第五讲-函数的单调性与最值
知识点一、函数的单调性与证明
1、函数单调性的定义：
一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间D上单调递增。（如图：图象从左到右是上升的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function).
一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间D上单调递减。（如图：图象从左到右是下降的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).
2、函数单调性的定义推广
单调递增或；
（2）单调递减或.
3、函数的单调性的判断与证明方法和步骤：
（1）方法：
（ⅰ）作差法：构造与比较；
（ⅱ）作商法：构造与比较，（需满足恒正或恒负）
（2）定义法证明函数单调性步骤：
①取值：任取，，且；
②作差：计算；
③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等），如有必要需讨论参数；
④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数；
⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性
知识点二、单调性的判断
1、单调函数的加减（在公共定义域内）：
增函数增函数增函数 减函数减函数减函数
－增函数减函数 －减函数增函数
增函数－减函数增函数 减函数－增函数减函数
注意：增函数减函数不能判断
2、复合函数求单调性
（1）定义：
设,,当在的定义域中变化时，的值在的定义域内变化，因此变量与之间通过变量形成的一种函数关系，记为称为复合函数，其中称为自变量，为中间变量，为因变量(即函数)
（2）复合函数的单调性与构成它的函数，的单调性密切相关，其规律如下：
函数 单调性
增 增 减 减
增 减 增 减
增 减 减 增
归纳：同增异减
知识点三、函数的最值
1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最大值.
2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最小值.
知识点四、抽象函数
1、抽象函数的定义
不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即抽象函数.
2、判断抽象函数单调性的方法
（1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论;
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.
①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或;
②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或.
考点一、函数单调性证明
【典型例题】
1、已知函数，判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论．
2、已知函数，试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明．
3、已知函数对，都有，当时，，证明函数在上的单调性.
【变式练习】
1、已知函数，判断在区间上的单调性，并用定义证明.
2、已知，用定义证明在区间上是增函数.
3、已知定义在上的函数，当时，，且对任意的，有.
（1）求的值；
（2）根据定义证明是增函数.
4、定义在上的函数满足下面三个条件：
①对任意正数，都有；② 当时，；③
（1）求和的值；
（2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
（3）求满足的的取值集合．
考点二、单调区间的求法
【典型例题】
1、已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（ ）
A． B．
C． D．
2、函数的单调减区间为（ ）
A． B．
C． D．
3、函数的单调减区间为__________．
【变式练习】
1、如图是函数的图象．列出的若干区间，说明它在各区间上的增减性，并指出该函数的最大、最小值点及最值．
2、已知函数.
（1）在平面直角坐标系中画出函数的图象；（不用列表，直接画出草图．
（2）根据图象，直接写出函数的单调区间.
3、（多选题）函数在下列区间（ ）上单调递减
A． B． C． D．
4、已知函数，则的单调递增区间为______.
5、不等式的解集为，则函数的单调递增区间是______.
考点三、函数单调性的应用
【典型例题】
1、若与在上都是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2、已知函数，若对任意的实数都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3、已知函数则满足不等式的的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4、定义在上的函数满足对任意的，有.则满足＜的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5、设函数为单调函数，且时，均有，则（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
【变式练习】
1、若参数同时满足在上是增函数，函数在上为增函数，则实数的取值范围是_________.
2、若函数为上的增函数，则实数的取值范围是_________.
3、定义在上的函数是减函数，满足不等式的的集合为_________.
4、已知定义域为，且对任意的且都有恒成立，若对恒成立，则实数的取值范围为_________.
5、已知函数是定义在上的减函数，且对于任意实数，均有，设，若在其定义域上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．,, B．
C． ,D．
6、已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7、已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
（1）已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的值.
【模拟训练】
1、函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
2、函数的单调递增区间为___________.
3、设是定义在区间上的严格增函数．若，则的取值范围是______．
4、函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5、若函数的单调递减区间是，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6、若与在上都是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7、已知函数，若，则实数的取值范围是___________.
8、已知函数，若在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9、已知函数在上为增函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10、函数在上为严格减函数，则的取值范围是_________．
11、已知函数，且
(1)求解析式；
(2)判断并证明函数在区间的单调性.
12、已知函数的定义域是，对定义域的任意都有，且当时，，；
(1)求证：；
(2)试判断在的单调性并用定义证明你的结论；
(3)解不等式.
13、已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有.
(1)求的值；
(2)证明：是定义域上的减函数；
(3)若，解不等式.第五讲-函数的单调性与最值
知识点一、函数的单调性与证明
1、函数单调性的定义：
一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间D上单调递增。（如图：图象从左到右是上升的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function).
一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间D上单调递减。（如图：图象从左到右是下降的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).
2、函数单调性的定义推广
单调递增或；
（2）单调递减或。
3、函数的单调性的判断与证明方法和步骤：
（1）方法：
（ⅰ）作差法：构造与比较；
（ⅱ）作商法：构造与比较，（需满足恒正或恒负）
（2）定义法证明函数单调性步骤：
①取值：任取，，且；
②作差：计算；
③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等），如有必要需讨论参数；
④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数；
⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性
知识点二、单调性的判断
1、单调函数的加减（在公共定义域内）：
增函数增函数增函数 减函数减函数减函数
－增函数减函数 －减函数增函数
增函数－减函数增函数 减函数－增函数减函数
注意：增函数减函数不能判断
2、复合函数求单调性
（1）定义：
设,,当在的定义域中变化时，的值在的定义域内变化，因此变量与之间通过变量形成的一种函数关系，记为称为复合函数，其中称为自变量，为中间变量，为因变量(即函数)
（2）复合函数的单调性与构成它的函数，的单调性密切相关，其规律如下：
函数 单调性
增 增 减 减
增 减 增 减
增 减 减 增
归纳：同增异减
知识点三、函数的最值
1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最大值.
2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最小值.
知识点四、抽象函数
1、抽象函数的定义
不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即抽象函数.
2、判断抽象函数单调性的方法
（1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论;
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.
①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或;
②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或.
考点一、函数单调性证明
【典型例题】
1、已知函数，判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论．
【解析】
函数在区间上单调递减，证明如下：
任取， 且
则 -
因为，所以，
所以，即，
所以在区间上单调递减．
2、已知函数，试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明．
【解析】
函数在区间上单调递减，证明如下：
任取， 且，
∵，
∴，，，
∴，
∴在区间上单调递减．
3、已知函数对，都有，当时，，证明函数在上的单调性.
【解析】
不妨设，
所以，
而，所以，，即，
故函数为上的减函数．
【变式练习】
1、已知函数，判断在区间上的单调性，并用定义证明.
【解析】
在区间上单调递增，证明如下：
，，且，
有.
因为，，且，所以，.
于是，即.
故在区间上单调递增.
2、已知，用定义证明在区间上是增函数.
【解析】
证明：任取，，，且，
则．
，，而，，
，即，
在区间，上是增函数.
3、已知定义在上的函数，当时，，且对任意的，有.
（1）求的值；
（2）根据定义证明是增函数.
【解析】
（1）令a=b=0，则f(0)=f(0) f(0)，解得f(0)=0，或f(0)=1，
若f(0)=0，令a>0，由题意得f（a）>1，
当f(a+0)=f(0) f(a)=0，矛盾，故f(0)=0不成立，
显然f(0)=1，满足，故f(0)=1即为所求；
（2）证明：由（1）知，f(0)=1，令x<0，则－x>0，
所以由已知得f(0)=f(x－x)=f(x) f(－x)=1，则，
故x<0时，0设00，
所以f（x2）=f（x2－x1） f（x1），可得，
所以f(x2)>f(x1)>1=f（0），即f(x)在（0，+∞）上单调递增；
任取x1－x2>0，
由上可知，f(－x1)>f(－x2)>1，即，
所以f(x1)综上所述，对任意的x14、定义在上的函数满足下面三个条件：
①对任意正数，都有；② 当时，；③
（1）求和的值；
（2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
（3）求满足的的取值集合．
【解析】
（1）得，则，
而，
且，则；
（2）取定义域中的任意的，且，，
当时，，，
，
在上为减函数．
（3）由条件①及（1）的结果得，，
，
，，解得，
故的取值集合为.
考点二、单调区间的求法
【典型例题】
1、已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
对于A，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故A不符合题意；
对于C，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故C不符合题意；
对于D，函数分别在及上单调递减，
但存在，，使，故D不符合题意；
只有B完全符合增函数的定义，具有单调性.
故选:B.
2、函数的单调减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
，画出函数图象，如图所示：
根据图象知：函数的单调减区间为.
故选：B.
3、函数的单调减区间为__________．
【答案】
【解析】
函数的定义域为，
令，，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调减区间为，单调增区间为.
故答案为：.
【变式练习】
1、如图是函数的图象．列出的若干区间，说明它在各区间上的增减性，并指出该函数的最大、最小值点及最值．
【解析】
观察图象知，函数的递减区间是：，，，单调递增区间是，，
函数的最大值点是，最小值点是，
函数的最大值是，最小值是.
2、已知函数.
（1）在平面直角坐标系中画出函数的图象；（不用列表，直接画出草图．
（2）根据图象，直接写出函数的单调区间.
【解析】
（1）的图象如右图所示：
（2）由（1）中的函数图象，
可得函数的单调增区间为和，单调减区间为和．
3、（多选题）函数在下列区间（ ）上单调递减
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
因为，函数图象如下所示：
由图可知函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和
故选：AC
4、已知函数，则的单调递增区间为______.
【答案】
【解析】
，
解得.
函数的对称轴为，开口向下，
根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间为.
5、不等式的解集为，则函数的单调递增区间是______.
【答案】
【解析】
由题知-2和1是的两根，
由根与系数的关系知-2+1= ， 2×1＝ ，
由不等式的解集为，可知，
，
则，
因为函数的定义域为，
令则该函数的增区间为
所以的增区间为
故答案为：.
考点三、函数单调性的应用
【典型例题】
1、若与在上都是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2、已知函数，若对任意的实数都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
3、已知函数则满足不等式的的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4、定义在上的函数满足对任意的，有.则满足＜的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
5、设函数为单调函数，且时，均有，则（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
【答案】D
【解析】
函数为单调函数，且，
为常数，不妨设，
则，原式化为（a），
即，解得或（舍去），
故，（1），
【变式练习】
1、若参数同时满足在上是增函数，函数在上为增函数，则实数的取值范围是_________.
【答案】
2、若函数为上的增函数，则实数的取值范围是_________.
【答案】
3、定义在上的函数是减函数，满足不等式的的集合为_________.
【答案】
4、已知定义域为，且对任意的且都有恒成立，若对恒成立，则实数的取值范围为_________.
【答案】
5、已知函数是定义在上的减函数，且对于任意实数，均有，设，若在其定义域上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．,, B．
C． ,D．
【答案】B
【解析】
函数是定义在上的减函数，且对于任意实数，均有，
令，则，即，
所以，解得，所以，
所以，
又因为在其定义域上是单调函数，
所以在上为减函数，
所以，解得．
6、已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立.令，
则恒成立，所以函数在上单调递减.
当时，在上单调递减，符合题意；
当时，要使在上单调递减，
则解得.
综上所述，实数a的取值范围是.
7、已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
（1）已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的值.
【答案】（1）减区间为，增区间为；；（2）.
【解析】
（1），
设，，，则，，
由已知性质得，当，即时，单调递减，所以减区间为；
当，即时，单调递增，所以增区间为；
由，，，得的值域为；
（2）因为为减函数，故函数在上的值域为.
由题意，得的值域是的值域的子集，
所以，所以.
【模拟训练】
1、函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
画出函数的图象，如图所示：
函数的单调递减区间是,
2、函数的单调递增区间为___________.
【答案】
【解析】
由可得，解得：，
所以函数的定义域为，
因为是由和复合而成，
对称轴为，开口向下，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调递增区间为.
3、设是定义在区间上的严格增函数．若，则的取值范围是______．
【答案】.
【解析】
由题意，函数是定义在区间上的严格增函数，
因为，可得，解得，
所以实数a的取值范围是.
4、函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
函数的图像的对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为
5、若函数的单调递减区间是，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
函数的单调递减区间是，，
所以函数的对称轴为，
则有，解得．
6、若与在上都是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
7、已知函数，若，则实数的取值范围是___________.
【答案】
8、已知函数，若在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为函数，在上是增函数，
所以，
解得
9、已知函数在上为增函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为函数在上为增函数，
则不等式对恒成立，
即对恒成立，
所以对恒成立，
令，
当，则，
所以，故的取值范围为.
10、函数在上为严格减函数，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
当时，，显然满足题意；
当时，要使在上为严格减函数，则，
解得：
综上，a的取值范围为：.
11、已知函数，且
(1)求解析式；
(2)判断并证明函数在区间的单调性.
【答案】(1)；(2)单调递增，证明见解析.
【解析】
(1)且，解得.
所以函数的解析式为.
(2)
∵.
∵，
，所以，
所以，所以函数在单调递增.
12、已知函数的定义域是，对定义域的任意都有，且当时，，；
(1)求证：；
(2)试判断在的单调性并用定义证明你的结论；
(3)解不等式.
【答案】(1)证明见解析；(2)增函数，证明见解析；(3)
【解析】
(1)令，得，解得
再令，则
所以
(2)在上为增函数，证明如下：
设，则，
因为时，
所以
由（1）知
所以
所以在上为增函数.
(3)因为，
所以，得，
又因为，
所以，
所以
由上可知，是定义在上为增函数
所以，原不等式，
解得，即原不等式的解集为.
13、已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有.
(1)求的值；
(2)证明：是定义域上的减函数；
(3)若，解不等式.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).
【解析】
(1)令，则，解得：；
(2)设，则，
，，，是定义域上的减函数；
(3)由得：，即，
又，，
是定义域上的减函数，，解得：；
又，，
的解集为
