12.2一次函数
第5课时 一次函数的应用-方案决策
一、 教学目标
1.深入了解一次函数的应用价值.
2.能将一个具体的实际问题转化为数学问题，利用数学模型解决实际问题.
3.从问题的解决与探究中进一步感悟函数的应用价值，培养解决实际问题的数学能力.
4.通过从实际问题中得到函数关系式这一过程，提升学生的数学应用能力，使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.
二、 教学重难点
重点：运用函数知识选择最佳方案.
难点：从实际问题情境中，建立数学模型，选择最佳方案.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件等.
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 知识回顾 【回顾】 做一件事情，有时有不同的实施方案.比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的.应用数学的知识和方法对各种方案进行比较分析，可以帮助我们清晰地认识各种方案，作出理性的决策. 你能说说生活中需要选择方案的例子吗？ 下面，我们通过“怎样选择旅行社”的问题一起来看下如何进行分析和选择. 小组之间进行交流 通过引言，让学生体会到现实中方案选择问题普遍存在，对各种方案运用数学方法作出分析，在此基础上进行理性选择，具有重要的现实意义.
环节二典例探究 【典型例题】 【例6】某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地旅游.当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到此地旅游的价格都是每人100元.经联系协商，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示单位先交1000元后，给予每位游客六折优惠.问该单位选择哪个旅行社，可使其支付的旅游总费用较少？ 思考： 〔1〕影响甲、乙旅行社费用因素是什么？ 〔2〕你能用适当的方法表示出甲、乙两个旅行社各需要多少费用吗？ 〔3〕在这个问题中有几个变量？自变量和因变量是什么？它们之间是函数关系吗？ 〔4〕如何比较这2种收费方式？ 〔5〕你能否想出一种直观形象的方法来进行比较呢？ 〔6〕你还有其他的方法吗？ 分析： 〔1〕人数 〔2〕设该单位参加旅游人数为x，按甲旅行社的优惠条件，应付费用为80x元；按乙旅行社的优惠条件，应付费用为(1000+60x)元. 〔3〕这个问题中存在两个变量，自变量是人数，因变量是费用，是函数关系 〔4〕设：选择甲旅行社支付的总费用为y1元，则y1= 80x； 选择乙旅行社支付的总费用为y2元，则y2= 1000+60x. 解法一：从“数”上看 当y1=y2 ，即80x=1000+60x时，解得 x=50， ∴当x=50时，选甲或乙旅行社都一样，都是80×50=4000(元)； 当y1＞y2，即80x＞1000+60x时，解得x＞50.∴ x＞50时，选乙旅行社费用较少； 当y1＜y2，即80x＜1000+60x时，解得x＜50. ∴ x＜50时，选甲旅行社费用较少. 〔5〕解法二：从“形”上看 在同一直角坐标系中作出两个函数的图象 观察图象，可得： 当人数为50时，选择甲或乙旅行社费用都一样； 当人数为0~49时，选择甲旅行社费用较少； 当人数为51~100时，选择乙旅行社费用较少. 〔6〕解法三：作差法① 设选择甲、乙旅行社所需费用之差为y，则y=y1y2= 80x(1000+60x)=20x1000 在平面直角坐标系中作出函数的图象： 由图可知： 当x=50时，y=0，即y1=y2，甲、乙两家旅行社的费用都一样； 当x＞50时，y＞0，即y1＞y2，乙旅行社的费用较低； 当x＜50时，y＜0，即y1＜y2，甲旅行社的费用较低. 作差法② 还可以按下面的方法来解： 当80x(1000+60x)=0时，即x=50时，选甲或乙旅行社都一样， 都是80×50=4000(元)； 当80x(1000+60x)＞0时，即x＞50时，选乙旅行社费用较少； 当80x(1000+60x)＜0时，即x＜50时，选甲旅行社费用较少. 观察、思考、 学生分组讨论、交流. . 通过问题串的形式，帮助学生规划思路，让学生感知问题的整体结构和数量关系，是从粗略到精细，从定性到定量的过程. 让学生感知本题中费用随人数的变化而变化，并把这两个变量作为研究的对象，并不是自动生成的，需要经过构成要素分析、各要素的可变性分析、变量的确定、变量之间关系的确定及数量表示等过程. 通过前面的分析，在写出函数式的基础上，通过建立一次函数模型，把实际问题转化为一次函数的问题，这是感知问题、分析问题基础上的用一次函数模型对实际问题进行数学表征.通过这种表征，把实际问题转化为函数问题. 强调函数图象对方案选择问题的重要意义，巩固强化学生对于函数图象的理解，进一步感知利用一次函数解决实际问题的步骤.
环节三方法归纳 【归纳】 利用一次函数进行方案决策 〔1〕从数学的角度分析数学问题，建立函数模型； 〔2〕列出不等式(方程)，求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系； 〔3〕结合实际需求，选择最佳方案. 回顾解决实际问题的过程，并尝试归纳总结. 帮助学生概括应用一次函数解决方案决策问题的基本思路.
环节四 巩固新知 【随堂练习】 教师活动：通过抢答的形式，让学生独立思考，再由老师带领整理思路过程. 练习1. 某厂日产手套的总成本y元与日产量x副之间的函数表达式为y=5x+40 000，而手套的出厂价格为每副10元，试问该厂至少应日产手套多少副才能不亏本？ 解： 根据题意得：10x(5x+40 000)≥0 解得x≥8000 答：该厂至少应日产手套8000副才能不亏本. 练习2. 某单位急需用车，他们准备和甲、乙两个出租车公司签订月租车合同.设汽车每小时行驶xkm，甲公司的月租费是y1元，乙公司的月租费是y2元，y1，y2分别与x之间关系的图象如图所示，观察图象回答： 〔1〕每月行驶的里程在什么范围内，租乙公司的车合算？ 解：由图可知：当0＜x＜1500时，租乙公司的车合算. 〔2〕每月行驶的里程等于多少时，租两家公司车的费用相同 解：由函数图象可知：每月行驶的里程等于1500km时，租两家车 的费用相同； 〔3〕如果这个单位估计每月行驶的里程为2300km，那么这个单位租哪家的车合算？ 解：由函数图象可知：当x＞1500时，y1环节五 课堂小结 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 在教师的引导下，回顾反思本节课所掌握的知识、技能、思想方法. 培养学生总结知识的能力，巩固新知.
环节六 布置作业 巩固例题练习 教科书第62页复习题A组第11题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共19张PPT)
12.2 一次函数
第5课时
学习目标
1.深入了解一次函数的应用价值.
2.能将一个具体的实际问题转化为数学问题，利用数学模型解决实际问题.
3.从问题的解决与探究中进一步感悟函数的应用价值，培养解决实际问题的数学能力.
4.通过从实际问题中得到函数关系式这一过程，提升学生的数学应用能力，使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.
方案决策
情境引入
做一件事情，有时有不同的实施方案.比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的.应用数学的知识和方法对各种方案进行比较分析，可以帮助我们清晰地认识各种方案，作出理性的决策.
你能说说生活中需要选择方案的例子吗？
宽带网的收费
灯泡的选择
租车方案的选择
旅行社的选择
思考
【例6】某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地旅游.当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到此地旅游的价格都是每人100元.经联系协商，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示单位先交1000元后，给予每位游客六折优惠.问该单位选择哪个旅行社，可使其支付的旅游总费用较少？
典型例题
思考
〔1〕影响甲、乙旅行社费用因素是什么？
〔2〕你能用适当的方法表示出甲、乙两个旅行社各需要多少费用吗？
〔3〕在这个问题中有几个变量？自变量和因变量是什么？它们之间是函数关系吗？
人数
甲旅行社：80x元
乙旅行社：(1000+60x)元
自变量是人数，因变量是费用，是函数关系
设该单位参加旅游人数为x，
收费方式
甲旅行社：80x元
乙旅行社：(1000+60x)元
思考
〔4〕如何比较这2种收费方式？
设：选择甲旅行社支付的总费用为y1元，
则y1= 80x
选择乙旅行社支付的总费用为y2元，
则y2= 1000+60x
正比例函数
一次函数
解法一：从“数”上看
当y1=y2 ，即80x=1000+60x时，解得 x=50，
∴当x=50时，选甲或乙旅行社都一样，都是80×50=4000(元)；
当y1＞y2，即80x＞1000+60x时，解得x＞50.∴ x＞50时，选乙旅行社费用较少；
当y1＜y2，即80x＜1000+60x时，解得x＜50. ∴ x＜50时，选甲旅行社费用较少.
思考
〔5〕你能否想出一种直观形象的方法来进行比较呢？
收费方式
甲旅行社： y1= 80x
乙旅行社：y2= 1000+60x
解法二：从“形”上看
在同一直角坐标系中作出两个函数的图象
x/人
y/元
y1= 80x
y2= 1000+60x
观察图象，可得：
当人数为50时，选择甲
或乙旅行社费用都一样；
当人数为0~49时，选择
甲旅行社费用较少；
当人数为51~100时，选
择乙旅行社费用较少.
思考
〔6〕你还有其他的方法吗？
收费方式
甲旅行社： y1= 80x
乙旅行社：y2= 1000+60x
解法三：作差法①
设选择甲、乙旅行社所需费用之差为y，则y=y1 y2=80x (1000+60x)=20x 1000
一次函数
在平面直角坐标系中作出函数的图象：
x/人
y/元
y= 20x 1000
由图可知：
当x=50时，y=0，即y1=y2，
甲、乙两家旅行社的费用
都一样；
当x＞50时，y＞0，即y1＞y2，
乙旅行社的费用较低；
当x＜50时，y＜0，即y1＜y2，
甲旅行社的费用较低.
y1=y2
思考
〔6〕你还有其他的方法吗？
收费方式
甲旅行社： y1= 80x
乙旅行社：y2= 1000+60x
解法三：作差法②
还可以按下面的方法来解：
当80x (1000+60x)=0时，即x=50时，选甲或乙旅行社都一样，
都是80×50=4000(元)；
当80x (1000+60x)＞0时，即x＞50时，选乙旅行社费用较少；
当80x (1000+60x)＜0时，即x＜50时，选甲旅行社费用较少.
归纳
〔1〕从数学的角度分析数学问题，建立函数模型；
〔2〕列出不等式(方程)，求出自变量在取不同值
时所对应的函数值，判断其大小关系；
〔3〕结合实际需求，选择最佳方案.
利用一次函数进行方案决策：
随堂练习
练习1. 某厂日产手套的总成本y元与日产量x副之间的函数表达式为y=5x+40 000，而手套的出厂价格为每副10元，试问该厂至少应日产手套多少副才能不亏本？
解：
根据题意得：
10x (5x+40 000)≥0
解得x≥8000
答：该厂至少应日产手套8000副才能不亏本.
随堂练习
练习2. 某单位急需用车，他们准备和甲、乙两个出租车公司签订月租车合同.设汽车每小时行驶xkm，甲公司的月租费是y1元，乙公司的月租费是y2元，y1，y2分别与x之间关系的图象如图所示，观察图象回答：
〔1〕每月行驶的里程在什么范围内，
租乙公司的车合算？
x/km
y/元
y1
y2
1500
解：由图可知：
当0＜x＜1500时，租乙公司的车
合算.
x/km
y/元
y1
y2
1500
y1=y2
随堂练习
〔2〕每月行驶的里程等于多少时，租两家公司车的费用相同
〔3〕如果这个单位估计每月行驶的里程为2300km，那么这个单位租哪家的车合算？
解：〔2〕由函数图象可知：每月行
驶的里程等于1500km时，租两家车
的费用相同；
〔3〕由函数图象可知：当x＞1500时，
y1驶的里程为2300km，那么这个单位
租甲公司出租车合算.
随堂练习
练习3.某县区大力发展猕猴桃产业，预计今年A地将采摘200吨，B地将采摘300吨．若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存240吨，乙仓库可储存260吨，从A地运往甲、乙两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往甲、乙两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A地运往甲仓库的猕猴桃为x吨，A、B两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为yA元和yB元．
〔1〕分别求出yA、yB与x之间的函数关系式；
解：yA＝20x＋25(200－x)＝－5x＋5000，
yB＝15(240－x)＋18(60＋x)＝3x＋4680；
随堂练习
解：
〔2〕 ∵yA－yB＝(－5x＋5000)－(3x＋4680)＝－8x＋320，
∴当－8x＋320＞0，即x＜40时，B地的运费较少；
当－8x＋320＝0，即x＝40时，两地的运费一样多；
当－8x＋320＜0，即x＞40时，A地的运费较少；
〔2〕试讨论A、B两地中，哪个的运费较少；
〔3〕考虑B地的经济承受能力，B地的猕猴桃运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值．
随堂练习
解：
〔3〕设两地运费之和为y元，则
y＝yA＋yB＝(－5x＋5000)＋(3x＋4680)＝－2x＋9680.
由题意得yB＝3x＋4680≤4830，解得 x≤50.
∵y随x的增大而减小，x最大为50，∴y最小＝－2×50＋9680＝9580.
∴在此情况下，当A地运往甲、乙两仓库分别为50吨、150吨；B
地运往甲、乙两仓库分别为190吨、110吨时，才能使两地运费之
和最少，最少是9580元．
〔3〕考虑B地的经济承受能力，B地的猕猴桃运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值．
方案决策
利用一次函数进行方案决策
〔1〕从数学的角度分析数学问题，建立函数模型；
〔2〕列出不等式(方程)，求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系；
〔3〕结合实际需求，选择最佳方案.
教科书第62页复习题A组第11题
再见
