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人教版九年级上对接中考知识点复习专项计划——一元二次方程根与系数关系
一、单选题
1．（2022八下·乳山期末）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则k=（ ）
A．1 B．-1 C． D．
2．（2022·仙桃）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
3．（2022·包头）若是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．3或-9 B．-3或9 C．3或-6 D．-3或6
4．（2022·呼和浩特）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
5．（2022·周村模拟）已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a＋m）（ a＋n）=2，（b＋m）（ b＋n）=2，则ab-mn的值为（ ）
A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
6．（2022·覃塘模拟）若m，n是一元二次方程的两个实根，则的值是（ ）
A．-4 B．-3 C．3 D．4
7．（2022八下·高青期中）已知是方程的两个根，则的值为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
8．（2022九下·巴中月考）若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
9．（2022·黔东南）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ）
A．7 B．-7 C．6 D．-6
10．（2022八下·萧山期中）已知关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，给出以下结论，其中错误的是（ ）
A．当m＝0时，方程只有一个实数根
B．若x 是方程的根，则方程的另一根为x＝﹣1
C．无论m取何值，方程都有一个负数根
D．当m≠0时，方程有两个不相等的实数根
11．（2021九上·武汉月考）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则代数式﹣n3+2n2+2m2﹣5m﹣1的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．1
二、填空题
12．（2022八下·钢城期末）若m，n为一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
13．（2022·日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m= ．
14．（2022八下·莱州期末）已知，是方程的两个根，则 ．
15．（2022八下·乳山期末）若是方程的两个实数根，则= ．
16．（2022·内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 .
17．（2022·鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 .
18．（2022·温江模拟）已知关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，.若，则m的值为 .
19．（2022·江西模拟）已知a、b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是 ．
三、解答题
20．（2022八下·安庆期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，求的值．
四、综合题
21．（2022九上·岳麓开学考）已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求的取值范围．
（2）是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
22．（2022八下·潜山期末）已知关于x的方程．
（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根分别为，且分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求m的值．
23．（2022八下·惠山期末）关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为1，求m的值和另一个根.
24．（2022八下·上虞期末）已知关于x的方程 .
（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根.
（2）若这个方程的两个实根 ， ，满足 ，求m的值.
25．（2022八下·上虞期末）解答下列各题：
（1）用配方法解方程： .
（2）设 ， 是一元二次方程 的两根，求 的值.
26．（2022八下·仓山期末）已知关于x的一元二次方程 .
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根 ，满足 ，求k的值.
27．（2022·石城模拟）已知x1、x2是关于x的方程x2+2x+2k﹣4＝0两个实数根，并且x1≠x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值；
（3）若|x1﹣x2|＝6，求 的值.
28．（2022八下·余杭月考）已知一元二次方程 .
（1）试判断方程根的情况；
（2）若方程的两根 ， 满足 ， ，求 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的倒数；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两个实数根，
此方程根的判别式，且，
解得且，
又关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，
，
解得或（舍去），
经检验，是所列分式方程的解，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式求解即可。
2．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴
∵是方程的两个实数根，
∵，
又
∴
把代入整理得，
解得，
故答案为：A.
【分析】根据方程有两个实数根可得△≥0，代入求解可得m的范围，根据根与系数的关系可得x1+x2=2m，x1x2=m2-4m-1，然后结合已知条件可得m的值.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，则两根为：3或-1，
当时，，
当时，，
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根与系数关系和完全平分公式求解。
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，，则。
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵（a+m）（a+n）=2，（b+m）（b+n）=2，
∴a2+（m+n）a+mn2=0，b2+（m+n）b+mn2=0，
而a、b、m、n为互不相等的实数，
∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn2=0的两实数根，
∴ab=mn-2，
∴ab-mn=-2．
故答案为：C．
【分析】根据题意可将a、b看作方程x2+（m+n）x+mn2=0的两实数根，再利用一元二次方程根与系数的关系可得ab=mn-2，从而可得ab-mn=-2。
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： m，n是一元二次方程的两个实根
故答案为：B .
【分析】根据方程解的概念可得m2+2m=1，根据根与系数的关系可得m+n=-2，待求式可变形为(m2+2m)+2(m+n)，据此计算.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵α，β是方程x2+2017x+1=0的两个根，
∴α2+2017α+1=0，β2+2017β+1=0，α+β=-2017，αβ=1，
∴（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）
=（1+2017α+α2+3α）（1+2017β+β2+3β）
=9αβ
=9，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得α2+2017α+1=0，β2+2017β+1=0，αβ=1，α+β=-2017，再将原式变形为（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）=（1+2017α+α2+3α）（1+2017β+β2+3β），然后整体代入计算即可.
8．【答案】C
【知识点】分式的值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是的两个实数根
∴，
∴
∴
=2
故答案为：C.
【分析】根据根与系数的关系以及方程根的概念可得n2=1-2n，m+n=-2，待求式可变形为，据此计算.
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根分别记为，，
∴+=2，
∵，
∴=3，
∴·=-a=-3，
∴a=3，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根与系数，可求出x2和a的值，再代入计算求出a-x22-x12的值.
10．【答案】D
【知识点】一元一次方程的解；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、当m=0时，方程化为x+1=0，解得x=-1，故A不符合题意；
B、把x=代入方程，得，解得m=4，
∴+x=-，解得x=-1，
∴方程的另一根为x=-1，故B不符合题意；
C、∵mx2+x﹣m+1＝0， ∴（x+1）（x-m+1）=0，
∴x=-1或x=m-1，故C不符合题意；
D、∵△=1-4m（-m+1）=（2m-1）2≥0，
∴当m≠0时，方程有两个实数根，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、把m=0代入方程，得出一元一次方程，即可判断A正确；
B、把x=代入方程，得出m=4，再根据根与系数的关系得出+x=-，解得x=-1，即可判断B正确；
C、利用因式分解法求出方程的解，即可判断C正确；
D、先求出△=（2m-1）2≥0，得出方程有两个实数根，即可判断D错误.
11．【答案】B
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是方程x2-2x-1=0的两根，
∴m2-2m-1=0，n2-2n-1=0，
∴m2=2m+1，n2=2n+1，
∴n3=n（2n+1）=2n2+n=2（2n+1）+n=5n+2，
∴原式=-（5n+2）+2（2n+1）+2（2m+1）-5m-1
=-5n-2+4n+2+4m+2-5m-1
=-（m+n）+1，
根据根与系数的关系得m+n=2，
∴原式=-2+1=-1.
故答案为：B.
【分析】根据方程根的概念可得m2=2m+1，n2=2n+1，则n3=n(2n+1)=2n2+n=5n+2，原式=-(5n+2)+2(2n+1)+2(2m+1)-5m-1=-(m+n)+1，根据根与系数的关系可得m+n==2，据此计算.
12．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n为一元二次方程的两个实数根，
∴m+n=2，mn=-2，
∴，
故答案为：1．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得m+n=2，mn=-2，再将其代入计算即可。
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【分析】先求出m1=-，m2=，再求出m＞或m＜0，最后求解即可。
14．【答案】11
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：是方程的两个根，
，
，
故答案为：11．
【分析】由根与系数的关系可得，由，然后整体代入计算即可.
15．【答案】7
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1为一元二次方程的根，
∴，
∴，
根据题意得：x1+x2=3，
∴．
故答案是：7．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=3，再将其代入计算即可。
16．【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1 x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2.
故答案为：2.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1 x2＝k-1，根据方程解的概念可得x12＝2x1-k+1，对已知中的等式进行变形可得＝2(x1+x2)-k，代入求解可得k的值，然后代入原方程中可得关于x的一元二次方程，求出判别式的值，进而可得k的值.
17．【答案】
【知识点】分式的通分；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，
∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，
∴a+b=4，ab=3，
∴.
故答案为：.
【分析】由题意可以把a、b看做是一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根，根据根与系数的关系可得a+b=4，ab=3，对待求式进行通分可得，据此计算.
18．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，，
∴，，
∵，
即有，
∴4-(m+1)=6，
解得：m=-3，
经检验当m=-3时，方程有两个解，
故答案为-3.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，然后利用完全平方公式将原式变形，再代值得出一个关于m的方程求解，即可得出结果.
19．【答案】36
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：a、b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则，，
2a3﹣6a2+b2+7b+1
＝
故答案为：36
【分析】根据一元二次方的根及根与系数的关系，可得，，再将原代数式变形为，然后再整体代入整理计算即可.
20．【答案】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根、，
∴，
∵，
∴
．
解方程得：，．
∵，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】先求出 ， 再求出 ，，最后计算求解即可。
21．【答案】（1）解： 一元二次方程 有两个实数根，
，
解得： ．
（2）解： ， 是一元二次方程 的两个实数根，
， ．
，
，
，
解得： ， ．
又 ，
．
存在这样的 值，使得等式 成立， 值为 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根可得△≥0，代入求解可得k的范围；
（2） 根据根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=k+2，根据已知条件可得 ，求解可得k的值，然后利用k的范围进行取舍.
22．【答案】（1）证明：△，
△，
总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的两根分别为，
∴，
由题意知：
∴
∴或．
∵
∴
∴
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再求出或，然后判断即可。
23．【答案】（1）证明：
∵
∴方程总有两个实数根
（2）解：令x=1，则1-m+2m-4=0，所以m=3
把m=3代入，则
设另一根为，则
=2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可得此题就是证明根的判别式恒不为负数即可；
（2）令x=1，求出m的值，代入原方程中可得关于x的一元二次方程，设另一个根为x2，然后根据根与系数的关系进行解答.
24．【答案】（1）证明：∵ ，
无论m取何实数， 的值都大于零.
∴这个方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：∵ ， 是方程的两个实数根，
∴ .
又∵ ，
∴ .
∴ ，代入原方程得：
，
化简得： .
解得： ， .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式的值恒大于零即可；
（2）根据根与系数的关系可得α+β=2-m，结合已知条件可得α=2m-1，代入原方程中就可求出m的值.
25．【答案】（1）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得
， ，
∴ .
【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）给方程两边同时加上一次项系数一半的平方“36”，再对左边的式子利用完全平方公式分解，然后利用直接开平方法进行计算即可；
（2）由根与系数的关系得x1+x2=，x1x2=，由完全平方公式得x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2，据此计算.
26．【答案】（1）证明： ，
该方程总有两个实数根；
（2）解： 方程的两个实数根 ， ，
由根与系数关系可知， ， ，
，
即 ，
.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意先计算b2-4ac=4k2，由平方的非负性可得k2≥0，然后再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可求解；
（2）由一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2==4k，x1x2==3k2，将已知的等式两边分别平方，然后整体代换可得关于k的方程，解方程可求解.
27．【答案】（1）解：依题意得△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，
解得：k＜ ；
（2）解：因为k＜ 且k为正整数，
所以k＝l或2，
当k＝l时，方程化为x2+2x﹣2＝0，△＝12，此方程无整数根；
当k＝2时，方程化为x2+2x＝0 解得x1＝0，x2＝﹣2，
故所求k的值为2；
（3）解：∵x1、x2是关于x的方程x2+2x+2k﹣4＝0两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2，x1 x2＝2k﹣4，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1 x2＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k，
∵|x1﹣x2|＝6，
∴20﹣8k＝36，
∴k＝﹣2，
∴x1 x2＝2×（﹣2）﹣4＝﹣8，
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式△＝22﹣4（2k﹣4）＞0求解即可；
（2）根据（1）可得k的值，然后分两种情况：当k=1和k=2分别代入计算即可；
（3）利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1 x2＝2k﹣4，再将其代入计算即可。
28．【答案】（1）解：∵一元二次方程 ，
，
该方程有两个实数根；
（2）解：将 代入方程 ，得
，
方程的两根 ， 满足 ，
，
解得 ，
即 的取值范围是 .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此首先求出判别式的值，然后根据其结果的正负即可确定方程根的情况；
（2）将n=1代入原方程中可得mx2+x-(m+1)=0，根据根与系数的关系可得x1x2=，结合已知条件可得关于m的不等式，求解即可.
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人教版九年级上对接中考知识点复习专项计划——一元二次方程根与系数关系
一、单选题
1．（2022八下·乳山期末）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则k=（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的倒数；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两个实数根，
此方程根的判别式，且，
解得且，
又关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，
，
解得或（舍去），
经检验，是所列分式方程的解，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式求解即可。
2．（2022·仙桃）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴
∵是方程的两个实数根，
∵，
又
∴
把代入整理得，
解得，
故答案为：A.
【分析】根据方程有两个实数根可得△≥0，代入求解可得m的范围，根据根与系数的关系可得x1+x2=2m，x1x2=m2-4m-1，然后结合已知条件可得m的值.
3．（2022·包头）若是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．3或-9 B．-3或9 C．3或-6 D．-3或6
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，则两根为：3或-1，
当时，，
当时，，
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根与系数关系和完全平分公式求解。
4．（2022·呼和浩特）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，，则。
5．（2022·周村模拟）已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a＋m）（ a＋n）=2，（b＋m）（ b＋n）=2，则ab-mn的值为（ ）
A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵（a+m）（a+n）=2，（b+m）（b+n）=2，
∴a2+（m+n）a+mn2=0，b2+（m+n）b+mn2=0，
而a、b、m、n为互不相等的实数，
∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn2=0的两实数根，
∴ab=mn-2，
∴ab-mn=-2．
故答案为：C．
【分析】根据题意可将a、b看作方程x2+（m+n）x+mn2=0的两实数根，再利用一元二次方程根与系数的关系可得ab=mn-2，从而可得ab-mn=-2。
6．（2022·覃塘模拟）若m，n是一元二次方程的两个实根，则的值是（ ）
A．-4 B．-3 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： m，n是一元二次方程的两个实根
故答案为：B .
【分析】根据方程解的概念可得m2+2m=1，根据根与系数的关系可得m+n=-2，待求式可变形为(m2+2m)+2(m+n)，据此计算.
7．（2022八下·高青期中）已知是方程的两个根，则的值为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵α，β是方程x2+2017x+1=0的两个根，
∴α2+2017α+1=0，β2+2017β+1=0，α+β=-2017，αβ=1，
∴（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）
=（1+2017α+α2+3α）（1+2017β+β2+3β）
=9αβ
=9，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得α2+2017α+1=0，β2+2017β+1=0，αβ=1，α+β=-2017，再将原式变形为（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）=（1+2017α+α2+3α）（1+2017β+β2+3β），然后整体代入计算即可.
8．（2022九下·巴中月考）若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】C
【知识点】分式的值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是的两个实数根
∴，
∴
∴
=2
故答案为：C.
【分析】根据根与系数的关系以及方程根的概念可得n2=1-2n，m+n=-2，待求式可变形为，据此计算.
9．（2022·黔东南）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ）
A．7 B．-7 C．6 D．-6
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根分别记为，，
∴+=2，
∵，
∴=3，
∴·=-a=-3，
∴a=3，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根与系数，可求出x2和a的值，再代入计算求出a-x22-x12的值.
10．（2022八下·萧山期中）已知关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，给出以下结论，其中错误的是（ ）
A．当m＝0时，方程只有一个实数根
B．若x 是方程的根，则方程的另一根为x＝﹣1
C．无论m取何值，方程都有一个负数根
D．当m≠0时，方程有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】一元一次方程的解；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、当m=0时，方程化为x+1=0，解得x=-1，故A不符合题意；
B、把x=代入方程，得，解得m=4，
∴+x=-，解得x=-1，
∴方程的另一根为x=-1，故B不符合题意；
C、∵mx2+x﹣m+1＝0， ∴（x+1）（x-m+1）=0，
∴x=-1或x=m-1，故C不符合题意；
D、∵△=1-4m（-m+1）=（2m-1）2≥0，
∴当m≠0时，方程有两个实数根，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、把m=0代入方程，得出一元一次方程，即可判断A正确；
B、把x=代入方程，得出m=4，再根据根与系数的关系得出+x=-，解得x=-1，即可判断B正确；
C、利用因式分解法求出方程的解，即可判断C正确；
D、先求出△=（2m-1）2≥0，得出方程有两个实数根，即可判断D错误.
11．（2021九上·武汉月考）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则代数式﹣n3+2n2+2m2﹣5m﹣1的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．1
【答案】B
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是方程x2-2x-1=0的两根，
∴m2-2m-1=0，n2-2n-1=0，
∴m2=2m+1，n2=2n+1，
∴n3=n（2n+1）=2n2+n=2（2n+1）+n=5n+2，
∴原式=-（5n+2）+2（2n+1）+2（2m+1）-5m-1
=-5n-2+4n+2+4m+2-5m-1
=-（m+n）+1，
根据根与系数的关系得m+n=2，
∴原式=-2+1=-1.
故答案为：B.
【分析】根据方程根的概念可得m2=2m+1，n2=2n+1，则n3=n(2n+1)=2n2+n=5n+2，原式=-(5n+2)+2(2n+1)+2(2m+1)-5m-1=-(m+n)+1，根据根与系数的关系可得m+n==2，据此计算.
二、填空题
12．（2022八下·钢城期末）若m，n为一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n为一元二次方程的两个实数根，
∴m+n=2，mn=-2，
∴，
故答案为：1．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得m+n=2，mn=-2，再将其代入计算即可。
13．（2022·日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m= ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【分析】先求出m1=-，m2=，再求出m＞或m＜0，最后求解即可。
14．（2022八下·莱州期末）已知，是方程的两个根，则 ．
【答案】11
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：是方程的两个根，
，
，
故答案为：11．
【分析】由根与系数的关系可得，由，然后整体代入计算即可.
15．（2022八下·乳山期末）若是方程的两个实数根，则= ．
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1为一元二次方程的根，
∴，
∴，
根据题意得：x1+x2=3，
∴．
故答案是：7．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=3，再将其代入计算即可。
16．（2022·内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 .
【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1 x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2.
故答案为：2.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1 x2＝k-1，根据方程解的概念可得x12＝2x1-k+1，对已知中的等式进行变形可得＝2(x1+x2)-k，代入求解可得k的值，然后代入原方程中可得关于x的一元二次方程，求出判别式的值，进而可得k的值.
17．（2022·鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 .
【答案】
【知识点】分式的通分；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，
∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，
∴a+b=4，ab=3，
∴.
故答案为：.
【分析】由题意可以把a、b看做是一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根，根据根与系数的关系可得a+b=4，ab=3，对待求式进行通分可得，据此计算.
18．（2022·温江模拟）已知关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，.若，则m的值为 .
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，，
∴，，
∵，
即有，
∴4-(m+1)=6，
解得：m=-3，
经检验当m=-3时，方程有两个解，
故答案为-3.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，然后利用完全平方公式将原式变形，再代值得出一个关于m的方程求解，即可得出结果.
19．（2022·江西模拟）已知a、b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是 ．
【答案】36
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：a、b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则，，
2a3﹣6a2+b2+7b+1
＝
故答案为：36
【分析】根据一元二次方的根及根与系数的关系，可得，，再将原代数式变形为，然后再整体代入整理计算即可.
三、解答题
20．（2022八下·安庆期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，求的值．
【答案】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根、，
∴，
∵，
∴
．
解方程得：，．
∵，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】先求出 ， 再求出 ，，最后计算求解即可。
四、综合题
21．（2022九上·岳麓开学考）已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求的取值范围．
（2）是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： 一元二次方程 有两个实数根，
，
解得： ．
（2）解： ， 是一元二次方程 的两个实数根，
， ．
，
，
，
解得： ， ．
又 ，
．
存在这样的 值，使得等式 成立， 值为 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根可得△≥0，代入求解可得k的范围；
（2） 根据根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=k+2，根据已知条件可得 ，求解可得k的值，然后利用k的范围进行取舍.
22．（2022八下·潜山期末）已知关于x的方程．
（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根分别为，且分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求m的值．
【答案】（1）证明：△，
△，
总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的两根分别为，
∴，
由题意知：
∴
∴或．
∵
∴
∴
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再求出或，然后判断即可。
23．（2022八下·惠山期末）关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为1，求m的值和另一个根.
【答案】（1）证明：
∵
∴方程总有两个实数根
（2）解：令x=1，则1-m+2m-4=0，所以m=3
把m=3代入，则
设另一根为，则
=2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可得此题就是证明根的判别式恒不为负数即可；
（2）令x=1，求出m的值，代入原方程中可得关于x的一元二次方程，设另一个根为x2，然后根据根与系数的关系进行解答.
24．（2022八下·上虞期末）已知关于x的方程 .
（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根.
（2）若这个方程的两个实根 ， ，满足 ，求m的值.
【答案】（1）证明：∵ ，
无论m取何实数， 的值都大于零.
∴这个方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：∵ ， 是方程的两个实数根，
∴ .
又∵ ，
∴ .
∴ ，代入原方程得：
，
化简得： .
解得： ， .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式的值恒大于零即可；
（2）根据根与系数的关系可得α+β=2-m，结合已知条件可得α=2m-1，代入原方程中就可求出m的值.
25．（2022八下·上虞期末）解答下列各题：
（1）用配方法解方程： .
（2）设 ， 是一元二次方程 的两根，求 的值.
【答案】（1）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得
， ，
∴ .
【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）给方程两边同时加上一次项系数一半的平方“36”，再对左边的式子利用完全平方公式分解，然后利用直接开平方法进行计算即可；
（2）由根与系数的关系得x1+x2=，x1x2=，由完全平方公式得x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2，据此计算.
26．（2022八下·仓山期末）已知关于x的一元二次方程 .
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根 ，满足 ，求k的值.
【答案】（1）证明： ，
该方程总有两个实数根；
（2）解： 方程的两个实数根 ， ，
由根与系数关系可知， ， ，
，
即 ，
.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意先计算b2-4ac=4k2，由平方的非负性可得k2≥0，然后再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可求解；
（2）由一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2==4k，x1x2==3k2，将已知的等式两边分别平方，然后整体代换可得关于k的方程，解方程可求解.
27．（2022·石城模拟）已知x1、x2是关于x的方程x2+2x+2k﹣4＝0两个实数根，并且x1≠x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值；
（3）若|x1﹣x2|＝6，求 的值.
【答案】（1）解：依题意得△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，
解得：k＜ ；
（2）解：因为k＜ 且k为正整数，
所以k＝l或2，
当k＝l时，方程化为x2+2x﹣2＝0，△＝12，此方程无整数根；
当k＝2时，方程化为x2+2x＝0 解得x1＝0，x2＝﹣2，
故所求k的值为2；
（3）解：∵x1、x2是关于x的方程x2+2x+2k﹣4＝0两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2，x1 x2＝2k﹣4，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1 x2＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k，
∵|x1﹣x2|＝6，
∴20﹣8k＝36，
∴k＝﹣2，
∴x1 x2＝2×（﹣2）﹣4＝﹣8，
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式△＝22﹣4（2k﹣4）＞0求解即可；
（2）根据（1）可得k的值，然后分两种情况：当k=1和k=2分别代入计算即可；
（3）利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1 x2＝2k﹣4，再将其代入计算即可。
28．（2022八下·余杭月考）已知一元二次方程 .
（1）试判断方程根的情况；
（2）若方程的两根 ， 满足 ， ，求 的取值范围.
【答案】（1）解：∵一元二次方程 ，
，
该方程有两个实数根；
（2）解：将 代入方程 ，得
，
方程的两根 ， 满足 ，
，
解得 ，
即 的取值范围是 .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此首先求出判别式的值，然后根据其结果的正负即可确定方程根的情况；
（2）将n=1代入原方程中可得mx2+x-(m+1)=0，根据根与系数的关系可得x1x2=，结合已知条件可得关于m的不等式，求解即可.
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