函数的单调性
知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
常用结论
1． x1，x2∈D且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) f(x)在区间D上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．
题型一 确定函数的单调性
例1 下列函数中，在上单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案
【详解】解：对于，是二次函数，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；
对于，是幂函数，在上单调递增，符合题意；
对于，是幂函数，在上单调递增，不符合题意；
对于，，在区间上为减函数，不符合题意
故选：B
例 2 已知.
(1)求的解析式；
(2)试用函数单调性定义证明：在上单调递增.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据可得解可得a、b的值，即可得解析式；
（2）根据题意，设，利用作差法分析可得函数单调性.
（1）
由题意得，
解得，
.
（2）
证明：设，
则
，
由，得，
，即，
故在上单调递增.
训练巩固
1.在上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据基本初等函数的单调性结合复合函数的单调性即可逐一求解.
【详解】对A，函数在上是增函数，所以在上是减函数，不满足题意；
对于B，函数在上是增函数，在上是减函数，不满足题意；
对于C，函数在上是增函数，所以在上是增函数，满足题意；
对于D，函数在上是减函数，不满足题意．
故选：C
2.若函数在上是增函数，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由一次函数性质得，再由单调性比较函数值大小.
【详解】依题意，即，
由于在上单调递增，
所以.
故选：B
3.已知函数，判断并证明在区间上的单调性．
【答案】单调递增，证明见解析
【分析】利用单调性的定义证明，先任取，，且，然后作差，变形，判断符号，即可得结论.
【详解】在区间上单调递增，理由如下：
任取，，且，
．
因为，
所以，，，
所以
所以，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增．
题型二 二次函数的单调性
例3 “”是“函数在区间上单调递减”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由函数在区间上单调递减可得，进而可判断为充分不必要条件.
【详解】对于函数，
当时，在R上单调递减；当时，若要使得在上单调递减，需满足且，解得.
“故”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件，
故选:B.
例4 若函数，在R上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由于函数在R上单调递增，所以函数在每段上要为增函数，且当时，，从而可求得答案
【详解】由题意得，解得．
故选：B
训练巩固
4.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质得到不等式，解得即可；
【详解】解：函数的对称轴为，开口向上，
依题意可得，解得，即；
故选：D
5.函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由分段函数单调性列不等式组求解
【详解】，故在上单调递减，
由题意得解得，
故选：B
题型三 函数单调性的应用
例5 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题可得函数在上是减函数，进而即得.
【详解】因为
所以函数在上是减函数，
所以，
解得．
故选：D．
例6 已知函数.若对于任意，都有，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先利用换元法求出的解析式，依题意等价于，令，则在上单调递减，根据反比例函数的性质即可得到不等式，解得即可；
【详解】解：令，则，所以，即，因为时等价于，即.令，则在上单调递减，所以或，解得或，即.
故选：A
例7 已知是定义域为上的单调增函数，且对任意，都有，则的值为（ ）
A．12 B．14 C． D．18
【答案】B
【分析】根据题意转化为为常数，设（k为常数）可求出，进而可求出.
【详解】因为是定义域为上的单调增函数，且对任意，都有，
所以必是常数，
设（k为常数），得，
所以，解得，
∴，因此.
故选：B
巩固训练
6.已知函数是定义在上的增函数，且，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】令，根据给定条件可得t为常数，再由、列式计算作答.
【详解】令，即有，因函数是定义在上的增函数，则t为常数，
因此，从而，解得，于是得，显然函数在上递增，
所以.
故选：B
7.函数，对，且恒有，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，判断函数在条件给定区间内为单调减函数，讨论二次项系数是否为0，结合二次函数性质列不等式，求a的取值范围．
【详解】根据题意，对，且恒有，则函数在单调递减，
1、当，符合题意；
2、当 ，二次函数，其对称轴为x，
若在（﹣∞,4）上为减函数，必有，解可得：．
综上
故选：B．
【点睛】关键点点睛：二次型不等式恒成立问题注意讨论二次项系数是否为0.
题型四 抽象函数的单调性
例 7 已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．
【答案】证明见解析
【分析】任取、，且，可得出，结合已知条件可出、的大小关系，即可证得结论成立.
【详解】证明：任取、，且，
则．
因为，所以，所以，即，
所以函数是上的增函数．
巩固训练
8.已知定义在上的函数满足：①当时，，②对任意都有，③
(1)求的值.
(2)求证：对任意
(3)证明：在上是増函数.
【答案】(1)4
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据即可得解；
（2）令，求得，再根据当时，，证明时，，即可得证；
（3）设，由，说明，即可得证.
（1）
解：因为，，
所以；
（2）
证明：令，
则，所以，
当时，，所以，
则，
所以，
所以对任意；
（3）
证明：设，
则，所以，
由，
所以在上是増函数.
课后练习
1.已知函数在定义域内单调递减，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义域和单调性列出不等式组，解出答案即可.
【详解】由题意，.
故选：A.
2．如果函数在区间上是单调函数，那么实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【分析】求出二次函数的对称轴，讨论在区间上单调递减和单调递增，列不等式即可求解.
【详解】函数的对称轴为，
若函数在区间上是单调函数，
若在区间上是单调递减，则，解得：，
若在区间上是单调递增，则，解得：，
故实数的取值范围是：或，
故选：A.
3．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由利用函数的单调性可得答案.
【详解】，依题意有，即，
所以实数的取值范围是．
故选：B.
4.若函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据项的系数分类讨论，时由二次函数性质得结论．
【详解】函数在上单调递减，
当时，，符合要求；
当时，由题意可得且，解得.
综上所述，的取值范围为.
故选：C．
5.若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据的开口方向，确定分段函数在在上的单调递增，再根据分段函数在上的单调所要满足的条件列出不等关系，求出的取值范围.
【详解】因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得：
故选：B
6.函数是定义在R上的单调函数，，则（ ）
A．9 B．8 C．3 D．1
【答案】C
【分析】根据单调性可知为常数，根据与的关系，结合单调性可解.
【详解】因为函数是定义在R上的单调函数，且，所以为常数，记，则，所以，，不妨设函数单调递增，且，则，即（矛盾），故.
所以，故.
故选：C
7.已知函数．
(1)求证：在上是增函数；
(2)当时，求不等式的解集．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用函数单调性的定义与作差法即可证明；
（2）将代入，然后求解不等式即可
（1）
任取，且，则，
所以，
所以，所以在区间上单调递增；
（2）
当时，，
由可得，解得，
故不等式的解集为
8．定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
(1)求和的值；
(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
(3)求满足的的取值集合．
【答案】(1),
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）赋值计算得解；
（2）根据定义法证明单调性；
（3）根据①及单调性计算得解.
(1)
得，则，
而，
且，则；
(2)
取定义域中的任意的，，且，，
当时，，，
，
在上为减函数．
(3)
由条件①及（1）的结果得，
，，
，，解得，
故的取值集合为.
9．已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用赋值法即得；
（2）利用赋值法得，然后结合条件转化已知不等式为，最后根据单调性即得.
（1）
因为，
令，得，
即；
（2）
由题意知，
，
∴由，可得，
又在R上单调递增，
∴，即，
∴的取值范围是．函数的单调性
知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
常用结论
1． x1，x2∈D且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) f(x)在区间D上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．
题型一 确定函数的单调性
例1 下列函数中，在上单调递增的函数是（ ）
B． C． D．
例 2 已知.
(1)求的解析式；
(2)试用函数单调性定义证明：在上单调递增.
训练巩固
1.在上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
2.若函数在上是增函数，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数，判断并证明在区间上的单调性．
题型二 二次函数的单调性
例3 “”是“函数在区间上单调递减”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例4 若函数，在R上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
训练巩固
4.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5.函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三 函数单调性的应用
例5 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例6 已知函数.若对于任意，都有，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例7 已知是定义域为上的单调增函数，且对任意，都有，则的值为（ ）
A．12 B．14 C． D．18
巩固训练
6.已知函数是定义在上的增函数，且，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
7.函数，对，且恒有，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型四 抽象函数的单调性
例 7 已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．
巩固训练
8.已知定义在上的函数满足：①当时，，②对任意都有，③
(1)求的值.
(2)求证：对任意
(3)证明：在上是増函数.
课后练习
1.已知函数在定义域内单调递减，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如果函数在区间上是单调函数，那么实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
3．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.若函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
6.函数是定义在R上的单调函数，，则（ ）
A．9 B．8 C．3 D．1
7.已知函数．
(1)求证：在上是增函数；
(2)当时，求不等式的解集．
8．定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
(1)求和的值；
(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
(3)求满足的的取值集合．
9．已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围．
