2.1.1倾斜角与斜率 课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
直线和圆的方程
本章我们采用坐标法研究几何图形的性质．
坐标法是解析几何中最基本的研究方法．
几何学习中
直观感知
操作确认
辨论证
度量计算
几何图形的形状、大小和位置关系
综合法
本章导语
解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的
几何的基本元素—点
代数的基本对象—数(有序数对或数组)
坐标系
解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此进人变量数学时期，它为微积分的创建奠定了基础．
通过代数方法研究几何图形的性质
本章导语
我们将在平面直角坐标系（1）
本章导语
本章导语
我们将在平面直角坐标系（2）
直线和圆的方程
2.1.1 倾斜角与斜率
2.1 直线的倾斜角与斜率
课程标准
通过直观感受直线的变化，了解直线倾斜角与斜率的概念。掌握通过两点求直线斜率的公式，体会从特殊到一半，从感性到理性的认知过程，体会数形结合与化归转化在想。
新课导入
我们知道，点是构成直线的基本元素．
在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？
为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来．
一
二
三
教学目标
了解直线的倾斜角与斜率的概念
掌握通过两点求直线斜率的计算公式
会求直线的倾斜角与斜率
教学目标
难点
重点
易错点
新知探究
探究一：初步了解直线的倾斜角与斜率的概念
新知讲解
问题1 确定一条直线的几何要素是什么？
对于平面直角坐标系中的一条直线，如何利用坐标系确定它的位置？
y
x
l
O
新知讲解
问题2 在平面直角坐标系中，经过一点P可以作出多少条直线？
这些直线有什么区别？
O
P
x
y
l1
l2
l3
有无数条直线，它们组成一个直线束。
区别：直线的方向不同！
追问：如何表示这些直线的方向？
新知讲解
问题3 我们如何表示这些直线的方向？
O
P
x
y
l1
l2
l3
我们看到，这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同
如何给这样的角下定义？
概念生成
当直线与轴相交是，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。
O
P
x
y
l1
l2
l3
每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；
方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等
因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向．
下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法．
当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．
因此，直线的倾斜角α的取值范围为
新知探究
探究二：能够初步运用通过直线的两点求直线斜率的计算公式，以及：k=的运用
合作探究
设(其中)是直线的两点。由两点确定一条直线可知，直线由点唯一确定。所以，可以判断直线的倾斜角一定与两点坐标有内在联系。
我们利用尝试利用向量法探究下面问题
新知讲解
O
x
y
(1)
如图，向量=(，1)，且直线OP的倾斜角为α.由正切函数的定义，有
新知讲解
O
x
y
P
(2)
如图，=(，1 0)=(，1)．
平移向量到，则点的坐标为(，1)，且直线的倾斜角也是α,由正切函数的定义，有=
新知讲解
O
x
P
P1
P2
O
x
y
P2
P1
探究 在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为α. 一般地，如果直线经过两点，那么与的坐标有怎样的关系
如图，当向量,的方向向上时，=()．平移向量到，则点P的坐标为()，且直线的倾斜角也是α，由正切函数的定义
有
概念生成
综上可知，直线的倾斜角与直线上点
(其中)的坐标有如下关系:
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率常用小写字母表示，即.
新知讲解
问题4 当直线与x轴平行或垂直时，（与y轴平行或垂直呢？）
上述式子成立吗 为什么？
与x轴平行：满足上述的式子
与x轴垂直不满足，因为分母不为零
新知讲解
问题5 直线的倾斜角从逐渐增大到，直线的斜率如何变化？为什么？
当α∈[00, 900)
时，k随α增大
而增大, 且k≥0；　　　
当α∈(900, 1800)
时,k随α增大而增
大，且k<0；　　　
新知讲解
1
-1
k
o
倾斜角为90°的直线是没有斜率的，倾斜角不是90°的直线都有斜率
由于正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，斜率也不同。因此我们可以利用斜率表示倾斜角不等于90°的直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向。
倾斜角α=30°时，这条直线的斜率
倾斜角α=120°时，这条直线的斜率
概念生成
我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度．
如果直线经过两点P1()，，那么
由 可得，斜率公式:
问题6 已知直线上的两点，运用上述公式计算直线的斜率时，与两点的顺序有关吗
新知讲解
计算直线AB的斜率时，与A,B两点的顺序无关
可以写为;
概念生成
直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.
直线P1P2的方向向量的坐标为().
当直线P1P2与轴不垂直时，.
此时向量也是直线P1P2的方向向量，且它的坐标为()即，其中是直线量P1P2的斜率
若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为(),则.
课堂练习
例1 如图，已知A(3，2)，B(,1)，C(0，1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
解:直线AB的斜率
直线BC的斜率
直线CA的斜率.
由>0及>0可知，直线与的倾斜角均 为锐角;由<0可知，直线的倾斜角为钝角.
课堂练习
例2.已知下列直线的倾斜角,求直线的斜
(1)；(2)；(3)；(4)
解析：(1)因为α = 30°,所以直线的斜率.
(2)因为,所以直线的斜率=tan =1.
(3)因为，所以直线的斜率.
(4)因为，所以直线的斜率.
课堂练习
例3.已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角：
(1)；(2)；(3)；(4)
解析：(1)因为=0,所以直线的倾斜角为0.
(2)因为，所以直线的倾斜角为.
( 3)因为,所以直线的倾斜角为.
(4)因为，所以直线的倾斜角为.
测
随堂练习
例4.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角:（1）
解析：(1)因为C(18，8)，D ( 4，4)，所以直线CD的斜率，由 >0,可知其倾斜角为锐角.
(2)因为P(0，0)，Q (1，3)，所以直线PQ的斜率
，由,可知其倾斜角为钝角.
小结
1、直线的倾斜角定义及其范围：
2、直线的斜率定义：
3、斜率公式：