人教版八上数学第十三章13.1轴对称图像及垂直平分线性质 课时易错题三刷（第二刷）
一、单选题
1．（2021八上·句容期末）在下面四个图标（图象）中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·长丰期末）如图，在ABC中，∠C=90°，分别以A、B为圆心画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在直线交BC于点D，连接AD．若BD=2，则AD的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2021八上·海丰期末）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．正方形
C．含锐角的直角三角形 D．圆
4．（2021八上·东城期末）如图，在中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若，，，则的周长等于（ ）
A．11 B．16 C．17 D．18
5．（2021八上·济南期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
6．（2021八上·惠州期末）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下列结论中错误的是（ ）
A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB＋BC
C．AD＝BD＝BC D．△BCD的面积等于△BED的面积
7．（2021八上·门头沟期末）如图，在2×2正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中可以画出与△ABC成轴对称的格点三角形的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2021八上·道里期末）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若∠A=50°，∠DCB＝2∠ACD，则∠B的度数为（ ）
A．26° B．36° C．52° D．45°
9．（2021八上·天津市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下条线段的长度（ ）
A．EF B．AB C．AC D．BC
10．（2021八上·昆明期末）下列图形对称轴条数最多的是（ ）
A．等边三角形 B．长方形 C．等腰三角形 D．线段
11．（2021八上·集贤期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，并廷长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线
②∠ADC＝60°
③点D在AB的垂直平分线上
④若AD＝2dm，则点D到AB的距离是1dm
⑤S△DAC：S△DAB＝1：2
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
12．（2021八上·芜湖期末）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝37°，则∠AOC＝ ．
13．（2021八上·川汇期末）如图，点P在四边形ABCD中，，，PA平分，设，，则与满足的数量关系是 .
三、综合题
14．（2021八上·大石桥期末）在△ABC中，AB＞BC，直线l垂直平分AC.
（1）如图1，作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD.
①补全图形；
②判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明.
（2）如图2，直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D，连接AD，CD.求证：∠BAD=∠BCD.
15．（2021八上·中山期末）如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此分析即可.
2．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，由画图过程得：直线ED是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD=2，
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=BD=2。
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．等边三角形一定是轴对称图形；
B．正方形一定是轴对称图形；
C．含锐角的直角三角形不一定是轴对称图形；
D．圆一定是轴对称图形；
故答案为：C．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
4．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：垂直平分AE，
，
，
，
，
的周长=AB+AC+BC=5+5+6=16，
故答案为：B．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AC=CE=5，再利用三角形的周长公式列出算式AB+AC+BC计算即可。
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠DAE=20°，
∴∠ADE+∠DEA=160°．
∵DM、EN分别垂直平分AB和AC，
∴AD=BD，AE=EC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
又∵∠ADE，∠DEA为△ABD与△AEC的一个外角，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠B，∠DEA=∠C+∠CAE=2∠C，
∴∠B+∠C=80°，
∴∠BAC=180°-（∠B+∠C）=100°．
故答案为：A．
【分析】∠ADE+∠DEA=160°，利用垂直平分线的性质得出AD=BD，AE=EC，∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再利用三角形内角和定理得出答案。
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： AB＝AC，∠A＝36°，
AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，
平分，故不符合题意；
故不符合题意；
故C不符合题意；
如图，过D作于M，
平分
故D符合题意；
故答案为：
【分析】先求出 再用垂直平分线判断出进而判断出平分，故不符合题意；再用三角形的周长公式，即可判断B正确，再求出 故C不符合题意；再判断出 故D符合题意；即可得解。
7．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：如图所示，共有5个格点三角形与△ABC成轴对称，
故答案为：D
【分析】 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称 。根据轴对称图形的定义判断即可。
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠DCB＝2∠ACD，设∠ACD=x°
∴∠DCB=2x°
∵DE垂直平分线BC
∴DB=DC
∴∠DCB =∠B=2x°
∴∠ACB=∠ACD＋∠DCB=3x°
∵∠A＋∠B＋∠ACB=180°，∠A=50°
∴50＋2x＋3x=180
解得：x=26
∴∠B=52°
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质，即可得出∠B的度数。
9．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】如图，连接，
是AB的垂直平分线
BK+CK
当三点共线时，BK+CK取得最小值，
则BK+CK的最小值是的长．
故答案为：C
【分析】根据垂直平分线的性质可得AK=BK，再利用三角形三边的关系可得：当A、K、C三点共线时，BK+CK取得最小值，则BK+CK的最小值是AC的长．
10．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、如图所示，等边三角形每条边上的高所在的直线都是对称轴，
∴等边三角形有三条对称轴；
B、如图所示，
∴长方形共有2条对称轴；
C、如图所示，等腰三角形底边上的高所在的直线是对称轴，
∴等腰三角形有1条对称轴；
D、如图所示，线段的对称轴是它所在的直线和它的垂直平分线，
线段有2条对称轴．
综上所述，对称轴最多的是等边三角形，
故答案为：A．
【分析】分别求出图形的对称轴的数量，再求解即可。
11．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①符合题意；
②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，即∠ADC＝60°．故②符合题意；
③∵∠1＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D在AB的中垂线上．故③符合题意；
④作DH⊥AB于H，
∵∠1＝∠2，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH，
在Rt△ACD中，CD＝AD＝1dm，
∴点D到AB的距离是1dm；故④符合题意，
⑤在Rt△ACB中，∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
∴S△DAC：S△DAB＝AC CD： AB DH＝1：2；故⑤符合题意．
综上所述，正确的结论是：①②③④⑤，共有5个．
故答案为：D．
【分析】利用角平分线的性质，垂直平分线，三角形的面积公式，结合图形，对每个说法一一判断即可。
12．【答案】76°
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＋∠ABC＝180°，
∵∠DOE＋∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝38°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A＋∠ABO，∠COP＝∠C＋∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP＋∠COP＝∠A＋∠ABC＋∠C＝2×38°＝76°；
故答案为：76°．
【分析】先求出∠DOE＋∠ABC＝180°，再求出∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，最后计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解： 连接BP，
∵PA平分∠BAD，
∴∠PAB＝∠PAD，
在△PAB和△PAD中，
AB＝AD，∠PAB＝∠PAD，AP＝AP，
∴△PAB≌△PAD（SAS），
∴∠ABP＝∠ADP，
在△ABP和△CBP中，
AB＝CB，PB＝PB ，PA＝PC，
∴△ABP≌△CBP（SSS），
∴∠ABP＝∠CBP，
∴∠ABC＝2∠ABP，
∴α＝2β．
故答案为：α＝2β．
【分析】利用SAS证明△PAB≌△PAD，由全等三角形的性质得出∠ABP＝∠ADP，利用SSS证明△ABP≌△CBP，由全等三角形的性质得出∠ABP＝∠CBP，则可得出结论．
14．【答案】（1）解：①补全图形如图3；
②∠BAD+∠BCD=180°.
证明：过点D作DE⊥AB于点E、DF⊥BC交BC的延长线于点F，如图4，
∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，
∵直线l垂直平分AC，∴DA=DC，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），∴∠BAD=∠DCF，
∵∠DCF+∠BCD=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°；
（2）证明：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥CE于点G，如图5，
∵BD平分∠ABE，∴DH=DG，
∵直线l垂直平分AC，∴DA=DC，
∴Rt△ADH≌Rt△CDG（HL），
∴∠BAD=∠BCD，
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）①由题意画出图形；②过点D作DE⊥AB于点E、DF⊥BC交BC的延长线于点F，由角平分线的性质得出DE=DF，由线段垂直平分线的性质得出DA=DC，由“HL”可证出Rt△ADE≌Rt△CDF，得出∠BAD=∠DCF，即可得出结论；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥CE于点G，由“HL”可证出Rt△ADH≌Rt△CDG，即可得出∠BAD=∠BCD。
15．【答案】（1）证明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，
∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠ECF，
∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，
∵QG垂直平分AC，
∴AQ=CQ，
∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，
∴QM=QN，
∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），
∴NA=MC，
∵QM=QN，BQ=BQ，
∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），
∴NB=MB，
∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，
∴7=4+2MC，
∴MC=1.5．
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由三角形外角的性质可 ∠ABF=∠ACF-∠A=∠ACF-78° ， ∠DBF=∠ECF-∠BPC=∠ECF-39°， 由角平分线的定义可得∠ACF=2∠ECF， 从而得出 ∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF， 根据角平分线的定义即得结论；
（2）连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，先证明Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），可得NA=MC，再证Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），可得NB=MB， 从而得出BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，据此即可求解.
1 / 1人教版八上数学第十三章13.1轴对称图像及垂直平分线性质 课时易错题三刷（第二刷）
一、单选题
1．（2021八上·句容期末）在下面四个图标（图象）中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此分析即可.
2．（2021八上·长丰期末）如图，在ABC中，∠C=90°，分别以A、B为圆心画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在直线交BC于点D，连接AD．若BD=2，则AD的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，由画图过程得：直线ED是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD=2，
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=BD=2。
3．（2021八上·海丰期末）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．正方形
C．含锐角的直角三角形 D．圆
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．等边三角形一定是轴对称图形；
B．正方形一定是轴对称图形；
C．含锐角的直角三角形不一定是轴对称图形；
D．圆一定是轴对称图形；
故答案为：C．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
4．（2021八上·东城期末）如图，在中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若，，，则的周长等于（ ）
A．11 B．16 C．17 D．18
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：垂直平分AE，
，
，
，
，
的周长=AB+AC+BC=5+5+6=16，
故答案为：B．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AC=CE=5，再利用三角形的周长公式列出算式AB+AC+BC计算即可。
5．（2021八上·济南期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠DAE=20°，
∴∠ADE+∠DEA=160°．
∵DM、EN分别垂直平分AB和AC，
∴AD=BD，AE=EC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
又∵∠ADE，∠DEA为△ABD与△AEC的一个外角，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠B，∠DEA=∠C+∠CAE=2∠C，
∴∠B+∠C=80°，
∴∠BAC=180°-（∠B+∠C）=100°．
故答案为：A．
【分析】∠ADE+∠DEA=160°，利用垂直平分线的性质得出AD=BD，AE=EC，∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再利用三角形内角和定理得出答案。
6．（2021八上·惠州期末）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下列结论中错误的是（ ）
A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB＋BC
C．AD＝BD＝BC D．△BCD的面积等于△BED的面积
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： AB＝AC，∠A＝36°，
AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，
平分，故不符合题意；
故不符合题意；
故C不符合题意；
如图，过D作于M，
平分
故D符合题意；
故答案为：
【分析】先求出 再用垂直平分线判断出进而判断出平分，故不符合题意；再用三角形的周长公式，即可判断B正确，再求出 故C不符合题意；再判断出 故D符合题意；即可得解。
7．（2021八上·门头沟期末）如图，在2×2正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中可以画出与△ABC成轴对称的格点三角形的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：如图所示，共有5个格点三角形与△ABC成轴对称，
故答案为：D
【分析】 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称 。根据轴对称图形的定义判断即可。
8．（2021八上·道里期末）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若∠A=50°，∠DCB＝2∠ACD，则∠B的度数为（ ）
A．26° B．36° C．52° D．45°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠DCB＝2∠ACD，设∠ACD=x°
∴∠DCB=2x°
∵DE垂直平分线BC
∴DB=DC
∴∠DCB =∠B=2x°
∴∠ACB=∠ACD＋∠DCB=3x°
∵∠A＋∠B＋∠ACB=180°，∠A=50°
∴50＋2x＋3x=180
解得：x=26
∴∠B=52°
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质，即可得出∠B的度数。
9．（2021八上·天津市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下条线段的长度（ ）
A．EF B．AB C．AC D．BC
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】如图，连接，
是AB的垂直平分线
BK+CK
当三点共线时，BK+CK取得最小值，
则BK+CK的最小值是的长．
故答案为：C
【分析】根据垂直平分线的性质可得AK=BK，再利用三角形三边的关系可得：当A、K、C三点共线时，BK+CK取得最小值，则BK+CK的最小值是AC的长．
10．（2021八上·昆明期末）下列图形对称轴条数最多的是（ ）
A．等边三角形 B．长方形 C．等腰三角形 D．线段
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、如图所示，等边三角形每条边上的高所在的直线都是对称轴，
∴等边三角形有三条对称轴；
B、如图所示，
∴长方形共有2条对称轴；
C、如图所示，等腰三角形底边上的高所在的直线是对称轴，
∴等腰三角形有1条对称轴；
D、如图所示，线段的对称轴是它所在的直线和它的垂直平分线，
线段有2条对称轴．
综上所述，对称轴最多的是等边三角形，
故答案为：A．
【分析】分别求出图形的对称轴的数量，再求解即可。
11．（2021八上·集贤期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，并廷长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线
②∠ADC＝60°
③点D在AB的垂直平分线上
④若AD＝2dm，则点D到AB的距离是1dm
⑤S△DAC：S△DAB＝1：2
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①符合题意；
②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，即∠ADC＝60°．故②符合题意；
③∵∠1＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D在AB的中垂线上．故③符合题意；
④作DH⊥AB于H，
∵∠1＝∠2，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH，
在Rt△ACD中，CD＝AD＝1dm，
∴点D到AB的距离是1dm；故④符合题意，
⑤在Rt△ACB中，∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
∴S△DAC：S△DAB＝AC CD： AB DH＝1：2；故⑤符合题意．
综上所述，正确的结论是：①②③④⑤，共有5个．
故答案为：D．
【分析】利用角平分线的性质，垂直平分线，三角形的面积公式，结合图形，对每个说法一一判断即可。
二、填空题
12．（2021八上·芜湖期末）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝37°，则∠AOC＝ ．
【答案】76°
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＋∠ABC＝180°，
∵∠DOE＋∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝38°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A＋∠ABO，∠COP＝∠C＋∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP＋∠COP＝∠A＋∠ABC＋∠C＝2×38°＝76°；
故答案为：76°．
【分析】先求出∠DOE＋∠ABC＝180°，再求出∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，最后计算求解即可。
13．（2021八上·川汇期末）如图，点P在四边形ABCD中，，，PA平分，设，，则与满足的数量关系是 .
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解： 连接BP，
∵PA平分∠BAD，
∴∠PAB＝∠PAD，
在△PAB和△PAD中，
AB＝AD，∠PAB＝∠PAD，AP＝AP，
∴△PAB≌△PAD（SAS），
∴∠ABP＝∠ADP，
在△ABP和△CBP中，
AB＝CB，PB＝PB ，PA＝PC，
∴△ABP≌△CBP（SSS），
∴∠ABP＝∠CBP，
∴∠ABC＝2∠ABP，
∴α＝2β．
故答案为：α＝2β．
【分析】利用SAS证明△PAB≌△PAD，由全等三角形的性质得出∠ABP＝∠ADP，利用SSS证明△ABP≌△CBP，由全等三角形的性质得出∠ABP＝∠CBP，则可得出结论．
三、综合题
14．（2021八上·大石桥期末）在△ABC中，AB＞BC，直线l垂直平分AC.
（1）如图1，作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD.
①补全图形；
②判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明.
（2）如图2，直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D，连接AD，CD.求证：∠BAD=∠BCD.
【答案】（1）解：①补全图形如图3；
②∠BAD+∠BCD=180°.
证明：过点D作DE⊥AB于点E、DF⊥BC交BC的延长线于点F，如图4，
∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，
∵直线l垂直平分AC，∴DA=DC，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），∴∠BAD=∠DCF，
∵∠DCF+∠BCD=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°；
（2）证明：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥CE于点G，如图5，
∵BD平分∠ABE，∴DH=DG，
∵直线l垂直平分AC，∴DA=DC，
∴Rt△ADH≌Rt△CDG（HL），
∴∠BAD=∠BCD，
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）①由题意画出图形；②过点D作DE⊥AB于点E、DF⊥BC交BC的延长线于点F，由角平分线的性质得出DE=DF，由线段垂直平分线的性质得出DA=DC，由“HL”可证出Rt△ADE≌Rt△CDF，得出∠BAD=∠DCF，即可得出结论；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥CE于点G，由“HL”可证出Rt△ADH≌Rt△CDG，即可得出∠BAD=∠BCD。
15．（2021八上·中山期末）如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．
【答案】（1）证明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，
∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠ECF，
∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，
∵QG垂直平分AC，
∴AQ=CQ，
∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，
∴QM=QN，
∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），
∴NA=MC，
∵QM=QN，BQ=BQ，
∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），
∴NB=MB，
∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，
∴7=4+2MC，
∴MC=1.5．
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由三角形外角的性质可 ∠ABF=∠ACF-∠A=∠ACF-78° ， ∠DBF=∠ECF-∠BPC=∠ECF-39°， 由角平分线的定义可得∠ACF=2∠ECF， 从而得出 ∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF， 根据角平分线的定义即得结论；
（2）连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，先证明Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），可得NA=MC，再证Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），可得NB=MB， 从而得出BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，据此即可求解.
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