4.3.2等比数列的前n项和公式 第2课时 课件（共20张PPT）

4.3.2 等比数列的前n项和公式应用
1.等比数列前n项和公式：
2.等比数列求和要考虑公比是否为 1.
3.等比数列求和的常用方法：错位相减法.
若等比数列{an}的公比q≠1，前n项和为Sn，则Sn, S2n－Sn, S3n－S2n成等比数列,其中公比为qn.
复习引入
4.等比数列的片段和性质：
消元方法：
约分或两式相除
思考：你能发现等比数列前n项和公式Sn＝ (q≠1)的函数特征吗？
探究新知
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当q≠1时，
即Sn是n的指数型函数.
当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.
例1 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式, 并判断{an}是否是等比数列.
解: 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1，不满足上式.
由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，
所以a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列.
典例分析
思考：还有其他方法判断{an}是否是等比数列吗？
思考：若{an}是公比为q的等比数列，S偶, S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶, S奇之间有什么关系？
(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则
(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则
S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1
＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1)
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
＝a1＋qS偶
S奇＝a1＋qS偶
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
探究新知
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S偶＝qS奇
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例2 已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，求公比q.
解：由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80
∴S奇＝－80，S偶＝－160，
典例分析
变式：若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为______.
300
例3 如图，正方形???????????????? 的边长为????????????，取正方形???????????????? 各边的中点????,????,????,????, 作第2个正方形 ????????????????，然后再取正方形????????????????各边的中点????,????,????,????，作第3个正方形???????????????? ，依此方法一直继续下去.
(1) 求从正方形????????????????开始，连续10个正方形的面积之和；
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
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典例分析
解：设第一个正方形的面积为????1，后续面积依次为????2,????3?,??,????????,?,则????1=25,
由于第????+1个正方形的顶点是第????个正方形各边的中点，所以????????+????=????????????????
因此{????????} 是以25为首项，12为公比的等比数列.
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设{????????}的前项和为????????.
(1)????10=25×1?1210?1??12=50×1?1210=25575512
所以,前10个正方形的面积之和为25575512c????2.
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(2)当????无限增大时，??????无限趋近于所有正方形的面积和????1+????2+????3?+??+????????+?
而????????=25×1?12?????1??12=50×1?12????
随着????的无限增大,12????将趋近于0,????????将趋近于50.
所以,所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
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例4 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).
典例分析
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.
????????=????1?????1+????2?????2+…+?????????????????
=????1+????2+…+?????????????1+????2+…+????????
=20×1.05+20×1.052+…+20×1.05?????(7.5+9+…+6+1.5????)
=(20×1.05)×(1?1.05????)?1??1.05?????2(7.5+6+1.5????)
=420×1.05?????34????2?274?????420
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解：假设从今年起每年生活垃圾的总量{????????}，每年环保方式处理垃圾量{????????}， ????年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 ????????，则
????????=20(1+5%)????, ????????=6+1.5 ?????,
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当????=5时，????5 ≈63.5
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所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨.
小试牛刀
分组求和法
(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；
(2) 将等差数列和等比数列分开：
Tn＝ c1 + c2 +… + cn ＝ (a1 + a2 +… + an )± (b1 + b2 +… + bn )
(3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.
解：
变式：
例5 某牧场今年初牛的存栏数为1200, 预计以后每年存栏数的增长率为8%,且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为????????,????????,????????,…
(1)写出一个递推公式, 表示????????+????与????????之间的关系；
(2)将(1)中的递推公式表示成????????+???? ?????=????(?????????????)的形式, 其中????, ????为常数；
(3)求????????????=????????+????????+????????+…+????????????的值(精确到1).
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典例分析
分析: (1)可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立????????+1与????????的关系；
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(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；
(3)利用(2)的结论可得出解答.
(2)将????????+1 ?????=????(?????????????)化成????????+1=?????????????????????+????. ②
比较①②的系数，可得????=1.08?????????????=?100，得????=1.08????=1250
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(3)由(2)可知，数列{????????-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则 (????1?1250)+(????2?1250)+(????3?1250)+…+ (????10?1250)
=?50×1?1.08101??1.08≈?724.8.
∴????10=????1+????2+????3+…+????10≈1250×10?724.8=11775.7≈11776.
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解：(1)由题意，得????1=1200,并且????????+1=1.08?????????100. ①
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所以，(1)中的递推公式可以化为????????+1 ?1250=1.08(?????????1250)
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小试牛刀
1.求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).
当x≠1时，Sn＝x ＋ 2x2 ＋ 3x3 ＋ 4x4 ＋ … ＋ nxn
xSn＝ x2 ＋ 2x3 ＋ 3x4 ＋ … ＋ (n－1)xn ＋nxn＋1
∴(1－x)Sn ＝x ＋ x2 ＋ x3 ＋ x4 ＋ … ＋ xn －nxn＋1
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂小结
1.等比数列前n项和公式Sn的函数特征：
当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
当q≠1时，
即Sn是n的指数型函数.
(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则
(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则
S奇＝a1＋qS偶
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S偶＝qS奇
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2.等比数列的S奇与S偶之间的关系：
3.求和的方法
分组求和法、错位相减法