人教版九年级上对接中考知识点复习专项计划——二次函数的应用之动态几何问题（不含相似及三角函数九上适用）
一、综合题
1．（2022·青海）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.
图1 图2
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；
（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）
2．（2022·通辽）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；
（3）点是抛物线上一点，若，求点的坐标．
3．（2022·广东）如图，抛物线 （b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点， ， ，点P为线段 上的动点，过P作 交 于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求 面积的最大值，并求此时P点坐标．
4．（2022·宣州模拟）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，一次函数y＝－x＋3的图象经过点B，C，与抛物线对称轴交于点D，且，点P是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）当点P在直线BC上方时，求点P到直线BC的距离的最大值．
5．（2022·牡丹江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线上方抛物线上的一点，，直接写出点D的坐标．
6．（2022九上·岳麓开学考）如图，抛物线经过、两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，连结、、、．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当的面积等于的面积的时，求的值．
（3）当时，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2022·济宁）已知抛物线与x轴有公共点．
（1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（2）将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；
（3）D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．
8．（2022·日照）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．
（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
9．（2022·枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2022·鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2022·烟台）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2022·东营）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
13．（2022·鞍山）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为12，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点是线段上点，连接，将沿直线翻折得到，当直线与直线相交所成锐角为时，求点的坐标．
14．（2022·黔东南）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
15．（2022·威海）探索发现
（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D，连接AD．
①如图1，直线DC交直线x＝1于点E，连接OE．求证：AD∥OE；
②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；
（2）通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3上画出草图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D．点M为该抛物线上一动点（不与点A，B，D重合），
猜想：作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，则QN∥AD，证明见解析
16．（2022·齐齐哈尔）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
17．（2022·绥化）如图，抛物线交y轴于点，并经过点，过点A作轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线，D点的坐标为，连接，，.点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作于F，以为对角线作正方形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点G随着E点运动到达上时，求此时m的值和点G的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．
18．（2022·天津）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．
（1）若，
①求点P的坐标；
②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标；
（2）若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标．
19．（2022·滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接．
（1）求线段AC的长；
（2）若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标；
（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标．
20．（2022·达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象经过点 ， ，与y轴交于点C.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接 ，在该二次函数图象上是否存在点P，使 ？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线 ， 分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中， 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
21．（2022·重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线AB交于点A(0，-4)，B(4，0)．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AB下方拋物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在(2)中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
22．（2022·诸城模拟）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，抛物线经过，，三点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）求抛物线的解析式；
（3）绕平面内一点顺时针旋转得到，即点，，的对应点分别为，，，若恰好两个顶点落在抛物线上，请直接写出的坐标．
23．（2022·运城模拟）如图，已知抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作直线轴，交直线BC于点D，交x轴于点F，以PD为斜边，在PD的右侧作等腰直角．
（1）求抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式；
（2）设点P的横坐标为m（），在点P运动的过程中，当等腰直角的面积为9时，请求出m的值；
（3）连接AC，该抛物线上是否存在一点M，使，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．
24．（2022·和平模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线经过点A、点B．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点的坐标；
（2）若在第三象限的抛物线上有一动点M，当点M到直线AB的距离最大时，求点M的坐标；
（3）点C，D分别为线段AO，线段AB上的点，且，连接CD．将线段CD绕点D顺时针旋转90度，点C旋转后的对应点为点E，连接OE．当线段OE的长最小时，请直接写出直线DE的函数表达式 ．
25．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A （1，0）和点B （－3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）如图1，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接OP交BC于点D，当S△CPD∶S△BPD＝1∶2时，请求出点D的坐标；
（4）如图3，点E的坐标为（0，－1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标．
26．（2022·阳泉模拟）综合与探究
如图，已知抛物线与x轴负半轴交于点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D，直线y＝x＋b与抛物线交于A，F两点，过点D作DE∥y轴交直线AF于点E．
（1）求抛物线和直线AF的解析式；
（2）在直线AF上方的抛物线上有一点P，使，求点P的坐标；
（3）若点M为抛物线上一动点，试探究在直线AF上是否存在一点N，使得以D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2022·岚山模拟）已知抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在上方的抛物线上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交于点D，过点P作的垂线，垂足为Q，若，求m的值；
（3）如图2，将直线沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线于点D，是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．
28．（2022·新会模拟）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点．
（1）求的值；
（2）在抛物线对称轴上找点，使是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标；（提醒满足条件的点可能不只一个）
（3）点是线段上一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，与轴相交于点，连接、、，当四边形的面积最大时，请你说明四边形的形状．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵抛物线与轴的两个交点分别为，，
∴，解得．
∴所求抛物线的解析式为．
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，则，
又，
∴．
设直线的解析式为，
把代入，得，
解得，则该直线的解析式为．
故当时，，即，
∴，
即．
（3）解：
设点，由题意，得，
∴，∴，
当时，，
∴，，
当时，，
∴，，
∴当点P的坐标分别为，，，时，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 该直线的解析式为，再求解即可；
（3）利用三角形面积公式先求出 ， 再列方程求解即可。
2．【答案】（1）解：对于直线BC解析式y=x-3，
令x=0时，y=-3，
则C（0，-3），
令y=0时，x=3，
则B（3，0），
把B（3，0），C（0，-3），分别代入，得
，解得：，
∴求抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3；
（2）解：对于抛物线y=-x2+4x-3，
令y=0，则-x2+4x-3=0，解得：x1=1，x2=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，AB=2，
过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，如图，
∵A（1，0），B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，AB=2，
∴∠ABC=∠OCB=45°，
∴AN=，
∵，
∴PM=，
过点P作PEBC，交y轴于E，过点E作EF⊥BC于F，
则EF= PM=，
∴CE=1
∴点P是将直线BC向上或向下平移1个单位，与抛物线的交点，如图P1，P2，P3，P4，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴直线BC解析式为：y=x-3，
∴平移后的解析式为y=x-2或y=x-4，
联立直线与抛物线解析式，得
或，
解得：，，，，
∴P点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
（3）解：如图，点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥DF于E，
∵∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴CD=AD，
∵∠E=∠AFD=90°，
∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE，
∴△CDE≌△DAD（AAS），
∴DE=AF，CE=DF，
∵∠COF=∠E=∠AFD=90°，
∴四边形OCEF是矩形，
∴OF=CE，EF=OC=3，
设DE=AF=n，
∵OA=1，
∴CE=DF=OF=n+1
∴DF=3-n，
∴n+1=3-n
解得：n=1，
∴DE=AF=1，
∴CE=DF=OF=2，
∴D（2，-2），
设直线CQ解析式为y=px-3，
把D（2，-2）代入，得p=，
∴直线CQ解析式为y=x-3，
联立直线与抛物线解析式，得
解得：，（不符合题意，舍去），
∴点Q坐标为（，）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得出抛物线的解析式；
（2）令y=0，则-x2+4x-3=0，解得x的值，得出OA=1，OB=3，AB=2，过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，由点A、B、C的坐标得出OB=OC=3，AB=2，由，得出PM=，CE=1，由点B、C的坐标得出直线BC解析式，平移后的解析式为y=x-2或y=x-4，联立直线与抛物线解析式即可得出点P的坐标；
（3）点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥DF于E，利用AAS证出△CDE≌△DAD，得出DE=AF，CE=DF，推出四边形OCEF是矩形，设DE=AF=n，得出n的值，从而得出点D的坐标，再利用代入法得出直线CQ解析式，联立直线与抛物线解析式，即可得出点Q的坐标。
3．【答案】（1）解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为 ，
顶点式为： ，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P ，
由 解得： ，
∵P在线段AB上，
∴ ，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则
∴当n=-2时，即P（-1，0）时， 最大，最大值为2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，再将点A、B的坐标代入求出b、c的值即可；
（2）先求出，再结合P在线段AB上，求出-6＜n＜2，然后利用割补法可得，最后利用二次函数的性质求解即可。
4．【答案】（1）解：∵一次函数y＝－x＋3的图象经过点B，C，
∴C（0，3），B（3，0）
设点A（m，0）
∴抛物线的对称轴为，
∴点D（），
∵，
∴，
∴解得m=-1或m=7（舍去），
∴点A（-1，0），
将A、B、C三点坐标代入解析式得：
，
解得：，
∴抛物线；
（2）解：过点P作PE∥OC交BC于E，PF⊥BC于F，
∵OC=OB=3，∠COB=90°，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵PE∥OC，
∴∠PEF=∠OCB=45°，
∴PF=PE×sin45°=PE，
∴点P到直线BC的距离的最大只需PE最大，
设P（x， ），则点E（x，-x+3），
∴PE=，
∴PE最大=，
∴PF最大=PE最大=，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，即可求出抛物线的函数解析式；
（2）设P（x， ），则点E（x，-x+3），得出PE=，此时PE最大=，从而得出答案。
5．【答案】（1）解：在中，当时，；当时，，
∴，
把代入中，
得∴
∴．
（2）解：D点坐标（2，3）；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(2)如图，取AB中点E，连接OE，
∵OE为Rt△ABO斜边中线，∴OE=AE，∴∠AOE=∠EAO，
∴∠BEO=∠EOA+∠EAO=2∠OAE，
∵∠ABD=2∠BAC，∴∠ABD=∠BEO，
∴BD∥OE，
∵A（4，0），B（0，2），∴E（2，1），
∴OE所在直线解析式为y=x，∵直线OE向上平移2个单位可以得到直线BD，
∴BD所在直线解析式为y=x+2，与抛物线相交时：
=x+2，解得：x=0（B点）或x=2（D点），
x=2代入y=x+2，可得y=3，
∴D点坐标（2，3）；
【分析】（1）求得A、B两点坐标，代入抛物线解析式，获得b、c的值，即可获得抛物线的解析式；
（2）通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点D的坐标。
6．【答案】（1）解：由抛物线交点式表达式得： ，
即 ，解得： ，
故抛物线的表达式为： ；
（2）解：由抛物线的表达式知，点 ，
由点 、 的坐标，得直线 的表达式为： ，
如图所示，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，
设点 ，则点 ，
则 ，
，
即： ，
解得： 或 舍去 ，
故 ；
（3）解：当 时，点 ，
设点 ，点 ，则 ，
①当 是边时，
点 向左平移1个单位向上平移6个单位得到点 ，同样点 向左平移1个单位向上平移6个单位得到点 ，
故 或 ，
联立①②并解得： 不合题意的值已舍去 ；
故点 的坐标为 或 或 ；
②当 是对角线时，
由中点公式得： ，
联立①③并解得 ，
故点 的坐标为 ；
综上，点 的坐标为 或 或 或 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）由A、B的坐标可设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)=a(x2-2x-8)=ax2-2ax-8a，则-8a=6，求出a的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）由抛物线的表达式知C（0，6），求出直线BC的解析式，过点D作y轴的平行线交直线BC于点H，设D（m，m2+m+6），则H（m，m+6），根据三角形的面积公式表示出S△BDC，结合题意可得m的值；
（3）当m=2时，点D（2，6），设M（x，0），N（t，n），则n=t2+t+6，然后分①BD是边，②BD为对角线，结合平行四边形的性质可得x、t、m、n的值，进而可得点M的坐标.
7．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴有公共点，∴∴∴．∴，∴，∵，∴当时，y随着x的增大而增大．
（2）解：由题意，得，当y＝0时，，解得：或，∵点A在点B的右侧，∴点A的坐标为（1+n，0），点B的坐标为（－3+n，0）．∵点C的坐标为（0，－n2 +2n+3），∴n+1＝－n2+2n+3．解得：n＝2或n＝－1（舍去）．故n的值为2.
（3）证明：由（2）可知：抛物线C2的解析式为y＝－（x－1）2+4．∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（－1，0）点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4），抛物线C2的对称轴是直线x＝1，
∵点E与点C关于直线x＝1对称，∴点E的坐标为（2，3）．∴点G的坐标为（1，3）．设直线BE解析式为y＝kx+b，∴解得：∴y＝x+1．当x＝1时，y＝1+1＝2．点F的坐标为（1，2）．∴FG＝EG＝DG＝CG＝1． ∴四边形CDEF为矩形．又∵CE⊥DF，∴四边形CDEF为正方形．
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求解即可；
（2）根据题意先求出 或， 再求出 n＝2或n＝－1（舍去） ，最后求解即可；
（3）利用待定系数法求函数解析式，再求解即可。
8．【答案】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，-9+6m+3m=0，∴m=1，∴y=-x2+2x+3；
（2）证明：∵y=-x2+m（2x+3），∴当2x+3=0时，即时，，∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是；
（3）解：如图，
连接OP，设点P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，∴，∴，
∴PD的解析式为：y＝，当x＝0时，y＝，∴点N的坐标是（0，），∴，
∵S=S△PAM-S△BMN，∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB，
∵，
当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3，∴点B的坐标是（0，3），OB＝3，，∴＝＝，
∴当时，，当时，，∴点的坐标是（1，4）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 时，， 再求点的坐标即可；
（3）先求出PD的解析式为：y＝，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
9．【答案】（1）解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），∴ ，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）解：如图1，过P作PGy轴，交OE于点G，
设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），
设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得，3＝3k，解得k＝1，
∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），
∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，
∴S△OPE＝S△OPG+S△EPGPG AE3×（﹣m2+5m﹣3）
（m2﹣5m+3）（m）2，
0，
∴当m时，△OPE面积最大，此时m2﹣4m+3＝，
∴P点坐标为（，）；
（3）解：由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，
顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．
设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），
如图2，
∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；
（4）解：设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），
∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m或，∵m＞2，不合题意，舍去，
∴m，此时m2﹣4m+3＝，
∴P的坐标为（，）；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得：m1或m2，∵＞2，不合题意，舍去，
∴m＝，此时m2﹣4m+3＝，
∴P的坐标为（，）；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1或m2；
∵＜2，不合题意，舍去，∴m＝，此时m2﹣4m+3＝，
P的坐标为（，）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，
同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m或（舍），
P的坐标为：（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 △AOE是等腰直角三角形， 再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）先求出 M（2，2）， 再结合函数图象求解即可；
（4）分类讨论，列方程求解即可。
10．【答案】（1）解：将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为．
（2）解：设点，对于二次函数，当时，，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，，，轴，轴，，∴当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，，解得或或或，则点的横坐标为1或2或或．
（3）解：①如图，当Q在BC下方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，
∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，设点的坐标为，则，解得，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式得，解得或（即为点），则此时点的坐标为；②如图，当Q在BC上方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，
同理可得：此时点的坐标为，综上，存在这样的点，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出直线BC
的解析式为， 再列方程求解即可；
（3）分类讨论，结合函数图象计算求解即可。
11．【答案】（1）解：当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1） （x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1） （x+3）＝﹣x2﹣x+4；
（2）解：如图1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，﹣m+4），
∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝ （﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝6，
∴S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S最大＝，
当m＝﹣时，y＝﹣＝5，
∴D（﹣，5）；
（3）解：设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝，
∴P（﹣1，），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q（﹣2，）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，得出点D、E的坐标，推出DE的值，根据三角形面积公式求出的值，根据S△ABC＝6，得出S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2（m+）2+，当m＝﹣时，S最大＝，当m＝﹣时，y＝5，由此得解；
（3）设P（﹣1，n），由以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，得出PA2＝PC2，得出n的值，从而得出P点坐标，根据xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC，得出xQ＝，由此得解。
12．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为
（2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C，
∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3）
如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），
由轴对称的性质可知CQ=EQ，
∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，
要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，
∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，
设直线AE的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AE的解析式为，
当时，，
∴点Q的坐标为（1，-2）；
（3）解：（-1，0）或（，-2）或（，2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（3）解： 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E，
∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，
∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，
∴∠FMP=∠EPB，
∴△FMP≌△EPB（AAS），
∴PE=MF，BE=PF，
设点P的坐标为（1，m），
∴，
∴，，
∴点M的坐标为（1-m，m-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（-1，0）；
同理当点P在x轴下方，∠BPM=90°时，可以求得点M的坐标为（-1，0）；
如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m），
同理可证△PEB≌△BFM（AAS），
∴，
∴点M的坐标为（3-m，-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（，-2）；
如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，
同理可以求得点M的坐标为（，2）；
综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）．
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，再求出直线AE的解析式，然后将代入计算即可；
（3）分情况讨论：当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，当点P在x轴下方，∠BPM=90°时，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，分别画出图象并求解即可。
13．【答案】（1）解：将A（ 1，0），C（0，2）代入，
∴，
解得，
∴
（2）解：令y＝0，则，
解得x＝ 1或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴，
∴OD＝4，
∴D（0， 4），
设直线BD的解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴y＝x 4，
联立方程组，
解得或，
∴P（ 3， 7）；
（3）解：如图1，当在第一象限时，
设直线BC的解析式为，
，
解得，
∴，
设E（t，），
∴OE＝t，EH＝，
∵D（0， 4），B（4，0），
∴OB＝OD，
∴∠ODB＝45°，
∵直线与直线BP相交所成锐角为45°，
∴，
由折叠可知，，，
在中，，
∴，
∴
在Rt△BHE中，，
解得，
∵0≤t≤4，
∴t＝，
∴；
如图2，当在第二象限，时，
∵∠ABP＝45°，
∴轴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠可知，
∴平行四边形是菱形，
∴BE＝OB，
∴，
解得或，
∵0≤t≤4，
∴，
∴；
综上所述：的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出直线BD的解析式，再联立方程组求出x、y的值即可；
（3）分情况讨论： ①当在第一象限时，②当在第二象限，时，再分别画出图象并求解即可。
14．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，解得：a=-1，
∵抛物线过点，
∴，解得：c=3，
∴抛物线解析式为
（2）解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形.理由如下：
令y=0，则，
解得：，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴OA=1，
当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），即OC=3，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点N（m，-m+3），
∴MN=-m+3，AM=m+1，
∴，，
当AC=AN时，，
解得：m=2或0（舍去），
∴此时点N（2，1）；
当AC=CN时，，
解得：或（舍去），
∴此时点N；
当AN=CN时，，
解得：，
∴此时点N；
综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）解：存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】(3)解：存在，理由如下：
∵点B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC，
∴BC，
设点E（1，n），点F（s，t），
当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图，
∴或，
解得：或，
∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）；
当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图，
，解得：或，
∴此时点F的坐标为或；
综上所述，存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或.
【分析】（1）利用抛物线的对称轴为直线x=1，可求出a的值，再将点B的坐标代入函数解析式，可求出c的值，即可得到抛物线的解析式.
（2）利用二次函数解析式，由y=0求出对应的x的值，可得到点A的坐标，同时求出OA的长，由x=0求出对应的y的值，可得到点C的值，即可求出OC的长；利用勾股定理求出AC2；利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，设点N（m，-m+3），分别表示出MN，AM，AN2，CN2；利用等腰三角形的定义再分情况讨论： 当AC=AN时；当AC=CN时；当AN=CN时，分别得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到符合题意的点N的坐标.
（3）由点B，C的坐标可证得OB=OC，利用勾股定理求出BC的长，设点E（1，n），点F（s，t），分情况讨论：当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），可得到关于n，s，t的方程组，解方程组求出n，s，t的值，可得到符合题意的点F的坐标；当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，利用中点坐标及勾股定理可得到关于n，s，t的方程组，解方程组求出n，s，t的值，可得到符合题意的点F的坐标；综上所述可得到点F的坐标.
15．【答案】（1）解：①由题意得，
，
∴，
∴y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴D（-1，4），C（0，3），
设直线CD的解析式为：y=mx+n，
∴，
∴，
∴y=-x+3，
∴当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2），
∴直线OE的解析式为：y=2x，
设直线AD的解析式为y=cx+d，
∴，
∴，
∴y=2x+6，
∴OE∥AD；
②设直线PD的解析式为：y=ex+f，
∴，
∴，
∴y=-3x+1，
∴当x=1时，y=-3×1+1=-2，
∴H（1，-2），
设直线GH的解析式为：y=gx+h，
∴，
∴，
∴y=2x-4，
∴AD∥HG；
（2）解：如图，
证明如下：
设M（m，-m2-2m+3），
设直线DM的解析式为y=px+q，
∴，
∴，
∴y=-（m+1）x+（-m+3），
∴当x=1时，y=-m-1-m+3=-2m+2，
∴Q（1，-2m+2），
设直线NQ的解析式为：y=ix+j，
∴，
∴，
∴y=2x-2m，
∴QN∥AD．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）①先求出点C、D、E的坐标，再利用待定系数法求出直线CD和直线OE和直线AD的解析式，即可得到答案；
②方法同①，利用两直线平行，斜率相等的性质求解即可；
（2）设M（m，-m2-2m+3），利用待定系数法求出直线NQ的解析式为y=2x-2m，即可得到QN//AD。
16．【答案】（1）解：将A（-1，0），B（4，5）代入得， ，
解这个方程组得，
抛物线的解析式为：；
（2）（1，2）
（3）解：如图，由（2）知 直线AB的解析式为y=x+1
设，则，
则，
当时，DE有最大值为，
（4）解：如图，直线AB的解析式为：y=x+1，
直线与y轴的交点为D（0，1），
，
，
若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：
①过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作 ，则四边形 为正方形，
依题意，知D与F重合，点 的坐标为（1，1）；
②以为中心分别作点F，点C点的对称点 ，连接，则四边形是正方形，则点的坐标为（-1，2）；
③延长到使，作于点，则四边形是正方形，则的坐标为（1，4）；
④取的中点，的中点，则为正方形，则的坐标为，
综上所述，点N的坐标为：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（2）解：如图，设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把点 A（-1，0），B（4，5）代入y=kx+b，
得，
解得 ，
直线AB的解析式为：y=x+1 ，
由（1）知抛物线的对称轴为，
点C为抛物线对称轴上一动点，，
当点C在AB上时，最小，
把x=1代入，得y=2，
点C的坐标为（1，2）；
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据两点间，线段最短，点C为抛物线对称轴上一动点，，得出当点C在AB上时，最小，把x=1代入，可得出y的值，即可得出点C的坐标；
（3）设，则，表示出DE的长度，利用二次函数的性质即可得出答案；
（4）分CF为对角线和边，分别画出图形，利用正方形的性质即可得出答案。
17．【答案】（1）解：将点A（0，-4）、C（6，0）代入解析式中，以及直线对称轴，可得 ，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵A（0，-4），D，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∵轴交抛物线于点B，
∴B（4，-4），
设直线BC解析式为y=kx+b，
将B（4，-4），C（6，0）代入解析式得，
，解得，
∴直线BC解析式为y=2x-12，
由题意可得，△ADB为等腰直角三角形，
∴，
∵四边形EGFH为正方形，
∴△EGF为等腰直角三角形，
∴，
点G随着E点运动到达上时，满足直线BC解析式y=2x-12，
∴，
∴，此时；
（3）解：B（4，-4），C（6，0），，
∴，，，
要使以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，
需满足：
当△BGC是直角三角形时，，
，
解得，，，
此时G或（3，-3）；
当△BCG为直角三角形时，，
，
解得，，
此时G；
当△CBG为直角三角形时，，
，
解得，，
此时G；
综上所述：点G坐标为或（3，-3）或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入，再结合对称轴为x=2可得，再求出a、b、c的值即可；
（2）先求出直线BC的解析式y=2x-12，再求出，即可得到，然后将点G的坐标代入一次函数解析式可得，求出m的值，即可得到点G的坐标；
（3）分三种情况：①当△BGC是直角三角形时，，②当△BCG为直角三角形时，，③当△CBG为直角三角形时，，再分别求解即可。
18．【答案】（1）解：①∵抛物线与x轴相交于点，
∴．又，得．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴点P的坐标为．
②当时，由，
解得．
∴点B的坐标为．
设经过B，P两点的直线的解析式为，
有解得
∴直线的解析式为．
∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示：
∴点M的坐标为，点G的坐标为．
∴．
∴当时，有最大值1．
此时，点M的坐标为，点G的坐标为．
（2）解：由（Ⅰ）知，又，
∴．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点P的坐标为．
∵直线与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为．
作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示：
得点的坐标为，点的坐标为．
当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，
此时，．
延长与直线相交于点H，则．
在中，．
∴．
解得（舍）．
∴点的坐标为，点的坐标为．
则直线的解析式为．
∴点和点．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得到顶点P的坐标；
②求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，点G的坐标为，再表示出，最后利用二次函数的性质求解即可；
（2）先求出点N的坐标为，作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，得点的坐标为，点的坐标为，延长与直线相交于点H，则，利用勾股定理可得，求出a的值，即可得到点的坐标为，点的坐标为，再求出直线的解析式为，最后求出点E、F的坐标即可。
19．【答案】（1）解：与x轴交点：
令y=0，解得，
即A（-1，0），B（3，0），
与y轴交点：
令x=0，解得y=-3，
即C（0，-3），
∴AO=1，CO=3，
∴；
（2）解：抛物线的对称轴为：x=1，
设P（1，t），
∴，，
∴
∴t=-1，
∴P（1，-1）；
（3）解：设点M（m，m2-2m-3），
，
，
，
①当时，
，
解得，（舍），，
∴M（1，-4）；
②当时，
，
解得，，（舍），
∴M（-2，5）；
③当时，
，
解得，，
∴M或；
综上所述：满足条件的M为或或或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再求出点C的坐标，最后利用勾股定理求出AC的长即可；
（2）设P（1，t），利用两点之间的距离公式可得，，可得 ，求出t的值，即可得到点P的坐标；
（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，再分别求解即可。
20．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（3，0），
∴2=-，-3=，
∴a=-，b=，
∴二次函数的表达式为y=-x2+x+2.
（2）解：存在，理由如下：设CP交x轴于点D，
①如图，当点P在BC上方时，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CP∥AB，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∵C（0，2），抛物线的对称轴为x=1，
∴P（2，2）；
②如图，当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（d，0），
∴OD＝d，DB＝3-d，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CD＝BD＝3-d，
在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2，即22+d2＝（3-d）2，
解得：d=，
∴D（，0），
设直线CD的解析式为y=kx+2（k≠0），
∴=-，
∴k=-，
∴yCD=-x+2，
∴-x+2=-x2+x+2，
整理，解得：x=0（舍去）或x=，
∴P（，-），
综上所述，存在点P（2，2）或（，-）使得∠PCB＝∠ABC.
（3）解：∵抛物线的对称轴为x=1，
∴E（1，0），
设Q（m，-m2+m+2），-1＜m＜3，
设直线AQ的解析式为y=k'x+b'，
∴0=-k'+b'，-m2+m+2=mk'+b'，
整理，解得：k'=-m+2，b'=- m+2，
∴yAQ=（- m+2）x- m+2，
∴M（1，- m+4），
同理求得直线BQ的解析式为y=（- m- ）x+ 2 m+2，
∴N（1， m+），
∴EM=- m+4，EN= m+，
∴EM+EN=- m+4+m+=，
∴EM+EN的值为定值.
【知识点】平行线的性质；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解，即把点A（-1，0），B（3，0）代入抛物线表达式，求得a和b的值，即可求得二次函数的表达式；
（2）分两种情况：①当点P在BC上方时，利用平行线性质及抛物线的对称性求出P点坐标；②当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（d，0），表示出CD＝BD＝3-d，再由勾股定理得OC2+OD2＝CD2，即22+d2＝（3-d）2，解得d值并求得D（，0），再利用待定系数法求出直线CD的解析式，再与抛物线解析式联立方程，即可求得P点坐标；
（3）设Q（m，-m2+m+2），-1＜m＜3，直线AQ的解析式为y=k'x+b'，利用待定系数法求得直线AQ的解析式，即得M（1，-m+4），同理求得直线BQ的解析式为y=（-m- ）x+ 2 m+2，即得N（1， m+），分别表示出EM=- m+4，EN= m+，再求和即可得出EM+EN的值为定值.
21．【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
∴ 抛物线的解析式为： ；
（2）解：如图， 设PD交BC于H，
∵ A(0，-4)，B(4，0) ，
∴OA=OB=4，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∵PC∥OB，
∴∠BCP=∠OBC=45°，
∴∠BCP=∠PHC=45°，
∴PC=PH，
设直线AB的解析式为y= kx+b(k≠0)，
则，
∴y=x-4，
设 ，
∴，
∴PC+PD=PH+PD=t-4-(t2-t-4)+(-t2+t+4)
=-t2+3t+4
=-(t-)2+，
∴ 时， 取得最大值 ，此时 ；
（3）解：由题意得：新抛物线解析式为 ， ，
设 ，
①当EF为对角线，
∴
解得 此时，
∴；
②当EM为对角线，
则--4=n，
解得 此时，
∴；
③当EN为对角线，
则 -+n=-4，
解得此时，
；
综上所述，N的坐标为：，，.
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
(2)设PD交BC于H，得出PC=PH，求出直线AB的解析式，设 ， 则 ， 再用含t的代数式表示出PC+PD，然后根据二次函数的性质求出最大值即可；
(3)根据平移的性质求出平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设 ，分三种情况讨论：即①当EF为对角线时，②当EM为对角线时，③当EN为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算，即可解答.
22．【答案】（1）证明：四边形AOCD是矩形，理由如下：
∵，，，
∴CD//y轴，AD//x轴，
∴CD∥OA，AD∥OC，
∴四边形AOCD是平行四边形，
又∵点A在y轴上，点C在x轴上，
∴∠AOC= 90°，
∴四边形AOCD是矩形
（2）解：设抛物线的解析式为，
把，，代入得：
，
解得：，
即抛物线的解析式为：
（3）解：点的坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的判定；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(3)
∵，，，
∴AD = 1，CD =，
由（1）得，四边形AOCD是矩形，
∴∠ADC = 90°，由旋转可知：，
∴，，
∴ΔA1C1D1恰好两个顶点落在抛物线上，
∴分三种情况讨论：
①当点A1，C1落在抛物线上时，A1D1//y轴，C1D1//z轴，如图2，
设
则，
∴，即，
∴
，
即
∵
∴
整理得：，
①+②得：，
解得：，
当时，
，
∴；
②当点D1落在抛物线上时，点A1不可能落在抛物线上，
如图3，
③当点C1，D1落在抛物线上时，A1D1//y轴，C1D1//z轴，
如图4，
此时C1、D1关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴设则：，
∴，
，
又∵，
∴，
解得：，
∵A1D1 = 1，
∴，
把代入得：
，
解得：，
∴，
综上所述，若△A1C1D1恰好两个顶点落在抛物线上，此时A1的坐标为或
【分析】（1）先证明四边形AOCD是平行四边形，再结合∠AOC= 90°，可得四边形AOCD是矩形；
（2）将点A、B、D的坐标代入求出a、b、c的值即可；
（3）分三种情况讨论：①当点A1，C1落在抛物线上时，A1D1//y轴，C1D1//z轴，②当点D1落在抛物线上时，点A1不可能落在抛物线上，③当点C1，D1落在抛物线上时，A1D1//y轴，C1D1//z轴，再分别求解即可。
23．【答案】（1）解：将，分别代入中，
得 解得，
∴该抛物线的表达式为；
直线的表达式为：；
（2）解：解法一：依题得，，
∴，
过点F作于N，
∵是等腰直角三角形，PD为斜边，
∴
∴，
∴，
∴ ，
∴
解得，，
又∵
∴当或6时，的面积为9；
解法二：依题得，，
∴，
在中，
当时，，
∴ ．
∴，
又∵ ．
∴ ，
∴为等腰直角三角形，
由勾股定理得，
∴，．
∴即 ．
∴，
∴，
解得，，
又∵ ，
∴当或6时，的面积为9；
解法三：解：依题得，，
∴，
过点F作于N，
∵是等腰直角三角形，PD为斜边，
∴，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴，
∴（取正），
∴，
解得，，
又∵，
∴当或6时，的面积为9；
（3）解：存在．点M的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】(1)解：将，分别代入中，
得 解得，
∴该抛物线的表达式为，
当，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的表达式为：；
(3)解：存在，理由如下：
由（2）得为等腰直角三角形，
∴
①如图，当点在的上方时，设与与轴交于一点，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的函数式为，
则，
解得，
∴，
则，
解得或（舍去），
∴此时点的坐标为；
②如图，当点在的下方时，
过作轴的垂线，过作轴的垂线，两条垂线交于一点，作，交抛物线与点，
由（2）得为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∵
∴，
又∵，
∵，
∴四边形正方形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的函数式为，
∴，
解得，
∴，
则，
解得或（舍去）；
综上所述，点M的坐标为或．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出C点坐标，然后利用待定系数法求直线BC的表达式即可；
（2）设出，，然后根据两点之间的距离公式可得PD的长，再根据等腰直角三角形的性质列出△PDF的面积表达式，结合面积为9建立方程求解，即可解决问题；
（3）分点M在BC的上方和点M在BC的下方两种情况讨论，根据题意画出图形，构造三角形全等，求出直线CM上的一点坐标，则可利用待定系数法求出直线CM的解析式，最后和抛物线的解析式联立求解，即可求出点M的坐标。
24．【答案】（1）解：由题意知，当时，，当时，
∴，
将，代入中得，，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
∵，
∴顶点的坐标为．
（2）解：如图1，过M作轴交直线于N
设直线的解析式为，则
解得
∴直线的解析式为
设，则
当时，点M到直线AB的距离最大，此时．
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(3)如图2，作轴交于F，作轴，垂足为G，作轴，垂足为H，作于M交y轴于N，连接，
由题意知，，，，，，
∴四边形、、是矩形
∴，，
∵
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴
在和中
∵
∴
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴四边形是矩形
∴，
∴三点共线
∴
∴
设，，则，，，
∴
在中，由勾股定理得
∵
∴当时，最小，最小
∴此时，
设直线的函数表达式为，
将，代入得，
解得
∴的函数表达式为
故答案为：．
【分析】（1）求出点A、B的坐标，将其代入即可求解；
（2）过M作轴交直线于N，设，则，则，当时，点M到直线AB的距离最大，得出此时点M的坐标；
（3）由题意得出四边形、、是矩形，证出，得出，证出四边形是矩形，推出三点共线，设，，则，，，，得出，在中，由勾股定理得，当时，最小，最小，即可得出答案。
25．【答案】（1）y＝ x2 2x＋3；（ 1，4）
（2）解：不存在，理由：
如图1，连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
令二次函数x=0，解得y=3
∴C（0，3）
设直线BC的解析式为：y＝kx＋b
把C（0，3），B （-3，0）代入得
解得
∴直线BC的表达式为：y＝x＋3，
设点P（x， x2 2x＋3），点H（x，x＋3），
则S四边形BOCP＝S△OBC＋S△PBC＝×3×3＋（ x2 2x＋3 x 3）×3＝8，
整理得：3x2＋9x＋7＝0，
解得：△＜0，故方程无解，
则不存在满足条件的点P．
（3）解：∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∴BC=
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴BD＝BC＝×3＝2，
∴yD＝BDsin∠CBO=2×＝2，代入直线BC得2＝x＋3，
解得x=-1
∴D（ 1，2）；
（4）解：如图2，设直线PE交x轴于点H，
∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
∴∠OHE＝45°，
∴OH＝OE＝1，
∴H（-1，0），
设直线HE的表达式为：y＝px+q
把H（-1，0），E（0，-1）代入得
解得
∴直线HE的表达式为：y＝ x 1，
联立
解得：x＝（舍去正值），
故点P（，）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x 1）（x＋3）＝a（x2＋2x 3）=ax2＋bx＋3，
即： 3a＝3，解得：a＝ 1，
故抛物线的表达式为：y＝ x2 2x＋3= （x+1）2＋4，
∴顶点坐标为（ 1，4）
故答案为y＝ x2 2x＋3；（ 1，4）；
【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x 1）（x＋3）＝a（x2＋2x 3），即可求解；
（2）利用S四边形BOCP＝S△OBC＋S△PBC＝8，即可求解；
（3）由S△CPD：S△BPD＝1：2，得出BD＝BC＝×3＝2，即可求解；
（4）由∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解。
26．【答案】（1）解：将和代入，
得，
解得，
∴抛物线解析式为，
将代入y＝x＋b，得：－1＋b＝0，
解得b＝1，
∴直线AF的解析式为y＝x＋1
（2）解：，
∴，
对于直线y＝x＋1，令x＝1，则y＝2，故，
∴DE＝4－2＝2．
过点P作x轴的垂线，交AF于点H，过点P作PG⊥AF于点G，过点P作PK⊥DE于点K，连接PA和PD，如图所示：
设，则，
∴，
对于直线y＝x＋1，令x＝0，则y＝1，
由交点得出∠FAB＝45°，
∴∠PHG＝45°，即△PHG为等腰直角三角形，
故有，
延长DE交x轴于点Q，则，
∴AQ＝2，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由，
得，
解得，（不合题意，舍去），，（不合题意，舍去），
将代入，
得，则得点P的坐标为；
将代入，
得，则得点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或
（3）解：存在，，，，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】(3)解：在直线上任选一点，连接构成，过三个顶点分别作对边平行线交于，如图所示：
，直线AF的解析式为y＝x＋1，
，
设，
：在中，，则根据点的平移得，
点M为抛物线上一点，抛物线解析式为，
，
解得或 ，
则点N的坐标是或；
：在中，，则根据点的平移得，
点M为抛物线上一点，抛物线解析式为，
，
解得或 ，
则点N的坐标是（与点重合，舍弃）或；
：在中，，则根据点的平移得，
点M为抛物线上一点，抛物线解析式为，
，
解得或 ，
则点N的坐标是（与点重合，舍弃）或；
综上所述，直线AC上是存在点N，使得以D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标是：，，，．
【分析】（1）将点A、C的坐标代入求出a、c的值即可得到二次函数解析式，再将点A的坐标代入y＝x＋b，求出b的值即可得到一次函数解析式；
（2）过点P作x轴的垂线，交AF于点H，过点P作PG⊥AF于点G，过点P作PK⊥DE于点K，连接PA和PD，先求出，再结合可得，求出m的值，最后将m的值分别代入可得点P的坐标；
（3）在直线上任选一点，连接构成，过三个顶点分别作对边平行线交于，再利用平行四边形的性质分别列出方程求解即可。
27．【答案】（1）解：∵抛物线过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：由（1）可得，
∴当时，得，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则，，
在中，
，
又，
∵≌，
∴，
即，
解得：或（舍去），
故m的值为．
（3）存在，的取值为或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(3)由（2）可得直线的解析式为，向下平移5个单位得
当时，，
∴，
当时，
∴，
由题意得，
∵，，
∴，
∴，
要使是等腰三角形，
当时，有
解得：或，
当时，有
解得：（舍去）或（舍去），
当时，有
解得：，
综上所述：m的取值为或或时，是等腰三角形．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入求出a、b的值即可；
（2）先求出直线BC的解析式，再设点P的坐标为，则，，再利用PD=BD可得，最后求出m的值即可；
（3）先求出MD和BD的长，分三种情况：当时，有；当时，有；当时，有，再分别求解即可。
28．【答案】（1）解：∵对称轴是直线，
∴，
解得：
（2）解：由，令，得，
，
，
由勾股定理，得，
当时，，，
当时，点是的中点，
∴，
综上所述：是以为腰的等腰三角形，符合条件的点的坐标是：，，
（3）解：当四边形的面积最大时，四边形是平行四边形，理由如下，
由抛物线，
与轴的两个交点坐标是：，，
与轴的交点坐标是：，
设直线的解析式为，把、坐标代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
点在抛物线上，设的坐标为，
点在上，点坐标可表示为：，
，
∵，
，
，
，
当时，四边形的面积最大，
此时，，
，，
∵，，
∴四边形是平行四边形.
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）根据轴对称公式可得，再求出m的值即可；
（2）先利用勾股定理求出CD的长，再根据等腰三角形的性质分两种情况和，最后分别求解即可；
（3）先求出直线BC的解析式，再根据可得，再利用二次函数的性质可得当时，四边形的面积最大，此时，，再根据，，可得四边形是平行四边形。
1 / 1人教版九年级上对接中考知识点复习专项计划——二次函数的应用之动态几何问题（不含相似及三角函数九上适用）
一、综合题
1．（2022·青海）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.
图1 图2
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；
（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）
【答案】（1）解：∵抛物线与轴的两个交点分别为，，
∴，解得．
∴所求抛物线的解析式为．
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，则，
又，
∴．
设直线的解析式为，
把代入，得，
解得，则该直线的解析式为．
故当时，，即，
∴，
即．
（3）解：
设点，由题意，得，
∴，∴，
当时，，
∴，，
当时，，
∴，，
∴当点P的坐标分别为，，，时，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 该直线的解析式为，再求解即可；
（3）利用三角形面积公式先求出 ， 再列方程求解即可。
2．（2022·通辽）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；
（3）点是抛物线上一点，若，求点的坐标．
【答案】（1）解：对于直线BC解析式y=x-3，
令x=0时，y=-3，
则C（0，-3），
令y=0时，x=3，
则B（3，0），
把B（3，0），C（0，-3），分别代入，得
，解得：，
∴求抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3；
（2）解：对于抛物线y=-x2+4x-3，
令y=0，则-x2+4x-3=0，解得：x1=1，x2=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，AB=2，
过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，如图，
∵A（1，0），B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，AB=2，
∴∠ABC=∠OCB=45°，
∴AN=，
∵，
∴PM=，
过点P作PEBC，交y轴于E，过点E作EF⊥BC于F，
则EF= PM=，
∴CE=1
∴点P是将直线BC向上或向下平移1个单位，与抛物线的交点，如图P1，P2，P3，P4，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴直线BC解析式为：y=x-3，
∴平移后的解析式为y=x-2或y=x-4，
联立直线与抛物线解析式，得
或，
解得：，，，，
∴P点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
（3）解：如图，点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥DF于E，
∵∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴CD=AD，
∵∠E=∠AFD=90°，
∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE，
∴△CDE≌△DAD（AAS），
∴DE=AF，CE=DF，
∵∠COF=∠E=∠AFD=90°，
∴四边形OCEF是矩形，
∴OF=CE，EF=OC=3，
设DE=AF=n，
∵OA=1，
∴CE=DF=OF=n+1
∴DF=3-n，
∴n+1=3-n
解得：n=1，
∴DE=AF=1，
∴CE=DF=OF=2，
∴D（2，-2），
设直线CQ解析式为y=px-3，
把D（2，-2）代入，得p=，
∴直线CQ解析式为y=x-3，
联立直线与抛物线解析式，得
解得：，（不符合题意，舍去），
∴点Q坐标为（，）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得出抛物线的解析式；
（2）令y=0，则-x2+4x-3=0，解得x的值，得出OA=1，OB=3，AB=2，过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，由点A、B、C的坐标得出OB=OC=3，AB=2，由，得出PM=，CE=1，由点B、C的坐标得出直线BC解析式，平移后的解析式为y=x-2或y=x-4，联立直线与抛物线解析式即可得出点P的坐标；
（3）点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥DF于E，利用AAS证出△CDE≌△DAD，得出DE=AF，CE=DF，推出四边形OCEF是矩形，设DE=AF=n，得出n的值，从而得出点D的坐标，再利用代入法得出直线CQ解析式，联立直线与抛物线解析式，即可得出点Q的坐标。
3．（2022·广东）如图，抛物线 （b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点， ， ，点P为线段 上的动点，过P作 交 于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求 面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】（1）解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为 ，
顶点式为： ，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P ，
由 解得： ，
∵P在线段AB上，
∴ ，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则
∴当n=-2时，即P（-1，0）时， 最大，最大值为2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，再将点A、B的坐标代入求出b、c的值即可；
（2）先求出，再结合P在线段AB上，求出-6＜n＜2，然后利用割补法可得，最后利用二次函数的性质求解即可。
4．（2022·宣州模拟）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，一次函数y＝－x＋3的图象经过点B，C，与抛物线对称轴交于点D，且，点P是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）当点P在直线BC上方时，求点P到直线BC的距离的最大值．
【答案】（1）解：∵一次函数y＝－x＋3的图象经过点B，C，
∴C（0，3），B（3，0）
设点A（m，0）
∴抛物线的对称轴为，
∴点D（），
∵，
∴，
∴解得m=-1或m=7（舍去），
∴点A（-1，0），
将A、B、C三点坐标代入解析式得：
，
解得：，
∴抛物线；
（2）解：过点P作PE∥OC交BC于E，PF⊥BC于F，
∵OC=OB=3，∠COB=90°，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵PE∥OC，
∴∠PEF=∠OCB=45°，
∴PF=PE×sin45°=PE，
∴点P到直线BC的距离的最大只需PE最大，
设P（x， ），则点E（x，-x+3），
∴PE=，
∴PE最大=，
∴PF最大=PE最大=，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，即可求出抛物线的函数解析式；
（2）设P（x， ），则点E（x，-x+3），得出PE=，此时PE最大=，从而得出答案。
5．（2022·牡丹江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线上方抛物线上的一点，，直接写出点D的坐标．
【答案】（1）解：在中，当时，；当时，，
∴，
把代入中，
得∴
∴．
（2）解：D点坐标（2，3）；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(2)如图，取AB中点E，连接OE，
∵OE为Rt△ABO斜边中线，∴OE=AE，∴∠AOE=∠EAO，
∴∠BEO=∠EOA+∠EAO=2∠OAE，
∵∠ABD=2∠BAC，∴∠ABD=∠BEO，
∴BD∥OE，
∵A（4，0），B（0，2），∴E（2，1），
∴OE所在直线解析式为y=x，∵直线OE向上平移2个单位可以得到直线BD，
∴BD所在直线解析式为y=x+2，与抛物线相交时：
=x+2，解得：x=0（B点）或x=2（D点），
x=2代入y=x+2，可得y=3，
∴D点坐标（2，3）；
【分析】（1）求得A、B两点坐标，代入抛物线解析式，获得b、c的值，即可获得抛物线的解析式；
（2）通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点D的坐标。
6．（2022九上·岳麓开学考）如图，抛物线经过、两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，连结、、、．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当的面积等于的面积的时，求的值．
（3）当时，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由抛物线交点式表达式得： ，
即 ，解得： ，
故抛物线的表达式为： ；
（2）解：由抛物线的表达式知，点 ，
由点 、 的坐标，得直线 的表达式为： ，
如图所示，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，
设点 ，则点 ，
则 ，
，
即： ，
解得： 或 舍去 ，
故 ；
（3）解：当 时，点 ，
设点 ，点 ，则 ，
①当 是边时，
点 向左平移1个单位向上平移6个单位得到点 ，同样点 向左平移1个单位向上平移6个单位得到点 ，
故 或 ，
联立①②并解得： 不合题意的值已舍去 ；
故点 的坐标为 或 或 ；
②当 是对角线时，
由中点公式得： ，
联立①③并解得 ，
故点 的坐标为 ；
综上，点 的坐标为 或 或 或 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）由A、B的坐标可设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)=a(x2-2x-8)=ax2-2ax-8a，则-8a=6，求出a的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）由抛物线的表达式知C（0，6），求出直线BC的解析式，过点D作y轴的平行线交直线BC于点H，设D（m，m2+m+6），则H（m，m+6），根据三角形的面积公式表示出S△BDC，结合题意可得m的值；
（3）当m=2时，点D（2，6），设M（x，0），N（t，n），则n=t2+t+6，然后分①BD是边，②BD为对角线，结合平行四边形的性质可得x、t、m、n的值，进而可得点M的坐标.
7．（2022·济宁）已知抛物线与x轴有公共点．
（1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（2）将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；
（3）D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴有公共点，∴∴∴．∴，∴，∵，∴当时，y随着x的增大而增大．
（2）解：由题意，得，当y＝0时，，解得：或，∵点A在点B的右侧，∴点A的坐标为（1+n，0），点B的坐标为（－3+n，0）．∵点C的坐标为（0，－n2 +2n+3），∴n+1＝－n2+2n+3．解得：n＝2或n＝－1（舍去）．故n的值为2.
（3）证明：由（2）可知：抛物线C2的解析式为y＝－（x－1）2+4．∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（－1，0）点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4），抛物线C2的对称轴是直线x＝1，
∵点E与点C关于直线x＝1对称，∴点E的坐标为（2，3）．∴点G的坐标为（1，3）．设直线BE解析式为y＝kx+b，∴解得：∴y＝x+1．当x＝1时，y＝1+1＝2．点F的坐标为（1，2）．∴FG＝EG＝DG＝CG＝1． ∴四边形CDEF为矩形．又∵CE⊥DF，∴四边形CDEF为正方形．
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求解即可；
（2）根据题意先求出 或， 再求出 n＝2或n＝－1（舍去） ，最后求解即可；
（3）利用待定系数法求函数解析式，再求解即可。
8．（2022·日照）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．
（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，-9+6m+3m=0，∴m=1，∴y=-x2+2x+3；
（2）证明：∵y=-x2+m（2x+3），∴当2x+3=0时，即时，，∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是；
（3）解：如图，
连接OP，设点P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，∴，∴，
∴PD的解析式为：y＝，当x＝0时，y＝，∴点N的坐标是（0，），∴，
∵S=S△PAM-S△BMN，∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB，
∵，
当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3，∴点B的坐标是（0，3），OB＝3，，∴＝＝，
∴当时，，当时，，∴点的坐标是（1，4）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 时，， 再求点的坐标即可；
（3）先求出PD的解析式为：y＝，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
9．（2022·枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），∴ ，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）解：如图1，过P作PGy轴，交OE于点G，
设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），
设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得，3＝3k，解得k＝1，
∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），
∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，
∴S△OPE＝S△OPG+S△EPGPG AE3×（﹣m2+5m﹣3）
（m2﹣5m+3）（m）2，
0，
∴当m时，△OPE面积最大，此时m2﹣4m+3＝，
∴P点坐标为（，）；
（3）解：由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，
顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．
设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），
如图2，
∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；
（4）解：设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），
∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m或，∵m＞2，不合题意，舍去，
∴m，此时m2﹣4m+3＝，
∴P的坐标为（，）；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得：m1或m2，∵＞2，不合题意，舍去，
∴m＝，此时m2﹣4m+3＝，
∴P的坐标为（，）；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1或m2；
∵＜2，不合题意，舍去，∴m＝，此时m2﹣4m+3＝，
P的坐标为（，）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，
同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m或（舍），
P的坐标为：（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 △AOE是等腰直角三角形， 再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）先求出 M（2，2）， 再结合函数图象求解即可；
（4）分类讨论，列方程求解即可。
10．（2022·鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为．
（2）解：设点，对于二次函数，当时，，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，，，轴，轴，，∴当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，，解得或或或，则点的横坐标为1或2或或．
（3）解：①如图，当Q在BC下方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，
∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，设点的坐标为，则，解得，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式得，解得或（即为点），则此时点的坐标为；②如图，当Q在BC上方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，
同理可得：此时点的坐标为，综上，存在这样的点，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出直线BC
的解析式为， 再列方程求解即可；
（3）分类讨论，结合函数图象计算求解即可。
11．（2022·烟台）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1） （x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1） （x+3）＝﹣x2﹣x+4；
（2）解：如图1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，﹣m+4），
∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝ （﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝6，
∴S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S最大＝，
当m＝﹣时，y＝﹣＝5，
∴D（﹣，5）；
（3）解：设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝，
∴P（﹣1，），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q（﹣2，）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，得出点D、E的坐标，推出DE的值，根据三角形面积公式求出的值，根据S△ABC＝6，得出S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2（m+）2+，当m＝﹣时，S最大＝，当m＝﹣时，y＝5，由此得解；
（3）设P（﹣1，n），由以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，得出PA2＝PC2，得出n的值，从而得出P点坐标，根据xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC，得出xQ＝，由此得解。
12．（2022·东营）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为
（2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C，
∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3）
如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），
由轴对称的性质可知CQ=EQ，
∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，
要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，
∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，
设直线AE的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AE的解析式为，
当时，，
∴点Q的坐标为（1，-2）；
（3）解：（-1，0）或（，-2）或（，2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（3）解： 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E，
∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，
∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，
∴∠FMP=∠EPB，
∴△FMP≌△EPB（AAS），
∴PE=MF，BE=PF，
设点P的坐标为（1，m），
∴，
∴，，
∴点M的坐标为（1-m，m-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（-1，0）；
同理当点P在x轴下方，∠BPM=90°时，可以求得点M的坐标为（-1，0）；
如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m），
同理可证△PEB≌△BFM（AAS），
∴，
∴点M的坐标为（3-m，-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（，-2）；
如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，
同理可以求得点M的坐标为（，2）；
综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）．
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，再求出直线AE的解析式，然后将代入计算即可；
（3）分情况讨论：当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，当点P在x轴下方，∠BPM=90°时，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，分别画出图象并求解即可。
13．（2022·鞍山）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为12，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点是线段上点，连接，将沿直线翻折得到，当直线与直线相交所成锐角为时，求点的坐标．
【答案】（1）解：将A（ 1，0），C（0，2）代入，
∴，
解得，
∴
（2）解：令y＝0，则，
解得x＝ 1或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴，
∴OD＝4，
∴D（0， 4），
设直线BD的解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴y＝x 4，
联立方程组，
解得或，
∴P（ 3， 7）；
（3）解：如图1，当在第一象限时，
设直线BC的解析式为，
，
解得，
∴，
设E（t，），
∴OE＝t，EH＝，
∵D（0， 4），B（4，0），
∴OB＝OD，
∴∠ODB＝45°，
∵直线与直线BP相交所成锐角为45°，
∴，
由折叠可知，，，
在中，，
∴，
∴
在Rt△BHE中，，
解得，
∵0≤t≤4，
∴t＝，
∴；
如图2，当在第二象限，时，
∵∠ABP＝45°，
∴轴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠可知，
∴平行四边形是菱形，
∴BE＝OB，
∴，
解得或，
∵0≤t≤4，
∴，
∴；
综上所述：的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出直线BD的解析式，再联立方程组求出x、y的值即可；
（3）分情况讨论： ①当在第一象限时，②当在第二象限，时，再分别画出图象并求解即可。
14．（2022·黔东南）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，解得：a=-1，
∵抛物线过点，
∴，解得：c=3，
∴抛物线解析式为
（2）解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形.理由如下：
令y=0，则，
解得：，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴OA=1，
当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），即OC=3，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点N（m，-m+3），
∴MN=-m+3，AM=m+1，
∴，，
当AC=AN时，，
解得：m=2或0（舍去），
∴此时点N（2，1）；
当AC=CN时，，
解得：或（舍去），
∴此时点N；
当AN=CN时，，
解得：，
∴此时点N；
综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）解：存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】(3)解：存在，理由如下：
∵点B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC，
∴BC，
设点E（1，n），点F（s，t），
当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图，
∴或，
解得：或，
∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）；
当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图，
，解得：或，
∴此时点F的坐标为或；
综上所述，存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或.
【分析】（1）利用抛物线的对称轴为直线x=1，可求出a的值，再将点B的坐标代入函数解析式，可求出c的值，即可得到抛物线的解析式.
（2）利用二次函数解析式，由y=0求出对应的x的值，可得到点A的坐标，同时求出OA的长，由x=0求出对应的y的值，可得到点C的值，即可求出OC的长；利用勾股定理求出AC2；利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，设点N（m，-m+3），分别表示出MN，AM，AN2，CN2；利用等腰三角形的定义再分情况讨论： 当AC=AN时；当AC=CN时；当AN=CN时，分别得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到符合题意的点N的坐标.
（3）由点B，C的坐标可证得OB=OC，利用勾股定理求出BC的长，设点E（1，n），点F（s，t），分情况讨论：当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），可得到关于n，s，t的方程组，解方程组求出n，s，t的值，可得到符合题意的点F的坐标；当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，利用中点坐标及勾股定理可得到关于n，s，t的方程组，解方程组求出n，s，t的值，可得到符合题意的点F的坐标；综上所述可得到点F的坐标.
15．（2022·威海）探索发现
（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D，连接AD．
①如图1，直线DC交直线x＝1于点E，连接OE．求证：AD∥OE；
②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；
（2）通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3上画出草图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D．点M为该抛物线上一动点（不与点A，B，D重合），
猜想：作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，则QN∥AD，证明见解析
【答案】（1）解：①由题意得，
，
∴，
∴y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴D（-1，4），C（0，3），
设直线CD的解析式为：y=mx+n，
∴，
∴，
∴y=-x+3，
∴当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2），
∴直线OE的解析式为：y=2x，
设直线AD的解析式为y=cx+d，
∴，
∴，
∴y=2x+6，
∴OE∥AD；
②设直线PD的解析式为：y=ex+f，
∴，
∴，
∴y=-3x+1，
∴当x=1时，y=-3×1+1=-2，
∴H（1，-2），
设直线GH的解析式为：y=gx+h，
∴，
∴，
∴y=2x-4，
∴AD∥HG；
（2）解：如图，
证明如下：
设M（m，-m2-2m+3），
设直线DM的解析式为y=px+q，
∴，
∴，
∴y=-（m+1）x+（-m+3），
∴当x=1时，y=-m-1-m+3=-2m+2，
∴Q（1，-2m+2），
设直线NQ的解析式为：y=ix+j，
∴，
∴，
∴y=2x-2m，
∴QN∥AD．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）①先求出点C、D、E的坐标，再利用待定系数法求出直线CD和直线OE和直线AD的解析式，即可得到答案；
②方法同①，利用两直线平行，斜率相等的性质求解即可；
（2）设M（m，-m2-2m+3），利用待定系数法求出直线NQ的解析式为y=2x-2m，即可得到QN//AD。
16．（2022·齐齐哈尔）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
【答案】（1）解：将A（-1，0），B（4，5）代入得， ，
解这个方程组得，
抛物线的解析式为：；
（2）（1，2）
（3）解：如图，由（2）知 直线AB的解析式为y=x+1
设，则，
则，
当时，DE有最大值为，
（4）解：如图，直线AB的解析式为：y=x+1，
直线与y轴的交点为D（0，1），
，
，
若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：
①过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作 ，则四边形 为正方形，
依题意，知D与F重合，点 的坐标为（1，1）；
②以为中心分别作点F，点C点的对称点 ，连接，则四边形是正方形，则点的坐标为（-1，2）；
③延长到使，作于点，则四边形是正方形，则的坐标为（1，4）；
④取的中点，的中点，则为正方形，则的坐标为，
综上所述，点N的坐标为：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（2）解：如图，设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把点 A（-1，0），B（4，5）代入y=kx+b，
得，
解得 ，
直线AB的解析式为：y=x+1 ，
由（1）知抛物线的对称轴为，
点C为抛物线对称轴上一动点，，
当点C在AB上时，最小，
把x=1代入，得y=2，
点C的坐标为（1，2）；
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据两点间，线段最短，点C为抛物线对称轴上一动点，，得出当点C在AB上时，最小，把x=1代入，可得出y的值，即可得出点C的坐标；
（3）设，则，表示出DE的长度，利用二次函数的性质即可得出答案；
（4）分CF为对角线和边，分别画出图形，利用正方形的性质即可得出答案。
17．（2022·绥化）如图，抛物线交y轴于点，并经过点，过点A作轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线，D点的坐标为，连接，，.点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作于F，以为对角线作正方形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点G随着E点运动到达上时，求此时m的值和点G的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点A（0，-4）、C（6，0）代入解析式中，以及直线对称轴，可得 ，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵A（0，-4），D，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∵轴交抛物线于点B，
∴B（4，-4），
设直线BC解析式为y=kx+b，
将B（4，-4），C（6，0）代入解析式得，
，解得，
∴直线BC解析式为y=2x-12，
由题意可得，△ADB为等腰直角三角形，
∴，
∵四边形EGFH为正方形，
∴△EGF为等腰直角三角形，
∴，
点G随着E点运动到达上时，满足直线BC解析式y=2x-12，
∴，
∴，此时；
（3）解：B（4，-4），C（6，0），，
∴，，，
要使以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，
需满足：
当△BGC是直角三角形时，，
，
解得，，，
此时G或（3，-3）；
当△BCG为直角三角形时，，
，
解得，，
此时G；
当△CBG为直角三角形时，，
，
解得，，
此时G；
综上所述：点G坐标为或（3，-3）或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入，再结合对称轴为x=2可得，再求出a、b、c的值即可；
（2）先求出直线BC的解析式y=2x-12，再求出，即可得到，然后将点G的坐标代入一次函数解析式可得，求出m的值，即可得到点G的坐标；
（3）分三种情况：①当△BGC是直角三角形时，，②当△BCG为直角三角形时，，③当△CBG为直角三角形时，，再分别求解即可。
18．（2022·天津）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．
（1）若，
①求点P的坐标；
②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标；
（2）若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标．
【答案】（1）解：①∵抛物线与x轴相交于点，
∴．又，得．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴点P的坐标为．
②当时，由，
解得．
∴点B的坐标为．
设经过B，P两点的直线的解析式为，
有解得
∴直线的解析式为．
∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示：
∴点M的坐标为，点G的坐标为．
∴．
∴当时，有最大值1．
此时，点M的坐标为，点G的坐标为．
（2）解：由（Ⅰ）知，又，
∴．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点P的坐标为．
∵直线与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为．
作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示：
得点的坐标为，点的坐标为．
当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，
此时，．
延长与直线相交于点H，则．
在中，．
∴．
解得（舍）．
∴点的坐标为，点的坐标为．
则直线的解析式为．
∴点和点．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得到顶点P的坐标；
②求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，点G的坐标为，再表示出，最后利用二次函数的性质求解即可；
（2）先求出点N的坐标为，作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，得点的坐标为，点的坐标为，延长与直线相交于点H，则，利用勾股定理可得，求出a的值，即可得到点的坐标为，点的坐标为，再求出直线的解析式为，最后求出点E、F的坐标即可。
19．（2022·滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接．
（1）求线段AC的长；
（2）若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标；
（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标．
【答案】（1）解：与x轴交点：
令y=0，解得，
即A（-1，0），B（3，0），
与y轴交点：
令x=0，解得y=-3，
即C（0，-3），
∴AO=1，CO=3，
∴；
（2）解：抛物线的对称轴为：x=1，
设P（1，t），
∴，，
∴
∴t=-1，
∴P（1，-1）；
（3）解：设点M（m，m2-2m-3），
，
，
，
①当时，
，
解得，（舍），，
∴M（1，-4）；
②当时，
，
解得，，（舍），
∴M（-2，5）；
③当时，
，
解得，，
∴M或；
综上所述：满足条件的M为或或或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再求出点C的坐标，最后利用勾股定理求出AC的长即可；
（2）设P（1，t），利用两点之间的距离公式可得，，可得 ，求出t的值，即可得到点P的坐标；
（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，再分别求解即可。
20．（2022·达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象经过点 ， ，与y轴交于点C.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接 ，在该二次函数图象上是否存在点P，使 ？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线 ， 分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中， 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（3，0），
∴2=-，-3=，
∴a=-，b=，
∴二次函数的表达式为y=-x2+x+2.
（2）解：存在，理由如下：设CP交x轴于点D，
①如图，当点P在BC上方时，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CP∥AB，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∵C（0，2），抛物线的对称轴为x=1，
∴P（2，2）；
②如图，当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（d，0），
∴OD＝d，DB＝3-d，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CD＝BD＝3-d，
在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2，即22+d2＝（3-d）2，
解得：d=，
∴D（，0），
设直线CD的解析式为y=kx+2（k≠0），
∴=-，
∴k=-，
∴yCD=-x+2，
∴-x+2=-x2+x+2，
整理，解得：x=0（舍去）或x=，
∴P（，-），
综上所述，存在点P（2，2）或（，-）使得∠PCB＝∠ABC.
（3）解：∵抛物线的对称轴为x=1，
∴E（1，0），
设Q（m，-m2+m+2），-1＜m＜3，
设直线AQ的解析式为y=k'x+b'，
∴0=-k'+b'，-m2+m+2=mk'+b'，
整理，解得：k'=-m+2，b'=- m+2，
∴yAQ=（- m+2）x- m+2，
∴M（1，- m+4），
同理求得直线BQ的解析式为y=（- m- ）x+ 2 m+2，
∴N（1， m+），
∴EM=- m+4，EN= m+，
∴EM+EN=- m+4+m+=，
∴EM+EN的值为定值.
【知识点】平行线的性质；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解，即把点A（-1，0），B（3，0）代入抛物线表达式，求得a和b的值，即可求得二次函数的表达式；
（2）分两种情况：①当点P在BC上方时，利用平行线性质及抛物线的对称性求出P点坐标；②当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（d，0），表示出CD＝BD＝3-d，再由勾股定理得OC2+OD2＝CD2，即22+d2＝（3-d）2，解得d值并求得D（，0），再利用待定系数法求出直线CD的解析式，再与抛物线解析式联立方程，即可求得P点坐标；
（3）设Q（m，-m2+m+2），-1＜m＜3，直线AQ的解析式为y=k'x+b'，利用待定系数法求得直线AQ的解析式，即得M（1，-m+4），同理求得直线BQ的解析式为y=（-m- ）x+ 2 m+2，即得N（1， m+），分别表示出EM=- m+4，EN= m+，再求和即可得出EM+EN的值为定值.
21．（2022·重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线AB交于点A(0，-4)，B(4，0)．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AB下方拋物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在(2)中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
∴ 抛物线的解析式为： ；
（2）解：如图， 设PD交BC于H，
∵ A(0，-4)，B(4，0) ，
∴OA=OB=4，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∵PC∥OB，
∴∠BCP=∠OBC=45°，
∴∠BCP=∠PHC=45°，
∴PC=PH，
设直线AB的解析式为y= kx+b(k≠0)，
则，
∴y=x-4，
设 ，
∴，
∴PC+PD=PH+PD=t-4-(t2-t-4)+(-t2+t+4)
=-t2+3t+4
=-(t-)2+，
∴ 时， 取得最大值 ，此时 ；
（3）解：由题意得：新抛物线解析式为 ， ，
设 ，
①当EF为对角线，
∴
解得 此时，
∴；
②当EM为对角线，
则--4=n，
解得 此时，
∴；
③当EN为对角线，
则 -+n=-4，
解得此时，
；
综上所述，N的坐标为：，，.
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
(2)设PD交BC于H，得出PC=PH，求出直线AB的解析式，设 ， 则 ， 再用含t的代数式表示出PC+PD，然后根据二次函数的性质求出最大值即可；
(3)根据平移的性质求出平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设 ，分三种情况讨论：即①当EF为对角线时，②当EM为对角线时，③当EN为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算，即可解答.
22．（2022·诸城模拟）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，抛物线经过，，三点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）求抛物线的解析式；
（3）绕平面内一点顺时针旋转得到，即点，，的对应点分别为，，，若恰好两个顶点落在抛物线上，请直接写出的坐标．
【答案】（1）证明：四边形AOCD是矩形，理由如下：
∵，，，
∴CD//y轴，AD//x轴，
∴CD∥OA，AD∥OC，
∴四边形AOCD是平行四边形，
又∵点A在y轴上，点C在x轴上，
∴∠AOC= 90°，
∴四边形AOCD是矩形
（2）解：设抛物线的解析式为，
把，，代入得：
，
解得：，
即抛物线的解析式为：
（3）解：点的坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的判定；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(3)
∵，，，
∴AD = 1，CD =，
由（1）得，四边形AOCD是矩形，
∴∠ADC = 90°，由旋转可知：，
∴，，
∴ΔA1C1D1恰好两个顶点落在抛物线上，
∴分三种情况讨论：
①当点A1，C1落在抛物线上时，A1D1//y轴，C1D1//z轴，如图2，
设
则，
∴，即，
∴
，
即
∵
∴
整理得：，
①+②得：，
解得：，
当时，
，
∴；
②当点D1落在抛物线上时，点A1不可能落在抛物线上，
如图3，
③当点C1，D1落在抛物线上时，A1D1//y轴，C1D1//z轴，
如图4，
此时C1、D1关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴设则：，
∴，
，
又∵，
∴，
解得：，
∵A1D1 = 1，
∴，
把代入得：
，
解得：，
∴，
综上所述，若△A1C1D1恰好两个顶点落在抛物线上，此时A1的坐标为或
【分析】（1）先证明四边形AOCD是平行四边形，再结合∠AOC= 90°，可得四边形AOCD是矩形；
（2）将点A、B、D的坐标代入求出a、b、c的值即可；
（3）分三种情况讨论：①当点A1，C1落在抛物线上时，A1D1//y轴，C1D1//z轴，②当点D1落在抛物线上时，点A1不可能落在抛物线上，③当点C1，D1落在抛物线上时，A1D1//y轴，C1D1//z轴，再分别求解即可。
23．（2022·运城模拟）如图，已知抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作直线轴，交直线BC于点D，交x轴于点F，以PD为斜边，在PD的右侧作等腰直角．
（1）求抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式；
（2）设点P的横坐标为m（），在点P运动的过程中，当等腰直角的面积为9时，请求出m的值；
（3）连接AC，该抛物线上是否存在一点M，使，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将，分别代入中，
得 解得，
∴该抛物线的表达式为；
直线的表达式为：；
（2）解：解法一：依题得，，
∴，
过点F作于N，
∵是等腰直角三角形，PD为斜边，
∴
∴，
∴，
∴ ，
∴
解得，，
又∵
∴当或6时，的面积为9；
解法二：依题得，，
∴，
在中，
当时，，
∴ ．
∴，
又∵ ．
∴ ，
∴为等腰直角三角形，
由勾股定理得，
∴，．
∴即 ．
∴，
∴，
解得，，
又∵ ，
∴当或6时，的面积为9；
解法三：解：依题得，，
∴，
过点F作于N，
∵是等腰直角三角形，PD为斜边，
∴，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴，
∴（取正），
∴，
解得，，
又∵，
∴当或6时，的面积为9；
（3）解：存在．点M的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】(1)解：将，分别代入中，
得 解得，
∴该抛物线的表达式为，
当，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的表达式为：；
(3)解：存在，理由如下：
由（2）得为等腰直角三角形，
∴
①如图，当点在的上方时，设与与轴交于一点，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的函数式为，
则，
解得，
∴，
则，
解得或（舍去），
∴此时点的坐标为；
②如图，当点在的下方时，
过作轴的垂线，过作轴的垂线，两条垂线交于一点，作，交抛物线与点，
由（2）得为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∵
∴，
又∵，
∵，
∴四边形正方形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的函数式为，
∴，
解得，
∴，
则，
解得或（舍去）；
综上所述，点M的坐标为或．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出C点坐标，然后利用待定系数法求直线BC的表达式即可；
（2）设出，，然后根据两点之间的距离公式可得PD的长，再根据等腰直角三角形的性质列出△PDF的面积表达式，结合面积为9建立方程求解，即可解决问题；
（3）分点M在BC的上方和点M在BC的下方两种情况讨论，根据题意画出图形，构造三角形全等，求出直线CM上的一点坐标，则可利用待定系数法求出直线CM的解析式，最后和抛物线的解析式联立求解，即可求出点M的坐标。
24．（2022·和平模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线经过点A、点B．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点的坐标；
（2）若在第三象限的抛物线上有一动点M，当点M到直线AB的距离最大时，求点M的坐标；
（3）点C，D分别为线段AO，线段AB上的点，且，连接CD．将线段CD绕点D顺时针旋转90度，点C旋转后的对应点为点E，连接OE．当线段OE的长最小时，请直接写出直线DE的函数表达式 ．
【答案】（1）解：由题意知，当时，，当时，
∴，
将，代入中得，，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
∵，
∴顶点的坐标为．
（2）解：如图1，过M作轴交直线于N
设直线的解析式为，则
解得
∴直线的解析式为
设，则
当时，点M到直线AB的距离最大，此时．
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(3)如图2，作轴交于F，作轴，垂足为G，作轴，垂足为H，作于M交y轴于N，连接，
由题意知，，，，，，
∴四边形、、是矩形
∴，，
∵
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴
在和中
∵
∴
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴四边形是矩形
∴，
∴三点共线
∴
∴
设，，则，，，
∴
在中，由勾股定理得
∵
∴当时，最小，最小
∴此时，
设直线的函数表达式为，
将，代入得，
解得
∴的函数表达式为
故答案为：．
【分析】（1）求出点A、B的坐标，将其代入即可求解；
（2）过M作轴交直线于N，设，则，则，当时，点M到直线AB的距离最大，得出此时点M的坐标；
（3）由题意得出四边形、、是矩形，证出，得出，证出四边形是矩形，推出三点共线，设，，则，，，，得出，在中，由勾股定理得，当时，最小，最小，即可得出答案。
25．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A （1，0）和点B （－3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）如图1，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接OP交BC于点D，当S△CPD∶S△BPD＝1∶2时，请求出点D的坐标；
（4）如图3，点E的坐标为（0，－1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标．
【答案】（1）y＝ x2 2x＋3；（ 1，4）
（2）解：不存在，理由：
如图1，连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
令二次函数x=0，解得y=3
∴C（0，3）
设直线BC的解析式为：y＝kx＋b
把C（0，3），B （-3，0）代入得
解得
∴直线BC的表达式为：y＝x＋3，
设点P（x， x2 2x＋3），点H（x，x＋3），
则S四边形BOCP＝S△OBC＋S△PBC＝×3×3＋（ x2 2x＋3 x 3）×3＝8，
整理得：3x2＋9x＋7＝0，
解得：△＜0，故方程无解，
则不存在满足条件的点P．
（3）解：∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∴BC=
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴BD＝BC＝×3＝2，
∴yD＝BDsin∠CBO=2×＝2，代入直线BC得2＝x＋3，
解得x=-1
∴D（ 1，2）；
（4）解：如图2，设直线PE交x轴于点H，
∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
∴∠OHE＝45°，
∴OH＝OE＝1，
∴H（-1，0），
设直线HE的表达式为：y＝px+q
把H（-1，0），E（0，-1）代入得
解得
∴直线HE的表达式为：y＝ x 1，
联立
解得：x＝（舍去正值），
故点P（，）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x 1）（x＋3）＝a（x2＋2x 3）=ax2＋bx＋3，
即： 3a＝3，解得：a＝ 1，
故抛物线的表达式为：y＝ x2 2x＋3= （x+1）2＋4，
∴顶点坐标为（ 1，4）
故答案为y＝ x2 2x＋3；（ 1，4）；
【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x 1）（x＋3）＝a（x2＋2x 3），即可求解；
（2）利用S四边形BOCP＝S△OBC＋S△PBC＝8，即可求解；
（3）由S△CPD：S△BPD＝1：2，得出BD＝BC＝×3＝2，即可求解；
（4）由∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解。
26．（2022·阳泉模拟）综合与探究
如图，已知抛物线与x轴负半轴交于点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D，直线y＝x＋b与抛物线交于A，F两点，过点D作DE∥y轴交直线AF于点E．
（1）求抛物线和直线AF的解析式；
（2）在直线AF上方的抛物线上有一点P，使，求点P的坐标；
（3）若点M为抛物线上一动点，试探究在直线AF上是否存在一点N，使得以D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将和代入，
得，
解得，
∴抛物线解析式为，
将代入y＝x＋b，得：－1＋b＝0，
解得b＝1，
∴直线AF的解析式为y＝x＋1
（2）解：，
∴，
对于直线y＝x＋1，令x＝1，则y＝2，故，
∴DE＝4－2＝2．
过点P作x轴的垂线，交AF于点H，过点P作PG⊥AF于点G，过点P作PK⊥DE于点K，连接PA和PD，如图所示：
设，则，
∴，
对于直线y＝x＋1，令x＝0，则y＝1，
由交点得出∠FAB＝45°，
∴∠PHG＝45°，即△PHG为等腰直角三角形，
故有，
延长DE交x轴于点Q，则，
∴AQ＝2，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由，
得，
解得，（不合题意，舍去），，（不合题意，舍去），
将代入，
得，则得点P的坐标为；
将代入，
得，则得点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或
（3）解：存在，，，，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】(3)解：在直线上任选一点，连接构成，过三个顶点分别作对边平行线交于，如图所示：
，直线AF的解析式为y＝x＋1，
，
设，
：在中，，则根据点的平移得，
点M为抛物线上一点，抛物线解析式为，
，
解得或 ，
则点N的坐标是或；
：在中，，则根据点的平移得，
点M为抛物线上一点，抛物线解析式为，
，
解得或 ，
则点N的坐标是（与点重合，舍弃）或；
：在中，，则根据点的平移得，
点M为抛物线上一点，抛物线解析式为，
，
解得或 ，
则点N的坐标是（与点重合，舍弃）或；
综上所述，直线AC上是存在点N，使得以D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标是：，，，．
【分析】（1）将点A、C的坐标代入求出a、c的值即可得到二次函数解析式，再将点A的坐标代入y＝x＋b，求出b的值即可得到一次函数解析式；
（2）过点P作x轴的垂线，交AF于点H，过点P作PG⊥AF于点G，过点P作PK⊥DE于点K，连接PA和PD，先求出，再结合可得，求出m的值，最后将m的值分别代入可得点P的坐标；
（3）在直线上任选一点，连接构成，过三个顶点分别作对边平行线交于，再利用平行四边形的性质分别列出方程求解即可。
27．（2022·岚山模拟）已知抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在上方的抛物线上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交于点D，过点P作的垂线，垂足为Q，若，求m的值；
（3）如图2，将直线沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线于点D，是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：由（1）可得，
∴当时，得，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则，，
在中，
，
又，
∵≌，
∴，
即，
解得：或（舍去），
故m的值为．
（3）存在，的取值为或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(3)由（2）可得直线的解析式为，向下平移5个单位得
当时，，
∴，
当时，
∴，
由题意得，
∵，，
∴，
∴，
要使是等腰三角形，
当时，有
解得：或，
当时，有
解得：（舍去）或（舍去），
当时，有
解得：，
综上所述：m的取值为或或时，是等腰三角形．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入求出a、b的值即可；
（2）先求出直线BC的解析式，再设点P的坐标为，则，，再利用PD=BD可得，最后求出m的值即可；
（3）先求出MD和BD的长，分三种情况：当时，有；当时，有；当时，有，再分别求解即可。
28．（2022·新会模拟）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点．
（1）求的值；
（2）在抛物线对称轴上找点，使是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标；（提醒满足条件的点可能不只一个）
（3）点是线段上一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，与轴相交于点，连接、、，当四边形的面积最大时，请你说明四边形的形状．
【答案】（1）解：∵对称轴是直线，
∴，
解得：
（2）解：由，令，得，
，
，
由勾股定理，得，
当时，，，
当时，点是的中点，
∴，
综上所述：是以为腰的等腰三角形，符合条件的点的坐标是：，，
（3）解：当四边形的面积最大时，四边形是平行四边形，理由如下，
由抛物线，
与轴的两个交点坐标是：，，
与轴的交点坐标是：，
设直线的解析式为，把、坐标代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
点在抛物线上，设的坐标为，
点在上，点坐标可表示为：，
，
∵，
，
，
，
当时，四边形的面积最大，
此时，，
，，
∵，，
∴四边形是平行四边形.
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）根据轴对称公式可得，再求出m的值即可；
（2）先利用勾股定理求出CD的长，再根据等腰三角形的性质分两种情况和，最后分别求解即可；
（3）先求出直线BC的解析式，再根据可得，再利用二次函数的性质可得当时，四边形的面积最大，此时，，再根据，，可得四边形是平行四边形。
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