12.2一次函数
第1课时 正比例函数的图象与性质
一、 教学目标
1. 理解一次函数、正比例函数的概念，培养抽象思维能力
2.掌握正比例函数的图象与性质，并能灵活运用解答有关问题.
3.体会“数形结合”的数形思想方法.
4.结合描点作图，培养认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯.
二、 教学重难点
重点：理解正比例函数的图象和性质.
难点：掌握正比例函数的图象和性质并能灵活解决问题.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件等.
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情景 【回顾】 以前我们学习了方程，一元一次方程、二元一次方程；不等式、一元一次不等式的内容. 我们在学习函数这个概念以后，也要学习一些具体的函数，今天我们要学习的是一次函数. 顾名思义，你能根据一次函数这个名字，类比一元一次方程、一元一次不等式的概念举出一些一次函数的例子吗？ 小组之间进行交流 类比前面所学内容，自然地引出本节课的研究课题~一次函数.
环节二探究新知 【思考】 上节课我们遇到过这样的函数： h=30t+1800 ； Q=25t+300 ； y=2x ； y=2x ；s=80t. 这些函数有什么共同特点？ 思路提示： 1.在这些函数式中，表示函数的自变量的式子，是关于自变量的几次式？2.都可以写成什么形式？ 不难看出： 这些函数的表达式都是关于自变量的一次式. 可以写成：y=kx+b的形式. ★引出概念： 一般地，形如y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 【观察】 为了方便理解记忆，我们可以把一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)看成常数 k 与自变量的 乘积 与常数b的 和 的形式. 提出问题，引发思考：这个函数表达式在形式上具有怎样的结构特征呢？ ★结构特征： ① k≠0； ②自变量x的次数是1； ③常数项b为任意实数. 重点强调：一次函数解析式中，虽然存在四个字母，但是只有x，y是变量，k和b都是常量. 【思考】 k≠0，那b呢？ 其中，当b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx(k为常数，且k≠0). 如前面的：y=2x ； y=2x ；s=80t. 这些变量间的关系，就是小学学过的正比例函数，又因为这些函数中自变量和因变量之间是一一对应的关系， ★引出概念： 所以：一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. y=2x 中比例系数是2； y=2x中比例系数是2； s=80t中比例系数是80. 【归纳】 可见：正比例函数是一次函数的特殊情形. 【探究】 下面，来研究正比例函数的图象与性质. 前面画过函数y=2x，y=2x及另外一些正比例函数的图象. 由此可见： 1.正比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的图象是一条经过原点的直线. 2.通常我们把正比例函数的图象叫做直线y=kx. 两点确定一条直线，所以？ 画正比例函数的图象，只要先描出两点，再过这两点画直线， 就可以了.一般取(0，0)和(1，k)两点. 【操作】 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象： ，y=x，y=3x . 解：列表：(为便于比较，三个函数值计算表排在一起) 【探究】 ★探究正比例函数 y = k x ( k>0 ) 的性质. 函数图象经过第一、三象限； 图象自左至右上升，即y随x的增大而增大. 【操作】 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象： ，y=x，y=3x . 【探究】 ★探究正比例函数 y = k x ( k < 0 ) 的性质. 函数图象经过第二、四象限； 图象自左至右下降，即y随x的增大而减小 【归纳】 【探究】 k的符号决定了直线的倾斜方向(经过的象限) ，但 k 能告诉 我们的可不仅仅是这些，接下来咱们就说说 k 的另一大功用. ★它能告诉我们，函数的图象的倾斜程度. 观察图象可知： k>0时：k越大，倾斜程度越大，即图象越接近于y轴. k<0时：k越小，倾斜程度越大，即图象越接近于y轴. 综上可知： |k|越大，倾斜程度就越大； |k|越小，倾斜程度就越小. 观察、思考、 学生分组讨论、交流. 归纳得出一次函数的概念. 观察、思考，分析一次函数的结构特征 学生作出判断，说出正比例函数的特殊的一次函数. 思考、小组之间进行交流 画出函数图象，观察并思考其性质 观察函数图象，得出关于k对函数图象的另一大影响. 从具体解析式入手，使学生认识到一次函数的解析式的基本结构，通过这些问题使学生进一步加深对函数的理解，为引出一次函数和正比例函数的概念做好铺垫. 通过对一次函数解析式的观察，深化学生对其概念及解析式的理解，掌握一次函数的结构特征，为判断是否为一次函数进行铺垫. 感受数学定义的严谨性，培养学生勤于思考的习惯. 在多个实例的基础上，归纳得到正比例函数图象的特征，潜移默化地对学生进行了概括、归纳、比较、分析的思维方法的教育. 了解事物的特征就可以使解决问题变得更简捷一些，培养学生分析问题、解决问题的能力，对数形结合思想的理解.
环节三应用新知 教师活动：教师提出问题，对于学生的回答，给予激励性评价. 【典型例题】 【例1】下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1) y=x4 ； (2) y=5x 6 ； (3) y= ； (4) y= . 解：(1)、(4)是一次函数. (4)是正比例函数. 归纳：判断函数是一次函数需要满足：①能够变形转化为： y=kx+b(k≠0)的形式；②自变量x的次数是1. 判断函数是正比例函数需要满足：①能够变形转化为：y=kx (k≠0)的形式；②自变量x的次数是1. 【例2】 已知正比例函数y=mx的图象经过点(m，4)，且y的值随着x值的增大而减小，求m的值. 解：∵正比例函数y=mx的图象经过点(m，4) ∴4=m×m. 解得m=±2. 又∵y的值随着x值的增大而减小， ∴m<0，故m=2. 学生自主学习、合作交流，思考后写出答案. 通过例题，进一步巩固所学知识，加深对正比例函数与一次函数概念的理解，同时强化了正比例函数的性质.
环节四 巩固新知 【随堂练习】 教师活动：通过抢答的形式，让学生独立思考，再由老师带领整理思路过程. 练习1. 正比例函数y=k1x和y=k2x的图象如图，则k1和k2的大小关系是( ) A. k1>k2 B. k1=k2 C. k1环节五 课堂小结 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 在教师的引导下，回顾反思本节课所掌握的知识、技能、思想方法. 培养学生总结知识的能力，巩固新知.
环节六 布置作业 巩固例题练习 教科书48页习题12.2第10题 . 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共32张PPT)
12.2 一次函数
第1课时
学习目标
1.会画正比例函数的图象，了解正比例函数的图象是直线，在画图过程中体会两点可以确定一条直线.
2.掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题.
3.体会“数形结合”的数形思想方法.
4.结合描点作图，培养认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯.
正比例函数的图象和性质
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
回顾
以前我们学习了方程，一元一次方程、二元一次方程；不等式、一元一次不等式的内容.
我们在学习函数这个概念以后，也要学习一些具体的函数，今天我们要学习的是一次函数.
顾名思义，你能根据一次函数这个名字，类比一元一次方程、一元一次不等式的概念举出一些一次函数的例子吗？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
上节课我们遇到过这样的函数：
h=30t+1800 ； Q= 25t+300 ； y=2x ； y= 2x ；s=80t.
思考
这些函数有什么共同特点？
思路提示
1.在这些函数式中，表示函数的自变量的式子，是关于自变量的几次式？
2.都可以写成什么形式？
1
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
1
h=30t+1800 ； Q= 25t+300 ； y=2x ； y= 2x ；s=80t.
1
1
1
不难看出：
这些函数的表达式都是关
于自变量的一次式.
可以写成：
y=kx+b的形式.
一般地，形如
y=kx+b(k、b为常数，
且k≠0)的函数叫做
一次函数.
一次函数
一次函数y = k x + b(k、b为常数，且k≠0)
观察
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
可以看成 ：
常数 k 与自变量的 乘积 与常
数b的 和 的形式.
这个函数表达式在形式上具有怎样的结构特征呢？
结构特征：
① k≠0；
②自变量x的次数是1；
③常数项b为任意实数.
观察
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
一次函数y = k x + b(k、b为常数，且k≠0)
=
变量
变量
y
k
x
+
b
(k≠0)
x
y
k
b
常数
常数
可以看成 ：
常数 k 与自变量的 乘积 与常
数b的 和 的形式.
结构特征：
① k≠0；
②自变量x的次数是1；
③常数项b为任意实数.
比例系数
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
k≠0，那b呢？
思考
一次函数y=kx＋b
b=0
如前面的：
y=kx (k为常数，且k≠0)
y = 2 x ； y = 2 x ； s =80 t.
正比例
y
x
y
x
s
t
正比例
正比例
唯一
对应
函数
唯一
对应
唯一
对应
函数
函数
正比例函数
一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的
函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
归纳
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
正比例函数与一次函数
正比例函数是一次函数的特殊情形.
可见：
正比例函数
一次函数
一定
不一定
探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
下面，来研究正比例函数的图象与性质.
前面画过函数y=2x，y= 2x及另外一些正比例函数的图象.
y
y 2x
y=x
y 2x
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
y
y 2x
y=x
y 2x
正比例函数y=kx(k为常
● 由此可见：
数，且k≠0)的图象是一条经
过原点的直线.
2. 通常我们把正比例函数
的图象叫做直线y=kx.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
两点确定一条直线，所以？
画正比例函数的图象，只要先描出两点，再过这两点画直线，
就可以了.一般取(0，0)和(1，k)两点.
画一画
1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象： ，y=x ，y=3x .
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
y
y 3x
y x
y=
x
…
0
0
0
1
…
1
3
…
…
…
…
…
…
0
列表：
y 3x
y=x
y=
操作
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究正比例函数 y = k x ( k>0 ) 的性质.
探究
y
y 3x
y=x
y=
性质
y
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究正比例函数 y = k x ( k>0 ) 的性质.
探究
y 3x
y=x
y=
函数图象经过第
一、三象限；
性质
y
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究正比例函数 y = k x ( k>0 ) 的性质.
探究
y 3x
y=x
y=
图象自左至右上
升 ，即y随x的增
大而增大.
函数图象经过第
一、三象限；
性质
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
探究正比例函数 y = k x ( k<0 ) 的性质.
画一画
1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象： ，y= x ，y= 3x .
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
操作
y 3x
y x
y=
x
…
0
0
0
1
…
1
3
…
…
…
…
…
…
0
列表：
y
y 3x
y x
y=
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
探究正比例函数 y = k x ( k<0 ) 的性质.
y
y 3x
y x
y=
性质
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
探究正比例函数 y = k x ( k<0 ) 的性质.
y
y 3x
y x
y=
函数图象经过第
二、四象限；
性质
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
探究正比例函数 y = k x ( k<0 ) 的性质.
y
y 3x
y x
y=
图象自左至右下
降 ，即y随x的增
大而减小.
函数图象经过第
二、四象限；
性质
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
第一、三象限
第二、四象限
图象自左至右上升，
即y随x的增大而增大
图象自左至右下降，
即y随x的增大而减小
k＞0
k＜0
归纳
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
y
y= x
y 3 x
y x
y=
y 3 x
y=
它能告诉我们，函数的图象的倾斜程度.
k的符号决定了直线的倾斜方向(经过的象限) ，但 k 能告诉
我们的可不仅仅是这些，接下来咱们就说说 k 的另一大功用.
y
1
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
y 3 x
y 1 x
y=
y 3 x
y= x
y=
k>0时：
k越大，倾斜
程度越大，即
图象越接近于
y轴.
k<0时：
k越小，倾斜
程度越大，即
图象越接近于
y轴.
|k|越大，倾斜程度就越大； |k|越小，倾斜程度就越小.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
典型例题
(1) y= x 4 ； (2) y=5x 6 ； (3) y= ； (4) y= .
一次函数
①能够变形转化为：
y=kx+b(k≠0)的形式；
②自变量x的次数是1.
正比例函数
①能够变形转化为：
y=kx (k≠0)的形式；
②自变量x的次数是1.
【例1】下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
典型例题
【例2】 已知正比例函数y=mx的图象经过点(m，4)，且y的值随着x值的增大而减小，求m的值.
解：
∵正比例函数y=mx的图象经过点(,
∴，解得
又∵y的值随着x值的增大而减小，
∴，故m= 2.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
随堂练习
练习1. 正比例函数y=k1x和y=k2x的图象如图，则k1和k2的大小关系是( )
A. k1>k2 B. k1=k2
C. k1y=k1x
y=k2x
x
y
o
解析：
∵图象位于第一、三象限，
∴k1>0 ， k2>0.
根据|k|越大，倾斜程度就越大，
可得k1> k2.
A
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
随堂练习
练习2. 函数y= 7x的图象经过第_________象限，经过点
_______与点 ，y随x的增大而_______.
二、四
(0，0)
(1， 7)
减小
练习3.下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
(1) y= 8x； (2) y=8x ； (3) y= ； (4) y= 8x 4 .
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
随堂练习
练习4.已知函数
(2) 当m为何值时，这个函数是正比例函数
(1) 当m为何值时，这个函数是一次函数
解：
(1) 由题意可得:
，解得
(2)由题意可得
，解得
即时，这个函数是一次函数.
即，这个函数是正比例函数.
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
正比例函数
性质：
k＞0时，图象经过第一、三象限，从左至右上升，y随x的增大而增大;k＜0时，图象经过第二、四象限，从左至右下降，y随x的增大而减小.
一次函数与正比例函数定义
一般地，形如y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.
形如y=kx (k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.
正比例函数图象
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线.
根据两点确定一条直线，一般选(0，0)和(1，k).
布置作业
教科书48页习题12.2第10题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见
