人教版九年级上对接中考知识点复习专项计划——与二次函数相图像与坐标的交点问题
一、单选题
1．（2022九上·南宁开学考）二次函数的图象如图所示，下列结论：；②若为任意实数，则；；；若，且，则其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022·舟山开学考）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为，其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022九上·岳麓开学考）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为且经过点下列说法：
；；；若，是抛物线上的两点，则；其中其中说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九上·天心开学考）已知二次函数下列结论正确是（ ）
①已知点，点在二次函数的图象上，则；②该图象一定过定点和；③直线与抛物线一定存在两个交点；④当时，的最小值是，则；
A．①④ B．②① C．②④ D．①②③④
5．（2022·广安）已知抛物线y=ax2 +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022·鄂州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2022·广元）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）.其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．（2022·陕西）已知二次函数y=x2 2x 3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当 13时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·鄞州模拟）二次函数 的图象如图所示.下列结论：① ；② ；③ 为任意实数，则 ；④ ；⑤若 且 ，则 .其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2022·临安模拟）如图，是二次函数 的图象，图象经过点 ，二次函数的对称轴为 ，给出下列结论： ； ； ； ，其中正确的结论有（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·成都模拟）如图，二次函数的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0），且与轴相交于负半轴．给出四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2022九上·南宁开学考）如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中：；；；若为任意实数，则，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2022·梧州）如图，已知抛物线 的对称轴是 ，直线 轴，且交抛物线于点 ，下列结论错误的是（ ）
A．
B．若实数 ，则
C．
D．当 时，
14．（2022·达州）二次函数 的部分图象如图所示，与y轴交于 ，对称轴为直线 .下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，都有 成立；④若 ， ， 在该函数图象上，则 ；⑤方程 （ ，k为常数）的所有根的和为4.其中正确结论有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．（2022九下·江津期中）如图是二次函数图象的y=ax2+bx+c一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为直线x=-1。则以下结论错误的是（ ）
A．b2>4ac B．2a+b=0 C．a+b+c=0 D．5a16．（2022·龙马潭模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2如，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0；②2a+b＞0；③b2+8a＞4ac；④a＜﹣1．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
17．（2022·新都模拟）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论正确的有 ．①；②；③对于任意实数，恒成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．（填编号）
18．（2022·贵港）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线.对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则.其中正确结论的个数共有 个.
19．（2022·蓬安模拟）关于抛物线，与x轴交于A、B两点（A在B左侧），给出下列4个结论：①当抛物线的顶点在y轴的正半轴上时，；②点P在抛物线上，当符合条件（a为常数）的点有3个时，则；③当 时，y＜0，；④已知C（0，2），D（0，4），当取最小值时，.其中正确结论的序号是 .
20．（2022·武汉）已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且.下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根.
其中正确的是 （填写序号）.
三、综合题
21．（2022·新河模拟）平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，其中为常数．
（1）求的值，并用含的代数式表示；
（2）若抛物线与轴有公共点，求的值；
（3）设，是抛物线上的两点，请比较与0的大小，并说明理由．
22．（2022·余杭模拟）已知二次函数y=ax2-2ax+c（a>0）的图象与x轴的交点坐标为（2，0）．
（1）求抛物线的对称轴及c的值．
（2）若该抛物线与直线y=x-2只有一个公共点．
①求a的值；
②若点A（x1，y1），B（x2，y2）在该抛物线上，当m-1≤x1≤m+1，m+1≤x2≤m+2时，均满足y1≠y2，求m的取值范围．
23．（2022九下·杭州期中）在直角坐标系中，点A（1，m）和点B（3，n）在二次函数y=ax2+bx+1（a#0）的图象上．
（1）若m=1，n=4，求二次函数的表达式及图象的对称轴．
（2）若m-n= ，试说明二次函数的图象与x轴必有交点．
（3）若点C（x0，y0）是二次函数图象上的任意一点，且满足y0≤m，求mn的取值范围．
24．（2022·余杭模拟）在平面直角坐标系内，设二次函数y1＝(x－a)2＋a－1(a为常数).
（1）若函数y1的图象经过点(1，2)，求函数y1的表达式.
（2）若函数y1的图象与一次函数y2＝x＋b(b为常数)的图象有且仅有一个交点，求b的值.
（3）已知(m，n)( m＞0)在函数y1的图象上，当m＞2a时，求证：n＞.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线 ，
，即 ，所以①正确；
抛物线对称轴为直线 ，
函数的最大值为y= ，
，即 ，所以②正确；
抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线 ，
抛物线与x轴的另一个交点在（-1，0）的右侧，
当 时， ，
即 ，所以③错误；
， ，
，即 ，所以④正确；
，
，
，
，
而 ，
，即 ，
，
，所以⑤正确．
综上所述，正确的有 共4个.
故答案为：C.
【分析】由图象可得抛物线开口向下，则a<0，根据对称轴为直线x=1可得b=-2a>0，据此判断 ①；根据图象可得当x=1时，函数取得最大值a+b+c，据此判断②；根据对称性可得与x轴的另一个交点在 （-1，0） 的右侧，则当x=-1时，y<0，据此判断③；根据b=-2a结合a-b+c<0可判断④；根据ax12+bx1=ax22+bx2可得x1+x2=，结合b=-2a可判断⑤.
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由抛物线的开口向下可得a<0，由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴可得c<0，根据对称轴为x=>0可得b>0，则abc>0，故①正确；
令x=3，则y=9a+3b+c>0，故②错误；
∵OA=OC<1，
∴c>-1，故③正确.
假设方程的一根为x=，将其代入方程中可得-+c=0，整理可得ac-b+1=0，两边同时乘以c可得ac2-bc+c=0，即方程有一根为x=-c.
∵OA=OC，OC=-c，
∴OA=-c，
而x=OA为方程的根，
∴x=-c为方程的根，故假设成立，④正确.
故答案为：C.
【分析】由图象可得：抛物线开口向下，与y轴的交点在y轴负半轴，对称轴在y轴右侧，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；由图象可得x=3对应的函数值为正，据此判断②；根据OA=OC<1可判断③；假设方程的一根为x=，将其代入方程中并整理可得ac-b+1=0，两边同时乘以c可得方程有一根为x=-c，据此判断④.
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线 ，
，
抛物线与y轴的交点在x轴上方，
，
，所以①正确；
抛物线经过点（2，0） ，
时， ，
，所以②错误；
对称轴为 ，且经过点（2，0） ，
抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0） ，
，
，
，所以③正确；
点 离对称轴要比点 离对称轴要远，
，所以④正确．
抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， y有最大值，
其中 ，
其中 ，
，
，
，所以⑤正确；
故答案为：A.
【分析】由图象可得抛物线开口向下，与y轴的交点在x轴上方，对称轴为直线x=，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；将（2，0）代入二次函数解析式中可判断②；根据对称性求出与x轴的另一个交点的坐标，进而可得c=-2a，据此判断③；由二次函数的性质可得距离对称轴越远的点，对应的函数值越小，据此判断④；根据x=对应的函数值最大可判断⑤.
4．【答案】B
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数开口向上，对称轴为 ，所以点N关于对称轴的对称点为 ，
，在对称轴右边， y随x的增加而增加，
，
，故①错误；
当 时， ，
，
解得， 或 ，
该图像一定经过定点 ， ，故②正确；
由题意可得方程： ，
整理可得： ，
，
直线 与抛物线一定存在两个交点，故③正确；
当 时， y随x的增加而减少，
当 时，y有最小值为a ，
即 ，
解得 ，故④错误；
综上，正确的选项有②③.
故答案为：B.
【分析】根据对称性可得点N关于对称轴的对称点为（6，y2），在对称轴右边，y随x的增加而增加，据此判断①；令y=1可得ax2-4ax-5a=0，求出x的值，得到图象经过的点的坐标，据此判断②；联立直线与抛物线解析式并结合判别式可判断③；当-3≤x≤1时，y随x的增加而减少，则当x=1时，y有最小值为a，代入二次函数解析式中可求出a的值，据此判断④.
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象可知，开口向上，图象与y轴负半轴有交点，则，，
对称轴为直线，则，
∴，故①正确；
∵抛物线y=ax2-2ax+c经过( 3，0)，
∴9a-6a+c=0，
∴c=-3a，
∴2c-3b=- 6a+ 6a=0，故②错误；
5a+b+2c=5a-2a一6a=-3a<0，故③错误；
∵，，，
∴，
∴根据开口向上，离对称轴越近其对应的函数值越小，则有，故④正确；
∴正确的结论有3个.
故答案为：B.
【分析】由图象可知：开口向上，图象与y轴负半轴有交点，对称轴为直线x=1，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；利用对称轴公式，抛物线经过A ( 3，0)，求出b、c与a的关系，可判断②③；根据距离对称轴越远的点，对应的函数值越大可判断④.
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m）
∴，b=-2a
∵a＜0
∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在正半轴
∴c＞0
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1）
∴1＝a·22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下
∴x>1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0
∴at2+bt-（a+b）
= at2-2at-a+2a
= at2-2at+a
=a（t2-2t+1）
= a（t-1）2≤0
∴at2+bt≤a+b，则⑤正确
综上，正确的共有4个.
故答案为：C.
【分析】由抛物线的开口方向向下可知a＜0，据此判断①；根据顶点P的坐标结合对称轴方程可得b=-2a，结合a的符号可得b的符号，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得c＞0，据此判断②；根据点A在二次函数图象上可判断③；根据顶点P的坐标以及开口方向可判断④；at2+bt-(a+b)=at2-2at-a+2a=a(t-1)2，结合a的符号可判断⑤.
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象及题意得：a＜0，c＞0，对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（-1，0），
∴，
∴，即，
∴abc＜0，3b-2c=3×（-4a）-2×（-5a）=-2a＞0，故（1）（3）正确；
由图象可知当x=-2时，则有，即，故（2）错误；
∵点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，
∴根据二次函数开口向下，离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，
∴，故（4）错误；
由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为，
∴当x=m时，（m为常数），则有，
∴，即为，故（5）正确；
综上所述：正确的有（1）（3）（5）共3个；
故答案为：C.
【分析】由图象及题意得a<0，c>0，对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（-1，0），则b=-4a>0，a-b+c=0，推出c=-5a，据此判断（1）（3）；由图象可知当x=-2时，则4a-2b+c<0，据此判断（2）；根据二次函数的性质可得离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，据此判断（4）；由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为y=4a+2b+c，据此判断（5）.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：y=x2 2x 3=(x-1)2-4，
∴对称轴为直线x=1，
令y=0，则(x-1)2-4=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，
二次函数y=x2 2x 3的图象如图：
由图象知.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=1，令y=0，求出x的值，可得抛物线与x轴的交点坐标，然后画出二次函数的图象，据此进行比较.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解∶根据题意得：二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，
∴ ，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵二次函数的对称轴为直线x=1，与x轴的交点在（3，0）的左侧，
∴二次函数与x轴的另一个交点在（-1，0）右侧，
即当x=-1时，y＜0，
∴ ，故②错误；
∵二次函数的对称轴为直线x=1，开口向下，
∴当x=1时，y最大，最大值为a+b+c，
∴ 为任意实数时， ，
即 ，故③错误；
根据题意得： ，
∴b=-2a，
∵ ，
∴ ，即 ，故④正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故⑤正确；
∴正确的有④⑤，共2个.
故答案为：B.
【分析】由图形可得：二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，判断出a、b、c的正负，据此判断①；根据对称性可得与x轴的另一个交点的坐标，得到当x=-1时，y＜0，据此判断②；根据当x=1时，y最大，最大值为a+b+c可判断③；根据对称轴为直线x=1可得b=-2a，结合a-b+c<0可判断④；对⑤中的条件进行化简可得x1+x2=，结合b=-2a可判断⑤.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 抛物线与x轴有2个交点，
，
， ①正确.
抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线 ，
，
， ③正确.
抛物线与y轴交点在x轴上方，
，
，②错误.
抛物线经过 ，抛物线对称轴为直线 ，
抛物线经过 ，
， ④正确.
故答案为：C.
【分析】①根据抛物线与x轴有两个交点可知：与其相关的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得b2-4ac＞0，即b2＞4ac；
②由图知，抛物线的开口向下，则a＜0，抛物线得对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，于是b＞0，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，则c＞0，于是可得bc＞0；
③由图知，抛物线的对称轴x=1=-，整理可得2a+b=0；
④由抛物线是轴对称图形和经过的已知点A（3，0）可得抛物线经过的另一个点为（-1，0），把点（-1，0）代入抛物线的解析式可得a-b+c=0.
11．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，故①错误；
②由图象可知：对称轴＞0且对称轴＜1，∴2a+b＞0，故②正确；
③由图象可知：当x=－1时y=2，
∴，当x=1时y=0，
∴a+b+c=0.
与a+b+c=0相加得2a+2c=2，
解得a+c=1，故③正确；
④∵a+c=1，移项得a=1－c，
又∵c＜0，
∴a＞1，故④正确；
故正确结论的序号是②③④．
故答案为：C．
【分析】由抛物线的开口向上可得a＞0，对称轴在x轴的右侧可得b＜0，由抛物线与y轴相交于负半轴，可得c＜0，从而得出abc＞0，据此判断①；由图象可知对称轴0＜＜1，可得2a+b＞0，据此判断②；由图象可知当x=－1时y=a-b+c=2，当x=1时y=a+b+c=0，联合两等式可求出a+c=1，据此判断③；由①③知a=1－c，c＜0，从而得出a＞1，据此判断④.
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①观察图象可知： ， ， ，
，故①错误；
②∵对称轴为直线 ， ，
可得 ， ，
点 ，点 ，
当 时， ，即 ，
，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线 ，即 ，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
④当 时，函数有最小值 ，
由 ，可得 ，
若m为任意实数，则 ，故④正确；
故答案为：C.
【分析】由图象可得开口向上，与y轴的交点在y轴负半轴，对称轴在y轴左侧，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；根据对称轴为直线x=-1、OA=3OB可得OA、OB的值，表示出点A、B的坐标，推出x=1时，y=0，据此判断②；根据对称轴为直线x=-1可得b=2a，结合a+b+c=0可得c=-3a，据此判断③；当x=-1时，函数取得最小值a-b+c，据此判断④.
13．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线 的对称轴是 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线开口向上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A说法正确，不符合题意；
∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时， ，
∴当实数 ，则 ，
∴当实数 时， ，故B说法正确，不符合题意；
∵当 时， ，
∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C说法错误，符合题意；
∵ ，
∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，
∴ ，故D说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据对称轴为直线x=-1可得b=2a，根据图象开口向上得a>0，则b2+8a=4a2+8a>0，据此判断A；由图象得当x=-1时，函数取得最小值，ymin=a-b-2，进而判断B；当x=1时，y=a+b-2<0，结合b=2a可判断C；由图象可得直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，据此判断D.
14．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵与y轴交点为，即c=-1，
又∵二次函数对称轴为，则，即b=-2a，
∴该二次函数解析式为y=ax2-2ax-1.
对于①，由图象可知抛物线开口向上，则a＞0，
∴abc＞0，
∴①正确，符合题意；
对于②，由图象可知：当x＝-1时，y＞0，
∴a+2a-1＞0，即a＞ ，
∴②正确，符合题意；
对于③，将不等式变形，即有，
不等式左侧，即当x=m时，y=am2+bm+c；不等式右侧，即当x=1时，y=a+b+c；
根据图象可知，，
∴③错误，不符合题意；
对于④，
∵，且a>0，
∴，
∴④错误，不符合题意；
对于⑤，|ax2+bx+c|＝k，即可视作与y=k的交点问题，如下图，
可知，其交点个数可分为3种情况，
即当y=k1时，此时结合对称轴x=1，有，即该类情况方程|ax2+bx+c|＝k的所有根之和为4；
同理，当y=k2时，该类情况方程|ax2+bx+c|＝k的所有根之和为3；
当y=k3时，该类情况方程|ax2+bx+c|＝k的所有根之和为2；
∴⑤错误，不符合题意，
∴正确的为①②.
故答案为：A.
【分析】根据抛物线图象与y轴交点及对称轴可列等式，即c=-1，b=-2a，进而消元得到该解析式为y=ax2-2ax-1；
对于①，结合开口a>0，可判断abc符号；
对于②，利用图象的不等信息，即当x=-1时，y>0，代入y=ax2-2ax-1可判断；
对于③不难看出，即不等式右侧是函数x=1时的值，左侧为抛物线上任一点进而判断；
对于④，结合开口及二次函数对称性，根据点横坐标距离对称轴远近可判断其大小关系；
对于⑤，可将方程|ax2+bx+c|＝k代数问题转化为函数与y=k的交点的几何图象问题，进而根据函数交点情况结合对称轴分析易得.
15．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，A选项是正确的，不符合题意；
B、因为对称轴为直线x＝﹣1，则﹣＝﹣1，即2a﹣b＝0，B选项是错误的，符合题意；
C、因为图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴另一个交点为（1，0），从而得a+b+c＝0，C选项是正确的，不符合题意；
D、因为b＝2a，而a＜0，则5a＜2a，进而得5a＜b，D选项是正确的，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点，可对A进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，即2a﹣b＝0，可对B进行判断；根据抛物线的对称性先求出抛物线与x轴另一个交点为（1，0），即x＝0时，y＝0，可对C进行判断；由抛物线开口向下得a＜0，又b＝2a，则5a＜2a，可对D进行判断．据此判断即可得出正确答案.
16．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为0＜x=＜1，
∵a＜0，
∴2a+b＜0，故②错误
而抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，
当x=2时，y=4a+2b+c＜0，
当x=1时，a+b+c=2．
∵＞2，
∴4ac-b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，故③正确
∵函数经过点（1，2），
∴a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，
∵当时，，时，
∴4a+2b+c＜0，a-b+c＜0．故①正确
∴2a+2c＜2，2a-c＜-4，
∴4a-2c＜-8，
∴6a＜-6，
∴a＜-1．
故答案为：C．
【分析】①由图可知：当x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0；
②由图可知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x=＜1，整理可得2a+b＜0；
③由图可知：抛物线与x轴有两个不同的交点，可得关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，由一元二次方程的根的判别式可得，b2-4ac＞0；当x=2时，y=4a+2b+c＜0，当x=1时，a+b+c=2；，整理可得b2+8a＞4ac；
④由题意把点（1，2）代入抛物线的解析式可得a+b+c=2，则2a+2b+2c=4；由图知当x=2时，y＜0，x=-1时，y＜0，整理可得a＜ -1.
17．【答案】①②③
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵顶点坐标(1，n)，
∴对称轴为直线x=1，
∴，
∴b= 2a>0，
∵与y轴的交点在(0，3)，(0，4) (包含端点)，
∴3 c 4，
3a+b=3a+( 2a)=a<0，故①正确，
∵与x轴交于点A( 1，0)，
∴a b+c=0，
∴a ( 2a)+c=0，
∴c= 3a，
∴3 3a 4，
∴，故②正确，
∵顶点坐标为(1，n)，
∴当x=1时，函数有最大值n，
∴a+b+c am2+bm+c，
∴a+b am2+bm，故③正确，
∵抛物线的顶点坐标(1，n)，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+5没有交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=n+5没有实数根，故④错误，
综上所述，结论正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【分析】由抛物线开口向下知a＜0，由顶点坐标(1，n)，得对称轴为直线x==1，可得b= 2a>0，从而求出3a+b=a<0，据此判断①；根据抛物线与y轴的交点范围得3 c 4，将点A( 1，0)代入解析式得a b+c=0，据此得c= 3a，即得3 3a 4，求出a的范围即可判断②；由顶点坐标可得x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，从而得出a+b+c am2+bm+c，据此判断③；由顶点坐标(1，n)，可得抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+5没有交点，从而得出关于x的方程ax2+bx+c=n+5没有实数根，据此判断④.
18．【答案】3
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2，0)，
∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1，0)，
将(1，0)代入函数解析式中可得a+b+c=0，故③正确；
∵抛物线开口朝下，
∴，
又∵抛物线的对称轴在y轴的左边，且抛物线交y轴的正半轴，
∴，，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式，故②正确；
将(-2，0)、(1，0)代入函数解析式中可得，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
即，故④正确；
∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小，
∵，
∴，故⑤错误，
故正确的有：②③④.
故答案为：3.
【分析】根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个坐标为(1，0)，将(1，0)代入y=ax2+bx+c中可得a+b+c=0，据此判断③；根据图象可得抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴的交点在y轴正半轴，确定出a、b、c的符号，据此判断①；根据抛物线与x轴有两个不同的交点可判断②；将(1，0)、(-2，0)代入函数解析式中可得b=a，c=-2a，表示出am2+bm，(a-2b)，然后作差即可判断④；根据图象确定出函数的增减性，据此判断⑤.
19．【答案】②④
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题；平行线分线段成比例；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：① 抛物线的顶点在y轴的正半轴上，要，且，
∵m无解，故①错误；
②∵
，
∴顶点的纵坐标为，
当时，，
解得，，
∴，，
则，
∵抛物线上有一个动点P，满足的点有3个时，
∴点P是抛物线的顶点时满足条件，
此时，故②正确；
③∵，，，，
∴由数形结合可知： ，
解得：，故③错误；
④如图，作点C关于点O的对称点E，由②，将AB平移到EF，连接DF交x轴于G，
∵，
显然当D，B，F共线时，
即点B运动到点G时，取得最小值，
∵，
∴，
∴，
∵，这时点B和点G重合，
∴，故④正确；
综上所述，正确结论的序号是②④，
故答案为：②④.
【分析】①由抛物线的顶点在y轴的正半轴上，则，且，据此得解接口判断；②将解析式化为 ，可得顶点的纵坐标为，再求出，，从而得出AB=1，结合已知可得得点P是抛物线的顶点时满足条件，利用三角形的面积公式求出a值即可判断；③由，及A、B的坐标，可得，据此求解即可判断；④作点C关于点O的对称点E，由②，将AB平移到EF，连接DF交x轴于G，由于，显然当D，B，F共线时，即点B运动到点G时，取得最小值，根据平行线分线段成比例可求出OG的长，即得B的坐标，从而求出m值即可判断.
20．【答案】①③④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵A（-1，0），B（m，0），
∴抛物线的对称轴为=.
∵1∴m-1>0，
∴>0.
∵抛物线图象开口向下，
∴a<0，
∴b>0，故①正确.
∵m=，
∴对称轴为x==，
∴b=-.
∵当x=-1时，y=a-b+c=0，
∴+c=0，
∴3a+2c=0，故②错误.
∵A（-1，0）、B（m，0），且1∴对称轴在0到0.5之间.
∵M（x1，y1），N（x2，y2），x11，
∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，
∴y1>y2，故③正确.
设y=a(x+1)(x-m)，方程ax2+bx+c=1即为y=1，即a(x+1)(x-m)=1，整理可得ax2+a(1-m)x-am-1=0，
∴△=[a(1-m)]2-4a(-am-1)=a2(m+1)2+4a.
∵1∴△>0，
∴方程有两个不相等的实数根，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】根据点A、B的坐标结合对称轴方程可得=，由抛物线开口向下可得a<0，根据m的范围可得对称轴的位置，据此可得b的符号，进而判断①；当m=时，对称轴为x==，则b=-，然后结合x=-1时，y=0可判断②；根据点A、B的坐标结合m的范围可得对称轴在0到0.5之间，则点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，据此判断③；设y=a(x+1)(x-m)，方程ax2+bx+c=1则为ax2+a(1-m)x-am-1=0，表示出△，据此判断④.
21．【答案】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴ ，
∴ ；
∴b=2，
（2）解：由（1）得，
令，得，
∵抛物线与轴有公共点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴
（3）解：由（1）得，，
∵，是抛物线上的两点，
∴，，
∴．
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1） 将，代入中，即可求出b、m；
（2） 由（1）得， 根据抛物线与轴有公共点， 可得△≥0，从而求出m值；
（3） 由（1）得，，将，代入解析式中可得，， 即得 ，分三种情况：当，；当，；当，，据此即可得解.
22．【答案】（1）解：∵y＝ax2 2ax+c，
∴抛物线对称轴为直线x＝ ＝1，
把（2，0）代入y＝ax2 2ax+c得0＝4a 4a+c，
解得c＝0，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，c＝0．
（2）解：①∵c＝0，
∴y＝ax2 2ax，
令ax2 2ax＝x 2，整理得ax2 （2a+1）x+2＝0，
∵该抛物线与直线y＝x 2只有一个公共点，
∴Δ＝（2a+1）2 8a＝0，解得a＝ ，
∴y＝ x2 x．
②如图，点A（m，y1）与点B（m+2，y2）关于抛物线对称轴直线x＝1对称，
则 ＝1，
解得m＝0，
∴m＜0满足题意．
如图，点A（m 1，y1）与点B（m+1，y2）关于抛物线对称轴直线x＝1对称，
则 ＝1，
解得m＝1，
∴m＞1满足题意．
综上所述，m＜0或m＞1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式列式进行计算，即可得出抛物线的对称轴为直线x=1，把点（2，0）代入y＝ax2 2ax+c，列出算式进行计算，即可得出c的值；
（2）①根据题意列出方程ax2 2ax＝x 2，再根据抛物线与直线y＝x 2只有一个公共点，得出根的判别式Δ＝（2a+1）2 8a＝0，即可得出a的值；
②根据抛物线的性质得出点A与点B关于抛物线对称轴直线x＝1对称，从而得出列出方程，解方程求出m的值，即可得出答案.
23．【答案】（1）解：∵m=1，n=4，
∴A（1，1），B（3，4），
把点A（1，1）和点B（3，4） 代入中，
得 ，解得 ，
∴二次函数的表达式为，
∵二次函数图象经过（1，1）和（0，1），
∴二次函数图象的对称轴为直线；
（2）解：把点A（1，m）和点B（3，n）代入中，
得，
∴，即 ，
∴，
∴二次函数图象与 轴必有交点；
（3）解：∵点 是二次函数图象上的任意一点，且满足 ，
∴二次函数图象开口向下，即 ，顶点坐标为 ，
∴对称轴为直线 ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，由二次函数的对称性质及图象经过（1，1）和 （0，1），可求得对称轴为x=；
（2）把A（1，m）和B（3，n）代入解析式可得到m和n的代数式，再结合m-n=列出关于b和a的代数式，最后由Δ=b2-4ac的符号来判断抛物线与x轴的交点情况即可；
（3）由点C（x0，y0）是二次函数图象上的任意一点，且满足y0≤m，得a＜0，顶点坐为（1，m），利用对称轴求得b=-2a，再由（2）中得到m和n的代数式，从而求得mn=-3（a-）2+，进而求得mn的取值范围.
24．【答案】（1）解：将(1，2)代入y1＝(x a)2＋a 1，
得2＝(1 a)2＋a 1，
解得a1＝ 1，a2＝2，
∴y1＝(x＋1)2 2或y1＝(x 2)2＋1；
（2）解：∵y1的图象与一次函数y2＝x＋b的图象有且仅有一个交点，
∴(x a)2＋a 1＝x＋b有两个相等的实数根，
即x2﹣（2a+1）x+a2+a﹣b﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（2a+1）2﹣4（a2+a﹣b﹣1）＝0，
∴4b＋5＝0，
∴；
（3）解：∵m＞2a，
∴，
当x＝0时，y1＝(x－a)2＋a－1＝ a2＋a－1，
结合图1和图2中的大致函数图象， 可知|a 0|＜|a m|，
∴n＞a2＋a 1，
∴，
∵
∴
∴.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将(1，2)代入y1＝(x a)2＋a 1中，可求出a值，即得函数y1的表达式 ；
（2） 由于y1的图象与一次函数y2＝x＋b的图象有且仅有一个交点，可得(x a)2＋a 1＝x＋b有两个相等的实数根，据此得出△=0，据此解答即可；
（3） 抛物线的对称轴为直线x=a，由m＞2a可得，当x＝0时y1＝ a2＋a－1，结合图1和图2中的大致函数图象， 可知|a 0|＜|a m|， 即得n＞a2＋a 1=， 据此即证结论.
1 / 1人教版九年级上对接中考知识点复习专项计划——与二次函数相图像与坐标的交点问题
一、单选题
1．（2022九上·南宁开学考）二次函数的图象如图所示，下列结论：；②若为任意实数，则；；；若，且，则其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线 ，
，即 ，所以①正确；
抛物线对称轴为直线 ，
函数的最大值为y= ，
，即 ，所以②正确；
抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线 ，
抛物线与x轴的另一个交点在（-1，0）的右侧，
当 时， ，
即 ，所以③错误；
， ，
，即 ，所以④正确；
，
，
，
，
而 ，
，即 ，
，
，所以⑤正确．
综上所述，正确的有 共4个.
故答案为：C.
【分析】由图象可得抛物线开口向下，则a<0，根据对称轴为直线x=1可得b=-2a>0，据此判断 ①；根据图象可得当x=1时，函数取得最大值a+b+c，据此判断②；根据对称性可得与x轴的另一个交点在 （-1，0） 的右侧，则当x=-1时，y<0，据此判断③；根据b=-2a结合a-b+c<0可判断④；根据ax12+bx1=ax22+bx2可得x1+x2=，结合b=-2a可判断⑤.
2．（2022·舟山开学考）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为，其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由抛物线的开口向下可得a<0，由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴可得c<0，根据对称轴为x=>0可得b>0，则abc>0，故①正确；
令x=3，则y=9a+3b+c>0，故②错误；
∵OA=OC<1，
∴c>-1，故③正确.
假设方程的一根为x=，将其代入方程中可得-+c=0，整理可得ac-b+1=0，两边同时乘以c可得ac2-bc+c=0，即方程有一根为x=-c.
∵OA=OC，OC=-c，
∴OA=-c，
而x=OA为方程的根，
∴x=-c为方程的根，故假设成立，④正确.
故答案为：C.
【分析】由图象可得：抛物线开口向下，与y轴的交点在y轴负半轴，对称轴在y轴右侧，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；由图象可得x=3对应的函数值为正，据此判断②；根据OA=OC<1可判断③；假设方程的一根为x=，将其代入方程中并整理可得ac-b+1=0，两边同时乘以c可得方程有一根为x=-c，据此判断④.
3．（2022九上·岳麓开学考）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为且经过点下列说法：
；；；若，是抛物线上的两点，则；其中其中说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线 ，
，
抛物线与y轴的交点在x轴上方，
，
，所以①正确；
抛物线经过点（2，0） ，
时， ，
，所以②错误；
对称轴为 ，且经过点（2，0） ，
抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0） ，
，
，
，所以③正确；
点 离对称轴要比点 离对称轴要远，
，所以④正确．
抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， y有最大值，
其中 ，
其中 ，
，
，
，所以⑤正确；
故答案为：A.
【分析】由图象可得抛物线开口向下，与y轴的交点在x轴上方，对称轴为直线x=，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；将（2，0）代入二次函数解析式中可判断②；根据对称性求出与x轴的另一个交点的坐标，进而可得c=-2a，据此判断③；由二次函数的性质可得距离对称轴越远的点，对应的函数值越小，据此判断④；根据x=对应的函数值最大可判断⑤.
4．（2022九上·天心开学考）已知二次函数下列结论正确是（ ）
①已知点，点在二次函数的图象上，则；②该图象一定过定点和；③直线与抛物线一定存在两个交点；④当时，的最小值是，则；
A．①④ B．②① C．②④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数开口向上，对称轴为 ，所以点N关于对称轴的对称点为 ，
，在对称轴右边， y随x的增加而增加，
，
，故①错误；
当 时， ，
，
解得， 或 ，
该图像一定经过定点 ， ，故②正确；
由题意可得方程： ，
整理可得： ，
，
直线 与抛物线一定存在两个交点，故③正确；
当 时， y随x的增加而减少，
当 时，y有最小值为a ，
即 ，
解得 ，故④错误；
综上，正确的选项有②③.
故答案为：B.
【分析】根据对称性可得点N关于对称轴的对称点为（6，y2），在对称轴右边，y随x的增加而增加，据此判断①；令y=1可得ax2-4ax-5a=0，求出x的值，得到图象经过的点的坐标，据此判断②；联立直线与抛物线解析式并结合判别式可判断③；当-3≤x≤1时，y随x的增加而减少，则当x=1时，y有最小值为a，代入二次函数解析式中可求出a的值，据此判断④.
5．（2022·广安）已知抛物线y=ax2 +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象可知，开口向上，图象与y轴负半轴有交点，则，，
对称轴为直线，则，
∴，故①正确；
∵抛物线y=ax2-2ax+c经过( 3，0)，
∴9a-6a+c=0，
∴c=-3a，
∴2c-3b=- 6a+ 6a=0，故②错误；
5a+b+2c=5a-2a一6a=-3a<0，故③错误；
∵，，，
∴，
∴根据开口向上，离对称轴越近其对应的函数值越小，则有，故④正确；
∴正确的结论有3个.
故答案为：B.
【分析】由图象可知：开口向上，图象与y轴负半轴有交点，对称轴为直线x=1，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；利用对称轴公式，抛物线经过A ( 3，0)，求出b、c与a的关系，可判断②③；根据距离对称轴越远的点，对应的函数值越大可判断④.
6．（2022·鄂州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m）
∴，b=-2a
∵a＜0
∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在正半轴
∴c＞0
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1）
∴1＝a·22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下
∴x>1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0
∴at2+bt-（a+b）
= at2-2at-a+2a
= at2-2at+a
=a（t2-2t+1）
= a（t-1）2≤0
∴at2+bt≤a+b，则⑤正确
综上，正确的共有4个.
故答案为：C.
【分析】由抛物线的开口方向向下可知a＜0，据此判断①；根据顶点P的坐标结合对称轴方程可得b=-2a，结合a的符号可得b的符号，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得c＞0，据此判断②；根据点A在二次函数图象上可判断③；根据顶点P的坐标以及开口方向可判断④；at2+bt-(a+b)=at2-2at-a+2a=a(t-1)2，结合a的符号可判断⑤.
7．（2022·广元）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）.其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象及题意得：a＜0，c＞0，对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（-1，0），
∴，
∴，即，
∴abc＜0，3b-2c=3×（-4a）-2×（-5a）=-2a＞0，故（1）（3）正确；
由图象可知当x=-2时，则有，即，故（2）错误；
∵点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，
∴根据二次函数开口向下，离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，
∴，故（4）错误；
由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为，
∴当x=m时，（m为常数），则有，
∴，即为，故（5）正确；
综上所述：正确的有（1）（3）（5）共3个；
故答案为：C.
【分析】由图象及题意得a<0，c>0，对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（-1，0），则b=-4a>0，a-b+c=0，推出c=-5a，据此判断（1）（3）；由图象可知当x=-2时，则4a-2b+c<0，据此判断（2）；根据二次函数的性质可得离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，据此判断（4）；由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为y=4a+2b+c，据此判断（5）.
8．（2022·陕西）已知二次函数y=x2 2x 3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当 13时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：y=x2 2x 3=(x-1)2-4，
∴对称轴为直线x=1，
令y=0，则(x-1)2-4=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，
二次函数y=x2 2x 3的图象如图：
由图象知.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=1，令y=0，求出x的值，可得抛物线与x轴的交点坐标，然后画出二次函数的图象，据此进行比较.
9．（2022·鄞州模拟）二次函数 的图象如图所示.下列结论：① ；② ；③ 为任意实数，则 ；④ ；⑤若 且 ，则 .其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解∶根据题意得：二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，
∴ ，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵二次函数的对称轴为直线x=1，与x轴的交点在（3，0）的左侧，
∴二次函数与x轴的另一个交点在（-1，0）右侧，
即当x=-1时，y＜0，
∴ ，故②错误；
∵二次函数的对称轴为直线x=1，开口向下，
∴当x=1时，y最大，最大值为a+b+c，
∴ 为任意实数时， ，
即 ，故③错误；
根据题意得： ，
∴b=-2a，
∵ ，
∴ ，即 ，故④正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故⑤正确；
∴正确的有④⑤，共2个.
故答案为：B.
【分析】由图形可得：二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，判断出a、b、c的正负，据此判断①；根据对称性可得与x轴的另一个交点的坐标，得到当x=-1时，y＜0，据此判断②；根据当x=1时，y最大，最大值为a+b+c可判断③；根据对称轴为直线x=1可得b=-2a，结合a-b+c<0可判断④；对⑤中的条件进行化简可得x1+x2=，结合b=-2a可判断⑤.
10．（2022·临安模拟）如图，是二次函数 的图象，图象经过点 ，二次函数的对称轴为 ，给出下列结论： ； ； ； ，其中正确的结论有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 抛物线与x轴有2个交点，
，
， ①正确.
抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线 ，
，
， ③正确.
抛物线与y轴交点在x轴上方，
，
，②错误.
抛物线经过 ，抛物线对称轴为直线 ，
抛物线经过 ，
， ④正确.
故答案为：C.
【分析】①根据抛物线与x轴有两个交点可知：与其相关的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得b2-4ac＞0，即b2＞4ac；
②由图知，抛物线的开口向下，则a＜0，抛物线得对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，于是b＞0，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，则c＞0，于是可得bc＞0；
③由图知，抛物线的对称轴x=1=-，整理可得2a+b=0；
④由抛物线是轴对称图形和经过的已知点A（3，0）可得抛物线经过的另一个点为（-1，0），把点（-1，0）代入抛物线的解析式可得a-b+c=0.
11．（2022·成都模拟）如图，二次函数的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0），且与轴相交于负半轴．给出四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，故①错误；
②由图象可知：对称轴＞0且对称轴＜1，∴2a+b＞0，故②正确；
③由图象可知：当x=－1时y=2，
∴，当x=1时y=0，
∴a+b+c=0.
与a+b+c=0相加得2a+2c=2，
解得a+c=1，故③正确；
④∵a+c=1，移项得a=1－c，
又∵c＜0，
∴a＞1，故④正确；
故正确结论的序号是②③④．
故答案为：C．
【分析】由抛物线的开口向上可得a＞0，对称轴在x轴的右侧可得b＜0，由抛物线与y轴相交于负半轴，可得c＜0，从而得出abc＞0，据此判断①；由图象可知对称轴0＜＜1，可得2a+b＞0，据此判断②；由图象可知当x=－1时y=a-b+c=2，当x=1时y=a+b+c=0，联合两等式可求出a+c=1，据此判断③；由①③知a=1－c，c＜0，从而得出a＞1，据此判断④.
12．（2022九上·南宁开学考）如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中：；；；若为任意实数，则，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①观察图象可知： ， ， ，
，故①错误；
②∵对称轴为直线 ， ，
可得 ， ，
点 ，点 ，
当 时， ，即 ，
，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线 ，即 ，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
④当 时，函数有最小值 ，
由 ，可得 ，
若m为任意实数，则 ，故④正确；
故答案为：C.
【分析】由图象可得开口向上，与y轴的交点在y轴负半轴，对称轴在y轴左侧，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；根据对称轴为直线x=-1、OA=3OB可得OA、OB的值，表示出点A、B的坐标，推出x=1时，y=0，据此判断②；根据对称轴为直线x=-1可得b=2a，结合a+b+c=0可得c=-3a，据此判断③；当x=-1时，函数取得最小值a-b+c，据此判断④.
13．（2022·梧州）如图，已知抛物线 的对称轴是 ，直线 轴，且交抛物线于点 ，下列结论错误的是（ ）
A．
B．若实数 ，则
C．
D．当 时，
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线 的对称轴是 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线开口向上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A说法正确，不符合题意；
∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时， ，
∴当实数 ，则 ，
∴当实数 时， ，故B说法正确，不符合题意；
∵当 时， ，
∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C说法错误，符合题意；
∵ ，
∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，
∴ ，故D说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据对称轴为直线x=-1可得b=2a，根据图象开口向上得a>0，则b2+8a=4a2+8a>0，据此判断A；由图象得当x=-1时，函数取得最小值，ymin=a-b-2，进而判断B；当x=1时，y=a+b-2<0，结合b=2a可判断C；由图象可得直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，据此判断D.
14．（2022·达州）二次函数 的部分图象如图所示，与y轴交于 ，对称轴为直线 .下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，都有 成立；④若 ， ， 在该函数图象上，则 ；⑤方程 （ ，k为常数）的所有根的和为4.其中正确结论有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵与y轴交点为，即c=-1，
又∵二次函数对称轴为，则，即b=-2a，
∴该二次函数解析式为y=ax2-2ax-1.
对于①，由图象可知抛物线开口向上，则a＞0，
∴abc＞0，
∴①正确，符合题意；
对于②，由图象可知：当x＝-1时，y＞0，
∴a+2a-1＞0，即a＞ ，
∴②正确，符合题意；
对于③，将不等式变形，即有，
不等式左侧，即当x=m时，y=am2+bm+c；不等式右侧，即当x=1时，y=a+b+c；
根据图象可知，，
∴③错误，不符合题意；
对于④，
∵，且a>0，
∴，
∴④错误，不符合题意；
对于⑤，|ax2+bx+c|＝k，即可视作与y=k的交点问题，如下图，
可知，其交点个数可分为3种情况，
即当y=k1时，此时结合对称轴x=1，有，即该类情况方程|ax2+bx+c|＝k的所有根之和为4；
同理，当y=k2时，该类情况方程|ax2+bx+c|＝k的所有根之和为3；
当y=k3时，该类情况方程|ax2+bx+c|＝k的所有根之和为2；
∴⑤错误，不符合题意，
∴正确的为①②.
故答案为：A.
【分析】根据抛物线图象与y轴交点及对称轴可列等式，即c=-1，b=-2a，进而消元得到该解析式为y=ax2-2ax-1；
对于①，结合开口a>0，可判断abc符号；
对于②，利用图象的不等信息，即当x=-1时，y>0，代入y=ax2-2ax-1可判断；
对于③不难看出，即不等式右侧是函数x=1时的值，左侧为抛物线上任一点进而判断；
对于④，结合开口及二次函数对称性，根据点横坐标距离对称轴远近可判断其大小关系；
对于⑤，可将方程|ax2+bx+c|＝k代数问题转化为函数与y=k的交点的几何图象问题，进而根据函数交点情况结合对称轴分析易得.
15．（2022九下·江津期中）如图是二次函数图象的y=ax2+bx+c一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为直线x=-1。则以下结论错误的是（ ）
A．b2>4ac B．2a+b=0 C．a+b+c=0 D．5a【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，A选项是正确的，不符合题意；
B、因为对称轴为直线x＝﹣1，则﹣＝﹣1，即2a﹣b＝0，B选项是错误的，符合题意；
C、因为图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴另一个交点为（1，0），从而得a+b+c＝0，C选项是正确的，不符合题意；
D、因为b＝2a，而a＜0，则5a＜2a，进而得5a＜b，D选项是正确的，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点，可对A进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，即2a﹣b＝0，可对B进行判断；根据抛物线的对称性先求出抛物线与x轴另一个交点为（1，0），即x＝0时，y＝0，可对C进行判断；由抛物线开口向下得a＜0，又b＝2a，则5a＜2a，可对D进行判断．据此判断即可得出正确答案.
16．（2022·龙马潭模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2如，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0；②2a+b＞0；③b2+8a＞4ac；④a＜﹣1．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为0＜x=＜1，
∵a＜0，
∴2a+b＜0，故②错误
而抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，
当x=2时，y=4a+2b+c＜0，
当x=1时，a+b+c=2．
∵＞2，
∴4ac-b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，故③正确
∵函数经过点（1，2），
∴a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，
∵当时，，时，
∴4a+2b+c＜0，a-b+c＜0．故①正确
∴2a+2c＜2，2a-c＜-4，
∴4a-2c＜-8，
∴6a＜-6，
∴a＜-1．
故答案为：C．
【分析】①由图可知：当x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0；
②由图可知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x=＜1，整理可得2a+b＜0；
③由图可知：抛物线与x轴有两个不同的交点，可得关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，由一元二次方程的根的判别式可得，b2-4ac＞0；当x=2时，y=4a+2b+c＜0，当x=1时，a+b+c=2；，整理可得b2+8a＞4ac；
④由题意把点（1，2）代入抛物线的解析式可得a+b+c=2，则2a+2b+2c=4；由图知当x=2时，y＜0，x=-1时，y＜0，整理可得a＜ -1.
二、填空题
17．（2022·新都模拟）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论正确的有 ．①；②；③对于任意实数，恒成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．（填编号）
【答案】①②③
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵顶点坐标(1，n)，
∴对称轴为直线x=1，
∴，
∴b= 2a>0，
∵与y轴的交点在(0，3)，(0，4) (包含端点)，
∴3 c 4，
3a+b=3a+( 2a)=a<0，故①正确，
∵与x轴交于点A( 1，0)，
∴a b+c=0，
∴a ( 2a)+c=0，
∴c= 3a，
∴3 3a 4，
∴，故②正确，
∵顶点坐标为(1，n)，
∴当x=1时，函数有最大值n，
∴a+b+c am2+bm+c，
∴a+b am2+bm，故③正确，
∵抛物线的顶点坐标(1，n)，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+5没有交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=n+5没有实数根，故④错误，
综上所述，结论正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【分析】由抛物线开口向下知a＜0，由顶点坐标(1，n)，得对称轴为直线x==1，可得b= 2a>0，从而求出3a+b=a<0，据此判断①；根据抛物线与y轴的交点范围得3 c 4，将点A( 1，0)代入解析式得a b+c=0，据此得c= 3a，即得3 3a 4，求出a的范围即可判断②；由顶点坐标可得x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，从而得出a+b+c am2+bm+c，据此判断③；由顶点坐标(1，n)，可得抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+5没有交点，从而得出关于x的方程ax2+bx+c=n+5没有实数根，据此判断④.
18．（2022·贵港）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线.对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则.其中正确结论的个数共有 个.
【答案】3
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2，0)，
∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1，0)，
将(1，0)代入函数解析式中可得a+b+c=0，故③正确；
∵抛物线开口朝下，
∴，
又∵抛物线的对称轴在y轴的左边，且抛物线交y轴的正半轴，
∴，，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式，故②正确；
将(-2，0)、(1，0)代入函数解析式中可得，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
即，故④正确；
∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小，
∵，
∴，故⑤错误，
故正确的有：②③④.
故答案为：3.
【分析】根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个坐标为(1，0)，将(1，0)代入y=ax2+bx+c中可得a+b+c=0，据此判断③；根据图象可得抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴的交点在y轴正半轴，确定出a、b、c的符号，据此判断①；根据抛物线与x轴有两个不同的交点可判断②；将(1，0)、(-2，0)代入函数解析式中可得b=a，c=-2a，表示出am2+bm，(a-2b)，然后作差即可判断④；根据图象确定出函数的增减性，据此判断⑤.
19．（2022·蓬安模拟）关于抛物线，与x轴交于A、B两点（A在B左侧），给出下列4个结论：①当抛物线的顶点在y轴的正半轴上时，；②点P在抛物线上，当符合条件（a为常数）的点有3个时，则；③当 时，y＜0，；④已知C（0，2），D（0，4），当取最小值时，.其中正确结论的序号是 .
【答案】②④
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题；平行线分线段成比例；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：① 抛物线的顶点在y轴的正半轴上，要，且，
∵m无解，故①错误；
②∵
，
∴顶点的纵坐标为，
当时，，
解得，，
∴，，
则，
∵抛物线上有一个动点P，满足的点有3个时，
∴点P是抛物线的顶点时满足条件，
此时，故②正确；
③∵，，，，
∴由数形结合可知： ，
解得：，故③错误；
④如图，作点C关于点O的对称点E，由②，将AB平移到EF，连接DF交x轴于G，
∵，
显然当D，B，F共线时，
即点B运动到点G时，取得最小值，
∵，
∴，
∴，
∵，这时点B和点G重合，
∴，故④正确；
综上所述，正确结论的序号是②④，
故答案为：②④.
【分析】①由抛物线的顶点在y轴的正半轴上，则，且，据此得解接口判断；②将解析式化为 ，可得顶点的纵坐标为，再求出，，从而得出AB=1，结合已知可得得点P是抛物线的顶点时满足条件，利用三角形的面积公式求出a值即可判断；③由，及A、B的坐标，可得，据此求解即可判断；④作点C关于点O的对称点E，由②，将AB平移到EF，连接DF交x轴于G，由于，显然当D，B，F共线时，即点B运动到点G时，取得最小值，根据平行线分线段成比例可求出OG的长，即得B的坐标，从而求出m值即可判断.
20．（2022·武汉）已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且.下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根.
其中正确的是 （填写序号）.
【答案】①③④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵A（-1，0），B（m，0），
∴抛物线的对称轴为=.
∵1∴m-1>0，
∴>0.
∵抛物线图象开口向下，
∴a<0，
∴b>0，故①正确.
∵m=，
∴对称轴为x==，
∴b=-.
∵当x=-1时，y=a-b+c=0，
∴+c=0，
∴3a+2c=0，故②错误.
∵A（-1，0）、B（m，0），且1∴对称轴在0到0.5之间.
∵M（x1，y1），N（x2，y2），x11，
∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，
∴y1>y2，故③正确.
设y=a(x+1)(x-m)，方程ax2+bx+c=1即为y=1，即a(x+1)(x-m)=1，整理可得ax2+a(1-m)x-am-1=0，
∴△=[a(1-m)]2-4a(-am-1)=a2(m+1)2+4a.
∵1∴△>0，
∴方程有两个不相等的实数根，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】根据点A、B的坐标结合对称轴方程可得=，由抛物线开口向下可得a<0，根据m的范围可得对称轴的位置，据此可得b的符号，进而判断①；当m=时，对称轴为x==，则b=-，然后结合x=-1时，y=0可判断②；根据点A、B的坐标结合m的范围可得对称轴在0到0.5之间，则点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，据此判断③；设y=a(x+1)(x-m)，方程ax2+bx+c=1则为ax2+a(1-m)x-am-1=0，表示出△，据此判断④.
三、综合题
21．（2022·新河模拟）平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，其中为常数．
（1）求的值，并用含的代数式表示；
（2）若抛物线与轴有公共点，求的值；
（3）设，是抛物线上的两点，请比较与0的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴ ，
∴ ；
∴b=2，
（2）解：由（1）得，
令，得，
∵抛物线与轴有公共点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴
（3）解：由（1）得，，
∵，是抛物线上的两点，
∴，，
∴．
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1） 将，代入中，即可求出b、m；
（2） 由（1）得， 根据抛物线与轴有公共点， 可得△≥0，从而求出m值；
（3） 由（1）得，，将，代入解析式中可得，， 即得 ，分三种情况：当，；当，；当，，据此即可得解.
22．（2022·余杭模拟）已知二次函数y=ax2-2ax+c（a>0）的图象与x轴的交点坐标为（2，0）．
（1）求抛物线的对称轴及c的值．
（2）若该抛物线与直线y=x-2只有一个公共点．
①求a的值；
②若点A（x1，y1），B（x2，y2）在该抛物线上，当m-1≤x1≤m+1，m+1≤x2≤m+2时，均满足y1≠y2，求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵y＝ax2 2ax+c，
∴抛物线对称轴为直线x＝ ＝1，
把（2，0）代入y＝ax2 2ax+c得0＝4a 4a+c，
解得c＝0，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，c＝0．
（2）解：①∵c＝0，
∴y＝ax2 2ax，
令ax2 2ax＝x 2，整理得ax2 （2a+1）x+2＝0，
∵该抛物线与直线y＝x 2只有一个公共点，
∴Δ＝（2a+1）2 8a＝0，解得a＝ ，
∴y＝ x2 x．
②如图，点A（m，y1）与点B（m+2，y2）关于抛物线对称轴直线x＝1对称，
则 ＝1，
解得m＝0，
∴m＜0满足题意．
如图，点A（m 1，y1）与点B（m+1，y2）关于抛物线对称轴直线x＝1对称，
则 ＝1，
解得m＝1，
∴m＞1满足题意．
综上所述，m＜0或m＞1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式列式进行计算，即可得出抛物线的对称轴为直线x=1，把点（2，0）代入y＝ax2 2ax+c，列出算式进行计算，即可得出c的值；
（2）①根据题意列出方程ax2 2ax＝x 2，再根据抛物线与直线y＝x 2只有一个公共点，得出根的判别式Δ＝（2a+1）2 8a＝0，即可得出a的值；
②根据抛物线的性质得出点A与点B关于抛物线对称轴直线x＝1对称，从而得出列出方程，解方程求出m的值，即可得出答案.
23．（2022九下·杭州期中）在直角坐标系中，点A（1，m）和点B（3，n）在二次函数y=ax2+bx+1（a#0）的图象上．
（1）若m=1，n=4，求二次函数的表达式及图象的对称轴．
（2）若m-n= ，试说明二次函数的图象与x轴必有交点．
（3）若点C（x0，y0）是二次函数图象上的任意一点，且满足y0≤m，求mn的取值范围．
【答案】（1）解：∵m=1，n=4，
∴A（1，1），B（3，4），
把点A（1，1）和点B（3，4） 代入中，
得 ，解得 ，
∴二次函数的表达式为，
∵二次函数图象经过（1，1）和（0，1），
∴二次函数图象的对称轴为直线；
（2）解：把点A（1，m）和点B（3，n）代入中，
得，
∴，即 ，
∴，
∴二次函数图象与 轴必有交点；
（3）解：∵点 是二次函数图象上的任意一点，且满足 ，
∴二次函数图象开口向下，即 ，顶点坐标为 ，
∴对称轴为直线 ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，由二次函数的对称性质及图象经过（1，1）和 （0，1），可求得对称轴为x=；
（2）把A（1，m）和B（3，n）代入解析式可得到m和n的代数式，再结合m-n=列出关于b和a的代数式，最后由Δ=b2-4ac的符号来判断抛物线与x轴的交点情况即可；
（3）由点C（x0，y0）是二次函数图象上的任意一点，且满足y0≤m，得a＜0，顶点坐为（1，m），利用对称轴求得b=-2a，再由（2）中得到m和n的代数式，从而求得mn=-3（a-）2+，进而求得mn的取值范围.
24．（2022·余杭模拟）在平面直角坐标系内，设二次函数y1＝(x－a)2＋a－1(a为常数).
（1）若函数y1的图象经过点(1，2)，求函数y1的表达式.
（2）若函数y1的图象与一次函数y2＝x＋b(b为常数)的图象有且仅有一个交点，求b的值.
（3）已知(m，n)( m＞0)在函数y1的图象上，当m＞2a时，求证：n＞.
【答案】（1）解：将(1，2)代入y1＝(x a)2＋a 1，
得2＝(1 a)2＋a 1，
解得a1＝ 1，a2＝2，
∴y1＝(x＋1)2 2或y1＝(x 2)2＋1；
（2）解：∵y1的图象与一次函数y2＝x＋b的图象有且仅有一个交点，
∴(x a)2＋a 1＝x＋b有两个相等的实数根，
即x2﹣（2a+1）x+a2+a﹣b﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（2a+1）2﹣4（a2+a﹣b﹣1）＝0，
∴4b＋5＝0，
∴；
（3）解：∵m＞2a，
∴，
当x＝0时，y1＝(x－a)2＋a－1＝ a2＋a－1，
结合图1和图2中的大致函数图象， 可知|a 0|＜|a m|，
∴n＞a2＋a 1，
∴，
∵
∴
∴.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将(1，2)代入y1＝(x a)2＋a 1中，可求出a值，即得函数y1的表达式 ；
（2） 由于y1的图象与一次函数y2＝x＋b的图象有且仅有一个交点，可得(x a)2＋a 1＝x＋b有两个相等的实数根，据此得出△=0，据此解答即可；
（3） 抛物线的对称轴为直线x=a，由m＞2a可得，当x＝0时y1＝ a2＋a－1，结合图1和图2中的大致函数图象， 可知|a 0|＜|a m|， 即得n＞a2＋a 1=， 据此即证结论.
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