【新课标】2.5一元二次方程根与系数的关系 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
2.5一元二次方程根与系数的关系
北师大版 九年级上册
教学目标
1．掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．
2．能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知系数．
3．会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值．
温故知新
想一想：一元二次方程的一般形式是怎样的？
你知道它的求根公式是什么吗？
ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )
适用的条件：
Δ=b2-4ac≥0
当Δ＞0，Δ=0，Δ＜0 根的情况如何？
Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
Δ< 0 时，方程没有实数根.
新知讲解
解下列方程，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积.
（1）x2-2x+1=0 （2）x2 -x-1=0 （3） 2x2-3x+1=0
方程 a b c x1 x2 x1+x2 x1x2
x2-2x+1=0
x2 -x-1=0
2x2-3x +1=0
1
1
2
1
-1
1
1
-2
1
1
-1
2
-3
1
新知讲解
①两根之和与方程系数a、b、c有什么样的关系呢？
②两根之积与方程系数a、b、c又有什么样的关系呢？
探索规律：在一元二次方程中
思考：对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？
新知讲解
证一证：
新知讲解
归纳总结
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
那么x1+x2= , x1x2=
（韦达定理）
常数项
一次项系数
二次项系数
注意系数符号。
满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0.
典例精析
例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
(1)x2＋7x＋6＝0； (2)2x2－3x－2＝0.
解：(1)这里a＝1，b＝7，c＝6.
Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25>0.
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，
那么x1＋x2＝－7，x1x2＝6.
典例精析
例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
(1)x2＋7x＋6＝0； (2)2x2－3x－2＝0.
(2)这里a＝2，b＝－3，c＝－2.
Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－2)＝9＋16＝25>0，
∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x1，x2，
那么x1＋x2＝，x1x2＝－1.
新知讲解
想一想：应用根与系数的关系需注意什么？
①方程必须是一元二次方程的一般形式；
②判断b2-4ac≥0；
③使用x1+x2 时， 注意“－ ”不要漏写.
练一练
设x1，x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则：
(1) x1+x2= ， (2)x1·x2= ，
(3)= ，
(4)= .
4
1
14
12
求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.
归纳
归纳总结
(1)x12+ x22 =(x1+x2)2-2x1x2
(2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
(3)
(4)
(5)(x1+k)(x2+k)=x1x2+k(x1+x2)+k2
(6)|x1-x2|=.
常见的涉及一元二次方程两根的代数式的重要变形:
课堂练习
1.设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为x1和x2，则(x1＋x2)－x1· x2 ＝(　　)
A．－10　　　B．10　　　C．2　　　D．－2
2.已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一个根为(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．8
C
C
课堂练习
3．菱形的两条对角线长分别是方程x2－14x＋48＝0的两实根，则菱形的面积为____．
24
4．设a，b是方程x2＋x－2016＝0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b的值为________．
2015
课堂练习
5.已知方程 5x2+kx-6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及k 的值.
解：根据根与系数的关系，得
所以另一个根为，k的值为-7.
∵其中一个根为2，因此可以设 x1= 2，
∴解这个方程组，得
课堂练习
6.如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2-17x+66=0的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是20吗？为什么？
解：由题意，可得 x1+x2 = 17，
即两边长之和为 17，17小于 20，
所以这个三角形的第三边的长不可能是 20.
课堂总结
①方程必须是一元二次方程的一般形式；
②判断b2-4ac≥0；
③使用x1+x2 时， 注意“－ ”不要漏写.
一元二次方程的根与系数的关系
根与系数的关系：
x1+x2 = ，
x1x2 =
注意事项：
板书设计
课题：2.5 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 – 4ac ≥ 0)的根与系数的关系：
作业布置
教材第51页习题2.8第1、3、4题
谢谢
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