5.2.3简单复合函数的导数课件（共20张PPT）

5.2　导数的运算
5.2.3　简单复合函数的导数
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学习目标
新课程标准解读
核心素养
1.了解复合函数的概念(重点)
2.掌握复合函数的求导法则（难点）
数学抽象
3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数．(重点、难点)
数学运算
逻辑推理
温故知新
f′(x)＋g′(x)
f′(x)－g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
探究一：如何求函数 y＝ln(2x-1) 的导数？
探究新知
现有方法无法求出它的导数：
（1）用定义不能求出极限；
（2）不是基本初等函数，没有求导公式；
（3）不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题.
探究新知
问题1：函数 y＝ln(2x-1) 可以用基本初等函数表示吗？

设????=????(????)=?????????????(????>????????),则????=????(????)=????????????
?
所以????=????(????)=????????(?????????????)可以看作
?
????=????(????)和????=????(????)经过“复合”得到
?
即????=????(????)=????(????)=????(????(????)).
?
定义形成
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x)).
复合函数的概念：
例1 指出下列函数的复合关系：
（1）
（2）
（3）
（4）
由 复合而成．
解：（1）
（2） 由 复合而成．
（3） 由 复合而成．
（4） 由 复合而成．
例题精讲
例2 写出由下列函数复合而成的函数：
（1）
（2）
解：（1）
（2）
例题精讲
探究新知
探究二：如何求复合函数的导数？以????=????????????????????为例
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以函数 y=sin2x 为例，研究其导数.
(1)猜想y=sin2x 的导数与函数y=sinu，u=2x 的导数有关.
以 y′x 表示 y 对 x 的导数, 以 y′u 表示 y 对 u 的导数, 以 u′x 表示 u 对 x 的导数
可以先得到函数y=sinu，u=2x 的导数
y′u=cosu, u′x =2
(2)可以换个角度来求 y′x ：
y′x =(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2[cos2x-sin2x]=2cos2x
可以发现，y′x =2cos2x=cosu·2= y′u · u′x
探究新知
问题2：换个函数试试，还能发现类似的结论吗？
（以????=????????2????为例，研究其导数）
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复合函数的求导法则：
一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
y′x＝y'u· u′x
[f (g(x))]′=f ′(g(x)) · g′(x)
问题解决
问题3：用新学的知识求函数 y＝ln(2x-1) 的导数
函数 y＝ln(2x-1)可以看成是由 y＝lnu 和 u＝2x-1 复合而成
以y′u 表示对 u 求导, 以u′x表示对x求导
因为y'u＝(lnu)'＝ , u'x＝2,
所以y'x ＝ y'u · u'x ＝ ·2 =
=?????????????????
?
反馈练习
例1：求
的导数
分析：
解1：
解2：
可由y=sinu,u=2x复合而成
x
x
x
x
2
cos
)
2
(sin
cos
)
(sin
=
?
?
=
?
?
=2cos2x
反馈练习
例2　设 y = sin2 x，求 y ?.
　　解　这个函数可以看成是 y = sin x · sin x, 可利用乘法的导数公式，
将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.
而
所以
这里，
我们用复合函数求导法.
反馈练习
求 y ?.
解　将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中.
这样可以直接写出下式
例 3
方法归纳
(1)观察函数结构，识别构成复合函数的基本初等函数；
(2)引入中间变量，运用基本初等函数的求导公式与复合函数的求导法则运算；
(3)用中间变量关于自变量的函数替换掉中间变量，得到关于自变量的导数.
分解
求导
回代
探究三：通过以上练习，请你总结复合函数求导的一般步骤。
反馈练习
反馈练习
反馈练习
反馈练习
小结反思
小结