【核心素养目标】2.6应用一元二次方程 教学设计

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2.6应用一元二次方程教学设计
课题 2.6应用一元二次方程 单元 2 学科 数学 年级 九
教材分析 本节主要研究列一元二次方程解应用题，研究过程中让学生亲自经历和体验运用一元二次方程解决实际问题的过程，使其认识到运用一元二次方程解决实际问题源于解决问题的实际需要，通过一元二次方程建模的应用以及教师的形象比喻，使学生自然感受一元二次方程建模的意义和作用；同时关注学生运用一元二次方程解决实际问题的多样化和合理化，从而培养学生解决问题的兴趣和能力，提高学生的思维水平和应用数学知识去解决实际问题的意识．
核心素养 经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，从中感受到数学学习的意义，能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力，在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力．
学习 目标 1.利用一元二次方程解决简单的行程问题和几何问题. 2.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程. 3.在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的般步骤.
重点 能够利用一元二次方程解决有关实际问题．
难点 能够利用一元二次方程解决有关实际问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 想一想：列方程解应用题的一般步骤是什么？ ①审：审题，分清题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系； ②设：设未知数，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种； ③列：根据题中的等量关系列方程； ④解：求出所列方程的解； ⑤验：“检验”，即验证是否符合题意； ⑥答：回答题目中要解决的问题. 思考、并举手回答. 复习回顾已学知识，为新课的学习做准备.
讲授新课 如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ (1) 在这个问题中，梯子顶端下滑 1 米时，梯子底端滑动的距离大于 1 米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ 设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米. (8-x)2+(6+x)2 =102. x2-2x = 0. x1= 0(舍)，x2 = 2. 因此，梯子底端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等. (2) 如果梯子长度是 13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米. (12-x)2+(5+x)2 =132. x2-7x = 0. x1= 0(舍)，x2= 7. 因此，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离相等为7m. 例1 如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 n mile 处有一重要目标 B，在 B 的正东方向200 n mile 处有一重要目标C.小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC 中点.一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰. 已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于点E，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1 n mile） 解：连接 DF. ∵AD = CD，BF = CF， ∴DF 是△ABC 的中位线. ∴DF∥AB，且 DF =AB. ∵AB⊥BC，AB=BC= 200 n mile， ∴DF⊥BC，DF = 100 n mile，BF = 100 n mile. 设相遇时补给船航行了 x n mile，那么 DE = x nmile，AB + BE = 2x n mile， EF = AB + BF -(AB + BE)=(300-2x) n mile. 在Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300-2x)2， 整理，得 3x2 -1200x + 100 000 = 0. 解这个方程，得 =200-, =200+. 所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile. 归纳：解几何问题应该注意的事项 ①解题时注意联系图形中有关的几何定理、面积和体积公式; ②不容易直接解决的问题可考虑添加辅助线; ③重视数形结合的思想方法 例2 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元.市场调研表明：当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的降价应为多少元？ 解：设每台冰箱降价 x 元，根据题意，得 ( 2900-x-2500)(8+4×) = 5000. 解这个方程，得x1 = x2 = 150. 2900-150 = 2750(元). 所以，每台冰箱应定价为 2750 元. 【做一做】 某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出 600 个.调查发现：售价在 40 元至 60 元范围内，这种台灯的售价每上涨 1 元，其销售量就将减少 10 个.为了实现平均每月 10 000 元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？ 解：设这种台灯售价上涨 x 元，根据题意，得 (40+x-30)(600-10x) = 10000. 解这个方程，得x1 = 10,x2 = 40(舍). 售价为：40+x = 40+10 = 50(元). 应购置台灯：600-10x = 600-10×10 = 500(个). 所以，这种台灯的售价应定为50元，这时应购进台灯500个. 归纳： 列方程解应用题的一般步骤： 审：审清题意：已知什么？求什么？已知、未知之间有什么关系？ 设：设未知数，语句要完整；（可以直接设：问什么设什么；也可以间接设.） 列：列代数式表示题中的量，找等量关系，根据等量关系列方程； 解：解所列的方程； 验：检验是否是所列方程的根；是否符合题意； 答：案也必须是完整的语句. 尝试列方程，独立解决 明确例题的做法 独立思考，交流讨论 明确例题的做法 交流讨论 选用“梯子下滑”的问题作为情境，引入用一元二次方程解决实际问题的内容. 在例题的教学中，引导学生关注列方程解应用题的三个重要环节：其一是整体地、系统地弄懂题意；其二是把握问题中的等量关系；其三是正确求解方程并检验解的合理性. 明确列一元二次方程解决实际问题的注意事项，培养学生的总结概括能力. 例2及做一做让学生学会利用一元二次方程解决销售问题. 明确利用方程解决实际问题的关键和步骤是什么.
课堂练习 1.将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，其邻边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是 (　　) A.7 m　　 B.8 m　 C.9 m　 D.10 m 2.如图，把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为 (　　) A. 5 m B. (5+)m C. (5+3)m D. (5+5)m 3.如图，某小区有一块长为8m的矩形空地，阴影部分准备种植面积为 的草地，旁边留出两块全等的矩形小路，那么小路的宽x为______m． 4.如图，在一块长12 m，宽8 m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77 m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为____________________． 5.海关缉私艇在某处发现其正北方向30海里处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行，海关缉私艇随即调整方向，以75海里/时的速度前去拦截，问：至少经过多长时间能赶上可疑船只 由学生自己独立思考完成，并找出做的好的同学谈谈自己的思路和见解。 这个环节是巩固本课知识点，通过设置一组由浅入深的练习，来检测学生的掌握情况，在这部分的设计中，主要是发挥学生作为教学主体的主动性，让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦。
课堂小结 谈一谈这节课有什么收获？
板书 课题：2.6 应用一元二次方程 一、一元二次方程解决实际问题的步骤 二、解决几何问题 三、解决销售问题
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