【核心素养目标】2.5一元二次方程根与系数的关系 教学设计

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2.5一元二次方程根与系数的关系教学设计
课题 2.5一元二次方程根与系数的关系 单元 2 学科 数学 年级 九
教材分析 一元二次方程根与系数的关系是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的,它深化了两根与系数之间的关系,是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具,是方程理论的重要组成部分.
科学素养 经历一元二次方程根与系数关系的探究过程,培养学生观察思考、归纳概括的能力,在运用关系解决问题的过程中,培养学生解决问题的能力,渗透整体的数学思想、求简思想，通过学生自己探究,发现根与系数的关系,增强学习的信心,培养科学探究精神.
学习 目标 1.了解一元二次方程的根与系数的关系. 2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题. 3.经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的过程，体会从特殊到一般的思想.
重点 能用因式分解法(提公因式法、公式法)求解某些数字系数的一元二次方程
难点 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师课件出示问题 想一想：一元二次方程的一般形式是怎样的？ 你知道它的求根公式是什么吗？ 当Δ＞0，Δ=0，Δ＜0 根的情况如何？ 思考、并举手回答. 复习回顾已学知识，为新课的学习做准备.
讲授新课 【做一做】 解下列方程，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积. x2–2x+1=0 x2–x–1=0 (3) 2x2–3x +1=0 选择自己喜欢的方法解一元二次方程， 观察上述表格，回答下列问题： (1)每个方程的两根之和与它的系数a、b、c有什么关系？ (2)每个方程的两根之积与它的系数a、b、c有什么关系？ 思考：对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？ 证一证： 总结： 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2–4ac ≥ 0 时，有两个根分别为x1，x2，那么： 例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1) x2 +7x +6 = 0 ; (2) 2x2–3x–2 = 0 . 解：(1)这里 a = 1，b =7，c =6. Δ =b2–4ac = 72–4×1×6 = 49–24 = 25 > 0 ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么. x1+x2=–7，x1x2 =6. (2)这里 a=2，b=–3，c=–2. Δ =b2–4ac = (–3)2–4×2×(–2) = 9+16 = 25 > 0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么. x1+x2=，x1x2 =–1. 想一想：应用根与系数的关系需注意什么？ 预设：①方程必须是一元二次方程的一般形式； ②判断b2–4ac≥0； ③使用x1+x2时， 注意“－ ”不要漏写. 练一练 设x1，x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则： (1) x1+x2= ， (2)x1·x2= ， (3)= ， (4)= . 归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 常见的涉及一元二次方程两根的代数式的重要变形: (1)x12+ x22 =(x1+x2)2-2x1x2 (2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 (3) (4) (5)(x1+k)(x2+k)=x1x2+k(x1+x2)+k2 (6)|x1-x2|=. 独立完成，并交流讨论，完成表格填写 观察与思考 并说一说 尝试说一说 明确例题的做法 自由说一说 通过实际问题列出方程，为学生尝试已学的基本方法进行解题做准备. 通过做一做，一方面复习一元二次方程的解法，另一方面为探究一元二次方程根与系数的关系打下基础. 让学生经历观察、猜想、验证的过程，从特殊到一般，得出两根之和与系数之间的关系、两根之积与系数之间的关系. 让学生在探究过程中进一步熟练根与系数的关系，并学会应用其解决简单的问题，培养学生的应用意识. 明确应用根与系数关系时应注意的问题.
课堂练习 1.设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为x1和x2，则(x1＋x2)－x1· x2 ＝(　　) A．－10　　　B．10　　　C．2　　　D．－2 2.已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一个根为(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．8 3．菱形的两条对角线长分别是方程x2－14x＋48＝0的两实根，则菱形的面积为____． 4．设a，b是方程x2＋x－2016＝0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b的值为________． 5.已知方程 5x2+kx-6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及k 的值. 6.如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程 x2-17x+66 = 0 的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是 20 吗？为什么？ 由学生自己独立思考完成，并找出做的好的同学谈谈自己的思路和见解。 这个环节是巩固本课知识点，通过设置一组由浅入深的练习，来检测学生的掌握情况，在这部分的设计中，主要是发挥学生作为教学主体的主动性，让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦。
课堂小结 谈一谈这节课有什么收获？
板书 课题：2.5 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 – 4ac ≥ 0)的根与系数的关系：
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