人教版八上数学第十三章13.1轴对称图像及垂直平分线性质 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2021八上·牡丹江期末）下列图形中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021八上·宜兴期中）下列结论中不正确的是（ ）
A．两个关于某直线对称的图形一定全等
B．对称图形的对称点一定在对称轴的两侧
C．两个成轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴
D．有斜边和一锐角相等的两个直角三角形全等
3．（2021八上·庄河期末）如图，中，AC的垂直平分线EF交AC、BC于点E、F，连接AF．若，，则周长为（ ）
A．23 B．13 C．17 D．16
4．（2021八上·昆明期末）如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·兰溪月考）如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC＝BE，则∠B的度数是（ ）
A．45° B．60° C．50° D．55°
6．（2021八上·长沙月考）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（ ）
A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④
二、填空题
7．（2021八上·虎林期末）如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则△ADE的周长等于 ．
8．（2021八上·德州期中）如图，在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠BAC=130°，则∠EAF= ．
9．（2021八上·玉屏期中）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=12，CF=3，则AC = ．
10．（2021八上·乌鲁木齐期中）如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝4，则BE＝ .
11．（2021八上·江阴期中）如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 种.
三、解答题
12．（2021八上·怀柔期末）如图，在ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E， 交AC于点D，连接BD．若∠A=100°，∠ABD=22°，求∠C的度数．
13．（2021八上·灌云期中）已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE=CF.
14．（2021八上·浦东期中）如图，在 中， 平分 ， ，过点E作 于点O，交 的延长线于F，联结 ，求证： ．
四、综合题
15．（2021八上·陇县期中）如图，A、B两点在射线OM、ON上，CF垂直平分AB，垂足为F， ， ，垂足分别为D、E，且 .
（1）求证：OC平分 ；
（2）如果 ， ，求OD的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：由轴对称图形的定义可知，从左到右第1、第4个图形是轴对称图形，
第2、第3个图形不是轴对称图形，
所以是轴对称图形的有2个．
故答案为：B．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。根据轴对称图形的定义对每个图形一一判断即可。
2．【答案】B
【知识点】全等图形；轴对称的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：A、两个关于某直线对称的图形一定全等，所以A选项的结论正确；
B、对称图形的对称点可能在对称轴的两侧，也可能都在对称轴上，所以B选项的结论错误；
C、两个成轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴，所以C选项的结论正确；
D、有斜边和一锐角相等的两个直角三角形全等，所以D选项的结论正确.
故答案为：B.
【分析】根据全等图形的概念及轴对称的定义可判断A；对称图形的对称点可能在对称轴的两侧，也可能都在对称轴上，据此判断B；根据轴对称图形的性质可判断C；根据全等三角形的判定定理可判断D.
3．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AC的垂直平分线EF交AC、BC于点E、F，
∴AF=CF，
∵AB=7，BC=10，
∴△ABF的周长为AB+BF+AF=AB+BF+CF=AB+BC=7+10=17，
故答案为：C．
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得出AF=CF，再根据AB=7，BC=10，可得出△ABF的周长。
4．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴BD=AD，，
∵的周长为，的周长为，
∴
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出DA=DB，，根据三角形的周长公式计算即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵CM是AE的垂直平分线，
∴AC=CE，
∵AB+BC=BE=BC+CE=AC+BC，
∴AB=AC，
设∠E=x，
∴∠ACE=∠CAE+∠E=2x，
∴∠B=∠ACE=2x，
∴∠BAC+∠B+∠E=105°+2x+x=180°，
解得x=25°，
∴∠B=50°.
故答案为：C.
【分析】连接AC，根据垂直平分线的性质得出AC=CE，结合AB+BC＝BE，推出AB=AC，然后设∠E=x，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质把∠B表示出来，最后在△ABC中，根据三角形内角和定理建立方程求解即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得：
，
∴ ，故①正确；
延长GD与AC相交于点P，
∵DE⊥CF，
∴∠CDG＝∠CDP＝90°，
∵CF平分∠GCP，
∴∠GCD＝∠PCD，
在△GCD和△PCD中，
，
∴△GCD≌△PCD（ASA），
∴CG＝CP，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ADP＝∠ADF，
在△AFD和△APD中，
，
∴△AFD≌△APD（ASA），
∴AF＝AP，
∴AF﹣CG＝CA，故②正确；
同理△ACD≌△AED（ASA），
∴CD＝DE，故③正确；
在DF上截取DM＝CD，则DE是CM的垂直平分线，
∴CE＝EM，
∵∠ECG＝∠GCD﹣45°，∠MEF＝∠DEF﹣45°，
∴∠ECG＝∠FEM，
∵EF＝CP，CP＝CG，
∴EF＝CG，
在△EMF和△CEG中，
，
∴ （SAS），
∴FM＝GE，
∴CF＝2CD+EG，故④正确；
故答案为：C.
【分析】设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得∠ADC=45°，据此判断①；延长GD与AC相交于点P，根据角平分线的概念可得∠GCD＝∠PCD，证明△GCD≌△PCD，得到CG＝CP，进而证明△AFD≌△APD，得到AF＝AP，据此判断②；同理△ACD≌△AED，据此判断③；在DF上截取DM=CD，则DE是CM的垂直平分线，CE＝EM，易得∠ECG＝∠FEM，证明△EMF≌△CEG，得到FM＝GE，据此判断④.
7．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：的垂直平分线交于，
，
的垂直平分线交与，
，
，
，
，
的周长为8，
故答案为：8．
【分析】根据垂直平分线求出，再求出AE=CE，最后求周长即可。
8．【答案】80°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，
∵∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=50°，
∴∠BAE+∠CAF=50°，
∴∠EAF=∠BAC-（∠BAE+∠CAF）=130°-50°=80°．
故答案为80°．
【分析】由在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，得出∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，由∠BAC=130°，求得∠B+∠C的度数，继而得出答案。
9．【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】因为EF是AB的垂直平分线，所以AF=BF，因为BF=12，CF=3，所以AF=BF=12，
所以AC =AF+FC=12+3=15．
【分析】由线段垂直平分线的性质，可得AF=BF，由AC=AF+FC即可求解.
10．【答案】1
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝∠DEA＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADF≌△ADE，
∴AE＝AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中， ，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF，
∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，
∵AB＝6，AC＝4，
∴BE＝1.
故答案为：1.
【分析】连接CD，BD，由角平分线的性质可得DF＝DE，证明△ADF≌△ADE，得到AE＝AF，由线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，进而证明Rt△CDF≌Rt△BDE，得到BE＝CF，则AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，据此进行计算.
11．【答案】3
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：如图所示，根据轴对称图形的定义可知，选择一个小正三角形涂黑，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，选择的位置可以有以下3种可能：
故答案为：3.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，每条边上的中线所在的直线就是其对称轴，据此即可判断得出答案.
12．【答案】解：∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC ．
∴∠DBC=∠C ．
∵∠A=100°，∠ABD=22°．
∴∠BDC=∠A+∠ABD=122°．
∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，
∴∠C=．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】先求出 DB=DC，再求出∠BDC=122°，最后计算求解即可。
13．【答案】证明：连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD，
∵D为∠BAC上面的点，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接BD、CD，根据垂直平分线的性质可得BD=CD，由角平分线的性质可得DE=DF，证明Rt△BDE≌Rt△CDF，据此可得结论.
14．【答案】证明：因为 ，
所以 ；
因为 平分 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ；
因为 ，
所以 垂直且平分 ，
所以F在 的垂直平分线上，
所以 ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质解答即可。
15．【答案】（1）如图，连接CA，CB
垂直平分AB，
， ，
在 与 中
≌ .
在 与 中
≌ .
平分 ；
（2）由（1）得
设
.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；线段垂直平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）连接CA，CB，由垂直平分线的性质可得AC=CB，由垂直的概念可得∠ODA=∠CEB=90°，证明△ACD≌△BCE，得到CD=CE，进而证明△ODC≌△OEC，得到∠DOC=∠EOC，据此进行证明；
（2）由（1）得OE=OD，设 BE=x，则OE=4+x，AD=BE=x，OA=4+2x=10，求出x的值，进而可得OD.
1 / 1人教版八上数学第十三章13.1轴对称图像及垂直平分线性质 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2021八上·牡丹江期末）下列图形中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：由轴对称图形的定义可知，从左到右第1、第4个图形是轴对称图形，
第2、第3个图形不是轴对称图形，
所以是轴对称图形的有2个．
故答案为：B．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。根据轴对称图形的定义对每个图形一一判断即可。
2．（2021八上·宜兴期中）下列结论中不正确的是（ ）
A．两个关于某直线对称的图形一定全等
B．对称图形的对称点一定在对称轴的两侧
C．两个成轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴
D．有斜边和一锐角相等的两个直角三角形全等
【答案】B
【知识点】全等图形；轴对称的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：A、两个关于某直线对称的图形一定全等，所以A选项的结论正确；
B、对称图形的对称点可能在对称轴的两侧，也可能都在对称轴上，所以B选项的结论错误；
C、两个成轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴，所以C选项的结论正确；
D、有斜边和一锐角相等的两个直角三角形全等，所以D选项的结论正确.
故答案为：B.
【分析】根据全等图形的概念及轴对称的定义可判断A；对称图形的对称点可能在对称轴的两侧，也可能都在对称轴上，据此判断B；根据轴对称图形的性质可判断C；根据全等三角形的判定定理可判断D.
3．（2021八上·庄河期末）如图，中，AC的垂直平分线EF交AC、BC于点E、F，连接AF．若，，则周长为（ ）
A．23 B．13 C．17 D．16
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AC的垂直平分线EF交AC、BC于点E、F，
∴AF=CF，
∵AB=7，BC=10，
∴△ABF的周长为AB+BF+AF=AB+BF+CF=AB+BC=7+10=17，
故答案为：C．
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得出AF=CF，再根据AB=7，BC=10，可得出△ABF的周长。
4．（2021八上·昆明期末）如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴BD=AD，，
∵的周长为，的周长为，
∴
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出DA=DB，，根据三角形的周长公式计算即可得出答案。
5．（2021八上·兰溪月考）如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC＝BE，则∠B的度数是（ ）
A．45° B．60° C．50° D．55°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵CM是AE的垂直平分线，
∴AC=CE，
∵AB+BC=BE=BC+CE=AC+BC，
∴AB=AC，
设∠E=x，
∴∠ACE=∠CAE+∠E=2x，
∴∠B=∠ACE=2x，
∴∠BAC+∠B+∠E=105°+2x+x=180°，
解得x=25°，
∴∠B=50°.
故答案为：C.
【分析】连接AC，根据垂直平分线的性质得出AC=CE，结合AB+BC＝BE，推出AB=AC，然后设∠E=x，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质把∠B表示出来，最后在△ABC中，根据三角形内角和定理建立方程求解即可.
6．（2021八上·长沙月考）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（ ）
A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得：
，
∴ ，故①正确；
延长GD与AC相交于点P，
∵DE⊥CF，
∴∠CDG＝∠CDP＝90°，
∵CF平分∠GCP，
∴∠GCD＝∠PCD，
在△GCD和△PCD中，
，
∴△GCD≌△PCD（ASA），
∴CG＝CP，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ADP＝∠ADF，
在△AFD和△APD中，
，
∴△AFD≌△APD（ASA），
∴AF＝AP，
∴AF﹣CG＝CA，故②正确；
同理△ACD≌△AED（ASA），
∴CD＝DE，故③正确；
在DF上截取DM＝CD，则DE是CM的垂直平分线，
∴CE＝EM，
∵∠ECG＝∠GCD﹣45°，∠MEF＝∠DEF﹣45°，
∴∠ECG＝∠FEM，
∵EF＝CP，CP＝CG，
∴EF＝CG，
在△EMF和△CEG中，
，
∴ （SAS），
∴FM＝GE，
∴CF＝2CD+EG，故④正确；
故答案为：C.
【分析】设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得∠ADC=45°，据此判断①；延长GD与AC相交于点P，根据角平分线的概念可得∠GCD＝∠PCD，证明△GCD≌△PCD，得到CG＝CP，进而证明△AFD≌△APD，得到AF＝AP，据此判断②；同理△ACD≌△AED，据此判断③；在DF上截取DM=CD，则DE是CM的垂直平分线，CE＝EM，易得∠ECG＝∠FEM，证明△EMF≌△CEG，得到FM＝GE，据此判断④.
二、填空题
7．（2021八上·虎林期末）如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则△ADE的周长等于 ．
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：的垂直平分线交于，
，
的垂直平分线交与，
，
，
，
，
的周长为8，
故答案为：8．
【分析】根据垂直平分线求出，再求出AE=CE，最后求周长即可。
8．（2021八上·德州期中）如图，在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠BAC=130°，则∠EAF= ．
【答案】80°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，
∵∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=50°，
∴∠BAE+∠CAF=50°，
∴∠EAF=∠BAC-（∠BAE+∠CAF）=130°-50°=80°．
故答案为80°．
【分析】由在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，得出∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，由∠BAC=130°，求得∠B+∠C的度数，继而得出答案。
9．（2021八上·玉屏期中）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=12，CF=3，则AC = ．
【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】因为EF是AB的垂直平分线，所以AF=BF，因为BF=12，CF=3，所以AF=BF=12，
所以AC =AF+FC=12+3=15．
【分析】由线段垂直平分线的性质，可得AF=BF，由AC=AF+FC即可求解.
10．（2021八上·乌鲁木齐期中）如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝4，则BE＝ .
【答案】1
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝∠DEA＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADF≌△ADE，
∴AE＝AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中， ，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF，
∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，
∵AB＝6，AC＝4，
∴BE＝1.
故答案为：1.
【分析】连接CD，BD，由角平分线的性质可得DF＝DE，证明△ADF≌△ADE，得到AE＝AF，由线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，进而证明Rt△CDF≌Rt△BDE，得到BE＝CF，则AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，据此进行计算.
11．（2021八上·江阴期中）如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 种.
【答案】3
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：如图所示，根据轴对称图形的定义可知，选择一个小正三角形涂黑，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，选择的位置可以有以下3种可能：
故答案为：3.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，每条边上的中线所在的直线就是其对称轴，据此即可判断得出答案.
三、解答题
12．（2021八上·怀柔期末）如图，在ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E， 交AC于点D，连接BD．若∠A=100°，∠ABD=22°，求∠C的度数．
【答案】解：∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC ．
∴∠DBC=∠C ．
∵∠A=100°，∠ABD=22°．
∴∠BDC=∠A+∠ABD=122°．
∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，
∴∠C=．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】先求出 DB=DC，再求出∠BDC=122°，最后计算求解即可。
13．（2021八上·灌云期中）已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE=CF.
【答案】证明：连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD，
∵D为∠BAC上面的点，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接BD、CD，根据垂直平分线的性质可得BD=CD，由角平分线的性质可得DE=DF，证明Rt△BDE≌Rt△CDF，据此可得结论.
14．（2021八上·浦东期中）如图，在 中， 平分 ， ，过点E作 于点O，交 的延长线于F，联结 ，求证： ．
【答案】证明：因为 ，
所以 ；
因为 平分 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ；
因为 ，
所以 垂直且平分 ，
所以F在 的垂直平分线上，
所以 ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质解答即可。
四、综合题
15．（2021八上·陇县期中）如图，A、B两点在射线OM、ON上，CF垂直平分AB，垂足为F， ， ，垂足分别为D、E，且 .
（1）求证：OC平分 ；
（2）如果 ， ，求OD的长.
【答案】（1）如图，连接CA，CB
垂直平分AB，
， ，
在 与 中
≌ .
在 与 中
≌ .
平分 ；
（2）由（1）得
设
.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；线段垂直平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）连接CA，CB，由垂直平分线的性质可得AC=CB，由垂直的概念可得∠ODA=∠CEB=90°，证明△ACD≌△BCE，得到CD=CE，进而证明△ODC≌△OEC，得到∠DOC=∠EOC，据此进行证明；
（2）由（1）得OE=OD，设 BE=x，则OE=4+x，AD=BE=x，OA=4+2x=10，求出x的值，进而可得OD.
1 / 1
