（1，2）．
①求这两个函数的解析式．
②当y1＞y2时，求x的取值范围．
（2）直线x＝m分别交函数y1和y2的图象于点A（xA，yA），B（xB，yB），且点B到x轴的距离为2，若yA﹣yB＝2，求a的值．
35．如图，一次函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C（6，），且横坐标为1的点P也在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，另有一直线l经过点P，C．
（1）k1＝ ，k2＝ ．
（2）求直线l的函数表达式；
（3）设直线l与y轴交于点A，将直线OC沿射线CP方向平移至点A处停止，请求出直线OC在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围．
36．如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于点A（﹣4，﹣1）和点B（a，3）．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△OAB的面积；
（3）P是直线AB下方反比例函数图象上一点，且△PAB的面积与△OAB的面积相等，求点P的坐标．
七．反比例函数与一次函数的交点问题
37．如图，已知反比例函数为常数）的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于A（1，3），B（m，1）两点．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）已知点P（n，0），过点P作平行于y轴的直线，交一次函数图象于点M，且点M在第一象限内，交反比例函数图象于点N．若点P到点M的距离小于线段PN的长度，结合函数图象直接写出n的取值范围．
八．反比例函数综合题
38．如图1，一次函数y1＝x+2与反比例函数交于A，B两点，点A的横坐标为﹣3．
（1）求出反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（3）如图2，在第二象限中存在一点P，使得四边形PAOB是菱形，求菱形PAOB的面积．
39．如图，反比例函数y1＝（k≠0）的图象与正比例函数y2＝﹣x的图象相交于A（a，3）B两点．
（1）求k的值及B点的坐标；
（2）直接写出不等式x的解集；
（3）已知AD∥x轴，以AB、AD为边作菱形ABCD，求菱形ABCD的面积．
40．已知：如图1，点A（4，n）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点．
（1）求n的值和直线OA的解析式；
（2）如图2，将反比例函数y＝（x＞0）的图象绕原点O逆时针旋转45°后，与y轴交于点M，求线段OM的长度；
（3）如图3，将直线OA绕原点O逆时针旋转45°，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，求点B的坐标．
参考答案
一．反比例函数的图象
1．解：依题意有m+2＝﹣1，
解得m＝﹣3，
因而函数是y＝，
故函数经过第二、四象限．
故选：B．
2．解：因为k＝﹣2，y＝﹣＜0，所以它的两个分支分别位于第三、四象限．
故选：D．
3．解：由矩形的面积公式可得xy＝6，
∴y＝（x＞0，y＞0）．图象在第一象限．
故选：C．
二．反比例函数的性质
4．解：∵y＝﹣8x中，k＝﹣8＜0，
∴y随x增大而减小；
∵y＝5x﹣1中，k＝5＞0，
∴y随x增大而增大；
∵y＝中，k＝6＞0，
∴在一、三象限内，y随x增大而减小．
∵y＝（x＞0），
∴当x＞0，y随x增大而减小，
∵y＝﹣（x＜0）中，k＝﹣1＜0，
∴当x＜0，y随x增大而增大；
故选：C．
5．解：将（﹣1，﹣3）代入解析式，得﹣3＝﹣3，故A正确，不符合题意；
由于k＝3＞0，则函数图象过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B正确，不符合题意、C错误，符合题意；
∵x＝1时，y＝3，且当x＞0时y随x的增大而减小
∴当x＞1时，0＜y＜3，故D正确，不符合题意，
故选：C．
6．解：∵点E为OC的中点，
∴△AEO的面积＝△AEC的面积＝，
∵点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点，
∴S△ABO＝S△CDO，
∴S四边形CDBE＝S△AEO＝，
∵EB∥CD，
∴△OEB∽△OCD，
∴＝（）2，
∴S△OCD＝1，
则xy＝﹣1，
∴k＝xy＝﹣2．
故选：B．
三．反比例函数系数k的几何意义
7．解：设A（a，b），如图，作A 过x轴的垂线与x 轴交于C，
则：AC＝b，OC＝a，AC∥OB，
∴∠ACD＝∠BOD＝90°，∠ADC＝∠BDO，
∵BD＝AD，
∴△ADC≌△BDO（AAS），
∴S△ADC＝S△BDO，
∴S△OAC＝S△AOD+S△ADC＝S△AOD+S△BDO＝S△AOB＝1，
∴×OC×AC＝ab＝1，
∴ab＝2，
∵A（a，b） 在y＝上，
∴k＝ab＝2．
故答案为：2．
8．解：连接OA、OB，AB交y轴于E，如图，
∵AB∥x轴，
∴AB⊥y轴，
∴S△OEA＝＝1，S△OBE＝|a|＝﹣a，
∴S△OAB＝1﹣a，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S四边形ABCD＝2S△OAB＝2﹣a．
故选：A．
9．解：过点D作DE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于F，作BH∥x轴，交CF于H，
∵A（1，0），B（4，2），C（2，3），
∴BH＝4﹣2＝2，CH＝3﹣2＝1，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD，BC∥AD，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵BH∥x轴，
∴∠ABH＝∠BAF，
∵∠DAE+∠BAF+∠DAB＝180°＝∠CBH+∠ABH+∠DAB，
∴∠DAE＝∠CBH，
在△ADE和△BCH中，
，
∴△ADE≌△BCH（AAS），
∴AE＝BH＝2，DE＝CH＝1，
∴OE＝1，
∴点D坐标为（﹣1，1），
∵点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣1×1＝﹣1，
故选：A．
10．解：∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOC＝×2＝1，
又∵点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴S△BOC＝×8＝4，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC
＝1+4
＝5，
故选：B．
11．解：设B（a，），
∵四边形OBAD是平行四边形，
∴AB∥DO，
∴A（，），
∴AB＝a﹣，
∵平行四边形OBAD的面积是5，
∴（a﹣）＝5，
解得k＝﹣2，
故选：D．
12．解：∵点M、N均在反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象上，
∴S△OAM＝S△OCN＝k1，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象上，
∴S矩形OABC＝k2，
∴S矩形OMBN＝S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△OCN＝3，
∴k2﹣k1＝3，
∴k1﹣k2＝﹣3，
故选：B．
13．解：设AB与x轴交于点C，
点B在反比例函数y＝的图象上，
∴S△BOC＝|k|＝，
又∵S△AOB＝1.5，
∴S△AOC＝1.5﹣＝1＝|k|，
又∵k＜0，
∴k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
14．解：如图，过点E作EH⊥BC于H，
设点A（a，），C（c，0），
∵点E是矩形ABCD的对角线的交点，
∴E（，），
∵点E在反比例函数y＝的图象上，
∴＝k，
∴c＝3a，
∵△OCE的面积为6，
∴OC EH＝c ＝×3a ＝6，
∴k＝8，
故答案为：8．
15．解：因为D为AC的中点，△AOD的面积为3，
所以△AOC的面积为6，
所以k＝12＝2m．
解得：m＝6．
故答案为：6．
16．解：设点，
∵AC⊥y轴，
∴AD＝a，，
∵，
∴AC＝2a，
∴CD＝3a，
∵BC⊥AC．AC⊥y轴，
∴BC∥y轴，
∴点B，
∴，
∵S梯形OBCD＝S△AOD+S四边形AOBC，
∴，
解得：k＝3．
故答案为：3．
四．反比例函数图象上点的坐标特征
17．解：∵k2≥0，
∴k2+3＞0．
∴反比例函数（k为常数）的函数图象在第一、第三象限；在第一象限内，y随着x的增大而减小；在第三象限内，y随着x的增大而减小．
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y1＜0，y2＞y3＞0，即y1＜y3＜y2．
故选：C．
18．解：∵反比例函数y＝中的6＞0，
∴该双曲线位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，
∴点A位于第三象限，点B位于第一象限，
∴y1＜y2．
故选：C．
19．解：∵函数y＝﹣图象关于原点对称，
∴OA＝OB，
连接OC，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AO⊥OC，
∴∠AOC＝90°，∠AOC＝30°，
∴∠AOE+∠COF＝90°，
设OA＝x，则AC＝2x，OC＝x，
∵AE⊥x轴，CF⊥x轴，
∴∠AEO＝∠OFC＝∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠COF＝∠OAE，
∴△AOE∽△OCF，
∴＝（）2＝，
∵顶点A在函数y＝﹣图象的两个分支上，
∴S△AOE＝，
∴S△OCF＝，
∵顶点C始终在函数y＝的图象上，
∴k＝9，
故选：B．
20．解：延长AD交x轴于C，如图所示：
则AE⊥OC，
∵D的坐标为（4，3），
∴OC＝4，CD＝3，
∴OD＝＝5，
∵四边形OBAD是菱形，
∴AD＝OB＝OD＝5，
∴AE＝5+3＝8，
∴点A的坐标为（4，8），
把A（4，8）代入函数y＝（x＞0）得：k＝4×8＝32；
故选：A．
21．解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，
，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故选：C．
22．解：作CE⊥OB于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠OBA+∠CBE＝90°，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵∠AOB＝∠CEB，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴OA＝BE，OB＝CE，
∵点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．
∴OA＝2，OB＝4，
∴BE＝2，CE＝4，
∴C（4，6），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，
∴k＝4×6＝24，
故答案为：24．
五．待定系数法求反比例函数解析式
23．解：分别过A、B作AE⊥x轴于E，BD⊥y轴交AE于F．
∵顶点A在反比例函数y＝图象上，
∴S△AOE＝2．
∵∠OAB＝90°，
∠OAE＝90°﹣∠BAF＝∠ABF，∠OEA＝∠BFA＝90°，
∴△OAE∽△ABF，
∴OA：AB＝OE：AF＝AE：BF，
在Rt△AOB中，∠AOAB＝90°，∠OBA＝30°，
∴OA：AB＝1：，
∴＝（）2＝3，
∵S△AOE＝4＝2，
∴S△ABF＝6，
∴S△BCD＝S△ABF＝，
∵Rt△AOB的面积恰好被y轴平分，
∴AC＝BC，
作AM∥OE交y轴于M，易证得△CDB≌△CMA，
∴S△CAM＝
∴S△AOC＝2+＝，
∴S△BOC＝S△AOC＝，
∴S△BOD＝+＝5，
∴k＝2S△BOD＝10，
∴过点B的反比例函数的解析式为y＝
故答案为：y＝．
六．反比例函数与一次函数的交点问题
24．解：根据题意设A（t，），
∵正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，
∴B（﹣t，﹣），
∵BC∥x轴，AC∥y轴，
∴C（t，﹣），
∴S△ABC＝BC AC＝×[t﹣（﹣t）]×[﹣（﹣）]＝12；
故选：C．
25．解：观察函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在反比例函数y2＝的图象的下方，
∴不等式k1x+b＜的解集为：﹣1＜x＜0或x＞2，
故选：A．
26．解：∵正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，
∴B（2，﹣m），
∴不等式ax＞的解集为x＜﹣2或0＜x＜2，
故选：D．
27．解：设点B的坐标为（m，），
∵S△BCD＝5，且a＞1，
∴×m×＝5，
解得：a＝11，
故选：D．
28．解：∵直线l∥y轴，
∴∠OMP＝∠OMQ＝90°，
∴S△OMP＝×8＝4，S△OMQ＝﹣k．
又S△POQ＝15，
∴4﹣k＝15，
即k＝11，
∴k＝﹣22．
故选：D．
29．解：（1）把A（2，1）代入y＝的得：k＝2×1＝2，
∴反比例函数的解析式是y＝，
∵B（﹣1，m）代入反比例函数y＝得：m＝﹣2，
∴B的坐标是（﹣1，﹣2），
把A、B的坐标代入一次函数y＝ax+b得，
解得：a＝1，b＝﹣1，
∴一次函数的解析式是y＝x﹣1；
（2）把y＝0代入一次函数的解析式是y＝x﹣1得：x﹣1＝0，
解得x＝1，
∴C（1，0），
∴S△AOB＝SAOC+S△BOC＝+＝．
30．解：（1）把A（2，5）代入中，得到m＝10，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把B（n，2）代入y＝中，得到n＝5．
（2）∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（2，5）和点B（5，2）．
∴，解得，
∴一次函数为y＝﹣x+7，
令y＝0，则﹣x+7＝0，解得x＝7，
∴C（7，0），
∴S△OAB＝S△OAC﹣S△BOC＝﹣＝．
31．解：（1）∵一次函数y1＝x+b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A（2，3），
∴3＝2+b，3＝，
∴b＝1，k＝6，
∴一次函数和反比例函数的解析式分别是y1＝x+1、y2＝；
（2）把x＝﹣3代入y＝x+1得，y＝﹣2，
∴B（﹣3，﹣2），
观察图象，y1≤y2时，x的取值范围是x≤﹣3或0＜x≤2；
（3）把x＝0代入y1＝x+1得，y＝1，
∴C（0，1），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×（2+3）＝．
32．解：（1）∵B（n，﹣4）是一次函数y＝x+n的图象上的点，
∴﹣4＝n+n，
∴n＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣4），一次函数为：y＝x﹣2，
∵反比例函数y＝的图象过点B，
∴k＝﹣2×（﹣4）＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝，
（2）设C是直线AB与x轴的交点，
∴当y＝0时，x＝﹣2．
∴点C（﹣2，0），
∴OC＝2．
∴S△AOB＝S△ACO+S△BCO＝＝6；
（3）∵点A（4，m）在直线y＝x﹣2上，
∴m＝4﹣2＝2，
∴A（4，2），
∴AB＝＝6，
设点O到直线AB的距离为h，
∴AB h＝6，
∴h＝＝，
∴点O到直线AB的距离为；
（4）不等式x+n＞的解集为：﹣2＜x＜0或x＞4．
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞4．
33．解：（1）在Rt△AOB中，OA＝8，OE＝OB＝4．
∴点A，B的坐标分别为（﹣8，0），（0，4），
将点A，B的坐标代入直线的表达式，得，
解得，
∴直线AB的表达式为y1＝x+4，
当x＝4时，y1＝x+4＝6，
∴点C的坐标为（4，6），
将点C的坐标代入y2＝得：6＝，
解得m＝24，
∴反比例函数的表达式y2＝；
（2）存在，
设点P的坐标为（0，t）
则S△CEO＝CE OE＝6×4＝12，
而S△ABP＝BP OA＝×|4﹣t|×8＝4×|4﹣t|＝12，
解得t＝1或﹣7，
∴点P的坐标为（0，1）或（0，﹣7）．
34．解：（1）∵y2的图象经过点（1，2），
∴把点坐标代入y2解析式得2＝，k＝2，
∵y1的图象也经过点（1，2），
∴把点坐标和k＝2代入y1解析式得2＝a+1﹣2，a＝3，
①两个函数的解析式分别为：
y1＝3x﹣1；y2＝；
②y1＞y2，
y1＝3x﹣1；y2＝；联立方程组，
，
解得和，
由此可知函数y1、y2 有两个交点，分别是（1，2）（﹣，﹣3）
两函数图象如下图
由函数图象可知，在第一象限y1＞y2 时，x＞1；在第三象限y1＞y2 时，﹣＜x＜0；
（2）∵直线x＝m分别交函数y1和y2的图象于点A（xA，yA），B（xB，yB），且点B到x轴的距离为2，
∴B（1，2）或（﹣1，﹣2），
∵yA﹣yB＝2，
∴yA＝4或0，
∴A（1，4）或（﹣1，0），
把（1，4）代入y1＝ax+1﹣k得，4＝a+1﹣k，解得a＝5；
把（﹣1，0）代入y1＝ax+1﹣k得，0＝﹣a+1﹣k，解得a＝﹣1；
故a的值为5或﹣1．
35．解：（1）将代入y＝k1x与，得，，
解得，k2＝3．
故答案为：，3；
（2）由（1）可得反比例函数的表达式为，
将x＝1代入，得y＝3，
∴P（1，3），
设直线l的函数表达式为y＝mx+n，
将P（1，3），代入得，
解得，
∴直线l的函数表达式为．
（3）在中，令x＝0，得，
∴A（0，）
∴直线OC沿射线CP方向平移，平移后的直线过点A时，直线的函数表达式为．
在中，令y＝0，得x＝﹣42，
∴直线OC在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围是﹣42≤x≤0．
36．解：（1）将点A（﹣4，﹣1）代入y＝（k2≠0）得，k2＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
将点B（a，3）代入y＝得，a＝，
∴B（，4），
将点A、B的坐标代入y＝k1x+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）设直线AB交y轴于点C
令x＝0，解得y＝2，
∴OC＝2，
∴△OAB的面积＝△OCA的面积+△OCB的面积，
＝OC |xA|+OC |yB|
＝
＝；
（3）由题意，OP∥AB，
∴直线OP的函数关系式为y＝x
由题意，列方程组，
解得或，
∴点P的坐标为（，）或（﹣，﹣）．
七．反比例函数与一次函数的交点问题
37．解：（1）把A（1，3）代入y＝得，3＝，
∴k＝3，
∴反比例函数为y＝，
把B（m，1）代入y＝得，1＝，
解得m＝3，
∴B（3，1），
把A（1，3），B（3，1）代入y＝ax+b得，
解得：，
∴一次函数为y＝﹣x+4；
（2）∵0＜x＜1或x＞3时，反比例函数为常数）的图象在一次函数y＝ax+b的图象的上方，
∴若点P到点M的距离小于线段PN的长度，n的取值范围是0＜n＜1或n＞3．
八．反比例函数综合题
38．解：（1）∵点A在一次函数y1＝x+2①的图象上，且点A的横坐标为﹣3，
∴A（﹣3，﹣1），
∵点A在反比例函数y2＝的图象上，
∴k＝﹣3×（﹣1）＝3，
∴反比例函数的表达式为y2＝②，
联立①②解得，或，
∴B（1，3）；
（2）由（1）知，A（﹣3，﹣1），B（1，3），
由图象知，当y1＜y2时，x的取值范围为x＜﹣3或0＜x＜1；
（3）如图，连接OP，交AB于H，
∵四边形PAOB是菱形，
∴OP⊥AB，AH＝BH，
由（1）知，A（﹣3，﹣1），B（1，3），
∴AB＝＝4，点H（﹣1，1），
∴OH＝，
∴S菱形PAOB＝2S△AOB＝2×AB OH＝AB OH＝4×＝8．
39．解：（1）将A（a，3）代入y2＝﹣x得，
﹣＝3，
∴a＝﹣2，
∴A（﹣2，3），
将A（﹣2，3）代入y1＝得，
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∵点A与B关于原点对称，
∴B（2，﹣3）；
（2）由图象知，当x＜﹣2或0＜x＜2时，x；
（3）作AH⊥BC于H，
∵A（﹣2，3），B（2，﹣3），
∴AH＝6，BH＝4，
由勾股定理得，AB＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝2，
∴菱形ABCD的面积为2×6＝12．
40．解：（1）∵点A（4，n）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，
∴4n＝8，
解得n＝2，
∴点A（4，2），
设直线OA的解析式：y＝kx（k≠0），
将点A（4，2）代入解析式，
得4k＝2，
解得k＝，
∴直线OA的解析式：y＝x；
（2）设反比例函数y＝（x＞0）的图象上点M′绕原点O逆时针旋转45°后到点M，
过点M′作M′H⊥x轴于点H，如图所示：
则∠M′HO＝90°，
∵∠MOM′＝45°，
∴∠M′OH＝45°，
∴∠OM′H＝45°，
∴OH＝M′H，
设OH＝M′H＝t，
∴点M′（t，t），
∵点M′在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴t2＝8，
解得t＝或﹣（舍），
∴OH＝M′H＝，
根据勾股定理，得OM′＝4，
∴OM＝4；
（3）过点A作AC⊥OA，交OB于点C，过点A作AG⊥x轴于点G，过点C作CK⊥AG，交GA的延长线于点K，如图所示：
则∠OGA＝90°，∠K＝90°，∠OAC＝90°，
∴∠OAG+∠AOG＝90°，∠CAK+∠OAG＝90°，
∴∠AOG＝∠CAK，
∵∠AOB＝45°，
∴∠OCA＝45°，
∴AC＝AO，
∴△OGA≌△AKC（AAS），
∴OG＝AK，AG＝CK，
∵A（4，2），
∴AK＝OG＝4，CK＝AG＝2，
∴点C坐标为（2，6），
设直线OB的解析式：y＝mx（k≠0），
将点C坐标代入解析式，
得2m＝6，
解得m＝3，
∴直线OB的解析式：y＝3x，
联立，
解得或（舍去），
∴点B坐标为（，）．