人教版九年级上对接中考知识点复习专项计划——二次函数的应用之几何问题

人教版九年级上对接中考知识点复习专项计划——二次函数的应用之几何问题
一、综合题
1．（2021九上·彭水期末）如图，二次函数 的图象与 轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数 的图象经过点B和二次函数图象上另一点A. 其中点A的坐标为（4 ，3）.
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）若抛物线上的点P在第四象限内，过点P作 轴的垂线PQ，交直线AB于点Q，求线段PQ的最大值.
2．（2020九上·温州月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-2，0）、（0，-4），点B在x轴上，已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=2，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长.
（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标.
3．（2020九下·北碚月考）如图，一个二次函数的图象经过点A（0，1），它的顶点为B（1，3）.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）过点A作AC⊥AB交抛物线于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，当△APC面积最大时，求点P的坐标和△APC的面积最大值.
4．（2020·淮阴模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+4与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(﹣2，0)，B点坐标为(8，0).
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，连接CM、BM，求四边形COBM的面积.
5．（2019九上·綦江月考）如图是二次函数y＝x2＋bx＋c的图象，其顶点坐标为M(1，－4).
（1）求出图象与x轴的交点A、B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB＝ S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
6．（2018九上·安陆月考）如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求直线OA和二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，
①当PC的长最大时，求点P的坐标；
②当S△PCO=S△CDO时，求点P的坐标．
7．（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2021九上·槐荫期末）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（－4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接PA，PC，求的最大值；
（3）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．
9．（2021九上·北仑期中）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且交y轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与 B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值及△BNC的面积最大值；若不存在，说明理由．
10．（2020·宜宾）如图，已知二次函数图象的顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F(0，1)作x轴的平行线交二次函数的图象于M，N两点
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当 时等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和和点N，且与直线 相切，若存在，求出点E的坐标，并求 的半径；若不存在，说明理由．
11．（2021九上·柯桥月考）如图，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（-1，0）．
（1）求B、C两点坐标；
（2）求该二次函数的关系式；
（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
（4）若抛物线的对称轴与x轴的交点为D，则在抛物线在对称轴上是否存在在P，使三角形PCD是以CD为腰在等腰三角形？如果存在，直接写出点P在坐标；如果不存在，请说明理由．
12．（2021·花溪模拟）二次函数 的图象，与 轴交于原点和点 ，顶点 的坐标为 .
（1）求二次函数的表达式；
（2）大家知道二次函数的图象是一条抛物线，过 两点可以画无数条抛物线，设顶点为 ，过点 向 轴、 轴作垂线，垂足为点 .求当所得的四边形 为正方形时的二次函数表达式；
（3） 点在（1）中求出的二次函数图象上，且 点的横坐标为1， 点是坐标平面上一点，点 在 轴上，是否存在以 四点为顶点的四边形是正方形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
13．（2021九下·东坡开学考）已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求使△ADC面积最大时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请直接写出点N的坐标
14．（2021九下·南宁开学考）已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（－1，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），如图.
（1）求二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
15．（2021·铁岭模拟）如图，已知二次函数 的图象分别交 轴于点 ， ，交 轴于点 ，抛物线的顶点为 ，其中点 ， ， ．
（1）求抛物线的解析式并直接写出抛物线的对称轴；
（2）在直线 的上方抛物线上有一点 ，且满足 ，请求出点 的坐标；
（3）点 为对称轴上一点，点 为抛物线上一点，是否存在点 ， ，使以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点 的坐标，若不存在请说明理由．
16．（2021九上·长寿期末）如图，对称轴为直线 的二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B点的坐标为(1，0).
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在直线 上找一点P，使 PBC的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）若第二象限的且横坐标为t的点Q在此二次函数的图象上，则当t为何值时，四边形AQCB的面积最大？最大面积是多少？
17．（2020·雅安）已知二次函数 的图象与x轴交于 两点，与y轴交于点 ，
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线 的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．
18．（2020九上·保山月考）已知：如图，二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，其中 点坐标为 ，点 ，另抛物线经过点 ， 为它的顶点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积 .
（3）是否存在在抛物线上的点 使得 的面积为15，如果存在求出 点的坐标，若不存在请说明理由.
19．（2020·上海模拟）二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴交于点B(-3，0)，与y轴交于点C(0，-3)。
（1）求二次函数解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，与x轴的另一个交点为A，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD的两个角的和的度数。
20．（2020·临潭模拟）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C
（1）求此二次函数解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值.
21．（2020·磴口模拟）如图，直线y=- x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A(-1，0)．
（1）求B，C两点的坐标．
（2）求该二次函数的解析式．
（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形 如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大 求出四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标．
22．（2020九上·随县月考）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点（－1，4），且与直线y＝－ x＋1相交于A，B两点，A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（－3，0）.
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，四边形BCMN是平行四边形？并求出满足条件的N点的坐标.
23．（2021·兴化模拟）如图，已知二次函数 （ ）的图象与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，横坐标分别为 ， （ ）的 、 两点在线段 上（不与 、 重合），过 、 两点作 轴的垂线分别交抛物线于点 、 ，连接 .
（1）求线段 的值.
（2）若四边形 是平行四边形；
①点 、 横坐标之和是否为定值，若是定值，请求出；若不是，请说明理由.
②当 时，平行四边形 能否为菱形；若能，求出菱形的周长：若不能，请说明理由.
24．（2020·阜新）如图，二次函数 的图象交x轴于点 ， ，交y轴于点C.点 是x轴上的一动点， 轴，交直线 于点M，交抛物线于点N.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段 上运动，如图1.求线段 的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形.若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
25．（2020·莘县模拟）如图，二次函数y=ax +bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）。
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2 ？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由。
26．（2020九上·兰州期末）如图，二次函数y＝﹣2x2+x+m的图象与x轴的一个交点为A（1，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C.
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上是否有一点D（x，y）使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标.
27．（2019九上·江都期末）如图①，二次函数 的图像与 轴交于 、 两点（点 在 的左侧），顶点为 ，连接 并延长交 轴于点 ，若 .
（1）求二次函数的表达式；
（2）在 轴上方有一点 ， ，且 ，连接 并延长交抛物线于点 ，求点 的坐标；
（3）如图②，折叠△ ，使点 落在线段 上的点 处，折痕为 .若△ 有一条边与 轴垂直，直接写出此时点 的坐标.
28．（2019九上·乌鲁木齐期末）已知二次函数 的图象过点 （3，0）、 （－1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，二次函数的图象与 轴交于点 ，二次函数图象的对称轴与直线 交于点 ，求 点的坐标；
（3）在第一象限内的抛物线上有一点 ，当 的面积最大时，求点 的坐标．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：直线 经过A（4，3），
∴
∴ ，
∴直线的解析式为 ，
又∵直线 与x轴交于B点，
令 即 ，解得
∴B（-2，0）
抛物线 经过点A（4，3）、B（-2，0），则
∴抛物线为
（2）设 ，则
∴
∵
∴当 时，PQ取得最大值 .
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意把点A的坐标代入直线解析式可得关于k的方程，解方程可求解；根据直线与x轴相较于点B可令直线解析式中的y=0可得关于x的方程，解方程可求得点B的坐标，再把点A、B的坐标代入抛物线的解析式可得关于b、c的方程组，解方程组可求解；
（2）由题意可设点P（x，x2-x-3）、Q（x，x+1），根据两点间的距离公式可将PQ用含x的代数式表示出来，并配成顶点式，然后根据二次函数的性质可求解.
2．【答案】（1）解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0,a,b，c为常数)由抛物线的
对称性知B点坐标为(6,0)，依题意得:
解得
:所求二次函数的解析式为
（2）解：∵P点的横坐标为m,P点的纵坐标为 ,设直线BC的解析式为y=kx十b(k≠0,k，b为常数),依题意得6k十b=0,b=—4,k= ,故直线BC的解析式为 ，
∴F点的坐标为 ∴
（3）解：∵APBC的面积
当 m=3时.△PBC的最大面积为9，把x=3代入
得y=-5,
∴点Р的坐标为(3，-5)
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用二次函数的对称性可得到点B的坐标，设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A，C，B的坐标代入函数解析式，求出方程组的解，由此可得函数解析式。
（2）利用函数解析式，可以用含m的代数式表示出点P的坐标；再利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，利用一次函数解析式可得到点F的坐标，然后求出PF的长。
（3）由题意可知S△PBC=PF×BO，将PF，BO的长代入可得到y与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，当 m=3时，△PBC的最大面积为9，将x=3代入一次函数解析式，求出y的值，即可得到点P的坐标。
3．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为B（1，3）
∴设这个二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+3
∵二次函数的图象经过点A（0，1）
∴a（0﹣1）2+3=1
解得：a＝﹣2
∴二次函数的表达式为y＝-2（x﹣1）2+3，即y＝﹣2x2+4x+1
故答案为：y＝﹣2x2+4x+1
（2）解：直线AB与x轴交于点D，直线AC与x轴交于点E，如图所示
∵A（0，1），B（1，3）
设直线AB的解析式为y=kx+b
∴
∴y=2x+1
令2x+1=0
解得x=
∴OD=
，
∵AC⊥AB
∴∠DAE=90°
∴
∴
解得OE=2
∴E（2，0）
设直线AC的解析式为y＝mx+n
∵直线AC经过A点，E点
∴
∴
∴直线AC的解析式为y＝ x+1
令 x+1=﹣2x2+4x+1
解得： 或
∴C（ ， ）
过P作PQ∥y轴交AC于Q
设P（t，﹣2t2+4t+1），则Q（t， t+1）
∴PQ＝（﹣2t2+4t+1）﹣（ t+1）＝﹣2t2+ t
∴S△APC＝ PQ|xC﹣xA|＝ （﹣2t2+ t）（ ﹣0）＝﹣ （t﹣ ）2+
∴当t＝ 时，S△APC有最大值 ，此时，P（ ， ）
故答案为：S△APC最大值为 ，此时P（ ， ）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意设这个二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+3，将A（0，1）代入解方程即可求解；（2）直线AB与x轴交于点D，直线AC与x轴交于点E，先求得直线AC的解析式，即可求得抛物线和直线AC的交点C的坐标，过P作PQ∥y轴交AC于Q，根据抛物线解析式和直线AC的解析式设出P，Q点坐标，横坐标用t表示，即可表示出PQ，根据S△APC＝ PQ|xC﹣xA|，得出关于t的二次函数，化为顶点式，即可得到当t为何值时，S△APC有最大值.
4．【答案】（1）解：∵二次函数 与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（8，0），
∴ ，得 ，
即经过A，B，C三点的抛物线的解析式是 ；
（2）解：∵ ，
∴点C的坐标为（0，4），点M的坐标为（3， ），
∴四边形COBM的面积是： ，
即四边形COBM的面积是31.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可以求得经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式，可以得到点C和点M的坐标，然后利用割补法可得四边形COBM的面积.
5．【答案】（1）解：由题意得， ，
令 ,则 ，
解得 ，
故点A（-1,0），B（3,0）
（2）解：由已知得，S△MAB= ，
∴S△PAB= S△MAB=10，
∴ （舍），
令 ,则 ，
解得 ，
故点P（-2,5）或（4,5）.
故答案为：(1)A(-1,0)，B(3,0)；(2)(-2,5)或(4,5).
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件把顶点M的坐标代入顶点式y=a(x-h)2+k可得解析式，令y=0可得关于x的一元二次方程，解方程可求得抛物线与x轴的两个交点坐标；
（2）由题意和图形可得 S△MAB=AB·，再根据已知 S△PAB=S△MAB可求得的值，然后令y= 可的关于x的一元二次方程，解方程可求解.
6．【答案】（1）解：∵抛物线经过原点
∴设函数解析式为：y=ax2+bx
∵二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）
解之：
∴此函数解析式为：y=-x2+4x
设直线OA的解析式为：y=kx
∵A（3，3）
∴3k=3
解之：k=1
∴直线OA的函数解析式为：y=x.
（2）解： 设 把A点坐标 代入得： 故函数的解析式为 设直线OA的解析式为 把 入得：
∴直线OA的解析式为
轴，P在 上，C在 上， ①∴当 时，PC的长最大，②当 时，即 当 时，则有 解得 （舍去），
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由A、B的坐标利用待定系数法可求得直线OA和二次函数解析式。
（2）①用m可表示出P点坐标，则可表示出PC的长，由二次函数的性质可求得当PC的长最大时m的值，则可求得P点坐标；②由条件可得到PC=CD，则可得到关于m的方程，可求得m的值，则可求得P点坐标。
7．【答案】（1）解：∵抛物线过点，∴，解得，∴抛物线的表达式为．
（2）解：设直线AB的解析式为：，∵直线AB经过，，∴，∴，∴直线AB的表达式为．
∵轴，可设，，其中．当M在N点上方时，．解得，（舍去）．∴．当M在N点下方时， ．解得，．∴，．综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，．
（3）解：解：(3)存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，．理由如下：①如图，若AC是四边形的边．
当时，∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点．过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，，∵，，∴，，．∵，∴．∴．∴点与点D重合．当时，四边形是矩形．∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．此时直线的解析式为．∵直线与平行且过点，∴直线的解析式为．∵点是直线与拋物线的交点，∴．解得，（舍去）．∴．当时，四边形是矩形．∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．②如图，若AC是四边形的对角线，
当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K．可得，．∴．∴．∴．∵点P不与点A，C重合，∴和．∴．∴．∴如图，满足条件的点P有两个．即，．
当时，四边形是矩形．∵向左平移个单位，向下平移个单位得到．∴向左平移个单位，向下平移个单位得到．当时，四边形是矩形．∵向右平移个单位，向上平移个单位得到．∴向右平移个单位，向上平移个单位得到．综上，满足条件的点Q的坐标为或或或
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A，O的坐标代入函数解析式，可求出b，c的长，可得到二次函数解析式.
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A，B的坐标代入，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的长，可得到直线AB的函数解析式；利用MN∥y轴，根据两函数解析式设，，其中；分情况讨论：当M在N点上方时，利用MN=2，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点M的坐标；当点M在点的下方时，利用MN=2，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点M的坐标；综上所述可得到符合题意的点M的坐标.
（3）分情况讨论：①如图，若AC是四边形的边，将x=2代入函数解析式求出对应的y的值，可得到点R的坐标，过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P1，P2，利用点C，D的坐标求出CD，CR，RD的长；可证得点P1和点D重合，当CP1∥AQ1，CP1=AQ1时，四边形ACP1Q1是矩形，利用点的坐标平移可得到点P1，Q1的坐标，同时可求出直线P1C，直线P2A的函数解析式，将直线P2A和抛物线联立方程组，解方程组，可得到点P2的坐标；当AC∥P2Q2，AC=P2Q2时，四边形ACQ2P2是矩形，将点A向左平移3个单位，向上平移3个单位得到定C的坐标，因此将点P2向3个单位，向上平移3个单位得到点Q2的坐标；②如图，若AC是四边形的对角线，当∠AP3C=90°，过点P3作P3H⊥x轴，过点C作CK⊥P3H，易证△P3CK∽△AP3H，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，利用点P不与点A，C重合，可知t≠1，t≠4，可得到符合题意的t的值，即可得到点P的坐标；当点CP3∥AQ3，CP3=AQ3使四边形AP3CQ3是矩形，利用点的坐标平移，可得到点Q的坐标；当P4C∥AQ4，P4C=AQ4，四边形AP4CQ4是矩形，利用点的坐标平移，可得到点Q的坐标；综上所述可得到符合题意的点Q的坐标.
8．【答案】（1）解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x＋4
（2）解：将x=0代入y=-x2-3x+4得，y=4，
∴点C（0，4），
设直线AC所在直线的表达式为y=k1x+b1，则
，解得：，
∴直线AC的表达式为y=x+4，
如图，设PD与线段AC交于点N，
设P（t，-t2-3t+4），
∵PD⊥x轴交AC于点N，
∴N（t，t+4），
∴PN=yP-yN=-t2-4t，
过点C作CH⊥PD，则CH=-t，AD=t-4，
∴S△APC=S△APN+S△PCN=PN AD+PN CH
=PN (AD+CH)
= ( t2 4t) ( t+t+4)
=-2t2-8t
=-2(t+2)2+8，
∵a=-2＜0，
∴当t=-2时，S△APC有最大值，△PAC面积的最大值为8．
（3）解：设BP与y轴交于点E，
∵PD∥y轴，
∴∠DPB=∠OEB，
∵∠DPB=2∠BCO，
∴∠OEB=2∠BCO，
∴∠ECB=∠EBC，
∴BE=CE，
∵C（0，4），B（1，0），
∴OC=4，OB=1，
设OE=a，则CE=BE=4-a，
在Rt△BOE中，BE2=OE2+OB2，
∴（4-a）2=a2+12，
解得：a=，
∴E（0，），
设BP所在直线表达式为y=kx+b（k≠0），
∴，
解得：，
∴直线BP的表达式为y=-x+．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出二次函数的表达式；
(2)由图可知 S△APC=S△APN+S△PCN ， 设P（t，-t2-3t+4）， 过点C作CH⊥PD，则CH=-t，AD=t-4， 则可求出S△APC 的面积表达式，再求出S△APC 的最大值；
（3）可根据题目已知条件，求出点B、点E的坐标，利用待定系数法确定直线BP的表达式．
9．【答案】（1）解： 由题意得
解之：
∴y=-x2+2x+3，
（2）解：当x=0时y=3
∴点C（0，3）
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴
解之：
∴y=-x+3；
∵点M的横坐标为m，0＜m＜3，
∴点M（m，-m2+2m+3），点N（m，-m+3）
∵M是线段BC上一点，
∴MN=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m（0＜m＜3）.
（3）解： 如图，
∵MN∥y轴，
∴.
∵a＜0，抛物线的开口向下，
∴当m=时△BNC的面积最大，最大值为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数解析式，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到函数解析式.
（2）由x=0求出y的值，可得到点C的坐标；利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，利用已知可得到点M（m，-m2+2m+3），点N（m，-m+3），可得到MN与x之间的函数解析式.
（3）利用，代入可得到S与x之间的函数解析式，再利用二次函数的性质，可求出结果.
10．【答案】（1）∵二次函数的顶点是原点
∴设二次函数的解析式为 ，
将（2，1）代入 ，
解得
所以二次函数的解析式为 ；
（2）如图：将y=1代入 ，得 ，解得
是等边三角形
∴点P在y轴上且PM=4
∴
或 ；
（3）假设在二次函数的图象上存在点E满足条件
设点Q是FN的中点，即 Q(1，1)
∴点E在FN的垂直平分线上
∴点E是FN的垂直平分线x=1与 的图像的交点，即
，
∴
∴点E到直线y=-1的距离为
∴在二次函数图象上存在点E，使得以点E为圆心，半径为 的圆，过点F，N且与直线 相切．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等边三角形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由二次函数的顶点是原点，则设二次函数的解析式为 ，然后将（2，1）代入 求得a即可；（2）将y=1代入 解得 ，可确定M、N的坐标，进而确定MN的长度；再根据 是等边三角形确定PM的长，然后解三角形确定PF的长，最后结合F点坐标即可解答；（3）先假设这样的点存在，设点Q是FN的中点，即 Q(1，1)
11．【答案】（1）解：令x=0，则y=2，
∴C（0，2），
令y=0，则x=4，
∴B（4，0）
（2）解：设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，将点A(-1，0 )，B(4，0 )，c(0，2)代入，
得
∴
∴
（3）解： 的对称轴为直线
设E
∴EF⊥x轴，
当t=2时， 的面积最大，最大值为 。
此时E(2，1).
（4）解：P1(1.5，4) ，P2(1.5，2.5) P3(1.5，-2.5)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（4）如图，
∵点C（0，2），点D（，0）
∴
当CD=DP1=2.5时，
∴点P1（1.5，2.5）；
当DC=CP2=2.5时
DP2=2+2=4
∴点P2（1.5，4）；
当CD=DP3=2.5时
点P3（1.5，-2.5）
∴ P的坐标为(1.5，4) 或(1.5，2.5) 或(1.5，-2.5) .
【分析】（1）由x=0求出对应的y的值，可得到点C的坐标，由y=0可求出对应的x的值，可得到点B的坐标.
（2） 设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) ，将点A，B，C的坐标代入函数解析式，建立关于a，b，c的值，即可得到二次函数解析式.
（3）先求出抛物线的对称轴，可得到点D的坐标，利用函数解析式设E ，可表示出点，从而可表示出EF的长，再用含t的代数式表示出四边形CDBF的面积与t之间的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出结果.
（4）利用点C，D的坐标，根据勾股定理可求出CD的长，再分情况讨论：当CD=DP1=2.5时；当DC=CP2=2.5时；当CD=DP3=2.5时；分别求出符合题意的点P的坐标.
12．【答案】（1）解：∵二次函数 的图象的顶点 的坐标为 ，
∴设二次函数 ，
把(0，0)代入上式，得： ，解得：a=-1，
∴二次函数的表达式为：
（2）解：∵抛物线过 两点，
∴对称轴为：直线x=2，可设二次函数解析式为： ，
∴OM=2，
又∵四边形OMQN是正方形，
∴QM=OM=2，
∴Q(2，2)或Q(2，-2)，
∴ 或 ，解得： 或 ，
∴二次函数解析式为： 或
（3）解：由（1）可知二次函数的解析式为： ，
∴当x=1时，y=3，即：G(1，3)，
当GE为为正方形的对角线时，GR1=ER1=3，
此时，R1(1，0) ，
当GE是正方形的边时，GR2=GE= ，
∴R2E= × =6，
∴R2(-2，0)，
∴R的坐标为(1，0)或(-2，0).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设二次函数 ，把(0，0)代入上式求出a值即可；
（2）根据O与E的坐标，可求出对称轴为直线x=2，可设二次函数解析式为 ， 根据正方形的性质得出Q(2，2)或Q(2，-2)， 然后将Q坐标分别代入解析式中求出a值即可；
（3） 分两种情况：①当GE为为正方形的对角线时GR1=ER1=3，②当GE是正方形的边时，GR2=GE
= ，据此分别解答即可.
13．【答案】（1）解：把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+2x+c
则有 ，
解得 ， ∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3
（2）解：如图1中连接AD，CD.∵△DAC的面积最大，
设直线AC解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴ ， 解得， ，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），
则G（x，﹣x﹣3），∵点D在第三象限，
∴DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，
∴S△ACD＝ DG OA＝ （﹣x2﹣3x）×3＝﹣ x2﹣ x＝﹣ （x+ ）2+ ，
∴当x＝﹣ 时，S最大＝ ，点D（﹣ ，﹣ ）
（3）解：满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，点C的坐标为（0，-3）
当OB是平行四边形的边时，
∴OB＝MN＝1，OB∥MN，
∴N（ 2， 3）或N′（0， 3），
当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，
x＝2时，y＝4＋4 3＝5，
∴N″（2，5）．
∴满足条件的点N的坐标为（ 2， 3）或（0， 3）或（2，5）．
【分析】（1）将点B，C的坐标代入函数解析式，可得到关于a，c的方程组，解方程组求出a，c的值，可得到函数解析式.
（2）连接AD，CD.设直线AC解析式为：y＝kx+b，将点A，C的坐标代入函数解析式，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一此函数解析式；过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则G（x，﹣x﹣3），利用点D在第三象限，分别表示出DG，利用三角形的面积公式建立S S△ACD与x的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出点D的坐标.
（3）根据题意画出图形，利用抛物线的解析式可知抛物线的对称轴为直线x=-1，点C的坐标为（0，-3）；分情况讨论：当OB是平行四边形的边时，利用平行四边形的性质可得到OB∥MN，OB＝MN＝1，可得到符合题意的点N的坐标；当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，即可得到点N″的纵坐标，可得到点N″的坐标.
14．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为D（﹣1，4），
∴设函数表达式为 ，
∵图象过点C（0，3），
∴当x=0时，y=3，
∴ ，
解得， ，
∴函数表达式为 ，
即
（2）解：由 ，
，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），
∵A、B关于对称轴x=﹣1对称，点M在对称轴x=﹣1上，
如图1，连结AC，
∴MA=MB，
∴△BCM的周长=BC+CM+BM=BC+CM+AM，
当A、M、C在同一直线上时，△BCM的周长最小，
设直线AC的函数解析式为 ，
则 ，
解得， ，
∴直线AC的函数解析式为 ，
∵点M的横坐标为 ，
所以点M的坐标为（﹣1，2）；
（3）解：如图2，
当点P与点D重合，点Q与点P关于x轴对称时，四边形AQBP的对角线互相平分，
∴四边形AQBP是平行四边形，此时点P的坐标为（﹣1，4）；
当 ∥AB， =AB=4时，四边形A ′B是平行四边形，
此时 点的横坐标为﹣3﹣2=﹣5，
∴ 的纵坐标为： ，
∴点 的坐标为（﹣5，﹣12）；
根据抛物线的对称性，点 的坐标为（3，﹣12）；
综上所述：以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣5，﹣12）或（3，﹣12）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的顶点式，再将点C的坐标代入即可算出a的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）根据轴对称最短路径问题得到点M的位置，用待定系数法求出直线AC的函数解析式，代入计算即可求解；
（3）分点P与点D重合，点Q与点P关于x轴对称时，四边形AQBP的对角线互相平分、当P'Q'∥AB，P'Q'=AB=4时，四边形A P'Q'B是平行四边形及根据抛物线的对称性， 根据二次函数图象上点的坐标特征可求解．
15．【答案】（1）解：由 ， 两点可得抛物线的对称轴为 ，
将 ， ， 分别代入二次函数 得：
，
解得
∴抛物线的解析式为 ，对称轴为 ；
（2）解：如图，在 轴的负半轴截取 ，即点 ，直线 交抛物线于点 ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得：
，
解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
根据题意可得方程组：
解得： （舍去） ，
∴点 ；
（3）解：存在点 ， ．
设 ， ，
若以AB为边，
①平行四边形是ABMN，则AM中点为 ，BN中点为 ，
，
解得 ，
∴ ；
②平行四边形是AMNB，则BM中点为 ，AN中点为 ，
，
解得 ，
∴ ；
若以AB为对角线，平行四边形是AMBN，
则AB中点为 ，MN中点为 ，
，
解得 ，
∴ ；
综上所述，若点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形ABMN，则点 的坐标为 ；平行四边形ANBM，则点 的坐标为 ；平行四边形AMBN，则点 的坐标为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用点A，C的坐标可求出抛物线的对称轴，再将点A，B，C的坐标分别代入抛物线的解析式建立关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到抛物线的函数解析式.
（2）在x轴的负半轴截取OA＇=OA，可得到点A＇的坐标，直线A＇B交抛物线于点E，可得到∠OA＇B=∠OAB，再求出直线A＇B的函数解析式，将直线A＇B的解析式和抛物线联立方程组，解方程组求出点E的坐标.
（3）利用函数解析式设点 ， ，利用平行四边形的判定定理分情况讨论：若以AB为边，① 平行四边形是ABMN ，可得到AM和BN的中点坐标，由此可建立关于n，d的方程组，解方程组求出n，d的值，可得到点N的坐标；②平行四边形是AMNB，可得到BM中点AN中点坐标，由此可建立关于n，d的方程组，解方程组求出n，d的值，可得到点N的坐标；若以AB为对角线，平行四边形是AMBN，由此可建立关于n，d的方程组，解方程组求出n，d的值，可得到点N的坐标；综上所述可得到符合题意的点N的坐标.
16．【答案】（1）∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线 ，
∴ .
∴ =-2.
∵点B（1，0）在二次函数 的图象上，
∴ .
∴ .
∴二次函数的解析式为 .
（2）由（1）知二次函数的解析式为 .令 ，得 .
∴点C的坐标为（0，3）.
由题意，可得点B（1，0）与点A（-3，0）关于直线 对称.
∴要在直线 上找一点P使△PBC的周长最小的问题，也就是要在直线 上找一点P使PC与PA的和最小的问题.
∵在连接AC的线中，线段AC最短.
∴直线AC与直线 的交点就是所要找的点P（如图1）
设经过A、C两点的直线为直线 ，
则有
∴
∴ .
由 得点Ｐ的坐标为（-1，2）.
（3）如图2.
过点Q作 轴，垂足为 ，
直线AC与直线QF交于点E.
则 .
∵ ，
.
又∵点Q的横坐标为t.
∴ 点Q和点E的纵坐标分别为 和 .
∴ .
∴ .
由题意知： .
∴当 时， 有最大值，此时 的最大值为 .
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由图可知抛物线的对称轴x=-=-1求得b的值；再将点B的坐标代入二次函数的解析式，求出待定系数c的值即可；
（2）根据轴对称的性质，先画出点P的位置，再通过求直线AC的关系式求点P的坐标；
（3） 过点Q作QF⊥x轴，垂足为F，由图知S四边形AQCB=S△ABC+S△AQC，于是S四边形AQCB可用含t的代数式表示出来，并将S与t之间的函数关系式配成顶点式，再根据二次函数的性质即可求四边形AQCB面积的最大值．
17．【答案】（1）解：∵二次函数 图像与 轴的交点为B（1，0），与 轴交于点 ，
∴将C代入，得：c=-3，则 ，
∴方程 对应的两根之积为-3，
又B（1，0），
可得A（-3，0），将A，B两点代入二次函数，得：
，
解得： ，
∴二次函数表达式为： ；
（2）解：当点D到直线 的距离取得最大值时，
∵A（-3，0）， ，
设直线AC的表达式为：y=kx+n，将A和C代入，
，解得： ，
∴直线AC的表达式为y=-x-3，将直线AC向下平移m（m＞0）个单位，得到直线l，
当直线l与二次函数图象只有一个交点时，该交点为点D，此时点D到直线AC的距离最大，
此时直线l的表达式为y=-x-3-m，
联立： ，得： ，
令△= ，解得：m= ，
则解方程： ，得x= ，
∴点D的坐标为（ ， ）
（3）解：∵M在抛物线对称轴上，设M坐标为（-1，t），
当OB为平行四边形的边时，
如图1，可知MN和OB平行且相等，
∴点N（-2，t）或（0，t），代入抛物线表达式得：
解得：t=-3，
∴N（-2，-3）或（0，-3）；
当OB为平行四边形对角线时，
线段OB的中点为（ ，0），对角线MN的中点也为（ ，0），
∵M坐标为（-1，t），
可得点N（2，-t），代入抛物线表达式得：
4+4-3=-t，
解得：t=-5，
∴点N的坐标为（2，-5），
综上：以 为顶点的四边形是平行四边形时，点N的坐标为（-2，-3）或（0，-3）或（2，-5）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的判定与性质；二次函数-动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据点C坐标求出c，再利用两根之积求出点A的横坐标，再利用待定系数法求解；（2）根据题意得出当点 到直线 的距离取得最大值时，求出AC表达式，将直线AC向下平移m（m＞0）个单位，得到直线l，当直线l与二次函数图象只有一个交点时，该交点为点D，此时点D到直线AC的距离最大，联立直线l和二次函数表达式，得到方程 ，当方程有两个相同的实数根时，求出m的值，从而得到点D的坐标；（3）分当OB是平行四边形的边和OB是平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质求出点N的坐标即可.
18．【答案】（1）解：∵图象经 ， ， ，
∴ ，解之得 ，
∴ ；
（2）解：如图，过点 作 轴，垂足为点 ，
，
∴点 坐标为 ，
根据 对称轴是直线 ，
∴点 ，
；
（3）解：存在，
设点 为 ，
∵ ，AB=6，
∴ ，
或 ，
解得 ， ， ，
∴共有4个 点， ， ， ， .
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法可求解；
（2）如图，过点M作MD⊥y轴，垂足为D，将（1）中的解析式配成顶点式可得点M的坐标，由MD⊥y轴可知点D与点M的纵坐标相同，则点D的坐标可求解；由点A与点B关于直线x=-对称可求得点B的坐标，然后根据图形的构成得S BCM=S梯形MDOB-S COB-S MDC，结合已知可求解；
（3）由题意可设点P（m，-m2+4m+5），根据S PAB=15可得关于m的一元二次方程，解方程即可求解.
19．【答案】（1）解：y=-x2-4x-3
（2）解：P1(-2，-2)，P2(-2，2)
（3）解：45°
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，求出待定系数的值即可得解；
（2）根据（1）得到的函数解析式，可求出D、C的坐标；易证得△OBC是等腰直角三角形，若过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，根据∠ABE的度数及AB的长即可求出AE、BE、CE的长；连接AC，设抛物线的对称轴与x轴的交点为F，若∠APD=∠ACB，则△AEC与△AFP，利用相似的性质得比例线段，即可求出PF的长，也就求得了P点的坐标；
（3）当Q到直线BC的距离最远时，△QBC的面积最大（因为BC是定长），可过Q作y轴的平行线，交BC于S；根据B、C的坐标，易求出直线BC的解析式，可设出Q点的坐标，根据抛物线和直线BC的解析式，分别表示出Q、S的纵坐标，即可得到关于QS的长以及Q点横坐标的函数关系式，以QS为底，B、C横坐标差的绝对值为高可得到△QBC的面积，由于B、C横坐标差的绝对值为定值，那么QS最长时，△QBC的面积最大，此时Q离BC的距离最远；可根据上面得到的函数的性质求出QS的最大值及对应的Q点横坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求出Q点的坐标．
20．【答案】（1）解：将 、 代入 ，得：
，解得： ，
此二次函数解析式为 .
（2）解： 为直角三角形，理由如下：
，
顶点 的坐标为 .
当 时， ，
点 的坐标为 .
点 的坐标为 ，
，
，
.
，
，
为直角三角形.
（3）解：设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 ，得：
，解得： ，
直线 的解析式为 ，
将直线 向上平移 个单位得到的直线的解析式为 .
联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得： ，
解得： ， ，
点M的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， .
点 的坐标为 ，
， ， .
为直角三角形，
分三种情况考虑：
①当 时，有 ，即 ，
整理，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）；
②当 时，有 ，即 ，
整理，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）；
③当 时，有 ，即 ，
整理，得： .
，
该方程无解（或解均为增解）.
综上所述：当 为直角三角形时， 的值为1或4.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C、D的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD、BD、BC的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD为直角三角形；（3）根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM2、AN2、MN2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t的无理方程，解之即可得出结论.
21．【答案】（1）解：在y=- x+2中，令x=0，可得y=2，令y=0，可得x=4，
即B(4，0)，C(0，2)．
（2）解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
将点A，B，C的坐标代入解析式，得
，
解得
即该二次函数的解析式为y=- x2+ x+2
（3）解：存在．∵y=- x2+ x+2，
∴y=- (x- )2+ ，
∴抛物线的对称轴是直线x= ，∴OD= ．
∵C(0，2)，∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD= ．
∵△PCD是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=DP2=DP3=CD．
如图①所示，作CH⊥对称轴于点H，∴HP1=HD=2，
∴DP1=4．
∴P1( ，4)，P2( )，P3( ，- )．
（4）解：∵B(4，0)，C(0，2)，
∴直线BC的解析式为y=- x+2．
如图②，过点C作CM⊥EF于点M，
设E(a，- a+2)，F(a，- a2+ a+2)，
∴EF=- a2+ a+2-(- a+2)=- a2+2a(0≤a≤4)．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF= BD·OC+ EF·CM+ EF·BN
= ×(4- )×2+ a(- a2+2a)+ (4-a)( - a2+2a)
=-a2+4a+
=-(a-2)2+ ，
∴当a=2时，S四边形CDBF的最大值= ，此时E(2，1)．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）分别令解析式y=- x+2中x=0，y=0，求出点B，点C的坐标；（2）二次函数的解析式为 ，将点A、B、C的坐标代入解析式，求出a，b，c的值，进而求出二次函数的解析式；（3）由（2）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于 ，以点D为圆心，CD为半径作圆交对称轴于 ， ，作CE垂直对称轴于点E，由等腰三角形的性质和勾股定理就可以求出结论；（4）设点E的坐标为 ，就可以表示出F的坐标，由 求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
22．【答案】（1）解：由直线y=- x+1可知A（0，1），B（-3， ），又点（-1，4）经过二次函数，
根据题意得： ，
解得： ，
则二次函数的解析式是： ；
（2）解：设N（x， ），
则M（x，- x+1），P（x，0）.
∴MN=PN-PM
=
=
= ，
则当x=- 时，MN的最大值为
（3）解：连接MC、BN、BM与NC互相平分，
即四边形BCMN是平行四边形，
则MN=BC，
即 ，
整理得：x2+3x+2=0，
解得：x=-1或x=-2.
所以，y=4或4.5，
故当N（-1，4）（-2，4.5）时，BM和NC互相平分.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；
（3）四边形BCMN是平行四边形，则BC=MN，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标.
23．【答案】（1）解：当 时， ，即 ，
解得 或 ，
，
；
（2）解：①由题意得：点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
，
对于二次函数 ，
当 时， ，即 ，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，即 ，
整理得： ，
，
，
解得 ，
即点 、 横坐标之和为定值，这个定值为3；
② 、 两点在线段 上（不与 、 重合），
，
，
，
将 ，即 代入得： ，
由（2）①知， ，
当 时，
则 ，
，
平行四边形 为菱形，
，即 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
，
则菱形的周长为 ，
即平行四边形 能为菱形，菱形的周长为 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）解方程 求出点 的坐标，由此即可得；（2）①先根据点 的横坐标、二次函数的解析式可求出点 的坐标，再利用待定系数法求出直线 的解析式，从而可得点 的坐标，然后根据平行四边形的性质可得 ，由此建立等式化简即可得；②先根据两点之间的距离公式分别求出 的值，再根据菱形的性质可得 ，结合①的结论，进行求解即可得.
24．【答案】（1）解：把 代入 中，得
解得
∴ .
（2）解：设直线 的表达式为 ，把 代入 .
得， 解这个方程组，得
∴ .
∵点 是x轴上的一动点，且 轴.
∴ .
∴
.
∵ ，
∴此函数有最大值.
又∵点P在线段 上运动，且
∴当 时， 有最大值 .
②∵点 是x轴上的一动点，且 轴.
∴ .
∴
由MN∥y轴∥CQ，则MN与CQ必然是菱形的两条边
（i）若CN作为菱形的对角线，则有MN=MC，如图，
∵C（0，-3）
∴MC=
∴
整理得，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴当 时，CQ=MN= ，
∴OQ=-3-( )=
∴Q(0， )；
当m= 时，CQ=MN=- ，
∴OQ=-3-(- )=
∴Q(0， )；
(ii)若CN作为菱形一条边， 此时CN=MN ，即，如图，
则有
解得m=-2，或m=0(舍去)
此时MN=2，即Q（0，-1），
综上所述，点Q的坐标为
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把 代入 中求出b，c的值即可；（2）①由点 得 ，从而得 ，整理，化为顶点式即可得到结论；②考虑特殊情况CQ∥MN，即此时MN与CQ必然作为菱形的两条边，进而进一步可分为两种情况，从而根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可.
25．【答案】（1）设二次函数的解析式为y=a（x-1） +4，把B（3，0）代入得：
0=a（3-1） +4
解得 a=-1
∴二次函数的解析式为y=-（x-1） +4=-x +2x+3；
令x=0，则y=-（0-1） +4=3
∴点D的坐标是（0,3）
设直线BD的解析式y=kx+b，把B（3，0）和D（0,3）代入得
解得
∴直线BD的解析式y=-x+3；
（2）设M（m，-m +2m+3）,则P（m，-m+3）(0＜m＜3)
∴PM=-m +2m+3-（-m+3）=-m +3m=-（m-）2+
∵a=-1＜0
∴当x=时，PM有最大值是。
答：线段PM的最大值是；
（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H。
设Q（x，-x2+2x+3），则G（x，-x+3）
∴QG=|-x2+2x+3-（-x+3）|=|-x2+3x|
在Rt△BOD中，OB=OD=3 ∴∠DBO=45°
∴∠HGQ=∠BGE=45°
∴QH=HG=2
∴QG=
∴|-x2+3x|=4
当-x2+3x=4时，即x2-3x+4=0，△=9-16＜0，方程无实数根；
当-x2+3x=-4时，解得x=-1或x=4，
∴Q（-1，0）或（4，-5），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（-1，0）或（4，-5）．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用顶点式设出抛物线解析式，代入B点坐标，利用待定系数法求出解析式即可；然后利用所求抛物线的解析式求得D点坐标，进而利用待定系数法求得直线BD解析式；
（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．
26．【答案】（1）解：把A（1，0）代入y＝﹣2x2+x+m，得
﹣2×12+1+m＝0，
解得 m＝1；
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣2x2+x+1.
令y＝0，则﹣2x2+x+1＝0，
故x＝ ＝ ，
解得 x1＝﹣ ，x2＝1.
故该抛物线与x轴的交点是（﹣ ，0）和（1，0）.
∵点为A（1，0），
∴另一个交点为B是（﹣ ，0）；
（3）解：∵抛物线解析式为y＝﹣2x2+x+1，
∴C（0，1），
∴OC＝1.
∵S△ABD＝S△ABC，
∴点D与点C的纵坐标的绝对值相等，
∴当y＝1时，﹣2x2+x+1＝1，即x（﹣2x+1）＝0
解得 x＝0或x＝ .
即（0，1）（与点C重合，舍去）和D（ ，1）符合题意.
当y＝﹣1时，﹣2x2+x+1＝﹣1，即2x2﹣x﹣2＝0
解得x＝ .
即点（ ，﹣1）和（ ，﹣1）符合题意.
综上所述，满足条件的点D的坐标是（ ，1）或（ ，﹣1）或（ ，﹣1）.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用方程来求m的值；
（2）令y＝0，则通过解方程来求点B的横坐标；
（3）利用三角形的面积公式进行解答.
27．【答案】（1）解：函数的对称轴为x 1，BC=2CD，xB=3xC=3，即B的坐标为（3，0），将点B的坐标代入二次函数表达式得：
0=a×32﹣2a×3﹣3，解得：a=1.
故二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3…①，则顶点C的坐标为（1，﹣4），令y=0，则x=﹣1或3，即点A的坐标为（﹣1，0）；
（2）解：过点A作MN∥y轴，分别过点H、C作HM⊥MN、CN⊥MN于点M、N，如图1.
∵∠MAH+∠NAC=90°，∠NAC+∠ACN=90°，∴∠MAH=∠ACN，∠HMA=∠CNA=90°，AC=AH，∴△HMA≌△ANC（AAS），∴AM=NC=2，MH=AN=4，∴点H的坐标为（3，2），设直线HC的解析式为：y=mx+n，把H、C的坐标代入得： ，解得： ，故直线CH的表达式为：y=3x﹣7…②，联立①②并解得： 或 ，即点P的坐标为（4，5）；
（3）解：①当C'F⊥x轴，设：函数对称轴交x轴于点G，如图2，
则tan∠GBC ，设：BC'=x，则FC'=2x=FC，则BF x，BC=BF+CF=2x ，即：x=10﹣4 ，∴点C'的坐标为（4 7，0）；
②当EC'⊥x轴，同理可得点C'的坐标为：（9﹣4 ，0）.
综上所述：点C'的坐标为（4 7，0）或（9﹣4 ，0）.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）函数的对称轴为x 1，BC=2CD，xB=3xC=3，即B的坐标为（3，0），即可求解；（2）易证HMA≌△ANC（AAS），则AM=NC=2，MH=AN=4，可求出点H的坐标和直线CH的表达式，将该表达式与二次函数表达式联立，即可求解；（3）分C'F⊥x轴、EC'⊥x轴，两种情况求解即可.
28．【答案】（1）解：把点A（3，0）、C（－1，0）代入 中，
得 解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：在 中，当x＝0时y＝3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线AB的解析式为 ，
当x＝1时，y＝2，
∴P（1，2）
（3）解：设Q（m， ），△QAB的面积为S，
连接QA，QB，OQ，
则S＝
＝
又∵ ，
∴S＝
＝
∴当 时S最大，
此时 ＝ ，
∴Q（ ， ）．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解析式；
（2）由题意求出抛物线与x轴的交点，再用待定系数法求得直线AB的解析式，把x=1代入直线AB的解析式可求得点P的坐标；
（3）连接QA，QB，OQ，根据△QAB的面积=三角形OBQ的面积+三角形OAQ的面积-三角形OAB的面积可得△QAB的面积与点Q的横坐标之间的函数解析式，并将这个解析式配成顶点式，结合二次函数的性质即可求解。
1 / 1人教版九年级上对接中考知识点复习专项计划——二次函数的应用之几何问题
一、综合题
1．（2021九上·彭水期末）如图，二次函数 的图象与 轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数 的图象经过点B和二次函数图象上另一点A. 其中点A的坐标为（4 ，3）.
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）若抛物线上的点P在第四象限内，过点P作 轴的垂线PQ，交直线AB于点Q，求线段PQ的最大值.
【答案】（1）解：直线 经过A（4，3），
∴
∴ ，
∴直线的解析式为 ，
又∵直线 与x轴交于B点，
令 即 ，解得
∴B（-2，0）
抛物线 经过点A（4，3）、B（-2，0），则
∴抛物线为
（2）设 ，则
∴
∵
∴当 时，PQ取得最大值 .
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意把点A的坐标代入直线解析式可得关于k的方程，解方程可求解；根据直线与x轴相较于点B可令直线解析式中的y=0可得关于x的方程，解方程可求得点B的坐标，再把点A、B的坐标代入抛物线的解析式可得关于b、c的方程组，解方程组可求解；
（2）由题意可设点P（x，x2-x-3）、Q（x，x+1），根据两点间的距离公式可将PQ用含x的代数式表示出来，并配成顶点式，然后根据二次函数的性质可求解.
2．（2020九上·温州月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-2，0）、（0，-4），点B在x轴上，已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=2，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长.
（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标.
【答案】（1）解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0,a,b，c为常数)由抛物线的
对称性知B点坐标为(6,0)，依题意得:
解得
:所求二次函数的解析式为
（2）解：∵P点的横坐标为m,P点的纵坐标为 ,设直线BC的解析式为y=kx十b(k≠0,k，b为常数),依题意得6k十b=0,b=—4,k= ,故直线BC的解析式为 ，
∴F点的坐标为 ∴
（3）解：∵APBC的面积
当 m=3时.△PBC的最大面积为9，把x=3代入
得y=-5,
∴点Р的坐标为(3，-5)
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用二次函数的对称性可得到点B的坐标，设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A，C，B的坐标代入函数解析式，求出方程组的解，由此可得函数解析式。
（2）利用函数解析式，可以用含m的代数式表示出点P的坐标；再利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，利用一次函数解析式可得到点F的坐标，然后求出PF的长。
（3）由题意可知S△PBC=PF×BO，将PF，BO的长代入可得到y与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，当 m=3时，△PBC的最大面积为9，将x=3代入一次函数解析式，求出y的值，即可得到点P的坐标。
3．（2020九下·北碚月考）如图，一个二次函数的图象经过点A（0，1），它的顶点为B（1，3）.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）过点A作AC⊥AB交抛物线于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，当△APC面积最大时，求点P的坐标和△APC的面积最大值.
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为B（1，3）
∴设这个二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+3
∵二次函数的图象经过点A（0，1）
∴a（0﹣1）2+3=1
解得：a＝﹣2
∴二次函数的表达式为y＝-2（x﹣1）2+3，即y＝﹣2x2+4x+1
故答案为：y＝﹣2x2+4x+1
（2）解：直线AB与x轴交于点D，直线AC与x轴交于点E，如图所示
∵A（0，1），B（1，3）
设直线AB的解析式为y=kx+b
∴
∴y=2x+1
令2x+1=0
解得x=
∴OD=
，
∵AC⊥AB
∴∠DAE=90°
∴
∴
解得OE=2
∴E（2，0）
设直线AC的解析式为y＝mx+n
∵直线AC经过A点，E点
∴
∴
∴直线AC的解析式为y＝ x+1
令 x+1=﹣2x2+4x+1
解得： 或
∴C（ ， ）
过P作PQ∥y轴交AC于Q
设P（t，﹣2t2+4t+1），则Q（t， t+1）
∴PQ＝（﹣2t2+4t+1）﹣（ t+1）＝﹣2t2+ t
∴S△APC＝ PQ|xC﹣xA|＝ （﹣2t2+ t）（ ﹣0）＝﹣ （t﹣ ）2+
∴当t＝ 时，S△APC有最大值 ，此时，P（ ， ）
故答案为：S△APC最大值为 ，此时P（ ， ）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意设这个二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+3，将A（0，1）代入解方程即可求解；（2）直线AB与x轴交于点D，直线AC与x轴交于点E，先求得直线AC的解析式，即可求得抛物线和直线AC的交点C的坐标，过P作PQ∥y轴交AC于Q，根据抛物线解析式和直线AC的解析式设出P，Q点坐标，横坐标用t表示，即可表示出PQ，根据S△APC＝ PQ|xC﹣xA|，得出关于t的二次函数，化为顶点式，即可得到当t为何值时，S△APC有最大值.
4．（2020·淮阴模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+4与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(﹣2，0)，B点坐标为(8，0).
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，连接CM、BM，求四边形COBM的面积.
【答案】（1）解：∵二次函数 与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（8，0），
∴ ，得 ，
即经过A，B，C三点的抛物线的解析式是 ；
（2）解：∵ ，
∴点C的坐标为（0，4），点M的坐标为（3， ），
∴四边形COBM的面积是： ，
即四边形COBM的面积是31.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可以求得经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式，可以得到点C和点M的坐标，然后利用割补法可得四边形COBM的面积.
5．（2019九上·綦江月考）如图是二次函数y＝x2＋bx＋c的图象，其顶点坐标为M(1，－4).
（1）求出图象与x轴的交点A、B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB＝ S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意得， ，
令 ,则 ，
解得 ，
故点A（-1,0），B（3,0）
（2）解：由已知得，S△MAB= ，
∴S△PAB= S△MAB=10，
∴ （舍），
令 ,则 ，
解得 ，
故点P（-2,5）或（4,5）.
故答案为：(1)A(-1,0)，B(3,0)；(2)(-2,5)或(4,5).
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件把顶点M的坐标代入顶点式y=a(x-h)2+k可得解析式，令y=0可得关于x的一元二次方程，解方程可求得抛物线与x轴的两个交点坐标；
（2）由题意和图形可得 S△MAB=AB·，再根据已知 S△PAB=S△MAB可求得的值，然后令y= 可的关于x的一元二次方程，解方程可求解.
6．（2018九上·安陆月考）如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求直线OA和二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，
①当PC的长最大时，求点P的坐标；
②当S△PCO=S△CDO时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线经过原点
∴设函数解析式为：y=ax2+bx
∵二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）
解之：
∴此函数解析式为：y=-x2+4x
设直线OA的解析式为：y=kx
∵A（3，3）
∴3k=3
解之：k=1
∴直线OA的函数解析式为：y=x.
（2）解： 设 把A点坐标 代入得： 故函数的解析式为 设直线OA的解析式为 把 入得：
∴直线OA的解析式为
轴，P在 上，C在 上， ①∴当 时，PC的长最大，②当 时，即 当 时，则有 解得 （舍去），
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由A、B的坐标利用待定系数法可求得直线OA和二次函数解析式。
（2）①用m可表示出P点坐标，则可表示出PC的长，由二次函数的性质可求得当PC的长最大时m的值，则可求得P点坐标；②由条件可得到PC=CD，则可得到关于m的方程，可求得m的值，则可求得P点坐标。
7．（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线过点，∴，解得，∴抛物线的表达式为．
（2）解：设直线AB的解析式为：，∵直线AB经过，，∴，∴，∴直线AB的表达式为．
∵轴，可设，，其中．当M在N点上方时，．解得，（舍去）．∴．当M在N点下方时， ．解得，．∴，．综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，．
（3）解：解：(3)存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，．理由如下：①如图，若AC是四边形的边．
当时，∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点．过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，，∵，，∴，，．∵，∴．∴．∴点与点D重合．当时，四边形是矩形．∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．此时直线的解析式为．∵直线与平行且过点，∴直线的解析式为．∵点是直线与拋物线的交点，∴．解得，（舍去）．∴．当时，四边形是矩形．∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．②如图，若AC是四边形的对角线，
当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K．可得，．∴．∴．∴．∵点P不与点A，C重合，∴和．∴．∴．∴如图，满足条件的点P有两个．即，．
当时，四边形是矩形．∵向左平移个单位，向下平移个单位得到．∴向左平移个单位，向下平移个单位得到．当时，四边形是矩形．∵向右平移个单位，向上平移个单位得到．∴向右平移个单位，向上平移个单位得到．综上，满足条件的点Q的坐标为或或或
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A，O的坐标代入函数解析式，可求出b，c的长，可得到二次函数解析式.
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A，B的坐标代入，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的长，可得到直线AB的函数解析式；利用MN∥y轴，根据两函数解析式设，，其中；分情况讨论：当M在N点上方时，利用MN=2，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点M的坐标；当点M在点的下方时，利用MN=2，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点M的坐标；综上所述可得到符合题意的点M的坐标.
（3）分情况讨论：①如图，若AC是四边形的边，将x=2代入函数解析式求出对应的y的值，可得到点R的坐标，过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P1，P2，利用点C，D的坐标求出CD，CR，RD的长；可证得点P1和点D重合，当CP1∥AQ1，CP1=AQ1时，四边形ACP1Q1是矩形，利用点的坐标平移可得到点P1，Q1的坐标，同时可求出直线P1C，直线P2A的函数解析式，将直线P2A和抛物线联立方程组，解方程组，可得到点P2的坐标；当AC∥P2Q2，AC=P2Q2时，四边形ACQ2P2是矩形，将点A向左平移3个单位，向上平移3个单位得到定C的坐标，因此将点P2向3个单位，向上平移3个单位得到点Q2的坐标；②如图，若AC是四边形的对角线，当∠AP3C=90°，过点P3作P3H⊥x轴，过点C作CK⊥P3H，易证△P3CK∽△AP3H，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，利用点P不与点A，C重合，可知t≠1，t≠4，可得到符合题意的t的值，即可得到点P的坐标；当点CP3∥AQ3，CP3=AQ3使四边形AP3CQ3是矩形，利用点的坐标平移，可得到点Q的坐标；当P4C∥AQ4，P4C=AQ4，四边形AP4CQ4是矩形，利用点的坐标平移，可得到点Q的坐标；综上所述可得到符合题意的点Q的坐标.
8．（2021九上·槐荫期末）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（－4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接PA，PC，求的最大值；
（3）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．
【答案】（1）解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x＋4
（2）解：将x=0代入y=-x2-3x+4得，y=4，
∴点C（0，4），
设直线AC所在直线的表达式为y=k1x+b1，则
，解得：，
∴直线AC的表达式为y=x+4，
如图，设PD与线段AC交于点N，
设P（t，-t2-3t+4），
∵PD⊥x轴交AC于点N，
∴N（t，t+4），
∴PN=yP-yN=-t2-4t，
过点C作CH⊥PD，则CH=-t，AD=t-4，
∴S△APC=S△APN+S△PCN=PN AD+PN CH
=PN (AD+CH)
= ( t2 4t) ( t+t+4)
=-2t2-8t
=-2(t+2)2+8，
∵a=-2＜0，
∴当t=-2时，S△APC有最大值，△PAC面积的最大值为8．
（3）解：设BP与y轴交于点E，
∵PD∥y轴，
∴∠DPB=∠OEB，
∵∠DPB=2∠BCO，
∴∠OEB=2∠BCO，
∴∠ECB=∠EBC，
∴BE=CE，
∵C（0，4），B（1，0），
∴OC=4，OB=1，
设OE=a，则CE=BE=4-a，
在Rt△BOE中，BE2=OE2+OB2，
∴（4-a）2=a2+12，
解得：a=，
∴E（0，），
设BP所在直线表达式为y=kx+b（k≠0），
∴，
解得：，
∴直线BP的表达式为y=-x+．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出二次函数的表达式；
(2)由图可知 S△APC=S△APN+S△PCN ， 设P（t，-t2-3t+4）， 过点C作CH⊥PD，则CH=-t，AD=t-4， 则可求出S△APC 的面积表达式，再求出S△APC 的最大值；
（3）可根据题目已知条件，求出点B、点E的坐标，利用待定系数法确定直线BP的表达式．
9．（2021九上·北仑期中）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且交y轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与 B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值及△BNC的面积最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解： 由题意得
解之：
∴y=-x2+2x+3，
（2）解：当x=0时y=3
∴点C（0，3）
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴
解之：
∴y=-x+3；
∵点M的横坐标为m，0＜m＜3，
∴点M（m，-m2+2m+3），点N（m，-m+3）
∵M是线段BC上一点，
∴MN=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m（0＜m＜3）.
（3）解： 如图，
∵MN∥y轴，
∴.
∵a＜0，抛物线的开口向下，
∴当m=时△BNC的面积最大，最大值为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数解析式，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到函数解析式.
（2）由x=0求出y的值，可得到点C的坐标；利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，利用已知可得到点M（m，-m2+2m+3），点N（m，-m+3），可得到MN与x之间的函数解析式.
（3）利用，代入可得到S与x之间的函数解析式，再利用二次函数的性质，可求出结果.
10．（2020·宜宾）如图，已知二次函数图象的顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F(0，1)作x轴的平行线交二次函数的图象于M，N两点
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当 时等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和和点N，且与直线 相切，若存在，求出点E的坐标，并求 的半径；若不存在，说明理由．
【答案】（1）∵二次函数的顶点是原点
∴设二次函数的解析式为 ，
将（2，1）代入 ，
解得
所以二次函数的解析式为 ；
（2）如图：将y=1代入 ，得 ，解得
是等边三角形
∴点P在y轴上且PM=4
∴
或 ；
（3）假设在二次函数的图象上存在点E满足条件
设点Q是FN的中点，即 Q(1，1)
∴点E在FN的垂直平分线上
∴点E是FN的垂直平分线x=1与 的图像的交点，即
，
∴
∴点E到直线y=-1的距离为
∴在二次函数图象上存在点E，使得以点E为圆心，半径为 的圆，过点F，N且与直线 相切．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等边三角形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由二次函数的顶点是原点，则设二次函数的解析式为 ，然后将（2，1）代入 求得a即可；（2）将y=1代入 解得 ，可确定M、N的坐标，进而确定MN的长度；再根据 是等边三角形确定PM的长，然后解三角形确定PF的长，最后结合F点坐标即可解答；（3）先假设这样的点存在，设点Q是FN的中点，即 Q(1，1)
11．（2021九上·柯桥月考）如图，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（-1，0）．
（1）求B、C两点坐标；
（2）求该二次函数的关系式；
（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
（4）若抛物线的对称轴与x轴的交点为D，则在抛物线在对称轴上是否存在在P，使三角形PCD是以CD为腰在等腰三角形？如果存在，直接写出点P在坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：令x=0，则y=2，
∴C（0，2），
令y=0，则x=4，
∴B（4，0）
（2）解：设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，将点A(-1，0 )，B(4，0 )，c(0，2)代入，
得
∴
∴
（3）解： 的对称轴为直线
设E
∴EF⊥x轴，
当t=2时， 的面积最大，最大值为 。
此时E(2，1).
（4）解：P1(1.5，4) ，P2(1.5，2.5) P3(1.5，-2.5)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（4）如图，
∵点C（0，2），点D（，0）
∴
当CD=DP1=2.5时，
∴点P1（1.5，2.5）；
当DC=CP2=2.5时
DP2=2+2=4
∴点P2（1.5，4）；
当CD=DP3=2.5时
点P3（1.5，-2.5）
∴ P的坐标为(1.5，4) 或(1.5，2.5) 或(1.5，-2.5) .
【分析】（1）由x=0求出对应的y的值，可得到点C的坐标，由y=0可求出对应的x的值，可得到点B的坐标.
（2） 设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) ，将点A，B，C的坐标代入函数解析式，建立关于a，b，c的值，即可得到二次函数解析式.
（3）先求出抛物线的对称轴，可得到点D的坐标，利用函数解析式设E ，可表示出点，从而可表示出EF的长，再用含t的代数式表示出四边形CDBF的面积与t之间的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出结果.
（4）利用点C，D的坐标，根据勾股定理可求出CD的长，再分情况讨论：当CD=DP1=2.5时；当DC=CP2=2.5时；当CD=DP3=2.5时；分别求出符合题意的点P的坐标.
12．（2021·花溪模拟）二次函数 的图象，与 轴交于原点和点 ，顶点 的坐标为 .
（1）求二次函数的表达式；
（2）大家知道二次函数的图象是一条抛物线，过 两点可以画无数条抛物线，设顶点为 ，过点 向 轴、 轴作垂线，垂足为点 .求当所得的四边形 为正方形时的二次函数表达式；
（3） 点在（1）中求出的二次函数图象上，且 点的横坐标为1， 点是坐标平面上一点，点 在 轴上，是否存在以 四点为顶点的四边形是正方形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：∵二次函数 的图象的顶点 的坐标为 ，
∴设二次函数 ，
把(0，0)代入上式，得： ，解得：a=-1，
∴二次函数的表达式为：
（2）解：∵抛物线过 两点，
∴对称轴为：直线x=2，可设二次函数解析式为： ，
∴OM=2，
又∵四边形OMQN是正方形，
∴QM=OM=2，
∴Q(2，2)或Q(2，-2)，
∴ 或 ，解得： 或 ，
∴二次函数解析式为： 或
（3）解：由（1）可知二次函数的解析式为： ，
∴当x=1时，y=3，即：G(1，3)，
当GE为为正方形的对角线时，GR1=ER1=3，
此时，R1(1，0) ，
当GE是正方形的边时，GR2=GE= ，
∴R2E= × =6，
∴R2(-2，0)，
∴R的坐标为(1，0)或(-2，0).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设二次函数 ，把(0，0)代入上式求出a值即可；
（2）根据O与E的坐标，可求出对称轴为直线x=2，可设二次函数解析式为 ， 根据正方形的性质得出Q(2，2)或Q(2，-2)， 然后将Q坐标分别代入解析式中求出a值即可；
（3） 分两种情况：①当GE为为正方形的对角线时GR1=ER1=3，②当GE是正方形的边时，GR2=GE
= ，据此分别解答即可.
13．（2021九下·东坡开学考）已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求使△ADC面积最大时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请直接写出点N的坐标
【答案】（1）解：把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+2x+c
则有 ，
解得 ， ∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3
（2）解：如图1中连接AD，CD.∵△DAC的面积最大，
设直线AC解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴ ， 解得， ，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），
则G（x，﹣x﹣3），∵点D在第三象限，
∴DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，
∴S△ACD＝ DG OA＝ （﹣x2﹣3x）×3＝﹣ x2﹣ x＝﹣ （x+ ）2+ ，
∴当x＝﹣ 时，S最大＝ ，点D（﹣ ，﹣ ）
（3）解：满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，点C的坐标为（0，-3）
当OB是平行四边形的边时，
∴OB＝MN＝1，OB∥MN，
∴N（ 2， 3）或N′（0， 3），
当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，
x＝2时，y＝4＋4 3＝5，
∴N″（2，5）．
∴满足条件的点N的坐标为（ 2， 3）或（0， 3）或（2，5）．
【分析】（1）将点B，C的坐标代入函数解析式，可得到关于a，c的方程组，解方程组求出a，c的值，可得到函数解析式.
（2）连接AD，CD.设直线AC解析式为：y＝kx+b，将点A，C的坐标代入函数解析式，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一此函数解析式；过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则G（x，﹣x﹣3），利用点D在第三象限，分别表示出DG，利用三角形的面积公式建立S S△ACD与x的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出点D的坐标.
（3）根据题意画出图形，利用抛物线的解析式可知抛物线的对称轴为直线x=-1，点C的坐标为（0，-3）；分情况讨论：当OB是平行四边形的边时，利用平行四边形的性质可得到OB∥MN，OB＝MN＝1，可得到符合题意的点N的坐标；当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，即可得到点N″的纵坐标，可得到点N″的坐标.
14．（2021九下·南宁开学考）已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（－1，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），如图.
（1）求二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为D（﹣1，4），
∴设函数表达式为 ，
∵图象过点C（0，3），
∴当x=0时，y=3，
∴ ，
解得， ，
∴函数表达式为 ，
即
（2）解：由 ，
，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），
∵A、B关于对称轴x=﹣1对称，点M在对称轴x=﹣1上，
如图1，连结AC，
∴MA=MB，
∴△BCM的周长=BC+CM+BM=BC+CM+AM，
当A、M、C在同一直线上时，△BCM的周长最小，
设直线AC的函数解析式为 ，
则 ，
解得， ，
∴直线AC的函数解析式为 ，
∵点M的横坐标为 ，
所以点M的坐标为（﹣1，2）；
（3）解：如图2，
当点P与点D重合，点Q与点P关于x轴对称时，四边形AQBP的对角线互相平分，
∴四边形AQBP是平行四边形，此时点P的坐标为（﹣1，4）；
当 ∥AB， =AB=4时，四边形A ′B是平行四边形，
此时 点的横坐标为﹣3﹣2=﹣5，
∴ 的纵坐标为： ，
∴点 的坐标为（﹣5，﹣12）；
根据抛物线的对称性，点 的坐标为（3，﹣12）；
综上所述：以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣5，﹣12）或（3，﹣12）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的顶点式，再将点C的坐标代入即可算出a的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）根据轴对称最短路径问题得到点M的位置，用待定系数法求出直线AC的函数解析式，代入计算即可求解；
（3）分点P与点D重合，点Q与点P关于x轴对称时，四边形AQBP的对角线互相平分、当P'Q'∥AB，P'Q'=AB=4时，四边形A P'Q'B是平行四边形及根据抛物线的对称性， 根据二次函数图象上点的坐标特征可求解．
15．（2021·铁岭模拟）如图，已知二次函数 的图象分别交 轴于点 ， ，交 轴于点 ，抛物线的顶点为 ，其中点 ， ， ．
（1）求抛物线的解析式并直接写出抛物线的对称轴；
（2）在直线 的上方抛物线上有一点 ，且满足 ，请求出点 的坐标；
（3）点 为对称轴上一点，点 为抛物线上一点，是否存在点 ， ，使以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点 的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：由 ， 两点可得抛物线的对称轴为 ，
将 ， ， 分别代入二次函数 得：
，
解得
∴抛物线的解析式为 ，对称轴为 ；
（2）解：如图，在 轴的负半轴截取 ，即点 ，直线 交抛物线于点 ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得：
，
解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
根据题意可得方程组：
解得： （舍去） ，
∴点 ；
（3）解：存在点 ， ．
设 ， ，
若以AB为边，
①平行四边形是ABMN，则AM中点为 ，BN中点为 ，
，
解得 ，
∴ ；
②平行四边形是AMNB，则BM中点为 ，AN中点为 ，
，
解得 ，
∴ ；
若以AB为对角线，平行四边形是AMBN，
则AB中点为 ，MN中点为 ，
，
解得 ，
∴ ；
综上所述，若点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形ABMN，则点 的坐标为 ；平行四边形ANBM，则点 的坐标为 ；平行四边形AMBN，则点 的坐标为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用点A，C的坐标可求出抛物线的对称轴，再将点A，B，C的坐标分别代入抛物线的解析式建立关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到抛物线的函数解析式.
（2）在x轴的负半轴截取OA＇=OA，可得到点A＇的坐标，直线A＇B交抛物线于点E，可得到∠OA＇B=∠OAB，再求出直线A＇B的函数解析式，将直线A＇B的解析式和抛物线联立方程组，解方程组求出点E的坐标.
（3）利用函数解析式设点 ， ，利用平行四边形的判定定理分情况讨论：若以AB为边，① 平行四边形是ABMN ，可得到AM和BN的中点坐标，由此可建立关于n，d的方程组，解方程组求出n，d的值，可得到点N的坐标；②平行四边形是AMNB，可得到BM中点AN中点坐标，由此可建立关于n，d的方程组，解方程组求出n，d的值，可得到点N的坐标；若以AB为对角线，平行四边形是AMBN，由此可建立关于n，d的方程组，解方程组求出n，d的值，可得到点N的坐标；综上所述可得到符合题意的点N的坐标.
16．（2021九上·长寿期末）如图，对称轴为直线 的二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B点的坐标为(1，0).
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在直线 上找一点P，使 PBC的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）若第二象限的且横坐标为t的点Q在此二次函数的图象上，则当t为何值时，四边形AQCB的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线 ，
∴ .
∴ =-2.
∵点B（1，0）在二次函数 的图象上，
∴ .
∴ .
∴二次函数的解析式为 .
（2）由（1）知二次函数的解析式为 .令 ，得 .
∴点C的坐标为（0，3）.
由题意，可得点B（1，0）与点A（-3，0）关于直线 对称.
∴要在直线 上找一点P使△PBC的周长最小的问题，也就是要在直线 上找一点P使PC与PA的和最小的问题.
∵在连接AC的线中，线段AC最短.
∴直线AC与直线 的交点就是所要找的点P（如图1）
设经过A、C两点的直线为直线 ，
则有
∴
∴ .
由 得点Ｐ的坐标为（-1，2）.
（3）如图2.
过点Q作 轴，垂足为 ，
直线AC与直线QF交于点E.
则 .
∵ ，
.
又∵点Q的横坐标为t.
∴ 点Q和点E的纵坐标分别为 和 .
∴ .
∴ .
由题意知： .
∴当 时， 有最大值，此时 的最大值为 .
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由图可知抛物线的对称轴x=-=-1求得b的值；再将点B的坐标代入二次函数的解析式，求出待定系数c的值即可；
（2）根据轴对称的性质，先画出点P的位置，再通过求直线AC的关系式求点P的坐标；
（3） 过点Q作QF⊥x轴，垂足为F，由图知S四边形AQCB=S△ABC+S△AQC，于是S四边形AQCB可用含t的代数式表示出来，并将S与t之间的函数关系式配成顶点式，再根据二次函数的性质即可求四边形AQCB面积的最大值．
17．（2020·雅安）已知二次函数 的图象与x轴交于 两点，与y轴交于点 ，
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线 的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．
【答案】（1）解：∵二次函数 图像与 轴的交点为B（1，0），与 轴交于点 ，
∴将C代入，得：c=-3，则 ，
∴方程 对应的两根之积为-3，
又B（1，0），
可得A（-3，0），将A，B两点代入二次函数，得：
，
解得： ，
∴二次函数表达式为： ；
（2）解：当点D到直线 的距离取得最大值时，
∵A（-3，0）， ，
设直线AC的表达式为：y=kx+n，将A和C代入，
，解得： ，
∴直线AC的表达式为y=-x-3，将直线AC向下平移m（m＞0）个单位，得到直线l，
当直线l与二次函数图象只有一个交点时，该交点为点D，此时点D到直线AC的距离最大，
此时直线l的表达式为y=-x-3-m，
联立： ，得： ，
令△= ，解得：m= ，
则解方程： ，得x= ，
∴点D的坐标为（ ， ）
（3）解：∵M在抛物线对称轴上，设M坐标为（-1，t），
当OB为平行四边形的边时，
如图1，可知MN和OB平行且相等，
∴点N（-2，t）或（0，t），代入抛物线表达式得：
解得：t=-3，
∴N（-2，-3）或（0，-3）；
当OB为平行四边形对角线时，
线段OB的中点为（ ，0），对角线MN的中点也为（ ，0），
∵M坐标为（-1，t），
可得点N（2，-t），代入抛物线表达式得：
4+4-3=-t，
解得：t=-5，
∴点N的坐标为（2，-5），
综上：以 为顶点的四边形是平行四边形时，点N的坐标为（-2，-3）或（0，-3）或（2，-5）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的判定与性质；二次函数-动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据点C坐标求出c，再利用两根之积求出点A的横坐标，再利用待定系数法求解；（2）根据题意得出当点 到直线 的距离取得最大值时，求出AC表达式，将直线AC向下平移m（m＞0）个单位，得到直线l，当直线l与二次函数图象只有一个交点时，该交点为点D，此时点D到直线AC的距离最大，联立直线l和二次函数表达式，得到方程 ，当方程有两个相同的实数根时，求出m的值，从而得到点D的坐标；（3）分当OB是平行四边形的边和OB是平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质求出点N的坐标即可.
18．（2020九上·保山月考）已知：如图，二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，其中 点坐标为 ，点 ，另抛物线经过点 ， 为它的顶点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积 .
（3）是否存在在抛物线上的点 使得 的面积为15，如果存在求出 点的坐标，若不存在请说明理由.
【答案】（1）解：∵图象经 ， ， ，
∴ ，解之得 ，
∴ ；
（2）解：如图，过点 作 轴，垂足为点 ，
，
∴点 坐标为 ，
根据 对称轴是直线 ，
∴点 ，
；
（3）解：存在，
设点 为 ，
∵ ，AB=6，
∴ ，
或 ，
解得 ， ， ，
∴共有4个 点， ， ， ， .
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法可求解；
（2）如图，过点M作MD⊥y轴，垂足为D，将（1）中的解析式配成顶点式可得点M的坐标，由MD⊥y轴可知点D与点M的纵坐标相同，则点D的坐标可求解；由点A与点B关于直线x=-对称可求得点B的坐标，然后根据图形的构成得S BCM=S梯形MDOB-S COB-S MDC，结合已知可求解；
（3）由题意可设点P（m，-m2+4m+5），根据S PAB=15可得关于m的一元二次方程，解方程即可求解.
19．（2020·上海模拟）二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴交于点B(-3，0)，与y轴交于点C(0，-3)。
（1）求二次函数解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，与x轴的另一个交点为A，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD的两个角的和的度数。
【答案】（1）解：y=-x2-4x-3
（2）解：P1(-2，-2)，P2(-2，2)
（3）解：45°
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，求出待定系数的值即可得解；
（2）根据（1）得到的函数解析式，可求出D、C的坐标；易证得△OBC是等腰直角三角形，若过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，根据∠ABE的度数及AB的长即可求出AE、BE、CE的长；连接AC，设抛物线的对称轴与x轴的交点为F，若∠APD=∠ACB，则△AEC与△AFP，利用相似的性质得比例线段，即可求出PF的长，也就求得了P点的坐标；
（3）当Q到直线BC的距离最远时，△QBC的面积最大（因为BC是定长），可过Q作y轴的平行线，交BC于S；根据B、C的坐标，易求出直线BC的解析式，可设出Q点的坐标，根据抛物线和直线BC的解析式，分别表示出Q、S的纵坐标，即可得到关于QS的长以及Q点横坐标的函数关系式，以QS为底，B、C横坐标差的绝对值为高可得到△QBC的面积，由于B、C横坐标差的绝对值为定值，那么QS最长时，△QBC的面积最大，此时Q离BC的距离最远；可根据上面得到的函数的性质求出QS的最大值及对应的Q点横坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求出Q点的坐标．
20．（2020·临潭模拟）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C
（1）求此二次函数解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值.
【答案】（1）解：将 、 代入 ，得：
，解得： ，
此二次函数解析式为 .
（2）解： 为直角三角形，理由如下：
，
顶点 的坐标为 .
当 时， ，
点 的坐标为 .
点 的坐标为 ，
，
，
.
，
，
为直角三角形.
（3）解：设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 ，得：
，解得： ，
直线 的解析式为 ，
将直线 向上平移 个单位得到的直线的解析式为 .
联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得： ，
解得： ， ，
点M的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， .
点 的坐标为 ，
， ， .
为直角三角形，
分三种情况考虑：
①当 时，有 ，即 ，
整理，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）；
②当 时，有 ，即 ，
整理，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）；
③当 时，有 ，即 ，
整理，得： .
，
该方程无解（或解均为增解）.
综上所述：当 为直角三角形时， 的值为1或4.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C、D的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD、BD、BC的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD为直角三角形；（3）根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM2、AN2、MN2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t的无理方程，解之即可得出结论.
21．（2020·磴口模拟）如图，直线y=- x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A(-1，0)．
（1）求B，C两点的坐标．
（2）求该二次函数的解析式．
（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形 如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大 求出四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标．
【答案】（1）解：在y=- x+2中，令x=0，可得y=2，令y=0，可得x=4，
即B(4，0)，C(0，2)．
（2）解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
将点A，B，C的坐标代入解析式，得
，
解得
即该二次函数的解析式为y=- x2+ x+2
（3）解：存在．∵y=- x2+ x+2，
∴y=- (x- )2+ ，
∴抛物线的对称轴是直线x= ，∴OD= ．
∵C(0，2)，∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD= ．
∵△PCD是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=DP2=DP3=CD．
如图①所示，作CH⊥对称轴于点H，∴HP1=HD=2，
∴DP1=4．
∴P1( ，4)，P2( )，P3( ，- )．
（4）解：∵B(4，0)，C(0，2)，
∴直线BC的解析式为y=- x+2．
如图②，过点C作CM⊥EF于点M，
设E(a，- a+2)，F(a，- a2+ a+2)，
∴EF=- a2+ a+2-(- a+2)=- a2+2a(0≤a≤4)．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF= BD·OC+ EF·CM+ EF·BN
= ×(4- )×2+ a(- a2+2a)+ (4-a)( - a2+2a)
=-a2+4a+
=-(a-2)2+ ，
∴当a=2时，S四边形CDBF的最大值= ，此时E(2，1)．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）分别令解析式y=- x+2中x=0，y=0，求出点B，点C的坐标；（2）二次函数的解析式为 ，将点A、B、C的坐标代入解析式，求出a，b，c的值，进而求出二次函数的解析式；（3）由（2）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于 ，以点D为圆心，CD为半径作圆交对称轴于 ， ，作CE垂直对称轴于点E，由等腰三角形的性质和勾股定理就可以求出结论；（4）设点E的坐标为 ，就可以表示出F的坐标，由 求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
22．（2020九上·随县月考）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点（－1，4），且与直线y＝－ x＋1相交于A，B两点，A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（－3，0）.
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，四边形BCMN是平行四边形？并求出满足条件的N点的坐标.
【答案】（1）解：由直线y=- x+1可知A（0，1），B（-3， ），又点（-1，4）经过二次函数，
根据题意得： ，
解得： ，
则二次函数的解析式是： ；
（2）解：设N（x， ），
则M（x，- x+1），P（x，0）.
∴MN=PN-PM
=
=
= ，
则当x=- 时，MN的最大值为
（3）解：连接MC、BN、BM与NC互相平分，
即四边形BCMN是平行四边形，
则MN=BC，
即 ，
整理得：x2+3x+2=0，
解得：x=-1或x=-2.
所以，y=4或4.5，
故当N（-1，4）（-2，4.5）时，BM和NC互相平分.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；
（3）四边形BCMN是平行四边形，则BC=MN，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标.
23．（2021·兴化模拟）如图，已知二次函数 （ ）的图象与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，横坐标分别为 ， （ ）的 、 两点在线段 上（不与 、 重合），过 、 两点作 轴的垂线分别交抛物线于点 、 ，连接 .
（1）求线段 的值.
（2）若四边形 是平行四边形；
①点 、 横坐标之和是否为定值，若是定值，请求出；若不是，请说明理由.
②当 时，平行四边形 能否为菱形；若能，求出菱形的周长：若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：当 时， ，即 ，
解得 或 ，
，
；
（2）解：①由题意得：点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
，
对于二次函数 ，
当 时， ，即 ，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，即 ，
整理得： ，
，
，
解得 ，
即点 、 横坐标之和为定值，这个定值为3；
② 、 两点在线段 上（不与 、 重合），
，
，
，
将 ，即 代入得： ，
由（2）①知， ，
当 时，
则 ，
，
平行四边形 为菱形，
，即 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
，
则菱形的周长为 ，
即平行四边形 能为菱形，菱形的周长为 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）解方程 求出点 的坐标，由此即可得；（2）①先根据点 的横坐标、二次函数的解析式可求出点 的坐标，再利用待定系数法求出直线 的解析式，从而可得点 的坐标，然后根据平行四边形的性质可得 ，由此建立等式化简即可得；②先根据两点之间的距离公式分别求出 的值，再根据菱形的性质可得 ，结合①的结论，进行求解即可得.
24．（2020·阜新）如图，二次函数 的图象交x轴于点 ， ，交y轴于点C.点 是x轴上的一动点， 轴，交直线 于点M，交抛物线于点N.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段 上运动，如图1.求线段 的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形.若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：把 代入 中，得
解得
∴ .
（2）解：设直线 的表达式为 ，把 代入 .
得， 解这个方程组，得
∴ .
∵点 是x轴上的一动点，且 轴.
∴ .
∴
.
∵ ，
∴此函数有最大值.
又∵点P在线段 上运动，且
∴当 时， 有最大值 .
②∵点 是x轴上的一动点，且 轴.
∴ .
∴
由MN∥y轴∥CQ，则MN与CQ必然是菱形的两条边
（i）若CN作为菱形的对角线，则有MN=MC，如图，
∵C（0，-3）
∴MC=
∴
整理得，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴当 时，CQ=MN= ，
∴OQ=-3-( )=
∴Q(0， )；
当m= 时，CQ=MN=- ，
∴OQ=-3-(- )=
∴Q(0， )；
(ii)若CN作为菱形一条边， 此时CN=MN ，即，如图，
则有
解得m=-2，或m=0(舍去)
此时MN=2，即Q（0，-1），
综上所述，点Q的坐标为
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把 代入 中求出b，c的值即可；（2）①由点 得 ，从而得 ，整理，化为顶点式即可得到结论；②考虑特殊情况CQ∥MN，即此时MN与CQ必然作为菱形的两条边，进而进一步可分为两种情况，从而根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可.
25．（2020·莘县模拟）如图，二次函数y=ax +bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）。
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2 ？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由。
【答案】（1）设二次函数的解析式为y=a（x-1） +4，把B（3，0）代入得：
0=a（3-1） +4
解得 a=-1
∴二次函数的解析式为y=-（x-1） +4=-x +2x+3；
令x=0，则y=-（0-1） +4=3
∴点D的坐标是（0,3）
设直线BD的解析式y=kx+b，把B（3，0）和D（0,3）代入得
解得
∴直线BD的解析式y=-x+3；
（2）设M（m，-m +2m+3）,则P（m，-m+3）(0＜m＜3)
∴PM=-m +2m+3-（-m+3）=-m +3m=-（m-）2+
∵a=-1＜0
∴当x=时，PM有最大值是。
答：线段PM的最大值是；
（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H。
设Q（x，-x2+2x+3），则G（x，-x+3）
∴QG=|-x2+2x+3-（-x+3）|=|-x2+3x|
在Rt△BOD中，OB=OD=3 ∴∠DBO=45°
∴∠HGQ=∠BGE=45°
∴QH=HG=2
∴QG=
∴|-x2+3x|=4
当-x2+3x=4时，即x2-3x+4=0，△=9-16＜0，方程无实数根；
当-x2+3x=-4时，解得x=-1或x=4，
∴Q（-1，0）或（4，-5），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（-1，0）或（4，-5）．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用顶点式设出抛物线解析式，代入B点坐标，利用待定系数法求出解析式即可；然后利用所求抛物线的解析式求得D点坐标，进而利用待定系数法求得直线BD解析式；
（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．
26．（2020九上·兰州期末）如图，二次函数y＝﹣2x2+x+m的图象与x轴的一个交点为A（1，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C.
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上是否有一点D（x，y）使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标.
【答案】（1）解：把A（1，0）代入y＝﹣2x2+x+m，得
﹣2×12+1+m＝0，
解得 m＝1；
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣2x2+x+1.
令y＝0，则﹣2x2+x+1＝0，
故x＝ ＝ ，
解得 x1＝﹣ ，x2＝1.
故该抛物线与x轴的交点是（﹣ ，0）和（1，0）.
∵点为A（1，0），
∴另一个交点为B是（﹣ ，0）；
（3）解：∵抛物线解析式为y＝﹣2x2+x+1，
∴C（0，1），
∴OC＝1.
∵S△ABD＝S△ABC，
∴点D与点C的纵坐标的绝对值相等，
∴当y＝1时，﹣2x2+x+1＝1，即x（﹣2x+1）＝0
解得 x＝0或x＝ .
即（0，1）（与点C重合，舍去）和D（ ，1）符合题意.
当y＝﹣1时，﹣2x2+x+1＝﹣1，即2x2﹣x﹣2＝0
解得x＝ .
即点（ ，﹣1）和（ ，﹣1）符合题意.
综上所述，满足条件的点D的坐标是（ ，1）或（ ，﹣1）或（ ，﹣1）.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用方程来求m的值；
（2）令y＝0，则通过解方程来求点B的横坐标；
（3）利用三角形的面积公式进行解答.
27．（2019九上·江都期末）如图①，二次函数 的图像与 轴交于 、 两点（点 在 的左侧），顶点为 ，连接 并延长交 轴于点 ，若 .
（1）求二次函数的表达式；
（2）在 轴上方有一点 ， ，且 ，连接 并延长交抛物线于点 ，求点 的坐标；
（3）如图②，折叠△ ，使点 落在线段 上的点 处，折痕为 .若△ 有一条边与 轴垂直，直接写出此时点 的坐标.
【答案】（1）解：函数的对称轴为x 1，BC=2CD，xB=3xC=3，即B的坐标为（3，0），将点B的坐标代入二次函数表达式得：
0=a×32﹣2a×3﹣3，解得：a=1.
故二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3…①，则顶点C的坐标为（1，﹣4），令y=0，则x=﹣1或3，即点A的坐标为（﹣1，0）；
（2）解：过点A作MN∥y轴，分别过点H、C作HM⊥MN、CN⊥MN于点M、N，如图1.
∵∠MAH+∠NAC=90°，∠NAC+∠ACN=90°，∴∠MAH=∠ACN，∠HMA=∠CNA=90°，AC=AH，∴△HMA≌△ANC（AAS），∴AM=NC=2，MH=AN=4，∴点H的坐标为（3，2），设直线HC的解析式为：y=mx+n，把H、C的坐标代入得： ，解得： ，故直线CH的表达式为：y=3x﹣7…②，联立①②并解得： 或 ，即点P的坐标为（4，5）；
（3）解：①当C'F⊥x轴，设：函数对称轴交x轴于点G，如图2，
则tan∠GBC ，设：BC'=x，则FC'=2x=FC，则BF x，BC=BF+CF=2x ，即：x=10﹣4 ，∴点C'的坐标为（4 7，0）；
②当EC'⊥x轴，同理可得点C'的坐标为：（9﹣4 ，0）.
综上所述：点C'的坐标为（4 7，0）或（9﹣4 ，0）.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）函数的对称轴为x 1，BC=2CD，xB=3xC=3，即B的坐标为（3，0），即可求解；（2）易证HMA≌△ANC（AAS），则AM=NC=2，MH=AN=4，可求出点H的坐标和直线CH的表达式，将该表达式与二次函数表达式联立，即可求解；（3）分C'F⊥x轴、EC'⊥x轴，两种情况求解即可.
28．（2019九上·乌鲁木齐期末）已知二次函数 的图象过点 （3，0）、 （－1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，二次函数的图象与 轴交于点 ，二次函数图象的对称轴与直线 交于点 ，求 点的坐标；
（3）在第一象限内的抛物线上有一点 ，当 的面积最大时，求点 的坐标．
【答案】（1）解：把点A（3，0）、C（－1，0）代入 中，
得 解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：在 中，当x＝0时y＝3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线AB的解析式为 ，
当x＝1时，y＝2，
∴P（1，2）
（3）解：设Q（m， ），△QAB的面积为S，
连接QA，QB，OQ，
则S＝
＝
又∵ ，
∴S＝
＝
∴当 时S最大，
此时 ＝ ，
∴Q（ ， ）．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解析式；
（2）由题意求出抛物线与x轴的交点，再用待定系数法求得直线AB的解析式，把x=1代入直线AB的解析式可求得点P的坐标；
（3）连接QA，QB，OQ，根据△QAB的面积=三角形OBQ的面积+三角形OAQ的面积-三角形OAB的面积可得△QAB的面积与点Q的横坐标之间的函数解析式，并将这个解析式配成顶点式，结合二次函数的性质即可求解。
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