人教版八上数学第十三章13.1轴对称图像及垂直平分线性质 课时易错题三刷（第一刷）
一、单选题
1．（2021八上·南京期末）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．正方形
2．（2021八上·玉林期末）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝6，CF＝2，则AC的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（2021八上·顺义期末）下列三角形是轴对称图形，且对称轴不只1条的是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
4．（2021八上·南京期末）如图，点P在锐角 的内部，连接 ， ，点P关于 、 所在直线的对称点分别是 、 ，则 、 两点之间的距离可能是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．（2021八上·淳安期末）下列语句中是命题的有（ ）
①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；②作点A关于直线l的对称点A＇； ③三边对应相等的两个三角形全等吗？④角平分线上的点到角两边的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021八上·丰台期末）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．下列关于筝形的结论正确的是（ ）
A．对角线AC，BD互相垂直平分
B．对角线BD平分∠ABC，∠ADC
C．直线AC，BD是筝形的两条对称轴
D．筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积
7．（2021八上·石景山期末）如图，在中，，，于点D，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则的度数为（ ）．
A．20° B．30° C．35° D．70°
二、填空题
8．（2021八上·河西期中）图中与标号“1”的三角形成轴对称的三角形的个数为 ．
9．（2021八上·铁岭期末）如图，∠，是，垂直平分线的交点，则的度数是 ．
10．（2021八上·五常期末）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ， 的周长为13cm， ，则 的周长 cm．
11．（2021八上·德阳月考）如图，△ABC中，∠A=60°将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′DB=50°，那么∠A′ED的度数为 ．
三、解答题
12．（2021八上·临江期末）如图
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值。请在横线上补充其推理过程或理由。
解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，连接PB′
∵ ∠ACB＝90°（已知）
∴ （垂直的定义）
∴ PB＝ （线段垂直平分线的性质）
∴ PB+PD＝PB′+PD（等式性质）
∴ 过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值
连接AB′，在△ABC和△AB′C中，
∵AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′＝90°， ∴△ABC≌△AB′C（理由： ）
∴ SABB′＝S△ABC+ ＝2S△ABC（全等三角形面积相等）
∵ S△ABB′＝AB﹒B'D＝×10B′D＝5B′D
2S△ABC＝2×BC﹒AC＝2××6×8＝48
∴ （同一三角形面积相等）∴ B′D＝
∴
13．（2021八上·济宁月考）在中为直角，，为外一点，且，交延长线于点，探求，，之间有何数量关系．
四、综合题
14．（2021八上·伊通期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．
15．（2021八上·荣县月考）如图，△ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分别为F、G.
（1）求证：BG＝CF；
（2）若AB＝18，AC＝6，求AF的长度.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称的定义，等腰三角形、等边三角形、正方形一定是轴对称图形，
直角三角形不一定是轴对称图形.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，据此对各选项逐一判断.
2．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，BF＝6，
∴AF=BF=6，
∵CF＝2，
∴AC=AF＋CF=8.
故答案为：C.
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得AF=BF=6，利用AC=AF＋CF即可求解.
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：、等腰三角形是轴对称图形，不考虑三条边相等的情况下，对称轴有1条，不符合题意；
、直角三角形不一定是轴对称图形，不一定有对称轴，不符合题意；
、等腰直角三角形是轴对称图形，对称轴有1条，不符合题意；
、等边三角形是轴对称图形，对称轴有3条，符合题意；
故答案为：D．
【分析】先求出各选项的对称轴的条数，再求解即可。
4．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，
∵点P关于直线OA，OB的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1=OP=3，OP=OP2=3， OP1+OP2＞P1P2， 0＜P1P2＜6，
所以A，B，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】连接OP1，OP2，P1P2，利用轴对称的性质和垂直平分线的性质，可证得OP1=OP=3，OP=OP2=3，再利用三角形三边关系定理，可求出0＜P1P2＜6，由此可得答案.
5．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；定义、命题及定理的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，此命题是真命题；
②作点A关于直线l的对称点A＇，它不是命题；
③三边对应相等的两个三角形全等吗？它不是命题；
④角平分线上的点到角两边的距离相等，此命题是真命题；
∴是真命题的只有2个.
故答案为：B.
【分析】利用命题是判断一件事情的语句，可知②③不是命题；再利用线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，可对①④作出判断.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解： 四边形中，，，
是的垂直平分线，
而不一定是的垂直平分线，故A不符合题意；
，，
对角线BD平分∠ABC，∠ADC，故B符合题意；
直线BD是筝形的两条对称轴，故C不符合题意；
如图，记对角线的交点为
筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积的一半，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】由线段垂直平分线的判定可判断A选项；通过证明得出 可判断B选项；根据轴对称性质可判断C选项；利用三角形的面积可判断D选项。
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵AB的垂直平分线交AB于点E，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠B=35°，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】先求出AF=BF，再求出∠BAF=∠B=35°，最后计算求解即可。
8．【答案】2个
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：图中与标号“1”的三角形成轴对称的三角形是标号“2”和“4”，共有2个，
故答案为：2个．
【分析】根据轴对称图形的定义逐个判断即可。
9．【答案】160
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
连接OA，
∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°-∠A =100°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，
∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB +∠OAC =∠A =80°，
∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣80°＝20°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝10°，
∴∠BOC=180°-∠BCO-∠CBO＝180°-10° - 10°=160°
故答案为：160°．
【分析】连接OA，根据三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质即可得出结论。
10．【答案】22
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=CE=4.5cm
∴AC=AE+CE=4.5+4.5=9cm，
∵ 的周长为AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，
∴△ABC的周长为：AB+BC+AC=13+9=22cm．
故答案为22．
【分析】先求出DA=DC，AE=CE=4.5cm，再求出AC=9cm，最后求三角形的周长即可。
11．【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵∠A′DB=50°，
∴∠ADA′=180°﹣∠A′DB=180°-50°=130°，
由折叠性质得：∠A′DE=∠ADE=∠ADA′=65°，∠DA′E=∠A=60°，
∴∠A′ED=180°-∠A′DE-∠DA′E=180°-65°-60°=55°.
故答案为：55°.
【分析】先求出∠ADA′=130°，根据折叠的性质得出∠A′DE=∠ADE=65°，∠DA′E=∠A=60°，再根据三角形内角和定理得出∠A′ED=180°-∠A′DE-∠DA′E=55°，即可得出答案.
12．【答案】解：AC⊥BB'；PB'；BC＝B′C；SAS；S△AB'C；（或5B′D＝48）；PB+PD的最小值为
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得出PB=PB′，过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，根据线段的性质得出此时PB+PD取最小值，利用SAS证出△ABC≌△AB′C，从而得出 SABB′＝2S△ABC，再根据三角形的面积公式得出B′D的长，即可得出答案.
13．【答案】解：猜想：，理由如下：
连接，
∵，，
∴在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】首先连接CD，由AC=BC，AD=BD，可得CD是AB的垂直平分线，又由∠ACB=90°，易得三角形CDE是等腰直角三角形，继而证得结论。
14．【答案】（1）解：∵MD是AB的垂直平分线，NE是AC的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=CE，
∵△ADE的周长为10，
∴AD+AE+DE=10，
∴BC=BD+DE+CE=AD+AE+DE=10．
（2）解：点O在边BC的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接OA、OB、OC，
∵MO是AB的垂直平分线，NO是AC的垂直平分线，
∴OA=OB，OA=OC，
∴OB=OC，
∴点O在边BC的垂直平分线上．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据MD是AB的垂直平分线，NE是AC的垂直平分线，得出AD=BD，AE=CE，再根据△ADE的周长为10，代入计算即可；
（2）连接OA、OB、OC，根据MO是AB的垂直平分线，NO是AC的垂直平分线，得出OA=OB，OA=OC，得出OB=OC，由此得出结论。
15．【答案】（1）证明：连接BD，CD，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵DF⊥AC，DG⊥AB，AD平分∠BAF，
∴DF=DG，
在Rt△BDG和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDG≌Rt△CDF（HL），
∴BG=CF；
（2）解：由（1）得DG=DF，BG=CF，∠DGA=∠DFA=90°，
在Rt△DGA和Rt△DFA中，
，
∴Rt△DGA≌Rt△DFA（HL），
∴AG=AF，
∵BG=CF，AB=18，AC=6，
∴BG=AF+AC=AF+6，AB=BG+AG=AF+6+AF=2AF+6=18，
∴AF=6.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1） 连接BD，CD，由线段的垂直平分线得BD=CD， 由角平分线的性质得DF=DG，根据HL证明Rt△BDG≌Rt△CDF，可得BG=CF；
（2）证明Rt△DGA≌Rt△DFA（HL），可得AG=AF， 由于BG=AF+AC=AF+6，可得AB=BG+AG=AF+6+AF=2AF+6=18， 据此求出AF的长.
1 / 1人教版八上数学第十三章13.1轴对称图像及垂直平分线性质 课时易错题三刷（第一刷）
一、单选题
1．（2021八上·南京期末）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．正方形
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称的定义，等腰三角形、等边三角形、正方形一定是轴对称图形，
直角三角形不一定是轴对称图形.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，据此对各选项逐一判断.
2．（2021八上·玉林期末）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝6，CF＝2，则AC的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，BF＝6，
∴AF=BF=6，
∵CF＝2，
∴AC=AF＋CF=8.
故答案为：C.
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得AF=BF=6，利用AC=AF＋CF即可求解.
3．（2021八上·顺义期末）下列三角形是轴对称图形，且对称轴不只1条的是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：、等腰三角形是轴对称图形，不考虑三条边相等的情况下，对称轴有1条，不符合题意；
、直角三角形不一定是轴对称图形，不一定有对称轴，不符合题意；
、等腰直角三角形是轴对称图形，对称轴有1条，不符合题意；
、等边三角形是轴对称图形，对称轴有3条，符合题意；
故答案为：D．
【分析】先求出各选项的对称轴的条数，再求解即可。
4．（2021八上·南京期末）如图，点P在锐角 的内部，连接 ， ，点P关于 、 所在直线的对称点分别是 、 ，则 、 两点之间的距离可能是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，
∵点P关于直线OA，OB的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1=OP=3，OP=OP2=3， OP1+OP2＞P1P2， 0＜P1P2＜6，
所以A，B，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】连接OP1，OP2，P1P2，利用轴对称的性质和垂直平分线的性质，可证得OP1=OP=3，OP=OP2=3，再利用三角形三边关系定理，可求出0＜P1P2＜6，由此可得答案.
5．（2021八上·淳安期末）下列语句中是命题的有（ ）
①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；②作点A关于直线l的对称点A＇； ③三边对应相等的两个三角形全等吗？④角平分线上的点到角两边的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；定义、命题及定理的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，此命题是真命题；
②作点A关于直线l的对称点A＇，它不是命题；
③三边对应相等的两个三角形全等吗？它不是命题；
④角平分线上的点到角两边的距离相等，此命题是真命题；
∴是真命题的只有2个.
故答案为：B.
【分析】利用命题是判断一件事情的语句，可知②③不是命题；再利用线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，可对①④作出判断.
6．（2021八上·丰台期末）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．下列关于筝形的结论正确的是（ ）
A．对角线AC，BD互相垂直平分
B．对角线BD平分∠ABC，∠ADC
C．直线AC，BD是筝形的两条对称轴
D．筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解： 四边形中，，，
是的垂直平分线，
而不一定是的垂直平分线，故A不符合题意；
，，
对角线BD平分∠ABC，∠ADC，故B符合题意；
直线BD是筝形的两条对称轴，故C不符合题意；
如图，记对角线的交点为
筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积的一半，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】由线段垂直平分线的判定可判断A选项；通过证明得出 可判断B选项；根据轴对称性质可判断C选项；利用三角形的面积可判断D选项。
7．（2021八上·石景山期末）如图，在中，，，于点D，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则的度数为（ ）．
A．20° B．30° C．35° D．70°
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵AB的垂直平分线交AB于点E，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠B=35°，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】先求出AF=BF，再求出∠BAF=∠B=35°，最后计算求解即可。
二、填空题
8．（2021八上·河西期中）图中与标号“1”的三角形成轴对称的三角形的个数为 ．
【答案】2个
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：图中与标号“1”的三角形成轴对称的三角形是标号“2”和“4”，共有2个，
故答案为：2个．
【分析】根据轴对称图形的定义逐个判断即可。
9．（2021八上·铁岭期末）如图，∠，是，垂直平分线的交点，则的度数是 ．
【答案】160
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
连接OA，
∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°-∠A =100°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，
∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB +∠OAC =∠A =80°，
∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣80°＝20°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝10°，
∴∠BOC=180°-∠BCO-∠CBO＝180°-10° - 10°=160°
故答案为：160°．
【分析】连接OA，根据三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质即可得出结论。
10．（2021八上·五常期末）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ， 的周长为13cm， ，则 的周长 cm．
【答案】22
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=CE=4.5cm
∴AC=AE+CE=4.5+4.5=9cm，
∵ 的周长为AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，
∴△ABC的周长为：AB+BC+AC=13+9=22cm．
故答案为22．
【分析】先求出DA=DC，AE=CE=4.5cm，再求出AC=9cm，最后求三角形的周长即可。
11．（2021八上·德阳月考）如图，△ABC中，∠A=60°将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′DB=50°，那么∠A′ED的度数为 ．
【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵∠A′DB=50°，
∴∠ADA′=180°﹣∠A′DB=180°-50°=130°，
由折叠性质得：∠A′DE=∠ADE=∠ADA′=65°，∠DA′E=∠A=60°，
∴∠A′ED=180°-∠A′DE-∠DA′E=180°-65°-60°=55°.
故答案为：55°.
【分析】先求出∠ADA′=130°，根据折叠的性质得出∠A′DE=∠ADE=65°，∠DA′E=∠A=60°，再根据三角形内角和定理得出∠A′ED=180°-∠A′DE-∠DA′E=55°，即可得出答案.
三、解答题
12．（2021八上·临江期末）如图
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值。请在横线上补充其推理过程或理由。
解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，连接PB′
∵ ∠ACB＝90°（已知）
∴ （垂直的定义）
∴ PB＝ （线段垂直平分线的性质）
∴ PB+PD＝PB′+PD（等式性质）
∴ 过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值
连接AB′，在△ABC和△AB′C中，
∵AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′＝90°， ∴△ABC≌△AB′C（理由： ）
∴ SABB′＝S△ABC+ ＝2S△ABC（全等三角形面积相等）
∵ S△ABB′＝AB﹒B'D＝×10B′D＝5B′D
2S△ABC＝2×BC﹒AC＝2××6×8＝48
∴ （同一三角形面积相等）∴ B′D＝
∴
【答案】解：AC⊥BB'；PB'；BC＝B′C；SAS；S△AB'C；（或5B′D＝48）；PB+PD的最小值为
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得出PB=PB′，过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，根据线段的性质得出此时PB+PD取最小值，利用SAS证出△ABC≌△AB′C，从而得出 SABB′＝2S△ABC，再根据三角形的面积公式得出B′D的长，即可得出答案.
13．（2021八上·济宁月考）在中为直角，，为外一点，且，交延长线于点，探求，，之间有何数量关系．
【答案】解：猜想：，理由如下：
连接，
∵，，
∴在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】首先连接CD，由AC=BC，AD=BD，可得CD是AB的垂直平分线，又由∠ACB=90°，易得三角形CDE是等腰直角三角形，继而证得结论。
四、综合题
14．（2021八上·伊通期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】（1）解：∵MD是AB的垂直平分线，NE是AC的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=CE，
∵△ADE的周长为10，
∴AD+AE+DE=10，
∴BC=BD+DE+CE=AD+AE+DE=10．
（2）解：点O在边BC的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接OA、OB、OC，
∵MO是AB的垂直平分线，NO是AC的垂直平分线，
∴OA=OB，OA=OC，
∴OB=OC，
∴点O在边BC的垂直平分线上．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据MD是AB的垂直平分线，NE是AC的垂直平分线，得出AD=BD，AE=CE，再根据△ADE的周长为10，代入计算即可；
（2）连接OA、OB、OC，根据MO是AB的垂直平分线，NO是AC的垂直平分线，得出OA=OB，OA=OC，得出OB=OC，由此得出结论。
15．（2021八上·荣县月考）如图，△ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分别为F、G.
（1）求证：BG＝CF；
（2）若AB＝18，AC＝6，求AF的长度.
【答案】（1）证明：连接BD，CD，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵DF⊥AC，DG⊥AB，AD平分∠BAF，
∴DF=DG，
在Rt△BDG和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDG≌Rt△CDF（HL），
∴BG=CF；
（2）解：由（1）得DG=DF，BG=CF，∠DGA=∠DFA=90°，
在Rt△DGA和Rt△DFA中，
，
∴Rt△DGA≌Rt△DFA（HL），
∴AG=AF，
∵BG=CF，AB=18，AC=6，
∴BG=AF+AC=AF+6，AB=BG+AG=AF+6+AF=2AF+6=18，
∴AF=6.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1） 连接BD，CD，由线段的垂直平分线得BD=CD， 由角平分线的性质得DF=DG，根据HL证明Rt△BDG≌Rt△CDF，可得BG=CF；
（2）证明Rt△DGA≌Rt△DFA（HL），可得AG=AF， 由于BG=AF+AC=AF+6，可得AB=BG+AG=AF+6+AF=2AF+6=18， 据此求出AF的长.
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