12.2一次函数
第4课时 一次函数的应用-分段函数
一、 教学目标
1.了解简单的分段函数，并能运用分段函数求函数值的问题.
2.能作出分段函数的图象，利用它解决生活中的简单应用问题.
3.经历在分析、思考的基础上，让学生通过观察、感悟分段函数的意义过程，加深对分段函数概念、图象的认识，提高分析、解决问题的能力.
4.通过从实际问题中得到函数关系式这一过程，提升学生的数学应用能力，使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.
二、 教学重难点
重点：理解分段函数的特点，会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象.
难点：在多变量的问题的解决中，能合理选择某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件等.
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 知识回顾 【回顾】 我们上节课学习了待定系数法，你还记得利用待定系数法确定函数表达式的一般步骤吗？ 今天我们就用它来解决一些实际问题. 回顾待定系数法解题步骤 复习旧知，可以激活学生的数学思维，培养学生的应用意识.
环节二典例探究 【典型例题】 【例5】为节约用水，某市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8m ，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费，超过8m 时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x m ，应缴水费y元. 〔1〕给出y与x之间的函数表达式； 分析：用水时以8m3为界，分成两段，收费标准不一样：当x≤8时，每立方米收费(1+0.3)元；当x＞8时，超过部分每立方米收费(1.5+1.2)元.另外，收费时x一般取整数，不足1m3的可并入下月计费. 解：y与x之间的函数表达式为： 这样的函数叫做分段函数· 注意：它是一个函数；要写明自变量取值范围 〔2〕画出上述函数图象； 列表： 描点、连线 如图，函数图象是一段折线. 〔3〕当该市一户某月的用水量为x=5m3或x=10m3时，求其应缴的水费； 分析： 先确定要求值的自变量属于哪一段范围； 然后代入该段的解析式求值. 解：当x = 5 m3 时，y = 1.3 5 = 6.5 (元) 当x = 10 m3 时，y = 2.7 10 11.2 = 15.8 (元) 即当用水量为5m3时，该户应缴水费6.5元；当用水量为10m3时，该户应缴水费15.8元. 〔4〕该市一户某月缴水费26.6元，求该户这个月用水量. 分析：把对应y的值代入函数解析式 解：∵y = 26.6 ＞ 1.3 8 ， 可见该户这月用水超过8m3， 因此 2.7x11.2 = 26.6 ，解方程得x =14. 即该户本月用水量为14m3. 学生分组讨论、交流，点名板演解题过程. . 用日常生活场景中的问题带领学生进入分段函数的研究. 经历一般规律的探索过程，培养学生的抽象思维能力，经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，建立起分段函数的概念，提升学生的数学应用能力，使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心，体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.
环节三方法归纳 【归纳】 分段函数：在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. 注意： 〔1〕书写解析式时要用大括号将几个式子括起来； 〔2〕每个式子后面标明自变量的取值范围； 〔3〕临界点要根据实际情况写在其中一个自变量的范围内. 在教师的指导下，学生归纳总结分段函数的概念，及其注意事项. 同时锻炼学生的总结归纳能力和语言表达能力.
环节四 巩固新知 【随堂练习】 教师活动：通过抢答的形式，让学生独立思考，再由老师带领整理思路过程. 练习1. 某地规定，每月每户的用电量xkW·h与应缴电费y元的关系如图所示. 求出y与x之间的函数表达式. 解： ①当0≤x≤50时， 设y与x之间的函数关系式为y=kx (k≠0)，代入(50，25)，可得25=50k. 解得k=0.5，∴y=0.5x. ②当x＞50时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0). 代入(50，25)、 (100，75) ，可得 解得： ∴y=x25. 综上可得： 【归纳】 由分段函数的图象确定函数解析式的方法： 〔1〕定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定函数的类型； 〔2〕设函数式：设出函数的解析式； 〔3〕列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程 (组)，求出该段内的解析式； 〔4〕下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围. 练习2. 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x (分钟)与相应话费y (元)之间的函数图象如图所示： (1)月通话为100分钟时，应交话费 元； (2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式； (3)月通话为280分钟时，应交话费多少元？ 解： (1)40 (2)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0). 由图上知：x=100时，y=40；x=200时，y=60. 则有 解得 ∴ (3)把x=280代入得，y=76 ，即当月通话为280分钟时，应交话费76元. 自主完成练习，然后集体交流评价. 及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生应用知识的能力.
环节五 课堂小结 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 在教师的引导下，回顾反思本节课所掌握的知识、技能、思想方法. 培养学生总结知识的能力，巩固新知.
环节六 布置作业 巩固例题练习 教科书第62页复习题A组第12题 . 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共17张PPT)
12.2 一次函数
第4课时
学习目标
1.了解简单的分段函数，并能运用分段函数求函数值的问题.
2.能作出分段函数的图象，利用它解决生活中的简单应用问题.
3.经历在分析、思考的基础上，让学生通过观察、感悟分段函数的意义过程，加深对分段函数概念、图象的认识，提高分析、解决问题的能力.
4.通过从实际问题中得到函数关系式这一过程，提升学生的数学应用能力，使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.
分段函数
回顾
我们上节课学习了待定系数法，你还记得利用待定系数法确
定函数表达式的一般步骤吗？
设：设一次函数的一般形式 y=kx+b(k≠0) ；
代：将图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解析式，组成关于系数k，b的二元一次方程组；
解：解二元一次方程组得k，b；
写：把k，b代入所设解析式中，写出解析式.
1
2
3
4
今天我们就用它来解决一些实际问题.
典型例题
【例5】为节约用水，某市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8m ，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费，超过8m 时，
超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水
x m ，应缴水费y元.
〔1〕给出y与x之间的函数表达式；
用水时以8m3为界，分成两段，收费标准不一样：
当x≤8时，每立方米收费(1+0.3)元；
当x＞8时，超过部分每立方米收费(1.5+1.2)元.
分析
典型例题
〔1〕给出y与x之间的函数表达式；
解：y与x之间的函数表达式为：
y =
( 1+ 0.3 ) x = 1.3x (0≤x≤8)
( 1.5+ 1.2 ) ( x 8 ) + 1.3 8 = 2.7x 11.2 (x＞8)
叫做分段函数.
注意：①它是一个函数
②要写明自变量取值范围
正比例函数
一次函数
【例5】为节约用水，某市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8m ，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费，超过8m 时，
超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水
x m ，应缴水费y元.
典型例题
〔2〕画出上述函数图象；
函数表达式：
y =
1.3x (0≤x≤8)
2.7x 11.2 (x＞8)
x 0 8
y=1.3x 0 10.4
列表：
x 8 16
y=2.7x 11.2 10.4 32
描点、连线
x/m3
y/元
如图，函数图象是一段折线.
函数表达式：
典型例题
y =
1.3x (0≤x≤8)
2.7x 11.2 (x＞8)
先确定要求值的自变量属于哪一段范围；
然后代入该段的解析式求值.
解：当x = 5 m3 时，y = 1.3 5 = 6.5 (元)
当x = 10 m3 时，y = 2.7 10 11.2 = 15.8 (元)
即当用水量为5m3时，该户应缴水费6.5元；当用水量为10m3时，
该户应缴水费15.8元.
〔3〕当该市一户某月的用水量为x=5m3或x=10m3时，求其应缴的水费；
〔4〕该市一户某月缴水费26.6元，求该户这个月用水量.
典型例题
函数表达式：
y =
1.3x (0≤x≤8)
2.7x 11.2 (x＞8)
把对应y的值代入函数解析式
y=26.6
解：∵y = 26.6 ＞ 1.3 8 ，
可见该户这月用水超过8m3，
因此 2.7x 11.2 = 26.6 ，解方程得x =14.
即该户本月用水量为14m3.
归纳
分段函数：
在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同
注意：
〔1〕书写解析式时要用大括号将几个式子括起来；
〔2〕每个式子后面标明自变量的取值范围；
〔3〕临界点要根据实际情况写在其中一个自变量的范围内.
的形式，这样的函数称为分段函数.
随堂练习
练习1. 某地规定，每月每户的用电量xkW·h与应缴电费y元的关系如图所示. 求出y与x之间的函数表达式.
x/kW·h
y/元
解：
①当0≤x≤50时，
设y与x之间的函数关系式为y=kx
(k≠0)，代入(50，25)，可得25=50k
解得k=0.5，∴y=0.5x.
②当x＞50时，设y与x之间的函数
关系式为y=kx+b(k≠0).
正比例函数与一次函数构成的分段函数.
随堂练习
练习1. 某地规定，每月每户的用电量xkW·h与应缴电费y元的关系如图所示. 求出y与x之间的函数表达式.
x/kW·h
y/元
∴y=x 25.
综上可得：
解得：
代入(50，25)、 (100，75) ，可得
归纳
〔1〕定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，
先确定函数的类型；
〔2〕设函数式：设出函数的解析式；
〔3〕列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程 (组)，
求出该段内的解析式；
〔4〕下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变
量的取值范围.
由分段函数的图象确定函数解析式的方法：
随堂练习
练习2. 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x (分钟)与相应话费y (元)之间的函数图象如图所示：
(1)月通话为100分钟时，应交话费 元；
(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；
(3)月通话为280分钟时，应交话费多少元？
x/min
y/元
40
(2)解：
设y与x之间的函数关系式为y=kx+b
(k≠0).
由图上知：x=100时，y=40；x=200
时，y=60.
随堂练习
(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；
(3)月通话为280分钟时，应交话费多少元？
x/min
y/元
(2)解：
则有
解得
∴
(3)把x=280代入 得，
y=76 ，即当月通话为280分钟时，
应交话费76元.
分段函数
分段函数求值
〔1〕先确定要求值的自变量属于哪一段范围；
〔2〕代入该段的解析式求值.
分段函数：
〔1〕定义：
在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不 同的形式，这样的函数称为分段函数.
〔2〕图象：
画出函数在各段上的图象，再合起来就是分段函数的图象.
〔3〕注意：
它是一个函数；要写明自变量取值范围.
由分段函数的图象确定解析式的方法
〔1〕定类型〔2〕设函数式〔3〕列方程(组)〔4〕下结论
教科书第62页复习题A组第12题
再见
