12.3一次函数与二元一次方程
一、 教学目标
1. 使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系；
2. 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解；
3. 通过学生思考方程与图象之间的关系的过程，培养了学生初步的数形结合的意识和能力；
4. 经历了自主探究方程与图象之间的对应关系，加强了新旧知识的联系，培养了学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣.
二、 教学重难点
重点：二元一次方程和一次函数的关系，以及根据一次函数的图象求二元一次方程组的解；
难点：方程与函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力.
三、教学用具
多媒体等.
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情景 【回顾】 教师活动：请同学们跟随老师思考，并提醒数形结合思想. 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数与一元一次不等式的关系 积极发言 回顾旧知，为下面引出一次函数与二元一次方程的关系做铺垫.
环节二探究新知 【合作探究】 教师活动：以集体探讨话题的形式，带领学生讨论. 问题 已知二元一次方程3x+2y=6，你能用含x的代数式表示y吗 (一次函数) ①任意给出自变量x的一些值，请求出对应y的值. ②表中每一对x，y的值代入到方程3x+2y=6中，都成立吗？ 都成立. 可见，每组有序数对都是方程3x+2y=6的解，且有无数多组解. 解的全体叫做二元一次方程的解集. ③以这些有序数对为坐标，在坐标平面内描点作图. 【归纳】 一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一个二元一次方程可以转化为一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的形式，所以，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线. 【做一做】 将下列二元一次方程通过变形转化成一次函数的形式： 答案： 下面有序实数对，哪些是二元一次方程3x+y=6的解？ A(2，0) B(3，-3) C(5，-9) D(6，-10) E(-2，10) F(-3，15) 答案： A(2，0)，B(3，-3)，C(5，-9)，F(-3，15)是二元一次方程3x+y=6的解. 【合作探究】 ①在同一个直角坐标系中，画出直线l1： 与直线l2：y=2x+6的图象. ②如果两条直线相交于点P,写出交点的坐标：P__(-2，2)__. ③检验点P的坐标是不是方程组的解？ 是 ④由此你能得出什么结论？ 一次函数与二元一次方程组的关系 【归纳】 这样用作图的方法求解二元一次方程组的方法，叫做二元一次方程组的图象解法，由此我们发现数和形有着密不可分的联系. 讨论并回答问题 独立思考做题 经历了自主探究方程与对应图象之间的对应关系，加强了新旧知识的联系，培养了学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣. 及时练习，巩固新知.
环节三应用新知 【典例探究】 教师活动：带领学生梳理分析和解题过程. 例. 利用函数图象解方程组 解：方程组可化为： 由图可知：两直线重合 所以直线上每一个点的坐标都是原方程组的解，方程组有无数组解. 例. 利用函数图象解方程组 解：方程组可化为： 由图可知：两直线平行. 所以方程组无解. 【思考】 通过以上学习你能发现二元一次方程组的解有几种情况？ 唯一解 无数解 无解 结论：二元一次方程组的解的情况有三种： 集体讨 论 通过每个例题，总结出结论.
环节四 巩固新知 【随堂练习】 互动方式：PK作答 练习1 既不解方程组也不画图，你能判断下列方程组的解的情况吗？ 解：(1) 唯一解 (2) 无数组解 (3) 无解 (4)唯一解 练习2 如图，在同一直角坐标系中作出一次函数与的图象，则二元一次方程组的解是( ) A. B. C. D. 答案：D 练习3 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点P(-2,1)，则方程组的解是( ) A. B. C. D. 答案：A 练习4 已知直线与的交点坐标为(1，a)，则方程组 的解是( ) A. B. C. D. 答案：D 抢答 进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间. 通过pk作答方式，感受数学学习的乐趣.
环节五 课堂小结 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 回顾本节课所讲的内容 通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
环节六 布置作业 教科书第53页习题12.3第2题、 4题. 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.
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12.3 一次函数与二元
一次方程
学习目标
一次函数与二元
一次方程
1.使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系；
4.经历了自主探究方程与图象之间的对应关系，加强了新旧知识的联系，培养了学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣.
2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解；
3.通过学生思考方程与图象之间的关系的过程，培养了学生初步的数形结合的意识和能力；
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
一次函数与一元一次方程的关系
回顾
求一元一次方程
kx+b=0的解
从“函数值”看
一次函数y=kx+b中，y=0时x的值
从“函数图象”看
求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标
求一元一次方程
kx+b=0的解
数形结合
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
一次函数与一元一次不等式的关系
回顾
求kx+b＞0(或＜0)
(k≠0)的解集
从“函数值”看
y=kx+b的值大于
(或小于)0时，x的取值范围
从“函数图象”看
确定直线y=kx+b在
x轴上方(或在x轴
下方)的图象所对
应的x取值范围
求kx+b＞0(或＜0)
(k≠0)的解集
kx+b＞a呢？
数形结合
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
合作探究
问题 已知二元一次方程3x+2y=6，你能用含x的代数式表示y吗
①任意给出自变量x的一些值，请求出对应y的值.
(一次函数)
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… …
7.5
4.5
1.5
-1.5
6
3
0
②表中每一对x，y的值代入到方程3x+2y=6中，都成立吗？
都成立.
创设情境
探究新知
可见，每组有序数对都是方程3x+2y=6的解，且有无数多组解.
解的全体叫做二元一次方程的解集.
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
合作探究
③以这些有序数对为坐标，在坐标平面内描点作图.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 7.5 6 4.5 3 1.5 0 -1.5 …
x
y
o
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
-1
6
7
一条直线
创设情境
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
归纳
一般地，一个二元一次方程可以转化为一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的形式，所以，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线.
应用新知
探究新知
一次函数与二元一次方程的关系
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
探究新知
做一做
将下列二元一次方程通过变形转化成一次函数的形式：
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
探究新知
做一做
下面有序实数对，哪些是二元一次方程3x+y=6的解？
A(2，0)
B(3，-3)
C(5，-9)
D(6，-10)
E(-2，10)
F(-3，15)
A(2，0)，B(3，-3)，C(5，-9)，F(-3，15)
是二元一次方程3x+y=6的解.
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
合作探究
创设情境
探究新知
①在同一个直角坐标系中，画出直线l1： 与直线l2：y=2x+6的图象.
②如果两条直线相交于点P,写出交点的坐标：P_______.
(-2，2)
③检验点P的坐标是不是方程组
的解？
y
O
x
y=2x+6
④由此你能得出什么结论？
(-2，2)
是
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
归纳
应用新知
探究新知
一次函数与二元一次方程组的关系
求二元一次方程组的解.
从“函数值”看
自变量为何值时，
两个函数的值相
等并求函数值.
从“函数图象”看
确定两条直线交点的坐标.
求二元一次方程组的解.
数形结合
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
归纳
这样用作图的方法求解二元一次方程组的方法，叫做二元一次方程组的图象解法，由此我们发现数和形有着密不可分的联系.
应用新知
探究新知
运用图象法解二元一次方程组的一般步骤
①方程化成函数
②画出函数图象
③找出图象交点坐标
④写出方程组的解
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
应用新知
典型例题
利用函数图象解方程组
由图可知：两直线重合
解：方程组可化为：
所以直线上每一个点的坐标都是原方程组的解，方程组有无数组解.
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
应用新知
典型例题
利用函数图象解方程组
由图可知：两直线平行
解：方程组可化为：
所以方程组无解.
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
应用新知
通过以上学习你能发现二元一次方程组的解有几种情况？
唯一解
无数解
无解
二元一次方程组
的解的情况有三种：
当
思考
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
1.既不解方程组也不画图，你能判断下列方程组的解的情况吗？
解：
(1) 唯一解 (2) 无数组解
(3) 无解 (4)唯一解
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
2.如图，在同一直角坐标系中作出一次函数 与 的图象，
则二元一次方程组 的解是( )
A. B.
C. D.
D
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
3. 如图，在平面直角坐标系中，函数 与
的图象交于点P(-2,1)，则方程组 的解是( )
A. B.
C. D.
A
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
4. 已知直线 与 的交点坐标为(1，a)，则方程组
的解是( )
A. B.
C. D.
D
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
一次函数与二元
一次方程
一般地，一个二元一次方程可以转化为一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的形式，所以，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线.
一次函数与二元一次方程的关系
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
一次函数与二元
一次方程
一次函数与二元一次方程组的关系
求二元一次方程组的解.
从“函数值”看
自变量为何值时，
两个函数的值相
等并求函数值.
从“函数图象”看
确定两条直线交点的坐标.
求二元一次方程组的解.
数形结合
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
一次函数与二元
一次方程
运用图象法解二元一次方程组的一般步骤
①方程化成函数
②画出函数图象
③找出图象交点坐标
④写出方程组的解
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
一次函数与二元
一次方程
二元一次方程组
的解的情况有三种：
当
布置作业
教科书第53页习题12.3
第2题、 4题.
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见
