12.2一次函数
第2课时 一次函数的图象与性质
一、 教学目标
1.认识一次函数，掌握一次函数解析式的特点及系数的取值范围.
2.理解并掌握一次函数的性质.
3.经历绘制一次函数图象的过程，类比对正比例函数的探究过程来研究一次函数的性质.
4.通过让学生类比对正比例函数性质的探究，画出一次函数，归纳出一次函数的性质，提高类比、概括能力.
二、 教学重难点
重点：掌握一次函数y=kx+b(k≠0)图象与正比例函数y=kx图象的关系.
难点：结合图象体会一次函数k，b的取值和直线位置的关系.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件等.
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情景 【回顾】 上节课我们学习了正比例函数的图象与性质： 当b≠0时，它的图象又是什么？ 回顾正比例函数的图象与性质 通过提问，让学生复习正比例函数的性质，为引入新课做铺垫.
环节二探究新知 【探究】 下面，我们用具体例子来说明. 例2 画一次函数y=2x+3的图象. 解：为了便于对比，列出一次函数y=2x+3与正比例函数y=2x 的x与y的对应值表： 提出问题：通过填表你能发现这两个函数之间有什么关系吗？ 发现：对于自变量x的同一个值，一次函数y=2x+3的函数值比函数y=2x函数值总大3个单位. 反映在函数图象上是：也就是说：对于相同的横坐标，一次函数y=2x+3的图象上点的纵坐标要比正比例函数y=2x图象上点的纵坐标大3. 【操作】 现在请你描点、连线，看它们的图象有什么关系？ 预设答案：它们的倾斜程度相同，把y=2x的图象向上平移三个单位就得到y=2x+3的图象. 由此可见：一次函数y=2x+3的图象是平行于直线y=2x的一条直线. 【思考】 提出问题：你们知道它们为什么会平行吗？ 请你们再在同一直角坐标系中画出y=2x3的图象，看看会是什么情况？ 预设：这三个图象都是直线，且互相平行. 追问：它们的解析式有什么共同特点？ 预设：函数自变量x前面的比例系数 k 相等. 由此可见： 解析式y=kx+b(k≠0)中的k决定这条直线的倾斜程度.当两个函数的k值相同、b值不同时，它们的图象平行. 【归纳】 一次函数图象： 一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的图象是平行于直线y=kx的一条直线，因此，我们以后把一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的图象叫做直线y=kx+b. 【思考】 我们知道k决定直线的倾斜程度，那么b又代表什么呢？当x=0 时，y的值是多少？ 预设：x=0时，y=k×0+b=b ★总结：这说明直线y=kx+b的图象经过(0，b)这一点，且这个点是y=kx+b的图象与y轴的交点，我们把b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距，简称截距. 追问1：截距可以是0或者负值吗？ 预设：可以 ★注意：截距不同于距离，截距可正可负，也可以是0.截距不同，图象与y轴的交点位置就不同. 追问2：请你指一指这三条直线的截距是多少呢？ 层层推进：我们知道y=2x+3的图象可以由y=2x的图象向上平移3个单位长度得到， y=2x3的图象也与y=2x的图象平行，是否也可以由它平移得到呢？ 预设：可以 追问1：怎么平移呢？ 预设：向下平移1个单位长度. ★由此可见：直线y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)可以看作直线y=kx平移|b|个单位长度而得到. 追问2：知道了平移的距离，平移的方向由什么确定呢？怎样确定呢？ 小组讨论、教师提示：根据前边作出的3个函数图象之间的关系来考虑. 预设：y=2x+3的图象是由y=2x的图象向上平移3个单位得到的；y=2x3的图象是由y=2x的图象向下平移3个单位得到的. ★由此可见：b>0时，将直线y=kx向上平移b个单位；b<0时，将直线y=kx向下平移b个单位. 【探究】 我们在上节课正比例函数的学习中，由函数解析式y=kx(k为常数，且k≠0)得到了它的哪些性质？ 一次函数是否也有这种性质呢？ 【操作】 画出一次函数y=3x+1，y=2x3，y=3x1， y= 2x+3的图象. 列表 描点画图 【观察】 由它们联想：一次函数解析式y=kx+b(k，b是常数，k≠0)中，k的正负性对函数图象有什么影响？ 【思考】 发现： 1. 当k>0时，y随x的增大而增大，图象自左至右上升，经过的象限中必有第一、三象限； 2. 当k<0时，y随x的增大而减小，图象自左至右下降，经过的象限中必有第二、四象限. 追问1：b的正负对一次函数y=kx+b的图象有什么影响呢？ 发现： 1. 当b>0时，图象与y轴的正半轴相交； 2.当b<0时，图象与y轴的负半轴相交. 追问2：那么k，b的正负情况结合在一起，它们的正负与图象经过的象限有什么关系呢？ 【归纳】 画图、观察、思考、学生分组讨论、交流. 画图，思考三个图象互相平行的原因 归纳得出一次函数的图象 观察、思考，分析一次函数解析式中b对于函数图象的影响. 学生作出判断，说出三条直线的截距. 根据图象说出3个函数图象间的平移关系. 在同一直角坐标系中画出四个函数的图象 思考、小组之间进行交流 观察思考得出一次函数的性质 在教师的引导下再次归纳一次函数的图象特征，k，b对于图象性质的影响. 探究主要通过画图和观察一次函数和正比例函数之间的关系，得出一次函数的图象及其与正比例函数图象间的关系. 通过一系列的追问，引导学生发现三个图象之间的位置关系，深化学生对一次函数解析式中k值的理解. 类比归纳出一次函数的图象. 通过对3个一次函数解析式及其图象的观察，深化对截距的理解. 巩固函数间的平移变换 引出一次函数的性质课题 再次用两点法画图，感知其简便性. 在多个实例的基础上，归纳得到一次函数图象的特征，潜移默化地对学生进行了概括、归纳、比较、分析的思维方法的教育，培养了学生分析问题、解决问题的能力，及其对数形结合思想的理解. 再次总结，对知识的系统整理.
环节三应用新知 教师活动：教师提出问题，对于学生的回答，给予激励性评价. 【典型例题】 【例1】画出直线，并求它的截距 解：列表 描点、连线 故它的截距是2. 【例2】已知一次函数 y=(12m)x+m1，求满足条件的m的值： (1) 函数值y 随x的增大而增大； (2)函数图象与y 轴的负半轴相交； (3)函数的图象过第二、三、四象限. 解：(1)由题意得12m>0，解得m< . (2)由题意得12m≠0且m1<0，即m<1，m≠. (3)由题意得12m<0且m1<0，解得环节四 巩固新知 【随堂练习】 教师活动：通过抢答的形式，让学生独立思考，再由老师带领整理思路过程. 练习1. 填空 (1)把直线y=x向上平移2个单位，所得直线是函数 的图象； (2) 把函数y=2x+3的图象向 平移 个单位，可以得到函数y= 2x的图象； (3) 对于函数y=2x+3，y随x的增大而 ； (4) 当m= 时，一次函数y=(m1)x+m 1的图象经过原点. 答案：(1) y=x+2 (2)下；3 (3)减小 (4)1 练习２.两个一次函数y1=ax+b与y2=bx+a，它们在同一坐标系中的图象可能是( ) 答案：C 练习3. 已知一次函数y＝(3m8)x＋1m图象与 y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数，求m的值 . 答案：由题意得 解得 又∵m为整数，∴m=2. 练习4. 直线y=3xb上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1y2 B. y1=y2 C. y1环节五 课堂小结 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 在教师的引导下，回顾反思本节课所掌握的知识、技能、思想方法. 培养学生总结知识的能力，巩固新知.
环节六 布置作业 巩固例题练习 教科书47页习题12.2第4、5、6题 . 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共35张PPT)
12.2 一次函数
第2课时
学习目标
1.认识一次函数，掌握一次函数解析式的特点及系数的取值范围.
2.理解并掌握一次函数的性质.
3.经历绘制一次函数图象的过程，类比对正比例函数的探究过程来研究一次函数的性质.
4.通过让学生类比对正比例函数性质的探究，画出一次函数，归纳出一次函数的性质，提高类比、概括能力.
一次函数的图象和性质
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
解析式y=kx(k≠0) k>0 k<0
图象
性质
上节课我们学习了正比例函数的图象与性质：
x
o
y
1
k
k<0
x
o
y
1
k
回顾
y 随x 的增大而增大
y 随x 的增大而减小
当b≠0时，它的图象又是什么？
探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
下面，我们用具体例子来说明.
例2 画一次函数y=2x+3的图象.
解 ：为了便于对比，列出一次函数y=2x+3与正比例函数y=2x
的x与y的对应值表：
通过填表你能发现这两个函数之间有什么关系吗？
x … 2 1 0 1 2 …
y=2x … …
y=2x+3 … …
4
4+
2
2+
0
0+
2
2+
4+
4
3
3
3
3
3
x … 2 1 0 1 2 …
y=2x … …
y=2x+3 … …
探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
4
4+
2
2+
0
0+
2
2+
4+
4
3
3
3
3
3
对于自变量x的同一个
值，一次函数y=2x+3
的函数值比函数y=2x
函数值总大3个单位.
探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
反映在函数图象上是：
对于自变量x的同一个值，一次函数y=2x+3的函数值比函数y=2x函数值总大3个单位.
图象
也就是说：对于相同的横坐标，一次函数y=2x+3的图象上点的纵坐标要比正比例函数y=2x图象上点的纵坐标大3.
操作
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
现在请你描点、连线，看它们的图象有什么关系？
y=2x
y=2x+3
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
一次函数y=2x+3的
图象是平行于直线
y=2x的一条直线.
由此可见
向上平移
3个单位
x
O
y
重合
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
你们知道它们为什么会平行吗？
请你们再在同一直角坐标系中画出y=2x 3的图象，看看会
是什么情况？
y=2x
y=2x+3
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
+3
y=2x 3
都是直线，互相平行
x
O
y
它们的解析式有什么共同特点？
函数自变量x前面的比例系数 k 相等.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
1
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3
4
5
6
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1
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6
1
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8
1
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3
4
5
6
7
y=2x+3
y=2x
y=2x 3
由此可见
解析式y=kx+b(k≠0)中
的k决定这条直线的
倾斜程度.
当两个函数的k值相同
、b值不同时，它们的
图象平行.
x
O
y
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
一次函数图象
一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的图象
是平行于直线y=kx的一条直线，因此，我们
以后把一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)
的图象叫做直线y=kx+b.
★说明
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
y=k×0+b=b
直线y=kx+b的图象经过(0，b)这一点，
且这个点是y=kx+b的图象与y轴的交点，
我们把b叫做直线y=kx+b在y轴上的截
距，简称截距.
我们知道k决定直线的倾斜程度，那么b又代表什么呢？当x=0
时，y的值是多少？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
截距可正可负，也可以是0.
截距不同，图象与y轴的交点位置就不同.
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
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7
8
1
2
3
4
5
6
7
y=2x+3
y=2x
y=2x 3
请你指一指这三条直线的截距是多少呢？
截距是3
截距是0
截距是 3
截距可以是0或者负值吗？
x
O
y
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
我们知道y=2x+3的图象可以由y=2x的图象向上平移3个单位长
度得到， y=2x 3的图象也与y=2x的图象平行，是否也可以由它平
移得到呢？
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
y=2x+3
y=2x
y=2x 3
向下平移3个单位
x
O
y
重合
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
我们知道y=2x+3的图象可以由y=2x的图象向上平移3个单位长
度得到， y=2x 3的图象也与y=2x的图象平行，是否也可以由它平
移得到呢？
1
2
3
4
5
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7
1
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1
2
3
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8
1
2
3
4
5
6
7
y=2x+3
y=2x
y=2x 3
直线y=kx+b(k，b为常
数，且k≠0)可以看作
直线y=kx平移|b|个单
位长度而得到.
由此可见
x
O
y
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
知道了平移的距离，平移的方向由什么确定呢？怎样确定呢？
小组合作
根据前边作出的3个函数图象之间的关系来考虑.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
y=2x+3
y=2x
y=2x 3
向下平移3个单位
向上平移3个单位
b>0时，将直线y=kx
向上平移b个单位；
b<0时，将直线y=kx
向下平移 b个单位.
由此可得
x
O
y
知道了平移的距离，平移的方向由什么确定呢？怎样确定呢？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
我们在上节课正比例函数的学习中，由函数解析式y=kx(k为
常数，且k≠0)得到了它的哪些性质？
k > 0
k < 0
y随x的增大而增大，图象经过第一、三象限.
y随x的增大而减小，图象经过第二、四象限.
一次函数是否也有这种性质呢？
x … 0 1 …
y=3x+1 … …
y=2x 3 … …
y= 3x 1 … …
y= 2x+3 … …
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
操作
画出一次函数y=3x+1，y=2x 3，y= 3x 1， y= 2x+3的图象.
4
1
1
3
4
y=3x+1
x
O
y
y=2x 3
1
3
1
1
2
3
4
1
2
3
1
1
2
3
4
5
3
4
2
y= 3x 1
y= 2x+3
观察
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
y=3x+1
x
O
y
y=2x 3
1
2
3
4
1
2
3
1
1
2
3
4
5
3
4
2
y= 3x 1
y= 2x+3
由它们联想：一次函数解析式y=kx+b(k，b是常数，k≠0)中，
k的正负性对函数图象有什么影响？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
y=3x+1
x
O
y
y=2x 3
1
2
3
4
1
2
3
1
1
2
3
4
5
3
4
2
y= 3x 1
y= 2x+3
● 发现：
1. 当k>0时，y随x的增大而增大，
图象自左至右上升，经过的象
限中必有第一、三象限；
2. 当k<0时，y随x的增大而减小，
图象自左至右下降，经过的象
限中必有第二、四象限.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
x
O
y
1
2
3
4
1
2
3
1
1
2
3
4
5
3
4
2
b的正负对一次函数y=kx+b的图象有什么影响呢？
y=3x+1
y=2x 3
y= 2x+3
y= 3x 1
● 发现：
1. 当b>0时，图象与y轴的
正半轴相交；
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
x
O
y
1
2
3
4
1
2
3
1
1
2
3
4
5
3
4
2
b的正负对一次函数y=kx+b的图象有什么影响呢？
y=2x 3
y= 3x 1
● 发现：
1. 当b>0时，图象与y轴的
正半轴相交；
2.当b<0时，图象与y轴的
负半轴相交.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
那么k，b的正负情况结合在一起，它们的正负与图象经过的
象限有什么关系呢？
直线y=kx+b
经过的象限
k > 0
k < 0
b >0
b =0
b <0
第一、二、三
象限
第一、二、四
象限
第一、三
象限
第二、四
象限
第一、三、四
象限
第二、三、四
象限
归纳
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0) k、b符号 图象特征 大致图象 经过象限 性质
k＞0 b＞0
b＝0 b＜0 从左至右上升，交点在y轴
正半轴.
从左至右上升，交点在原点.
从左至右上升，交点在y轴
负半轴.
x
y
O
x
y
O
x
y
O
第一、二、三象限
第一、三象限
第一、三、四象限
y随x的增大而增大
归纳
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0) k、b符号 图象特征 大致图象 经过象限 性质
k＜0 b＞0
b＝0 b＜0 从左至右下降，交点在y轴
正半轴.
从左至右下降，交点在原点.
从左至右下降，交点在y轴
负半轴.
第一、二、四象限
第二、四象限
第二、三、四象限
y随x的增大而减小
x
y
O
x
y
O
x
y
O
解：
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
典型例题
【例1】画出直线 ，并求它的截距.
列表
x 0 3
y 2 0
y=x 2
x
O
y
1
2
3
4
1
2
3
1
1
2
3
4
5
3
4
2
故它的截距是 2.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
典型例题
【例2】已知一次函数 y=(1 2m)x+m 1，求满足条件的m的值：
(1) 函数值y 随x的增大而增大；
(2)函数图象与y 轴的负半轴相交；
(3)函数的图象过第二、三、四象限.
解：
k>0
(1)由题意得1 2m>0，解得m<.
k≠0，b<0
(2)由题意得1 2m≠0且m 1<0，即m<1，m≠.
k<0，b<0
(3)由题意得1 2m<0且m 1<0，解得探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
随堂练习
练习1. 填空
把直线y=x向上平移2个单位，所得直线是函数 的
图象；
(2) 把函数y= 2x+3的图象向 平移 个单位，可以得到函数y= 2x的图象；
(3) 对于函数y= 2x+3，y随x的增大而 ；
(4) 当m= 时，一次函数y=(m 1)x+m 1的图象经过原点.
y=x+2
下
3
减小
1
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
随堂练习
练习2. 两个一次函数y1=ax+b与y2=bx+a，它们在同一坐标系中的图象可能是( )
A
B
C
D
C
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
随堂练习
练习3.已知一次函数y＝(3m 8)x＋1 m图象与 y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数，求m的值 .
解：
由题意得
解得
又∵m为整数，∴m=2.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
随堂练习
练习4.直线y= 3x b上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1解析：
k= 3 < 0
y随x的增大而减小
x1y1>y2
故选项A正确.
A
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一次函数的图象与性质
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一次函数的图象与性质
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教科书47页习题12.2第4、5、6题
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再见
